拉格朗日方程拉格朗日體系你一定聽過

1、導(dǎo)讀:當我聽到拉格朗日痛心的說:他們一眨眼把拉瓦錫的頭砍下來, 但他那樣的頭腦一百年也找不出一個了。拉格朗日當時是多么痛苦，那是他的摯友?？茖W天才啊。這是人類的 悲哀。對后世的所有當局執(zhí)政者都是警醒。拉瓦錫也救過拉格朗日。我們對歷史還是知道的不夠。我初中也學習過拉瓦錫關(guān)于氧氣在空氣成分的課程?？墒菦]有想到拉 瓦錫是這樣去世的。這是我推薦你們?nèi)タ纯匆粋€歷史事件。要記住拉瓦錫是現(xiàn)代化學之 父。也要記住拉格朗日的天才貢獻?！倦m然過去很多年了,我們的課本都丟了。但如果我沒有記錯的話。學校拉瓦錫化學知識的時候，書本中的配圖正是這一張圖片。】第四十章：拉格朗日方程，拉格朗日體系，你一定聽過。拉格朗日方程,

2、拉格朗日體系，你一定聽過。但是拉格朗日這個人, 我們并不熟悉。至少他的名字沒有像牛頓，愛因斯坦那樣聞名。但他 的貢獻可以和牛頓比肩。甚至很多細心的朋友，應(yīng)該注意到了即使在量子力學中，拉格朗日體 系也是經(jīng)常被應(yīng)用的。拿破侖還給他頒過獎，牛頓去世的時候,他是一個9歲的孩子。雖然 本書是量子力學的科普書籍，但由于書中反復(fù)出現(xiàn)了這為偉人的名 字,所以我有必要把他的生平和他的理論貢獻,為大家做一個介紹。約瑟夫拉格朗日伯爵（法語：joseph lagrange z 1736年1月25 日-1813年4月10h ）,法國籍意大利裔數(shù)學家和天文學家。拉 格朗日曾為普魯士腓特烈大帝在柏林工作20年，被腓特烈大帝

3、稱做歐洲最偉大的數(shù)學家，后受法國國王路易十六的邀請定居巴黎直 至去世。拉格朗日一生才華橫溢，在數(shù)學、物理和天文等領(lǐng)域做出很多重大的 貢獻。他的成就包括著名的拉格朗日中值定理，創(chuàng)立拉格朗日力學等 等。拉格朗日是18世紀一位十分重要的科學家,在數(shù)學、力學和天文學 三個學科中都有歷史性的重大貢獻，但他主要是數(shù)學家。他最突出的 貢獻是在把數(shù)學分析的基礎(chǔ)脫離幾何與力學方面起了決定性的作用 使數(shù)學的獨立性更為清楚，而不僅是其他學科的工具。同時在使天文 學力學化、力學分析化上也產(chǎn)生歷史性影響，促使力學和天文學（天 體力學）更深入發(fā)展。在他的時代,分析學等分支剛剛起步，欠缺嚴 密性和標準形式，但這不足以妨礙他

4、取得大量的成 丿靈遁者接下來我一起來回顧一下這位偉大科學家的牛哄哄的人生履歷吧。即使放到現(xiàn)在，依然是很牛的人物！1754年（18歲時）z拉格朗日以意大利語寫岀第一篇論文，是用牛 頓二項式定理處理兩函數(shù)乘積的高階微商,寄給數(shù)學家;去尼亞諾,并 用拉丁語寫岀寄給在柏林的歐拉?？墒钱斈?月他看到了萊布尼茲同 約翰伯努利的通信，獲知這一成果早在半個世紀前就被萊布尼茲取 得了。這個不幸運的開端并未使拉格朗日灰心，9月給法尼亞諾的信 中說他正研究等時曲線，并于年底開始研究變分極值問題。1755年8月12 b z拉格朗日在寫給普魯士科學院數(shù)學部主任歐拉 的信中,給出了用純分析方法求變分極值的提要；歐拉在9月

5、6日 回信中稱此工作很有價值。此成果使拉格朗日在都靈出名。9月28 日，他被任命為都靈皇家炮兵學校教授，年僅19歲。他本人認為這 是第一篇有意義的論文。任教后，拉格朗日積極進行研究。1756年，他在給歐拉的信中,開 始把變分法用于力學，還把歐拉關(guān)于有心力的一個定理推廣到一般動 力學問題。歐拉十分贊賞，把信送交院長皮埃爾莫佩爾蒂（莫培督）。 莫佩爾蒂看到拉格朗日才華非凡,而且是他的最小作用原理的支持 者，便建議拉格朗日來普魯士任講座教授，條件比都靈優(yōu)越；但拉格 朗日尚無此等想法,婉言謝絕。9月2日，他被歐拉舉薦入普魯士科 學院。生命在于運動生命更在于探索1757年，以拉格朗日為首的一批都靈青年科

