2022屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（原卷版）第九章 9.7拋物線-學(xué)生版

1、 拋物線知識(shí)梳理1拋物線的概念平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)f和一條定直線l(l不經(jīng)過(guò)點(diǎn)f)的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線點(diǎn)f叫做拋物線的焦點(diǎn)，直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線2拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程y22px(p>0)y22px(p>0)x22py(p>0)x22py (p>0)p的幾何意義：焦點(diǎn)f到準(zhǔn)線l的距離圖形頂點(diǎn)o(0,0)對(duì)稱軸y0x0焦點(diǎn)ffff離心率e1準(zhǔn)線方程xxyy范圍x0，yrx0，yry0，xry0，xr開口方向向右向左向上向下【知識(shí)拓展】1拋物線y22px (p>0)上一點(diǎn)p(x0，y0)到焦點(diǎn)f的距離|pf|x0，也稱為拋物線的焦半徑2y2ax的焦

2、點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為x.3設(shè)ab是過(guò)拋物線y22px(p>0)焦點(diǎn)f的弦，若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則(1)x1x2，y1y2p2.(2)弦長(zhǎng)|ab|x1x2p(為弦ab的傾斜角)(3)以弦ab為直徑的圓與準(zhǔn)線相切(4)通徑：過(guò)焦點(diǎn)垂直于對(duì)稱軸的弦，長(zhǎng)等于2p，通徑是過(guò)焦點(diǎn)最短的弦例題解析題型一 基礎(chǔ)【例1】判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“×”)(1)平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)f和一條定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡一定是拋物線()(2)方程yax2(a0)表示的曲線是焦點(diǎn)在x軸上的拋物線，且其焦點(diǎn)坐標(biāo)是(，0)，準(zhǔn)線方程是x.()(3)拋物線既是中心對(duì)稱圖形，又是軸對(duì)

3、稱圖形()(4)ab為拋物線y22px(p>0)的過(guò)焦點(diǎn)f(，0)的弦，若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則x1x2，y1y2p2，弦長(zhǎng)|ab|x1x2p.()【例2】1拋物線y24x的焦點(diǎn)坐標(biāo)是()a(0,2) b(0,1)c(2,0) d(1,0)2過(guò)拋物線y24x的焦點(diǎn)的直線l交拋物線于p(x1，y1)，q(x2，y2)兩點(diǎn)，如果x1x26，則|pq|等于()a9 b8 c7 d63設(shè)拋物線y28x的準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)q，若過(guò)點(diǎn)q的直線l與拋物線有公共點(diǎn)，則直線l的斜率的取值范圍是()a. b2,2c1,1 d4,44已知拋物線y22px(p>0)的準(zhǔn)線與圓x2y26x70

4、相切，則p的值為_題型二拋物線的定義及應(yīng)用【例3】(1)已知f是拋物線y2x的焦點(diǎn)，a，b是該拋物線上的兩點(diǎn)，|af|bf|3，則線段ab的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為()a. b1 c. d.(2)設(shè)p是拋物線y24x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若b(3,2)，則|pb|pf|的最小值為_【同步練習(xí)】1若將本例(2)中的b點(diǎn)坐標(biāo)改為(3,4)，試求|pb|pf|的最小值2若將本例(2)中的條件改為：已知拋物線方程為y24x，直線l的方程為xy50，在拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)p到y(tǒng)軸的距離為d1，到直線l的距離為d2，求d1d2的最小值3、設(shè)p是拋物線y24x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)p到點(diǎn)a(1,1)的距離與點(diǎn)p到直線x1的距離之

5、和的最小值為_題型三拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)命題點(diǎn)1求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程【例4】已知雙曲線c1：1(a>0，b>0)的離心率為2.若拋物線c2：x22py(p>0)的焦點(diǎn)到雙曲線c1的漸近線的距離為2，則拋物線c2的方程為()ax2y bx2ycx28y dx216y命題點(diǎn)2拋物線的幾何性質(zhì)【例5】已知拋物線y22px(p>0)的焦點(diǎn)為f，a(x1，y1)，b(x2，y2)是過(guò)f的直線與拋物線的兩個(gè)交點(diǎn)，求證：(1)y1y2p2，x1x2；(2)為定值；(3)以ab為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切思維升華(1)求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的常用方法是待定系數(shù)法，其關(guān)鍵是判斷焦點(diǎn)位置、開

6、口方向，在方程的類型已經(jīng)確定的前提下，由于標(biāo)準(zhǔn)方程只有一個(gè)參數(shù)p，只需一個(gè)條件就可以確定拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程(2)在解決與拋物線的性質(zhì)有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，要注意利用幾何圖形的形象、直觀的特點(diǎn)來(lái)解題，特別是涉及焦點(diǎn)、頂點(diǎn)、準(zhǔn)線的問(wèn)題更是如此【同步練習(xí)】(1)以拋物線c的頂點(diǎn)為圓心的圓交c于a，b兩點(diǎn)，交c的準(zhǔn)線于d，e兩點(diǎn)已知|ab|4，|de|2，則c的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為()a2 b4 c6 d8(2)拋物線y22px(p>0)的焦點(diǎn)為f，已知點(diǎn)a、b為拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足afb120°.過(guò)弦ab的中點(diǎn)m作拋物線準(zhǔn)線的垂線mn，垂足為n，則的最大值為()a. b1 c. d2題型四

