2022屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（原卷版）第十二章 12.3數(shù)列問題-教師版

1、 第1課時進(jìn)門測1等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn，若a11，s2a3，且a1，a2，ak成等比數(shù)列，則k等于()a1 b2 c3 d4答案d解析設(shè)公差為d，則2d12d，d1，ann，由aa1·ak，得41×k，k4.2已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn，a55，s515，則數(shù)列的前100項(xiàng)和為()a. b.c. d.答案a解析設(shè)等差數(shù)列an的首項(xiàng)為a1，公差為d.a55，s515，ana1(n1)dn.，數(shù)列的前100項(xiàng)和為1.3已知等比數(shù)列an的公比q>0，前n項(xiàng)和為sn.若2a3，a5,3a4成等差數(shù)列，a2a4a664，則q_，sn_.答案2解析由a2a4a664

2、，得a64，解得a44.由2a3，a5,3a4成等差數(shù)列，得2a4q3a4，即8q12，解得q2或q(舍去)又a1q34，所以a1，所以sn.4設(shè)sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)和，且a11，an1snsn1，則sn_.答案解析由題意，得s1a11，又由an1snsn1，得sn1snsnsn1，因?yàn)閟n0，所以1，即1，故數(shù)列是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，所以1(n1)n，所以sn.作業(yè)檢查無第2課時階段訓(xùn)練題型一等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合問題例1已知數(shù)列an的首項(xiàng)為1，sn為數(shù)列an的前n 項(xiàng)和，sn1qsn1，其中q>0，nn*.(1)若a2，a3，a2a3成等差數(shù)列，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；

3、(2)設(shè)雙曲線x21的離心率為en，且e22，求eee.解(1)由已知，sn1qsn1，得sn2qsn11，兩式相減得an2qan1，n1.又由s2qs11得a2qa1，故an1qan對所有n1都成立所以，數(shù)列an是首項(xiàng)為1，公比為q的等比數(shù)列從而anqn1.由a2，a3，a2a3成等差數(shù)列，可得2a3a2a2a3，所以a32a2，故q2.所以an2n1(nn*)(2)由(1)可知，anqn1，所以雙曲線x21的離心率en.由e22，解得q，所以eee(11)(1q2)1q2(n1)n1q2q2(n1)nn(3n1)思維升華等差數(shù)列、等比數(shù)列綜合問題的解題策略(1)分析已知條件和求解目標(biāo)，為最

4、終解決問題設(shè)置中間問題，例如求和需要先求出通項(xiàng)、求通項(xiàng)需要先求出首項(xiàng)和公差(公比)等，確定解題的順序(2)注意細(xì)節(jié)：在等差數(shù)列與等比數(shù)列綜合問題中，如果等比數(shù)列的公比不能確定，則要看其是否有等于1的可能，在數(shù)列的通項(xiàng)問題中第一項(xiàng)和后面的項(xiàng)能否用同一個公式表示等，這些細(xì)節(jié)對解題的影響也是巨大的已知首項(xiàng)為的等比數(shù)列an不是遞減數(shù)列，其前n項(xiàng)和為sn(nn*)，且s3a3，s5a5，s4a4成等差數(shù)列(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)tnsn(nn*)，求數(shù)列tn的最大項(xiàng)的值與最小項(xiàng)的值解(1)設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，因?yàn)閟3a3，s5a5，s4a4成等差數(shù)列，所以s5a5s3a3s4a4s5a

5、5，即4a5a3，于是q2.又an不是遞減數(shù)列且a1，所以q.故等比數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an×n1(1)n1·.(2)由(1)，得sn1n當(dāng)n為奇數(shù)時，sn隨n的增大而減小，所以1<sns1，故0<sns1.當(dāng)n為偶數(shù)時，sn隨n的增大而增大，所以s2sn<1，故0>sns2.綜上，對于nn*，總有sn.所以數(shù)列tn的最大項(xiàng)的值為，最小項(xiàng)的值為.題型二數(shù)列的通項(xiàng)與求和例2已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn，在數(shù)列bn中，b1a1，bnanan1(n2)，且ansnn.(1)設(shè)cnan1，求證：cn是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式(1)證明ansnn，