6、學家,成立了一個科學協(xié)會（即都靈皇家科學院的前身廠并開始以拉丁語和法語出版學術(shù) 刊物都靈科學論叢（miscellanea taurinensia，法語名melanges de turin ）o前三卷（1759年、1762年、1766年）刊登了拉格朗日幾乎全部都靈時期的論文其中有關(guān)變分法、分析力學、聲音傳味 常微分方程解法、月球天平動、木衛(wèi)運動等方面的成果都是當時最出 色的，為后來他在這些領(lǐng)域內(nèi)更大貢獻打下了基礎(chǔ)。1762年，法國科學院放岀1764年懸賞征文，要求用萬有引力解釋月球天平動問題，他的研究獲獎。1763年11月，都靈王朝外交官caraccioli去倫敦赴任時，帶拉格 朗日到巴黎,受到

7、巴黎科學院的熱烈歡迎,并初次會見達朗貝爾。在 巴黎停留六周后拉格朗日卻病倒，不能去倫敦?？祻?fù)后遵照達朗貝爾意見，回國途中在日內(nèi)瓦拜訪了當日寸著名數(shù)學家伯努利和文學家伏爾泰，他們的看法對拉格朗日以后的工作有啟發(fā)。1765年初,到都靈后，他成功地運用微分方程理論和近似解法研究了科學院提出的一個復(fù)雜的六體問題（木星的四個衛(wèi)星的運動問 題），于1766年又一次獲獎。同時,1765年秋,達朗貝爾寫信給普魯士國王腓特烈大帝,熱情贊 揚拉格朗日”并建議在柏林給拉格朗日一個職位。國王同意后寫信給 拉格朗日說，在"歐洲最偉大的王"的宮廷中應(yīng)有"歐洲最偉大的數(shù) 學家 o但他回信表示不

8、愿與歐拉爭職位。1766年3月，達朗貝爾來信說歐拉決定離開柏林,并請他擔任留下 的職位。拉格朗日決定接受。5月3日歐拉離開柏林去彼得堡后,拉 格朗日正式接受普魯士邀請于8月21日離開都靈。在去柏林前，拉格朗日繞道巴黎和倫敦，拜訪達朗貝爾和caraccioli , 之后于10月27日到達柏林，11月6日正式繼任普魯士科學院數(shù)學 部主任。他受到約翰iii伯努利（英語：johann iii bernoulli）等人 的熱烈歡迎。拉格朗日深得國王賞識，國王經(jīng)常和他講完美的有規(guī)律的生活的益 處。拉格朗日聽了進去，此后他對大腦和身體當做機器一般進行了研 究，并通過實驗精確調(diào)整到他每日能夠完成而不累垮的工作

9、量。每天 晚上，他為自己定下第二天的明確的任務(wù)，并在完成任何一個學科分 支時,寫下簡短的分析,看看哪些地方可以改進。他總是在開始撰寫在普魯士科學院，拉格朗日的任務(wù)是每月宣讀一篇論文,內(nèi)容一般在科學院文獻(memoires des i'academie royale des sciences ) 以及柏林科學院新文獻(nouveaux memoires de i'academie des berlin )上發(fā)表他還接受達朗貝爾的建議,經(jīng)常參加巴黎科學院競賽課題研究,并獲得1772、1774、1776、1780年度的獎金。1767年9月，拉格朗日同維多利亞孔蒂(vittoria c

10、onti )結(jié)婚他 給達朗貝爾的信中說："我的妻子是我的一個表妹,曾與我家人一起 生活很長時期,是一個很好的家庭婦女?！钡w弱多病未生小孩, 久病后于1783年去世。在柏林期間,拉格朗日完成了大量重大硏究成果,為一生研究中的鼎 盛時期，多數(shù)論文在柏林科學院和法國科學院的刊物中發(fā)表，少量仍 寄回都靈。其中有關(guān)月球運動（三體問題）、行星運動、軌道計算、兩個不動中 心問題、流體力學、數(shù)論、方程論、微分方程、函數(shù)論等方面的成 成為這些領(lǐng)域的開創(chuàng)性或奠基性硏究。他在1766年至1773年寫出了都靈科學論叢的第四卷和第五卷, 其中最重要的是在1771年，他討論了如何將眾多的天文觀測數(shù)據(jù)結(jié) 合以