7、直線與拋物線的綜合問(wèn)題命題點(diǎn)1直線與拋物線的交點(diǎn)問(wèn)題【例6】已知拋物線c：y28x與點(diǎn)m(2,2)，過(guò)c的焦點(diǎn)且斜率為k的直線與c交于a、b兩點(diǎn)若·0，則k_.命題點(diǎn)2與拋物線弦的中點(diǎn)有關(guān)的問(wèn)題【例7】已知拋物線c：y22x的焦點(diǎn)為f，平行于x軸的兩條直線l1，l2分別交c于a，b兩點(diǎn)，交c的準(zhǔn)線于p，q兩點(diǎn)(1)若f在線段ab上，r是pq的中點(diǎn)，證明：arfq；(2)若pqf的面積是abf的面積的兩倍，求ab中點(diǎn)的軌跡方程思維升華(1)直線與拋物線的位置關(guān)系和直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系類似，一般要用到根與系數(shù)的關(guān)系(2)有關(guān)直線與拋物線的弦長(zhǎng)問(wèn)題，要注意直線是否過(guò)拋物線的焦點(diǎn)若過(guò)

8、拋物線的焦點(diǎn)，可直接使用公式|ab|x1x2p，若不過(guò)焦點(diǎn)，則必須用一般弦長(zhǎng)公式(3)涉及拋物線的弦長(zhǎng)、中點(diǎn)、距離等相關(guān)問(wèn)題時(shí)，一般利用根與系數(shù)的關(guān)系采用“設(shè)而不求”、“整體代入”等解法提醒：涉及弦的中點(diǎn)、斜率時(shí)一般用“點(diǎn)差法”求解【同步練習(xí)】1、已知拋物線y24x的焦點(diǎn)為f，直線l過(guò)點(diǎn)m(4,0)(1)若點(diǎn)f到直線l的距離為，求直線l的斜率；(2)設(shè)a，b為拋物線上兩點(diǎn)，且ab不垂直于x軸，若線段ab的垂直平分線恰過(guò)點(diǎn)m，求2、已知拋物線c：ymx2(m>0)，焦點(diǎn)為f，直線2xy20交拋物線c于a，b兩點(diǎn)，p是線段ab的中點(diǎn)，過(guò)p作x軸的垂線交拋物線c于點(diǎn)q.(1)求拋物線c的焦點(diǎn)坐

9、標(biāo)；(2)若拋物線c上有一點(diǎn)r(xr ,2)到焦點(diǎn)f的距離為3，求此時(shí)m的值；(3)是否存在實(shí)數(shù)m，使abq是以q為直角頂點(diǎn)的直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解決直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的一般步驟第一步：聯(lián)立方程，得關(guān)于x或y的一元二次方程；第二步：寫出根與系數(shù)的關(guān)系，并求出>0時(shí)參數(shù)范圍(或指出直線過(guò)曲線內(nèi)一點(diǎn))；第三步：根據(jù)題目要求列出關(guān)于x1x2，x1x2(或y1y2，y1y2)的關(guān)系式，求得結(jié)果；第四步：反思回顧，查看有無(wú)忽略特殊情況.課后練習(xí)1若拋物線yax2的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(0,1)，則a等于()a1 b. c2 d.2已知拋物線c的頂點(diǎn)是原點(diǎn)o，焦點(diǎn)f在x軸

10、的正半軸上，經(jīng)過(guò)f的直線與拋物線c交于a、b兩點(diǎn)，如果·12，那么拋物線c的方程為()ax28y bx24ycy28x dy24x3已知拋物線y22px(p>0)，過(guò)其焦點(diǎn)且斜率為1的直線交拋物線于a、b兩點(diǎn)，若線段ab的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，則該拋物線的準(zhǔn)線方程為()ax1 bx1 cx2 dx24已知直線l1：4x3y60和直線l2：x1，拋物線y24x上一動(dòng)點(diǎn)p到直線l1和l2的距離之和的最小值為()a. b. c3 d25過(guò)拋物線y28x的焦點(diǎn)f的直線交拋物線于a，b兩點(diǎn)，交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)c，若|af|6，則的值為()a. b. c. d36.已知直線yk(x2)(k&g

11、t;0)與拋物線c：y28x相交于a，b兩點(diǎn)，f為c的焦點(diǎn)，若|fa|2|fb|，則k的值為()a. b. c. d.7設(shè)f為拋物線c：y23x的焦點(diǎn)，過(guò)f且傾斜角為30°的直線交c于a，b兩點(diǎn)，則|ab|_.8已知拋物線c：y22px(p>0)的準(zhǔn)線為l，過(guò)m(1,0)且斜率為的直線與l相交于點(diǎn)a，與c的一個(gè)交點(diǎn)為b，若，則p_.9已知橢圓e的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，離心率為，e的右焦點(diǎn)與拋物線c：y28x的焦點(diǎn)重合，a，b是c的準(zhǔn)線與e的兩個(gè)交點(diǎn)，則|ab|_.10.設(shè)直線l與拋物線y24x相交于a，b兩點(diǎn)，與圓(x5)2y2r2(r>0)相切于點(diǎn)m，且m為線段ab的中點(diǎn)若這樣的直線l恰有4條，則r的取值范圍是_11已知過(guò)拋物線y22px(p>0)的焦點(diǎn)，斜率為2的直線交拋物線于a(x1，y1)，b(x2，y2)(x1<x2)兩點(diǎn)，且|ab|9.(1)求該拋物線的方程；(2)o為坐標(biāo)原點(diǎn)，c為拋物線上一點(diǎn)，若，求的值12拋物線e：x22py(p>0)的焦點(diǎn)為f，以a(x1，y1)(x10)為直角頂點(diǎn)的等腰直角abc的三個(gè)頂點(diǎn)a，b，c均在拋物線e上(1)過(guò)q(0，3)作拋物線e的切線l，切點(diǎn)為r，點(diǎn)f到切線l的距離為2，求拋物線e的方程；(2)求abc面積的最小值13.如圖，由部分拋物線：y2mx