2022屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（原卷版）第5節(jié) 冪函數(shù)與二次函數(shù) 教案

1、第五節(jié)冪函數(shù)與二次函數(shù)最新考綱1.(1)了解冪函數(shù)的概念；(2)結(jié)合函數(shù)yx，yx2，yx3，yx，y的圖象，了解它們的變化情況.2.理解二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，能用二次函數(shù)、方程、不等式之間的關(guān)系解決簡單問題1冪函數(shù)(1)冪函數(shù)的定義一般地，形如yx(r)的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中x是自變量，是常數(shù)(2)常見的五種冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)比較函數(shù)yxyx2yx3yxyx1圖象性質(zhì)定義域rrrx|x0x|x0值域ry|y0ry|y0y|y0奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)非奇非偶函數(shù)奇函數(shù)單調(diào)性在r上單調(diào)遞增在(，0上單調(diào)遞減；在(0，)上單調(diào)遞增在r上單調(diào)遞增在0，)上單調(diào)遞增在(，0)和(0，)上單調(diào)遞減公共

2、點(1,1)2.二次函數(shù)解析式的三種形式(1)一般式：f(x)ax2bxc(a0)；(2)頂點式：f(x)a(xm)2n(a0)；(3)零點式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0)3二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)解析式f(x)ax2bxc(a0)f(x)ax2bxc(a0)圖象定義域rr值域單調(diào)性在x上單調(diào)遞減；在x上單調(diào)遞增在x上單調(diào)遞增；在x上單調(diào)遞減對稱性函數(shù)的圖象關(guān)于直線x對稱1冪函數(shù)yx在第一象限的兩個重要結(jié)論(1)恒過點(1,1)；(2)當(dāng)x(0,1)時，越大，函數(shù)值越??；當(dāng)x(1，)時，越大，函數(shù)值越大2一元二次不等式恒成立的條件(1)ax2bxc0(a0)恒成立的充要條件是“a0且0”

3、；(2)ax2bxc0(a0)恒成立的充要條件是“a0且0”一、思考辨析(正確的打“”，錯誤的打“×”)(1)函數(shù)y2x是冪函數(shù)()(2)如果冪函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸相交，則交點一定是原點()(3)當(dāng)0時，冪函數(shù)yx是定義域上的減函數(shù)()(4)二次函數(shù)yax2bxc，xa，b的最值一定是.()(5)二次函數(shù)yax2bxc，xr不可能是偶函數(shù)()(6)在yax2bxc(a0)中，a決定了圖象的開口方向和在同一直角坐標(biāo)系中的開口大小()答案(1)×(2)(3)×(4)×(5)×(6)二、教材改編1已知冪函數(shù)f(x)k·x的圖象過點，則k()a

4、.b1c. d2c因為函數(shù)f(x)k·x是冪函數(shù)，所以k1，又函數(shù)f(x)的圖象過點，所以，解得，則k.2.如圖是yxa；yxb；yxc在第一象限的圖象，則a，b，c的大小關(guān)系為()acba babccbca dacbd根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)，可知選d.3已知函數(shù)f(x)x24ax在區(qū)間(，6)內(nèi)單調(diào)遞減，則a的取值范圍是()aa3 ba3ca3 da3d函數(shù)f(x)x24ax的圖象是開口向上的拋物線，其對稱軸是x2a，由函數(shù)在區(qū)間(，6)內(nèi)單調(diào)遞減可知，區(qū)間(，6)應(yīng)在直線x2a的左側(cè)，所以2a6，解得a3，故選d.4函數(shù)g(x)x22x(x0,3)的值域是_1,3g(x)x22x(x1

5、)21，x0,3，當(dāng)x1時，g(x)ming(1)1，又g(0)0，g(3)963，g(x)max3，即g(x)的值域為1,3考點1冪函數(shù)的圖象及性質(zhì)冪函數(shù)的性質(zhì)與圖象特征的關(guān)系(1)冪函數(shù)的形式是yx(r)，其中只有一個參數(shù)，因此只需一個條件即可確定其解析式(2)判斷冪函數(shù)yx(r)的奇偶性時，當(dāng)是分?jǐn)?shù)時，一般將其先化為根式，再判斷(3)若冪函數(shù)yx在(0，)上單調(diào)遞增，則0，若在(0，)上單調(diào)遞減，則0.1.冪函數(shù)yf(x)的圖象經(jīng)過點(3，)，則f(x)是()a偶函數(shù)，且在(0，)上是增函數(shù)b偶函數(shù)，且在(0，)上是減函數(shù)c奇函數(shù)，且在(0，)上是減函數(shù)d非奇非偶函數(shù)，且在(0，)上是增