11、給岀最符結(jié)果。1783年，拉格朗日的故鄉(xiāng)建立了 "都靈（皇家） 科學院” ”他被任命為名譽院長。他還完成了分析力學（mecanique analytique ）書,這是牛 頓之后的一部重要的經(jīng)典力學著作。書中運用變分原理和分析的方 法，建立起完整和諧的力學體系，使力學分析化。我深深的相信沒有比盲從更大的戰(zhàn)爭了!他在序言中宣稱：力學已經(jīng)成為分析的一個分支。1782年給拉普拉 斯(p. laplace )的信中他說："我?guī)缀鯇懲攴治隽W論述(trait e de mecanique analytique )，但不知何時出版"最終,經(jīng)過拉 普拉斯等多人評審，該書于178

12、8年在巴黎出版,那時拉格朗日已然 來到巴黎。1786年,腓特烈二世去世,拉格朗日發(fā)覺柏林令人難受,決定離開。 應(yīng)巴黎科學院邀請，他于1787年5月18日動身，7月29日到達巴 黎開始工作。由于他從1772年起就是該院副院士，這次來工作受到 更熱情的歡迎，被安排在盧浮宮。可惜達朗貝爾已在1783年去世。到巴黎的前幾年,他主要學習更廣泛的知識，如形而上學、歷史、宗 教、醫(yī)藥和植物學等；他陷入憂郁,連分析力學(1788年)的 岀版也視而不見。1789年，法國大革命爆發(fā),將他從憂郁中搖醒；一開始他只是有興趣地旁觀,但很快他發(fā)現(xiàn)時局急轉(zhuǎn)直下。與其他人相比,可以說,他 的膽怯和低調(diào)使他在革命動亂中保全。1

13、790年5月8日的制憲大會上通過十進位的公制法，科學院建立相 應(yīng)的度量衡委員會，拉格朗日是委員之一。1791年，拉格朗日被選為英國皇家學會會員。1792年，喪偶9年的拉格朗日同天文學家勒莫尼埃(lemonnier)的女兒何蕾-弗朗索瓦-阿德萊德(renee-francoise- adelaide )結(jié)婚；阿德萊德同情他的遭遇，執(zhí)意要與他結(jié)婚，并一直矢志不渝。1793年8月8日，國民議會決定對科學院專政,把拉瓦錫(a. l.lavoisier),拉普拉斯,庫倫(c. a. coulomb )等著名院士清除岀 科學院。但拉格朗日被保留，并任度量衡委員會主席。人和fl不樣 不信你仔細口斤 ffr有說

14、話由a 劭在夸zan自己 而fl不畏！9月，恐怖統(tǒng)治開始，革命政府決定逮捕所有在敵國出生的人，經(jīng)拉 瓦錫竭力向當局說明后，把拉格朗日作為例外。1794年5月7日，法國雅各賓派開庭審判波旁王朝包稅官，把包括 拉瓦錫在內(nèi)的28名成員全部處以死刑,革命法庭副長官考費那爾(j.b.coffinhal)宣稱，"共和國不需要學者，而只需要為國家而采 取的正義行動！"第二天5月8日的早晨,拉格朗日痛心'地說："他 們一眨眼就把拉瓦錫的頭砍下來，但像他那樣的頭腦一百年也找不出 一個了。"【看到這里，每一個善良，好學的人，都會深深流淚。拉格朗日和拉 瓦錫都是人類史

15、上的天才。可是拉瓦錫卻以這樣的方式離開，是我們 人類的悲哀。所有后來的，現(xiàn)在當局執(zhí)政者應(yīng)該以此為戒！】1794年，巴黎成立兩個共和國最高學府：巴黎高等師范學院（ecolenormale ）和巴黎綜合理工大學（ecole polytechnique ）;次年, 拉格朗日于此兩所高校任教，為首批教授,雖然前者辦學僅4個月便被關(guān)閉（j到1808年在拿破侖帝國時期重新開始辦學）。1795年6月25日，成立法國國家經(jīng)度局（英語:bureau des longitudes ）,統(tǒng)一管理全國航海、天文研究和度量衡委員會,拉 格朗日是委員之一。10月25日，在取消對科學院的專政后,建立了法國最高學術(shù)機構(gòu)法蘭西

