2022屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（原卷版）第3講　導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值

1、 第 3 講 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值 一、知識(shí)梳理 1函數(shù)的極值 函數(shù) yf(x)在點(diǎn) xa 的函數(shù)值 f(a)比它在點(diǎn) xa 附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都小，f(a)0；而且在點(diǎn) xa 附近的左側(cè) f(x)0，右側(cè) f(x)0，則點(diǎn) a 叫做函數(shù) yf(x)的極小值點(diǎn)，f(a)叫做函數(shù) yf(x)的極小值 函數(shù) yf(x)在點(diǎn) xb 的函數(shù)值 f(b)比它在點(diǎn) xb 附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都大， f(b)0；而且在點(diǎn) xb 附近的左側(cè) f(x)0，右側(cè) f(x)2時(shí)，f(x)0)， 當(dāng) a10，即 a1 時(shí)，f(x)0，函數(shù) f(x)在(0，)上單調(diào)遞增，無極小值 當(dāng) a10，即 a1 時(shí)，由 f(x)

2、0，得 0 x0，得 xa1，函數(shù) f(x)在(a1，)上單調(diào)遞增f(x)極小值f(a1)1ln(a1) 綜上所述，當(dāng) a1 時(shí)，f(x)無極小值； 當(dāng) a1 時(shí)，f(x)極小值1ln(a1) 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值問題的一般流程 角度三 已知函數(shù)的極值求參數(shù)值(范圍) 設(shè)函數(shù) f(x)ax2(3a1)x3a2ex. (1)若曲線 yf(x)在點(diǎn)(2，f(2)處的切線斜率為 0，求實(shí)數(shù) a 的值； (2)若 f(x)在 x1 處取得極小值，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍 【解】 (1)因?yàn)?f(x)ax2(3a1)x3a2ex， 所以 f(x)ax2(a1)x1ex. f(2)(2a1)e2. 由題設(shè)知

3、 f(2)0，即(2a1)e20，解得 a12. (2)由(1)得 f(x)ax2(a1)x1ex(ax1)(x1)ex. 若 a1，則當(dāng) x1a，1 時(shí)，f(x)0. 所以 f(x)在 x1 處取得極小值 若 a1，則當(dāng) x(0，1)時(shí)，ax1x10. 所以 1 不是 f(x)的極小值點(diǎn) 綜上可知，a 的取值范圍是(1，) 已知函數(shù)極值點(diǎn)或極值求參數(shù)的兩個(gè)要領(lǐng) (1)列式：根據(jù)極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為 0 和極值這兩個(gè)條件列方程組，利用待定系數(shù)法求解 (2)驗(yàn)證：因?yàn)閷?dǎo)數(shù)值等于零不是此點(diǎn)為極值點(diǎn)的充要條件，所以利用待定系數(shù)法求解后必須驗(yàn)證根的合理性 提醒 若函數(shù) yf(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有極值，那

4、么 yf(x)在(a，b)內(nèi)絕不是單調(diào)函數(shù)，即在某區(qū)間上單調(diào)函數(shù)沒有極值 1(2020 昆明市診斷測(cè)試)已知函數(shù) f(x)(x2m)ex，若函數(shù) f(x)的圖象在 x1 處切線的斜率為 3e，則 f(x)的極大值是( ) a4e2 b4e2 ce2 de2 解析：選 af(x)(x22xm)ex.由題意知，f(1)(3m)e3e，所以 m0，f(x)(x22x)ex.當(dāng) x0 或 x0，f(x)是增函數(shù)；當(dāng)2x0 時(shí)，f(x)0，f(x)是減函數(shù)所以當(dāng) x2 時(shí)，f(x)取得極大值，f(2)4e2.故選 a 2已知 f(x)x33ax2bxa2在 x1 處有極值 0，則 ab_ 解析：由題意得

