20010年（江蘇卷）含詳解

1、絕密啟用前 2010年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（江蘇卷）數(shù)學(xué)試題 注 意 事 項考生在答題前請認(rèn)真閱讀本注意事項及各題答題要求1.本試卷共4頁，包含填空題（第1題第14題）、解答題（第15題第20題）。本卷滿分160分，考試時間為120分鐘。考試結(jié)束后，請將本卷和答題卡一并交回。2.答題前，請您務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置。3.請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與您本人是否相符。4.請在答題卡上按照晤順序在對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答，在其他位置作答一律無效。作答必須用0.5毫米黑色墨水的簽字筆。請注意字體工整

2、，筆跡清楚。5.如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗。6.請保持答題卡卡面清潔，不要折疊、破損。            參考公式：錐體的體積公式: V錐體=Sh，其中S是錐體的底面積，h是高。一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分。請把答案填寫在答題卡相應(yīng)的位置上.1、設(shè)集合A=-1,1,3，B=a+2,a2+4,AB=3，則實數(shù)a=_.解析 考查集合的運算推理。3B, a+2=3, a=1.2、設(shè)復(fù)數(shù)z滿足z(2-3i)=6+4i（其中i為

3、虛數(shù)單位），則z的模為_.解析 考查復(fù)數(shù)運算、模的性質(zhì)。z(2-3i)=2(3+2 i), 2-3i與3+2 i的模相等，z的模為2。3、盒子中有大小相同的3只白球，1只黑球，若從中隨機地摸出兩只球，兩只球顏色不同的概率是_ _.解析考查古典概型知識。4、某棉紡廠為了了解一批棉花的質(zhì)量，從中隨機抽取了100根棉花纖維的長度（棉花纖維的長度是棉花質(zhì)量的重要指標(biāo)），所得數(shù)據(jù)都在區(qū)間5,40中，其頻率分布直方圖如圖所示，則其抽樣的100根中，有_根在棉花纖維的長度小于20mm。解析考查頻率分布直方圖的知識。100×（0.001+0.001+0.004）×5=305、設(shè)函數(shù)f(x)

4、=x(ex+ae-x)(xR)是偶函數(shù)，則實數(shù)a=_解析考查函數(shù)的奇偶性的知識。g(x)=ex+ae-x為奇函數(shù)，由g(0)=0，得a=1。6、在平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線上一點M，點M的橫坐標(biāo)是3，則M到雙曲線右焦點的距離是_解析考查雙曲線的定義。，為點M到右準(zhǔn)線的距離，=2，MF=4。7、右圖是一個算法的流程圖，則輸出S的值是_解析考查流程圖理解。輸出。8、函數(shù)y=x2(x>0)的圖像在點(ak,ak2)處的切線與x軸交點的橫坐標(biāo)為ak+1,k為正整數(shù)，a1=16，則a1+a3+a5=_解析考查函數(shù)的切線方程、數(shù)列的通項。在點(ak,ak2)處的切線方程為：當(dāng)時，解得，所以。9、

5、在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓上有且僅有四個點到直線12x-5y+c=0的距離為1，則實數(shù)c的取值范圍是_來源解析考查圓與直線的位置關(guān)系。 圓半徑為2，圓心（0，0）到直線12x-5y+c=0的距離小于1，的取值范圍是（-13，13）。10、定義在區(qū)間上的函數(shù)y=6cosx的圖像與y=5tanx的圖像的交點為P，過點P作PP1x軸于點P1，直線PP1與y=sinx的圖像交于點P2,則線段P1P2的長為_。解析 考查三角函數(shù)的圖象、數(shù)形結(jié)合思想。線段P1P2的長即為sinx的值，且其中的x滿足6cosx=5tanx，解得sinx=。線段P1P2的長為11、已知函數(shù),則滿足不等式的x的范圍是_。