6、an1sn1n1.，得an1anan11，2an1an1，2(an11)an1，an1是等比數(shù)列首項(xiàng)c1a11，又a1a11.a1，c1，公比q.又cnan1，cn是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列(2)解由(1)可知cn()·()n1()n，ancn11()n.當(dāng)n2時，bnanan11()n1()n1()n1()n()n.又b1a1，代入上式也符合，bn()n.思維升華(1)一般求數(shù)列的通項(xiàng)往往要構(gòu)造數(shù)列，此時要從證的結(jié)論出發(fā)，這是很重要的解題信息(2)根據(jù)數(shù)列的特點(diǎn)選擇合適的求和方法，常用的有錯位相減法，分組求和法，裂項(xiàng)相消法等已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn，且a1，an1an.(1)

7、證明：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和sn.(1)證明a1，an1an，當(dāng)nn*時，0.又，(nn*)為常數(shù)，是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列(2)解由是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，得·()n1，ann·()n.sn1·2·()23·()3n·()n，sn1·()22·()3(n1)()nn·()n1，sn()2()3()nn·()n1n·()n1，sn2()n1n·()n2(n2)·()n.綜上，ann·()n，sn2(n2)·

8、()n.題型三數(shù)列與其他知識的交匯命題點(diǎn)1數(shù)列與函數(shù)的交匯例3已知二次函數(shù)f(x)ax2bx的圖象過點(diǎn)(4n,0)，且f(0)2n，nn*，數(shù)列an滿足f，且a14.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)記bn，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和tn.解(1)f(x)2axb，由題意知b2n,16n2a4nb0，a，則f(x)x22nx，nn*.數(shù)列an滿足f，又f(x)x2n，2n，2n，由疊加法可得2462(n1)n2n，化簡可得an(n2)，當(dāng)n1時，a14也符合，an(nn*)(2)bn2，tnb1b2bn22.命題點(diǎn)2數(shù)列與不等式的交匯例4對任意正整數(shù)n，設(shè)an是方程x21的正根求證：(1)an1&g

9、t;an；(2)<1.證明由a1且an>0，得0<an<1.(1)a1，a1，兩式相減得0aa<aa(an1an)(an1an)因?yàn)閍n1an>0，故an1an>0，即an1>an.(2)因?yàn)閍n(an)1，所以an，由0<an<1，得<1，從而當(dāng)i2時，(1)<(11)<， (1)1 (1)<1 ()<.所以<1.思維升華數(shù)列與其他知識交匯問題的常見類型及解題策略(1)數(shù)列與函數(shù)的交匯問題已知函數(shù)條件，解決數(shù)列問題，此類問題一般利用函數(shù)的性質(zhì)、圖象研究數(shù)列問題；已知數(shù)列條件，解決函數(shù)問題，解決此類

10、問題一般要充分利用數(shù)列的范圍、公式、求和方法對式子化簡變形另外，解題時要注意數(shù)列與函數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系，靈活運(yùn)用函數(shù)的思想方法求解，在問題的求解過程中往往會遇到遞推數(shù)列，因此掌握遞推數(shù)列的常見解法有助于該類問題的解決(2)數(shù)列與不等式的交匯問題函數(shù)方法：即構(gòu)造函數(shù)，通過函數(shù)的單調(diào)性、極值等得出關(guān)于正實(shí)數(shù)的不等式，通過對關(guān)于正實(shí)數(shù)的不等式特殊賦值得出數(shù)列中的不等式；放縮方法：數(shù)列中不等式可以通過對中間過程或者最后的結(jié)果放縮得到；比較方法：作差或者作商比較(3)數(shù)列應(yīng)用題根據(jù)題意，確定數(shù)列模型；準(zhǔn)確求解模型；問題作答，不要忽視問題的實(shí)際意義已知f(x)ln xx1，x為正實(shí)數(shù)，g(x)mx1(m>