6、函數(shù)d設(shè)冪函數(shù)f(x)x，則f(3)3，解得，則f(x)x，是非奇非偶函數(shù)，且在(0，)上是增函數(shù)2當(dāng)x(0，)時，冪函數(shù)y(m2m1)x5m3為減函數(shù)，則實數(shù)m的值為()a2b1c1或2 dmb因為函數(shù)y(m2m1)x5m3既是冪函數(shù)又是(0，)上的減函數(shù)，所以解得m1.3若a，b，c，則a，b，c的大小關(guān)系是()aabc bcabcbca dbacd因為yx在第一象限內(nèi)是增函數(shù)，所以ab，因為yx是減函數(shù)，所以ac，所以bac.4若(a1)(32a)，則實數(shù)a的取值范圍是_易知函數(shù)yx的定義域為0，)，在定義域內(nèi)為增函數(shù)，所以解得1a.在比較冪值的大小時， 必須結(jié)合冪值的特點，選擇適當(dāng)?shù)暮?/p>

7、數(shù)，借助其單調(diào)性進(jìn)行比較，如t3.考點2求二次函數(shù)的解析式求二次函數(shù)解析式的策略一題多解已知二次函數(shù)f(x)滿足f(2)1，f(1)1，且f(x)的最大值是8，試確定此二次函數(shù)的解析式解法一：(利用二次函數(shù)的一般式)設(shè)f(x)ax2bxc(a0)由題意得解得故所求二次函數(shù)為f(x)4x24x7.法二：(利用二次函數(shù)的頂點式)設(shè)f(x)a(xm)2n.f(2)f(1)，拋物線對稱軸為x.m，又根據(jù)題意函數(shù)有最大值8，n8，yf(x)a28.f(2)1，a281，解得a4，f(x)4284x24x7.法三：(利用零點式)由已知f(x)10的兩根為x12，x21，故可設(shè)f(x)1a(x2)(x1)，

8、即f(x)ax2ax2a1.又函數(shù)有最大值ymax8，即8.解得a4或a0(舍去)，故所求函數(shù)解析式為f(x)4x24x7.求二次函數(shù)的解析式常利用待定系數(shù)法，但由于條件不同，則所選用的解析式不同，其方法也不同1.已知二次函數(shù)f(x)的圖象的頂點坐標(biāo)是(2，1)，且圖象經(jīng)過點(1,0)，則函數(shù)的解析式為f(x)_.x2x法一：(一般式)設(shè)所求解析式為f(x)ax2bxc(a0)由已知得解得所以所求解析式為f(x)x2x.法二：(頂點式)設(shè)所求解析式為f(x)a(xh)2k.由已知得f(x)a(x2)21，將點(1,0)代入，得a，所以f(x)(x2)21，即f(x)x2x.2已知二次函數(shù)f(x

9、)的圖象經(jīng)過點(4,3)，它在x軸上截得的線段長為2，并且對任意xr，都有f(2x)f(2x)，則函數(shù)的解析式f(x)_.x24x3f(2x)f(2x)對xr恒成立，f(x)的對稱軸為x2.又f(x)的圖象被x軸截得的線段長為2，f(x)0的兩根為1和3.設(shè)f(x)的解析式為f(x)a(x1)(x3)(a0)又f(x)的圖象經(jīng)過點(4,3)，3a3，a1.所求f(x)的解析式為f(x)(x1)(x3)，即f(x)x24x3.考點3二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)解決二次函數(shù)圖象與性質(zhì)問題時應(yīng)注意2點(1)拋物線的開口，對稱軸位置，定義區(qū)間三者相互制約，要注意分類討論(2)要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，尤其是給

10、定區(qū)間上的二次函數(shù)最值問題，先“定性”(作草圖)，再“定量”(看圖求解)二次函數(shù)的圖象已知abc0，則二次函數(shù)f(x)ax2bxc的圖象可能是()a bc dda項，因為a0，0，所以b0.又因為abc0，所以c0，而f(0)c0，故a錯b項，因為a0，0，所以b0.又因為abc0，所以c0，而f(0)c0，故b錯c項，因為a0，0，所以b0.又因為abc0，所以c0，而f(0)c0，故c錯d項，因為a0，0，所以b0，因為abc0，所以c0，而f(0)c0，故選d.識別二次函數(shù)圖象應(yīng)學(xué)會“三看”二次函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)f(x)ax2(a3)x1在區(qū)間1，)上是遞減的，則實數(shù)a的取值范圍是()a3