6、解析 考查分段函數(shù)的單調(diào)性。12、設(shè)實數(shù)x,y滿足38，49，則的最大值是 。來源解析 考查不等式的基本性質(zhì)，等價轉(zhuǎn)化思想。，的最大值是27。 13、在銳角三角形ABC，A、B、C的對邊分別為a、b、c，則=_。解析 考查三角形中的正、余弦定理三角函數(shù)知識的應(yīng)用，等價轉(zhuǎn)化思想。一題多解。（方法一）考慮已知條件和所求結(jié)論對于角A、B和邊a、b具有輪換性。當(dāng)A=B或a=b時滿足題意，此時有：，= 4。（方法二），由正弦定理，得：上式= 14、將邊長為1m正三角形薄片，沿一條平行于底邊的直線剪成兩塊，其中一塊是梯形，記,則S的最小值是_。解析 考查函數(shù)中的建模應(yīng)用，等價轉(zhuǎn)化思想。

7、一題多解。設(shè)剪成的小正三角形的邊長為，則：（方法一）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最小值。，當(dāng)時，遞減；當(dāng)時，遞增；故當(dāng)時，S的最小值是。（方法二）利用函數(shù)的方法求最小值。令，則：故當(dāng)時，S的最小值是。 二、解答題：本大題共6小題，共計90分，請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明或演算步驟.15、（本小題滿分14分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點A(1,2)、B(2,3)、C(2,1)。(1) 求以線段AB、AC為鄰邊的平行四邊形兩條對角線的長；(2) 設(shè)實數(shù)t滿足()·=0，求t的值。解析本小題考查平面向量的幾何意義、線性運算、數(shù)量積，考查運算求解能力。滿分14分。（1）（

8、方法一）由題設(shè)知，則所以故所求的兩條對角線的長分別為、。（方法二）設(shè)該平行四邊形的第四個頂點為D，兩條對角線的交點為E，則:E為B、C的中點，E（0，1）又E（0，1）為A、D的中點，所以D（1，4） 故所求的兩條對角線的長分別為BC=、AD=；（2）由題設(shè)知：=(2,1)，。由()·=0，得：，從而所以?；蛘撸海?#160;16、（本小題滿分14分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，ABDC，BCD=900。(1) 求證：PCBC；(2) 求點A到平面PBC的距離。解析 本小題主要考查直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系，考查幾何體的體積，

9、考查空間想象能力、推理論證能力和運算能力。滿分14分。（1）證明：因為PD平面ABCD，BC平面ABCD，所以PDBC。由BCD=900，得CDBC，又PDDC=D，PD、DC平面PCD，所以BC平面PCD。因為PC平面PCD，故PCBC。（2）（方法一）分別取AB、PC的中點E、F，連DE、DF，則：易證DECB，DE平面PBC，點D、E到平面PBC的距離相等。又點A到平面PBC的距離等于E到平面PBC的距離的2倍。由（1）知：BC平面PCD，所以平面PBC平面PCD于PC，因為PD=DC，PF=FC，所以DFPC，所以DF平面PBC于F。易知DF=，故點A到平面PBC的距離等于。（方法二）

10、體積法：連結(jié)AC。設(shè)點A到平面PBC的距離為h。因為ABDC，BCD=900，所以ABC=900。從而AB=2，BC=1，得的面積。由PD平面ABCD及PD=1，得三棱錐P-ABC的體積。因為PD平面ABCD，DC平面ABCD，所以PDDC。又PD=DC=1，所以。由PCBC，BC=1，得的面積。由，得，故點A到平面PBC的距離等于。 17、（本小題滿分14分）某興趣小組測量電視塔AE的高度H(單位：m），如示意圖，垂直放置的標(biāo)桿BC的高度h=4m，仰角ABE=，ADE=。(1) 該小組已經(jīng)測得一組、的值，tan=1.24，tan=1.20，請據(jù)此算出H的值；(2) 該小組分析若干測

11、得的數(shù)據(jù)后，認(rèn)為適當(dāng)調(diào)整標(biāo)桿到電視塔的距離d（單位：m），使與之差較大，可以提高測量精確度。若電視塔的實際高度為125m，試問d為多少時，-最大？解析 本題主要考查解三角形的知識、兩角差的正切及不等式的應(yīng)用。（1），同理：，。 ADAB=DB，故得，解得：。因此，算出的電視塔的高度H是124m。（2）由題設(shè)知，得，（當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號）故當(dāng)時，最大。因為，則，所以當(dāng)時，-最大。故所求的是m。 18、（本小題滿分16分）在平面直角坐標(biāo)系中，如圖，已知橢圓的左、右頂點為A、B，右焦點為F。設(shè)過點T（）的直線TA、TB與橢圓分別交于點M、，其中m>0,。（1）設(shè)動點P滿足,求點P的軌