11、0)(1)判斷函數(shù)yf(x)的單調(diào)性，給出你的結(jié)論；(2)若數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，a11，在m2時，an1f(an)g(an)2 (nn*)，求證：an2n1.(1)解求導(dǎo)，得f(x)1，由f(x)0，得x1.當(dāng)x(0,1)時，f(x)>0；當(dāng)x(1，)時，f(x)<0，所以函數(shù)yf(x)在(0,1)上是增函數(shù)，在(1，)上是減函數(shù)(2)證明由題意，正項(xiàng)數(shù)列an滿足a11，an1ln anan2，由(1)知f(x)ln xx1f(1)0，即有不等式ln xx1(x>0)下面用數(shù)學(xué)歸納法證明an2n1 (*)成立當(dāng)n1時，a11211，(*)式成立假設(shè)當(dāng)nk時，ak2k1成立

12、，則當(dāng)nk1時，ak1ln akak2ak1ak22ak12(2k1)12k11.所以當(dāng)nk1時，(*)式也成立由可知，an2n1成立.第3課時階段重難點(diǎn)梳理1已知an是等差數(shù)列，bn是等比數(shù)列，且b23，b39，a1b1，a14b4.(1)求an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)cnanbn，求數(shù)列cn的前n項(xiàng)和解(1)設(shè)數(shù)列an的公差為d，bn的公比為q，由得bn的通項(xiàng)公式bnb1qn13n1，又a1b11，a14b434127，1(141)d27，解得d2.an的通項(xiàng)公式ana1(n1)d1(n1)×22n1(n1,2,3，)(2)設(shè)數(shù)列cn的前n項(xiàng)和為sanbn2n13n1，snc

13、1c2c3cn2×11302×21312×31322n13n12(12n)n2×nn2.即數(shù)列cn的前n項(xiàng)和為n2.2等差數(shù)列an中，a3a44，a5a76.(1)求an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bnan，求數(shù)列bn的前10項(xiàng)和，其中x表示不超過x的最大整數(shù)，如0.90，2.62.解(1)設(shè)數(shù)列an的首項(xiàng)為a1，公差為d，由題意有解得所以an的通項(xiàng)公式為an.(2)由(1)知，bn.當(dāng)n1,2,3時，1<2，bn1；當(dāng)n4,5時，2<3，bn2；當(dāng)n6,7,8時，3<4，bn3；當(dāng)n9,10時，4<5，bn4.所以數(shù)列bn的前10項(xiàng)和為

14、1×32×23×34×224.3已知數(shù)列an的各項(xiàng)都大于1，且a12，aan1a10(nn*)(1)求證：an<an1<n2；(2)求證：<1.證明(1)由aaan11>0，得an1>an，an1an<1，an1(an1an)(a2a1)a1<n2.an1an>>，an(anan1)(a2a1)a1>2(n2)，又a12，an.(2)aaan111，a>a，即a，2a3，4()<1.4已知正項(xiàng)數(shù)列an中，a11，點(diǎn)(，an1)(nn*)在函數(shù)yx21的圖象上，數(shù)列bn的前n項(xiàng)和sn2

15、bn.(1)求數(shù)列an和bn的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)cn，求cn的前n項(xiàng)和tn.解(1)點(diǎn)(，an1)(nn*)在函數(shù)yx21的圖象上，an1an1，數(shù)列an是公差為1的等差數(shù)列a11，an1(n1)×1n，sn2bn，sn12bn1，兩式相減，得bn1bn1bn，即，由s12b1，即b12b1，得b11.數(shù)列bn是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，bn()n1.(2)log2bn1log2()nn，cn，tnc1c2cn(1)()()()1.5已知fn(x)a1xa2x2a3x3anxn，且fn(1)(1)n·n，n1,2,3，.(1)求a1，a2，a3；(2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(3)當(dāng)k>7且kn*時，證明：對任意nn*都有>成立(1)解由f1(1)a11，得a11，由f2(1)a1a22，得a23，又f3(1)a1a2a33，所以a35.(2)解由題意得fn(1)a1a2a3(1)nan(1)n·n