16、學會，選舉拉格朗日為第一分院（即科學院）的數(shù)理委員 會主席。此后他才重新進行研究工作，但主要是整理過去的工作，并 結(jié)合教材編寫完成一批重要著作：論任意階數(shù)值方程的解法、解 析函數(shù)論和函數(shù)計算講義，總結(jié)那一時期的一系列研究工作。1799年z法國完成統(tǒng)一度量衡工作，制定被世界公認的長度、面積、 體積、質(zhì)量的單位。在拉瓦錫死后的這段時間里，拉格朗日對此的推 動功不可沒。1813年4月3日，拿破侖授予他帝國大十字勛章，但此時的拉格朗 日已臥床不起，4月11日早晨z拉格朗日逝世。拉格朗日走了，他的理論一直被我們沿用。名字始終被我們提起。拉 瓦錫也是的?？赐昀矢窭嗜杖松臍v，你真的是清楚了一個人有多么的勤

17、奮，一個 人有多么的純粹。他不缺錢,他不缺人脈，但他從不敢揮霍人生。他 的一生經(jīng)歷,我們確實該敬佩。他說：我把數(shù)學看成是一件有意思的工作，而不是想為自己建立什 么紀念碑。可以肯定地說，我對別人的工作比自己的更喜歡。我對自 己的工作總是不滿意。 接下來我簡單的介紹一下他的常見理論作品。對他的工作,也有深的 體會。首先我們常常聽到拉格朗日量，這是什么？在分析力學里，一個動力 系統(tǒng)的拉格朗日量（英語:lagrangian ）,又稱為拉格朗日函數(shù), 是描述整個物理系統(tǒng)的動力狀態(tài)的函數(shù),對于一般經(jīng)典物理系統(tǒng)，通 常定義為動能減去勢能，以方程表示為l二v ;其中,l displaystyle mathca

18、l l為拉格朗日量 z t displaystylet為動能 z vdisplaystyle v為勢能。在分析力學里，假設(shè)已知一個系統(tǒng)的拉格朗日量，則可以將拉格朗日 量直接代入拉格朗日方程,稍加運算，即可求得此系統(tǒng)的運動方程。拉格朗b是動能了與的差值£ = t-v-a*. sms的1hr為廣義速度和色,心，qn (符號上方的點號義示對千時諏的全ims廣義坐標 如如q、;f所以拉格mbs的劉眇如©d“¥；辦&屮人h析問疽 最先更迅擇一 個合爲的廣義堂標.然&計算岀具拉格met傅定這剽燉(廣義莖標、廣義速履)郃互用沁就可以用拉格朗日方程 來求襯系統(tǒng)的運

19、動方程傑設(shè)一個初理疾統(tǒng)的拉格朗日為q別此物j!屋統(tǒng)的運動以拉格期日方程來示為且中.f是時閭.命是廣義坐標.q,杲廣義連度.拉格朗日量于作用量的關(guān)系拉格朗日量與作用量的關(guān)系一個物理系統(tǒng)的作用量s是一種泛函，以數(shù)學方程定義為s 翌 f l(q, q, t) dtijh其中，l(q,q,t)是系統(tǒng)的拉格朗日量，廣義坐標q =2、，購)是時間t的函數(shù),假若，作用量的一次變分ds = o,作用量s為平穩(wěn)值，則q(t)正確地描述這物理系統(tǒng)的眉拉格朗日方程 詳盡相關(guān)導(dǎo)引，請參閱拉格朗日方程。拉格朗日量與守恒性。務(wù)俎格朗8方程代入.可以衿郢 11 %必一別+“9.9.n/d5f2 川 ? e.“拉搐朗b f對

20、千時間的全異故, dc=di疋乂的數(shù) 4 ；q1；f）為則"曲板5拉格朋b iwttt含時關(guān)系it蹄撿昨mtt*詢叱.訐“艱昨仆，7 沁祕少這艇叭“.飆曲 歿系塊的庇守但藺拉格朗日表述是經(jīng)典力學的一種重新表述。拉格朗日表述的重要性, 不只是因為它可以廣泛應(yīng)用在經(jīng)典力學；而更是因為它能夠幫助物理 學家更深刻地了解一個物理系統(tǒng)的物理行為。雖然拉格朗日只是在尋 找一種表述經(jīng)典力學的方法，他用來推導(dǎo)拉格朗日方程的平穩(wěn)作用量 原理，現(xiàn)在已被學術(shù)界公認為在量子力學也極具功用。§拉格朗日表述不會被任何坐標系統(tǒng)捆綁住。拉格朗日表述使用廣義 坐標來描述系統(tǒng)的空間參數(shù)。它所涉及的物理量是動能與勢能，這些 物理量的值不會隨廣義坐標的選擇而改變。因此，對于系統(tǒng)的種種約 束,可以選擇一組最合適的廣義坐標，來計算問題的解答。§拉格朗日表述能夠簡易地延伸至其他學術(shù)領(lǐng)域。電路學、量子力學、 粒子物理學、等等，都可以用拉格朗日表述來分析。§如果用同樣的表述可以分析不同學