12、跡；（2）設(shè)，求點T的坐標(biāo)；（3）設(shè),求證：直線MN必過x軸上的一定點（其坐標(biāo)與m無關(guān)）。解析 本小題主要考查求簡單曲線的方程，考查方直線與橢圓的方程等基礎(chǔ)知識?？疾檫\算求解能力和探究問題的能力。滿分16分。（1）設(shè)點P（x，y），則：F（2，0）、B（3，0）、A（-3，0）。由，得 化簡得。故所求點P的軌跡為直線。（2）將分別代入橢圓方程，以及得：M（2，）、N（，）直線MTA方程為：，即，直線NTB 方程為：，即。聯(lián)立方程組，解得：，所以點T的坐標(biāo)為。（3）點T的坐標(biāo)為直線MTA方程為：，即，直線NTB 方程為：，即。分別與橢圓聯(lián)立方程組，同時考慮到，解得：、。（方法一）當(dāng)時，直線MN方

13、程為： 令，解得：。此時必過點D（1，0）；當(dāng)時，直線MN方程為：，與x軸交點為D（1，0）。所以直線MN必過x軸上的一定點D（1，0）。（方法二）若，則由及，得，此時直線MN的方程為，過點D（1，0）。若，則，直線MD的斜率，直線ND的斜率，得，所以直線MN過D點。因此，直線MN必過軸上的點（1，0）。 19、（本小題滿分16分）設(shè)各項均為正數(shù)的數(shù)列的前n項和為，已知，數(shù)列是公差為的等差數(shù)列。（1）求數(shù)列的通項公式（用表示）；（2）設(shè)為實數(shù)，對滿足的任意正整數(shù)，不等式都成立。求證：的最大值為。解析 本小題主要考查等差數(shù)列的通項、求和以及基本不等式等有關(guān)知識，考查探索、分析及論證的能

14、力。滿分16分。（1）由題意知：， ，化簡，得：，當(dāng)時，適合情形。故所求（2）（方法一）， 恒成立。 又，故，即的最大值為。（方法二）由及，得，。于是，對滿足題設(shè)的，有。所以的最大值。另一方面，任取實數(shù)。設(shè)為偶數(shù)，令，則符合條件，且。于是，只要，即當(dāng)時，。所以滿足條件的，從而。因此的最大值為。 20、（本小題滿分16分）設(shè)是定義在區(qū)間上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為。如果存在實數(shù)和函數(shù)，其中對任意的都有>0，使得，則稱函數(shù)具有性質(zhì)。(1)設(shè)函數(shù)，其中為實數(shù)。(i)求證：函數(shù)具有性質(zhì)； (ii)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。(2)已知函數(shù)具有性質(zhì)。給定設(shè)為實數(shù)，且，若|<|，求的取值范圍。解析 本

15、小題主要考查函數(shù)的概念、性質(zhì)、圖象及導(dǎo)數(shù)等基礎(chǔ)知識，考查靈活運用數(shù)形結(jié)合、分類討論的思想方法進(jìn)行探索、分析與解決問題的綜合能力。滿分16分。（1）(i)時，恒成立，函數(shù)具有性質(zhì)；(ii)（方法一）設(shè)，與的符號相同。當(dāng)時，故此時在區(qū)間上遞增；當(dāng)時，對于，有，所以此時在區(qū)間上遞增；當(dāng)時，圖像開口向上，對稱軸，而，對于，總有，故此時在區(qū)間上遞增；（方法二）當(dāng)時，對于， 所以，故此時在區(qū)間上遞增；當(dāng)時，圖像開口向上，對稱軸，方程的兩根為：，而 當(dāng)時，故此時在區(qū)間 上遞減；同理得：在區(qū)間上遞增。綜上所述，當(dāng)時，在區(qū)間上遞增； 當(dāng)時，在上遞減；在上遞增。(2)（方法一）由題意，得：又對任意的都有>0

