42直線(xiàn)、射線(xiàn)、線(xiàn)段（基礎(chǔ)）知識(shí)講解

1、直線(xiàn)、射線(xiàn)、線(xiàn)段（基礎(chǔ)）知識(shí)講解撰稿：孫景艷 審稿：趙煒【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1. 理解總線(xiàn)、射線(xiàn)、線(xiàn)段的概念，掌握它們的區(qū)別和聯(lián)系；2. 利用直線(xiàn)、線(xiàn)段的性質(zhì)解決相關(guān)實(shí)際問(wèn)題；3. 利用線(xiàn)段的和差倍分解決相關(guān)計(jì)算問(wèn)題.【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、直線(xiàn)1. 概念：直線(xiàn)是最簡(jiǎn)單、最基本的幾何圖形z,是一個(gè)不作定義的原始概念，直線(xiàn)常用 “一根拉得緊的細(xì)線(xiàn)”、“一張紙的折痕”等實(shí)際事物進(jìn)行形象描述.2. 表示方法：（1）可以用直線(xiàn)上的表示兩個(gè)點(diǎn)的大寫(xiě)英文字母表示，如圖1所示，可表示 為直線(xiàn)ab （或直線(xiàn)ba）.（2）也可以用一個(gè)小寫(xiě)英文字母表示，如圖2所示，可以表示為直線(xiàn)/.3基本性質(zhì)：經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)有一條肓線(xiàn)，并且只有一

2、條玄線(xiàn).簡(jiǎn)單說(shuō)成：兩點(diǎn)確定一條肓線(xiàn). 要點(diǎn)詮釋?zhuān)?肓線(xiàn)的特征：（1）肓線(xiàn)沒(méi)有長(zhǎng)短，向兩方無(wú)限延伸.（2）直線(xiàn)沒(méi)有粗細(xì).（3）兩點(diǎn)確定一條直線(xiàn).（4）兩條直線(xiàn)相交有唯一一個(gè)交點(diǎn).4. 點(diǎn)與直線(xiàn)的位置關(guān)系:（1）點(diǎn)在直線(xiàn)上，如圖3所示，點(diǎn)a在直線(xiàn)m上，也可以說(shuō)：直線(xiàn)m經(jīng)過(guò)點(diǎn)a.（2）點(diǎn)在直線(xiàn)外，如圖4,點(diǎn)b在直線(xiàn)n外，也可以說(shuō)：直線(xiàn)n不經(jīng)過(guò)點(diǎn)b.要點(diǎn)二、線(xiàn)段1. 概念：直線(xiàn)上兩點(diǎn)和它們之間的部分叫做線(xiàn)段.2. 表示方法：（1）線(xiàn)段可用表示它兩個(gè)端點(diǎn)的兩個(gè)人寫(xiě)英文字母來(lái)表示，如圖所示，記作：線(xiàn)段ab或線(xiàn)段ba.（2）線(xiàn)段也可用一個(gè)小寫(xiě)英文字母來(lái)表示，如圖5所示，記作：線(xiàn)段a.aab圖53“作一條線(xiàn)段

3、等于已知線(xiàn)段”的兩種方法：法一：用圓規(guī)作一條線(xiàn)段等于已知線(xiàn)段.例如：下圖所示，用圓規(guī)在射線(xiàn)ac±截取ab =a.a法二：用刻度尺作一條線(xiàn)段等于已知線(xiàn)段.例如：可以先量岀線(xiàn)/ 段a的長(zhǎng)度，再畫(huà)一條等于這個(gè)長(zhǎng)度的線(xiàn)段.atbc 4.基本性質(zhì)：兩點(diǎn)的所有連線(xiàn)中，線(xiàn)段最如.簡(jiǎn)記為：兩點(diǎn)之間,線(xiàn)段最短.如圖6所示，在a, b兩點(diǎn)所連的線(xiàn)中，線(xiàn)段ab的氏度是最煎的.要點(diǎn)詮釋?zhuān)?1) 線(xiàn)段是直的，它冇兩個(gè)端點(diǎn)，它的長(zhǎng)度是冇限的，可以度量，町以比較長(zhǎng)短(2) 連接兩點(diǎn)間的線(xiàn)段的長(zhǎng)度，叫做這兩點(diǎn)的距離.(3) 線(xiàn)段的比較： 度雖法：用刻度尺量出兩條線(xiàn)段的氏度，再比較氏短. 疊合法：利用直尺和圓規(guī)把線(xiàn)段