11、,0) b(，3c2,0 d3,0d當(dāng)a0時，f(x)3x1在1，)上遞減，滿足題意當(dāng)a0時，f(x)的對稱軸為x，由f(x)在1，)上遞減知解得3a0.綜上，a的取值范圍為3,0母題探究若函數(shù)f(x)ax2(a3)x1的單調(diào)減區(qū)間是1，)，則a_.3由題意知f(x)必為二次函數(shù)且a0，又1，a3.二次函數(shù)單調(diào)性問題的求解策略(1)對于二次函數(shù)的單調(diào)性，關(guān)鍵是開口方向與對稱軸的位置，若開口方向或?qū)ΨQ軸的位置不確定，則需要分類討論求解(2)利用二次函數(shù)的單調(diào)性比較大小，一定要將待比較的兩數(shù)通過二次函數(shù)的對稱性轉(zhuǎn)化到同一單調(diào)區(qū)間上比較二次函數(shù)的最值問題設(shè)函數(shù)f(x)x22x2，xt，t1，tr，求

12、函數(shù)f(x)的最小值解f(x)x22x2(x1)21，xt，t1，tr，函數(shù)圖象的對稱軸為x1.當(dāng)t11，即t0時，函數(shù)圖象如圖(1)所示，函數(shù)f(x)在區(qū)間t，t1上為減函數(shù)，所以最小值為f(t1)t21；當(dāng)t1t1，即0t1時，函數(shù)圖象如圖(2)所示，在對稱軸x1處取得最小值，最小值為f(1)1；當(dāng)t1時，函數(shù)圖象如圖(3)所示，函數(shù)f(x)在區(qū)間t，t1上為增函數(shù)，所以最小值f(t)t22t2.綜上可知，f(x)min圖(1) 圖(2) 圖(3)逆向問題已知函數(shù)f(x)x22ax1a在x0,1時，有最大值2，則a的值為_1或2函數(shù)f(x)x22ax1a(xa)2a2a1，對稱軸方程為xa

13、.當(dāng)a0時，f(x)maxf(0)1a，所以1a2，所以a1.當(dāng)0a1時，f(x)maxa2a1，所以a2a12，所以a2a10，所以a(舍去)當(dāng)a1時，f(x)maxf(1)a，所以a2.綜上可知，a1或a2.二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值主要有三種類型：軸定區(qū)間定、軸動區(qū)間定、軸定區(qū)間動不論哪種類型，解題的關(guān)鍵都是對稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系，當(dāng)含有參數(shù)時，要依據(jù)對稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系進(jìn)行分類討論二次函數(shù)中的恒成立問題(1)已知函數(shù)f(x)x2mx1，若對于任意xm，m1，都有f(x)0成立，則實數(shù)m的取值范圍是_；(2)已知函數(shù)f(x)x22x1，f(x)xk在區(qū)間3，1上恒成立，則k的取值范圍為_

14、(1)(2)(，1)(1)作出二次函數(shù)f(x)的草圖如圖所示，對于任意xm，m1，都有f(x)0，則有即解得m0.(2)由題意得x2x1k在區(qū)間3，1上恒成立設(shè)g(x)x2x1，x3，1，則g(x)在3，1上遞減g(x)ming(1)1.k1.故k的取值范圍為(，1)由不等式恒成立求參數(shù)取值范圍的思路及關(guān)鍵(1)一般有兩個解題思路：一是分離參數(shù)；二是不分離參數(shù)(2)兩種思路都是將問題歸結(jié)為求函數(shù)的最值，至于用哪種方法，關(guān)鍵是看參數(shù)是否已分離這兩個思路的依據(jù)是：af(x)恒成立af(x)max，af(x)恒成立af(x)min.教師備選例題已知函數(shù)f(x)ax2bxc(a0，br，cr)(1)若

15、函數(shù)f(x)的最小值是f(1)0，且c1，f(x)求f(2)f(2)的值；(2)若a1，c0，且|f(x)|1在區(qū)間(0,1上恒成立，試求b的取值范圍解(1)由已知c1，abc0，且1，解得a1，b2，所以f(x)(x1)2.所以f(x)所以f(2)f(2)(21)2(21)28.(2)由題意知f(x)x2bx，原命題等價于1x2bx1在(0,1上恒成立，即bx且bx在(0,1上恒成立又當(dāng)x(0,1時，x的最小值為0，x的最大值為2.所以2b0.故b的取值范圍是2,01.若一次函數(shù)yaxb的圖象經(jīng)過第二、三、四象限，則二次函數(shù)yax2bx的圖象只可能是()a bc dc因為一次函數(shù)yaxb的圖象經(jīng)過第二、三、四象限，所以a0，b0，所以二次函數(shù)的圖象開口向下，對稱軸方程x0，只有選項c適合2若函數(shù)yx23x4的定義域為0，m，值域為，4