16、，所以對任意的都有，在上遞增。又。當(dāng)時，且， 綜合以上討論，得：所求的取值范圍是（0，1）。（方法二）由題設(shè)知，的導(dǎo)函數(shù)，其中函數(shù)對于任意的都成立。所以，當(dāng)時，從而在區(qū)間上單調(diào)遞增。當(dāng)時，有，得，同理可得，所以由的單調(diào)性知、，從而有|<|，符合題設(shè)。當(dāng)時，于是由及的單調(diào)性知，所以|，與題設(shè)不符。當(dāng)時，同理可得，進(jìn)而得|，與題設(shè)不符。因此綜合、得所求的的取值范圍是（0，1）。  數(shù)學(xué)（附加題）21.選做題本題包括A、B、C、D四小題，請選定其中兩題，并在相應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答。若多做，則按作答的前兩題評分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。A 選修4-1：幾何證明

17、選講（本小題滿分10分）AB是圓O的直徑，D為圓O上一點，過D作圓O的切線交AB延長線于點C，若DA=DC，求證：AB=2BC。解析 本題主要考查三角形、圓的有關(guān)知識，考查推理論證能力。（方法一）證明：連結(jié)OD，則：ODDC， 又OA=OD，DA=DC，所以DAO=ODA=DCO， DOC=DAO+ODA=2DCO，所以DCO=300，DOC=600，所以O(shè)C=2OD，即OB=BC=OD=OA，所以AB=2BC。（方法二）證明：連結(jié)OD、BD。因為AB是圓O的直徑，所以ADB=900，AB=2 OB。因為DC 是圓O的切線，所以CDO=900。又因為DA=DC，所以DAC=DCA，于是ADBC

18、DO，從而AB=CO。即2OB=OB+BC，得OB=BC。故AB=2BC。 B 選修4-2：矩陣與變換（本小題滿分10分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點A(0,0)，B(-2,0)，C(-2,1)。設(shè)k為非零實數(shù)，矩陣M=,N=，點A、B、C在矩陣MN對應(yīng)的變換下得到點分別為A1、B1、C1，A1B1C1的面積是ABC面積的2倍，求k的值。解析 本題主要考查圖形在矩陣對應(yīng)的變換下的變化特點，考查運算求解能力。滿分10分。解：由題設(shè)得由，可知A1（0，0）、B1（0，-2）、C1（，-2）。計算得ABC面積的面積是1，A1B1C1的面積是，則由題設(shè)知：。所以k的值為2或-2。

19、0;C 選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程（本小題滿分10分）在極坐標(biāo)系中，已知圓=2cos與直線3cos+4sin+a=0相切，求實數(shù)a的值。解析 本題主要考查曲線的極坐標(biāo)方程等基本知識，考查轉(zhuǎn)化問題的能力。滿分10分。解：，圓=2cos的普通方程為：，直線3cos+4sin+a=0的普通方程為：，又圓與直線相切，所以解得：，或。 D 選修4-5：不等式選講（本小題滿分10分）設(shè)a、b是非負(fù)實數(shù)，求證：。解析 本題主要考查證明不等式的基本方法，考查推理論證的能力。滿分10分。（方法一）證明：因為實數(shù)a、b0，所以上式0。即有。（方法二）證明：由a、b是非負(fù)實數(shù)，作差得當(dāng)時，從而，得；當(dāng)時

20、，從而，得；所以。 必做題第22題、第23題，每題10分，共計20分。請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。 22、 （本小題滿分10分）某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，甲產(chǎn)品的一等品率為80%，二等品率為20%；乙產(chǎn)品的一等品率為90%，二等品率為10%。生產(chǎn)1件甲產(chǎn)品，若是一等品則獲得利潤4萬元，若是二等品則虧損1萬元；生產(chǎn)1件乙產(chǎn)品，若是一等品則獲得利潤6萬元，若是二等品則虧損2萬元。設(shè)生產(chǎn)各種產(chǎn)品相互獨立。（1） 記X（單位：萬元）為生產(chǎn)1件甲產(chǎn)品和1件乙產(chǎn)品可獲得的總利潤，求X的分布列；（2） 求生產(chǎn)4件甲產(chǎn)品所獲得的利潤不少于10萬元的概率。解析 本題主要考查概率的有關(guān)知識，考查運算求解能力。滿分10分。解：（1）由題設(shè)知，X的可能取值為10，5，2，-3，且 P（X=10）=0.8×0.9=0.7