4、放在同一條直線(xiàn)上，使其中一個(gè)端點(diǎn)重合，另一個(gè) 端點(diǎn)位于重合端點(diǎn)同側(cè)，根據(jù)另一端點(diǎn)與重合端點(diǎn)的遠(yuǎn)近來(lái)比較長(zhǎng)短.5線(xiàn)段的中點(diǎn)：把一條線(xiàn)段分成兩條相等線(xiàn)段的點(diǎn)，叫做線(xiàn)段的屮點(diǎn).如圖7所示，點(diǎn)c 是線(xiàn)段ab的中點(diǎn)，則ac = cb =丄ab,或ab = 2ac=2bc.2 acb圖7要點(diǎn)詮釋?zhuān)喝酎c(diǎn)c是線(xiàn)段ab的中點(diǎn)，則點(diǎn)c 一定在線(xiàn)段ab ±.要點(diǎn)三、射線(xiàn)1概念：直線(xiàn)上一點(diǎn)和它一側(cè)的部分叫射線(xiàn)，這個(gè)點(diǎn)叫射線(xiàn)的端點(diǎn).如圖8所示，直線(xiàn)1上點(diǎn)0和它一旁的部分是一條射線(xiàn)，點(diǎn)o是端點(diǎn).2.特征：是直的，有一個(gè)端點(diǎn)，不可以度量，不可以比較長(zhǎng)短，無(wú)限長(zhǎng).3表示方法：(1)可以用兩個(gè)人寫(xiě)英文字母表示，其中一

5、個(gè)是射線(xiàn)的端點(diǎn)，另一個(gè)是射線(xiàn)上 除端點(diǎn)外的任意一點(diǎn)，端點(diǎn)寫(xiě)在前面，如圖8所示，可記為射線(xiàn)oa.(2)也可以用一個(gè)小寫(xiě)英文字母表示，如圖8所示，射線(xiàn)0a可記為射線(xiàn)要點(diǎn)詮釋?zhuān)?1)端點(diǎn)相同，而延伸方向不同，表示不同的射線(xiàn)如圖9中射線(xiàn)0a,射線(xiàn)0b是不同的 射線(xiàn).boa圖9(2)端點(diǎn)和同且延伸方向也相同的射線(xiàn)，表示同一條射線(xiàn).如圖10中射線(xiàn)0a、射線(xiàn)ob、 射線(xiàn)oc都表示同一條射線(xiàn).o a b c要點(diǎn)四、直線(xiàn)圖卿線(xiàn)、線(xiàn)段的區(qū)別與聯(lián)系1直線(xiàn)、射線(xiàn)、線(xiàn)段之間的聯(lián)系（1）射線(xiàn)和線(xiàn)段都是豈線(xiàn)上的一部分，即整體與部分的關(guān)系.在總線(xiàn)上任収一點(diǎn)，則可將 直線(xiàn)分成兩條射線(xiàn)；在直線(xiàn)上取兩點(diǎn)，則可將直線(xiàn)分為一條線(xiàn)段和四

6、條射線(xiàn).（2）將射線(xiàn)反向延伸就可得到肓線(xiàn)；將線(xiàn)段一方延伸就得到射線(xiàn)；將線(xiàn)段向兩方延伸就得 到直線(xiàn).2.三者的區(qū)別如下表稱(chēng)類(lèi)別、直線(xiàn)射線(xiàn)線(xiàn)段圖形ab 1ab 1ab!表示方法 兩個(gè)大寫(xiě)字母； 一個(gè)小寫(xiě)字母 兩個(gè)大寫(xiě)字母（襄示 軸點(diǎn)的字母在前）； 一個(gè)小每宇母表示兩端點(diǎn)的兩 個(gè)大寫(xiě)字母;一個(gè) 小寫(xiě)字母端點(diǎn)個(gè)數(shù)無(wú)1個(gè)2個(gè)延伸性向兩方無(wú)限延伸向一方無(wú)限延伸不可延伸性質(zhì)兩點(diǎn)確定一條直線(xiàn)兩點(diǎn)之間，線(xiàn)段聶短不可以不可以可以作圖敘述過(guò)作直hab以a為端點(diǎn)作射線(xiàn)連接初要點(diǎn)詮釋?zhuān)海?）聯(lián)系與區(qū)別可表示如2（2）在表示直線(xiàn)、射線(xiàn)與線(xiàn)段時(shí)，勿忘在字母的前面寫(xiě)上“直.線(xiàn)”“射線(xiàn)”“線(xiàn)段”字樣.【典型例題】類(lèi)型一、相關(guān)概

