高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)總教案：8.4 直線(xiàn)與圓、圓與圓的位置關(guān)系

1、8.4直線(xiàn)與圓、圓與圓的位置關(guān)系典例精析題型一直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系的判斷【例1】已知圓的方程x2y22，直線(xiàn)yxb，當(dāng)b為何值時(shí)，(1)直線(xiàn)與圓有兩個(gè)公共點(diǎn)；(2)直線(xiàn)與圓只有一個(gè)公共點(diǎn).來(lái)源:數(shù)理化網(wǎng)【解析】方法一：(幾何法)設(shè)圓心o(0,0)到直線(xiàn)yxb的距離為d，d，半徑r.當(dāng)dr時(shí)，直線(xiàn)與圓相交，2b2，所以當(dāng)2b2時(shí)，直線(xiàn)與圓有兩個(gè)公共點(diǎn).當(dāng)dr時(shí)，直線(xiàn)與圓相切， ，b±2，所以當(dāng)b±2時(shí)，直線(xiàn)與圓只有一個(gè)公共點(diǎn).方法二：(代數(shù)法)聯(lián)立兩個(gè)方程得方程組消去y得2x22bxb220，164b2.當(dāng)0，即2b2時(shí)，有兩個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)0，即b±2時(shí)，有一個(gè)公共點(diǎn).

2、【點(diǎn)撥】解決直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系的問(wèn)題時(shí)，要注意運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，既要運(yùn)用平面幾何中有關(guān)圓的性質(zhì)，又要結(jié)合待定系數(shù)法運(yùn)用直線(xiàn)方程中的基本關(guān)系，養(yǎng)成勤畫(huà)圖的良好習(xí)慣.【變式訓(xùn)練1】圓2x22y21與直線(xiàn)xsin y10(r，k，kz)的位置關(guān)系是()a.相離b.相切c.相交 d.不能確定【解析】選a.易知圓的半徑r，設(shè)圓心到直線(xiàn)的距離為d，則d.因?yàn)閗，kz.所以0sin21，所以d1，即dr，所以直線(xiàn)與圓相離.題型二圓與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用【例2】如果圓c：(xa)2(ya)24上總存在兩個(gè)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為1，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【解析】到原點(diǎn)的距離等于1的點(diǎn)在單位圓o：x2y21上.當(dāng)圓c與圓o

3、有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，符合題意，故應(yīng)滿(mǎn)足21|oc|21，來(lái)源:所以13，即|a|，所以a或a為所求a的范圍.來(lái)源:【變式訓(xùn)練2】?jī)蓤A(x1)2(y1)2r2和(x2)2(y2)2r2相交于p，q兩點(diǎn)，若點(diǎn)p的坐標(biāo)為(1,2)，則點(diǎn)q的坐標(biāo)為.【解析】由兩圓的方程可知它們的圓心坐標(biāo)分別為(1,1)，(2，2)，則過(guò)它們圓心的直線(xiàn)方程為，即yx.根據(jù)圓的幾何性質(zhì)可知兩圓的交點(diǎn)應(yīng)關(guān)于過(guò)它們圓心的直線(xiàn)對(duì)稱(chēng).故由p(1,2)可得它關(guān)于直線(xiàn)yx的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，即點(diǎn)q的坐標(biāo)為(2，1).題型三圓的弦長(zhǎng)、中點(diǎn)弦的問(wèn)題來(lái)源:數(shù)理化網(wǎng)【例3】已知點(diǎn)p(0,5)及圓c：x2y24x12y240.(1)若直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)p且被圓c截

4、得的線(xiàn)段長(zhǎng)為4，求l的方程；(2)求圓c內(nèi)過(guò)點(diǎn)p的弦的中點(diǎn)的軌跡方程.【解析】(1)如圖，ab4，d是ab的中點(diǎn)，則ad2，ac4，在rtadc中，可得cd2.設(shè)所求直線(xiàn)的斜率為k，則直線(xiàn)的方程為 y5kx，即kxy50.由點(diǎn)c到直線(xiàn)的距離公式2，來(lái)源:數(shù)理化網(wǎng)來(lái)源:得k，此時(shí)直線(xiàn)l的方程為3x4y200.又直線(xiàn)l的斜率不存在時(shí)，也滿(mǎn)足題意，此時(shí)的方程為x0.所以所求直線(xiàn)為x0或3x4y200. (也可以用弦長(zhǎng)公式求解)(2)設(shè)圓c上過(guò)點(diǎn)p的弦的中點(diǎn)為d(x，y)，因?yàn)閏dpd，所以0，即(x2，y6)·(x，y5)0，化簡(jiǎn)得軌跡方程x2y22x11y300.【點(diǎn)撥】在研究與弦的中點(diǎn)

5、有關(guān)問(wèn)題時(shí)，注意運(yùn)用“平方差法”，即設(shè)弦ab兩端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為a(x1，y1)，b(x2，y2)，中點(diǎn)為(x0，y0)，由得k.該法常用來(lái)解決與弦的中點(diǎn)、直線(xiàn)的斜率有關(guān)的問(wèn)題.【變式訓(xùn)練3】已知圓的方程為x2y26x8y0，設(shè)該圓過(guò)點(diǎn)(3,5)的最長(zhǎng)弦和最短弦分別為ac和bd，則四邊形abcd的面積為()a.10b.20 c.30d.40【解析】選b.圓的方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程(x3)2(y4)225，過(guò)點(diǎn)(3,5)的最長(zhǎng)弦為ac10，最短弦為bd24，sac·bd20.總結(jié)提高1.解決直線(xiàn)與圓、圓與圓的位置關(guān)系有代數(shù)法和幾何法兩種，用幾何法解題時(shí)要注意抓住圓的幾何特征，因此常常要比代數(shù)法簡(jiǎn)捷.例如，求圓的弦長(zhǎng)公式比較復(fù)雜，利用l2(r表示圓的半徑，d表示弦心距)求弦長(zhǎng)比代數(shù)法要簡(jiǎn)便.2.處理直線(xiàn)與圓，圓與圓的位置關(guān)系，要全面地考查各種位置關(guān)系，防止漏解，如設(shè)切線(xiàn)為點(diǎn)斜式，要考