7、念p 1.下列說(shuō)法中，正確的是（）a. 射線(xiàn)0a與射線(xiàn)a0是同一條射線(xiàn)b. 線(xiàn)段ab與線(xiàn)段ba是同一條線(xiàn)段c. 過(guò)一點(diǎn)只能畫(huà)一條直線(xiàn)d. 三條總線(xiàn)兩兩相交，必有三個(gè)交點(diǎn)【答案】b【解析】射線(xiàn)0a的端點(diǎn)是0,射線(xiàn)a0的端點(diǎn)是a,所以射線(xiàn)0a與射線(xiàn)a0不是同一條射線(xiàn), 故a錯(cuò)誤；過(guò)一點(diǎn)能畫(huà)無(wú)數(shù)條直線(xiàn)，所以c錯(cuò)誤；三條直線(xiàn)兩兩相交，冇三個(gè)交點(diǎn)或一個(gè)交 點(diǎn)（三條直線(xiàn)相交于一點(diǎn)時(shí)），所以d錯(cuò)誤；線(xiàn)段ab與線(xiàn)段ba是同一條線(xiàn)段，所以13正確.【總結(jié)升華】直線(xiàn)和線(xiàn)段用兩個(gè)大寫(xiě)字付表示時(shí),與字母的前后順序無(wú)關(guān)，但射線(xiàn)必須是表示端點(diǎn)的字母寫(xiě)在前面，不能互換.舉一反三：【變式1】以下說(shuō)法中正確的是（)a.延長(zhǎng)線(xiàn)段

8、ab到cb.延長(zhǎng)射線(xiàn)abc.自線(xiàn)ab的端點(diǎn)之一是ad.延長(zhǎng)射線(xiàn)0a到c【答案】a【變式2】如圖所示，請(qǐng)分別指出圖屮的線(xiàn)段、射線(xiàn)和直線(xiàn)的條數(shù)，并把它們分別表示出來(lái).ab c 【答案】解：如下圖所示，在直線(xiàn)上點(diǎn)a左側(cè)和點(diǎn)c右側(cè)分別任取點(diǎn)x和y.ab c11ii1xy圖中有6條射線(xiàn):射線(xiàn)ax、射線(xiàn)ay、射線(xiàn)bx、射線(xiàn)by、射線(xiàn)cx、射線(xiàn)cy.有3條線(xiàn)段：線(xiàn)段ab （或ba）、線(xiàn)段bc （或cb）、線(xiàn)段ac （或ca）有1條直線(xiàn)：直線(xiàn)ac （或ab, bc）.類(lèi)型二、有關(guān)作圖p 2.如圖所示，線(xiàn)段a, b,且a>b.,b |用圓規(guī)和直尺畫(huà)線(xiàn)段：（l）a+b； （2）a-b.【答案與解析】解：（1

9、）畫(huà)法如圖（1）,畫(huà)直線(xiàn)af,在直線(xiàn)af上畫(huà)線(xiàn)段ab=a,再在ab的延長(zhǎng)線(xiàn)上畫(huà)線(xiàn)段 bc=b,線(xiàn)段ac就是a與b的和,記作ac=a+b. 畫(huà)法如圖（2）,畫(huà)直線(xiàn)af,在直線(xiàn)af上畫(huà)線(xiàn)段ab=a,再在線(xiàn)段ab上畫(huà)線(xiàn)段bd=b, 線(xiàn)段ad就是a與b的差，記作ad=ab.b士a b c f ad bf（1） （2）【總結(jié)升華】在畫(huà)線(xiàn)段時(shí)，為使結(jié)果更準(zhǔn)確，一般用直尺畫(huà)在線(xiàn)，用圓規(guī)最取線(xiàn)段的長(zhǎng)度. 舉一反三：【變式1】下列語(yǔ)句正確的是（）a.畫(huà)直線(xiàn)ab = 10cmb.畫(huà)直線(xiàn)ab的垂直平分線(xiàn)c.畫(huà)射線(xiàn)0b = 3cmd.延長(zhǎng)線(xiàn)段ab到c使bc=ab【答案】d【高清課堂：直線(xiàn)、射線(xiàn)、線(xiàn)段397363按語(yǔ)句

10、畫(huà)圖3 （3）【變式2】用直尺作圖：p是直線(xiàn)曰外一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)p冇一條線(xiàn)段&與直線(xiàn)日不相交.【答案】解：類(lèi)型三、有關(guān)條數(shù)及長(zhǎng)度的"計(jì)算w 3.如圖，a、b、c、d為平面內(nèi)任意三點(diǎn)都不在同一條宜線(xiàn)上的四點(diǎn)，那么過(guò)其中兩點(diǎn)，可呵出條直線(xiàn).【思路點(diǎn)撥】根據(jù)兩點(diǎn)確定一條直線(xiàn)即可計(jì)算出宜線(xiàn)的條數(shù).【答案】6條直線(xiàn)【解析】由兩點(diǎn)確定一條直線(xiàn)知，點(diǎn)a與b, c,d三點(diǎn)各確定一條直線(xiàn)，同理點(diǎn)b與c、d各 確定一條直線(xiàn)，c與d確定一條直線(xiàn)，綜上：共有直線(xiàn)：3+2+1二6 （條）【總結(jié)升華】平而上有”個(gè)點(diǎn)，其中任意三點(diǎn)不在一條直線(xiàn)上，則最多確定的直線(xiàn)條數(shù)為：1 + 2 + 3 + . + （比一1）

11、=篤1）舉一反三：【變式1】如圖所示，已知線(xiàn)段ab上有三個(gè)定點(diǎn)c、d、e. iili一i（1）圖中共育兒條線(xiàn)段？acdee（2）如果在線(xiàn)段cd上增加一點(diǎn)，則增加了幾條線(xiàn)段？你能從屮發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律嗎？【答案】解：（1）線(xiàn)段的條數(shù)：4 + 3 + 2+1 = 10（條）；（2）如果在線(xiàn)段cd上增加一點(diǎn)p,則1）與其它五個(gè)點(diǎn)各組成一條線(xiàn)段，因此，增加了 5 條線(xiàn)段.（注解：若在線(xiàn)段ab上增加一點(diǎn)，則增加2條線(xiàn)段，此時(shí)線(xiàn)段總條數(shù)為1+2；若再增加一 點(diǎn)，則又增加了 3條線(xiàn)段，此時(shí)線(xiàn)段總條數(shù)為1 +2 + 3；當(dāng)線(xiàn)段ab上增加到n個(gè)點(diǎn)（即 增加口一2個(gè)點(diǎn)）時(shí)，線(xiàn)段的總條數(shù)為1+2 +（n-l）=丄門(mén)（n-

12、1）.）2【變式2】）如圖直線(xiàn)m上有4個(gè)點(diǎn)a、b、c、d,則圖屮共有條射線(xiàn).【答案】8 莎4.如圖所示，ab=40,點(diǎn)c為咖中點(diǎn)，點(diǎn)d為cb上的點(diǎn)，點(diǎn)e是的中點(diǎn), 且eb=5,求cd的長(zhǎng).ac deb【思路點(diǎn)撥】顯然cd=cb-bd，要求cd的長(zhǎng)，應(yīng)先確定03和bd的長(zhǎng).【答案與解析】解：因?yàn)閍b=40，點(diǎn)c為ab的中點(diǎn)，所以 cb = -ab = -x40 = 20.2 2因?yàn)辄c(diǎn)e為bd的中點(diǎn),eb=5,所以 bd=2eb=10.所以 cd=cb-bd=20-10=10.【總結(jié)升華】求線(xiàn)段的長(zhǎng)度，注意圍繞線(xiàn)段的和、差、倍、分展開(kāi)，若每一條線(xiàn)段長(zhǎng)度均已 確定，所求問(wèn)題便可迎刃而解.【高清課堂：

13、直線(xiàn)、射線(xiàn)、線(xiàn)段397363畫(huà)圖計(jì)算例2】舉一反三：【變式】在直線(xiàn)/上按指定方向依次取點(diǎn)a、b、c、d,且使ab： bc： cd二2： 3： 4,如圖所 示,若ab的中點(diǎn)m與cd的中點(diǎn)n的距離是15cm,求ab的長(zhǎng).【答案】解:依題意,設(shè)ab=2x cm,那么bc=3x cm, cd=4x cm.則有：mn二bm+bc+cn二 x+3x+2x=15m： x=-2所以 ab=2x =2x= 5cm.2類(lèi)型四、最短問(wèn)題p 5.如圖所示，在一條筆直公路a的兩側(cè)，分別冇a、b兩個(gè)村莊，現(xiàn)要在公路。上建 一個(gè)汽車(chē)站c,使汽車(chē)站到a、b兩村的距離z和最小，問(wèn)汽車(chē)站c的位置應(yīng)如何確定？b【答案與解析】解：如圖，連接ab與直線(xiàn)a交于點(diǎn)c,這個(gè)點(diǎn)c的位宜就是符合條件的汽車(chē)站的位直./ a7c4【總結(jié)升華】“兩點(diǎn)z間線(xiàn)段最短”在實(shí)際生活中冇廣泛的應(yīng)用，此類(lèi)問(wèn)題要與線(xiàn)段的性質(zhì) 聯(lián)系起來(lái)，這里線(xiàn)段最短是指線(xiàn)段的長(zhǎng)度最短，連接兩點(diǎn)的線(xiàn)段的長(zhǎng)度叫做兩點(diǎn)間的距離, 線(xiàn)段是圖形，線(xiàn)段長(zhǎng)度是數(shù)值.舉一