5、 f(x)3x26axb，則 a23ab10，b6a30， 解得a1，b3或a2，b9， 經(jīng)檢驗(yàn)當(dāng) a1，b3 時(shí)，函數(shù) f(x)在 x1 處無法取得極值，而 a2，b9 滿足題意，故 ab7. 答案：7 3已知函數(shù) f(x)ex(xln xa)(e 為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，a 為常數(shù)，且 a1)判斷函數(shù) f(x)在區(qū)間(1，e)內(nèi)是否存在極值點(diǎn)，并說明理由 解：f(x)ex(ln xx1xa1)， 令 g(x)ln xx1xa1，x(1，e)，則 f(x)exg(x)，g(x)x2x1x20 恒成立，所以 g(x)在(1，e)上單調(diào)遞減， 所以 g(x)g(1)a10，所以 f(x)0 在(1，e

6、)內(nèi)無解 所以函數(shù) f(x)在區(qū)間(1，e)內(nèi)無極值點(diǎn) 考點(diǎn)二 函數(shù)的最值問題(基礎(chǔ)型) 復(fù)習(xí)指導(dǎo)| 會(huì)用導(dǎo)數(shù)求給定區(qū)間上不超過三次的多項(xiàng)式函數(shù)的最大值、最小值 核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)運(yùn)算 (2020 貴陽市檢測(cè))已知函數(shù) f(x)x1xln x. (1)求 f(x)的單調(diào)區(qū)間； (2)求函數(shù) f(x)在1e，e 上的最大值和最小值(其中 e 是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)) 【解】 (1)f(x)x1xln x11xln x，f(x)的定義域?yàn)?0，) 因?yàn)?f(x)1x21x1xx2，所以 f(x)00 x1，f(x)0 x1，所以 f(x)在(0，1)上單調(diào)遞增，在(1，)上單調(diào)遞減 (2)由(1)得 f(x

7、)在1e，1 上單調(diào)遞增，在(1，e上單調(diào)遞減， 所以 f(x)在1e，e 上的極大值為 f(1)111ln 10. 又 f1e1eln 1e2e，f(e)11eln e1e，且 f1ef(e) 所以 f(x)在1e，e 上的最大值為 0，最小值為 2e. 求函數(shù) f(x)在a，b上最值的方法 (1)若函數(shù)在區(qū)間a，b上單調(diào)遞增或遞減，f(a)與 f(b)一個(gè)為最大值，一個(gè)為最小值 (2)若函數(shù)在閉區(qū)間a，b內(nèi)有極值，要先求出a，b上的極值，與 f(a)，f(b)比較，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成 (3)函數(shù) f(x)在區(qū)間(a，b)上有唯一一個(gè)極值點(diǎn)，這個(gè)極值點(diǎn)就是最大(或最小

8、)值點(diǎn)，此結(jié)論在導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用中經(jīng)常用到 1函數(shù) f(x)x22x1在13，1 上的最小值與最大值的和為( ) a13 b23 c1 d0 解析：選 af(x)2x（2x1）2x2（2x1）22x（x1）（2x1）2，x13，1 ，當(dāng) f(x)0 時(shí)，x0； 當(dāng)13x0 時(shí)，f(x)0；當(dāng) 00， 所以 f(x)在13，0 上是減函數(shù)，在(0，1上是增函數(shù)所以 f(x)minf(0)0. 又 f1313，f(1)13. 所以 f(x)的最大值與最小值的和為13. 2(2020 廣東五校聯(lián)考)已知函數(shù) f(x)axln x，其中 a 為常數(shù) (1)當(dāng) a1 時(shí)，求 f(x)的最大值； (2)若

9、f(x)在區(qū)間(0，e上的最大值為3，求 a 的值 解：(1)易知 f(x)的定義域?yàn)?0，)， 當(dāng) a1 時(shí)，f(x)xln x，f(x)11x1xx，令 f(x)0，得 x1. 當(dāng) 0 x0；當(dāng) x1 時(shí)，f(x)0. 所以 f(x)在(0，1)上是增函數(shù)，在(1，)上是減函數(shù) 所以 f(x)maxf(1)1. 所以當(dāng) a1 時(shí)，函數(shù) f(x)在(0，)上的最大值為1. (2)f(x)a1x，x(0，e，1x1e， . 若 a1e，則 f(x)0，從而 f(x)在(0，e上是增函數(shù)，所以 f(x)maxf(e)ae10，不符合題意； 若 a0 得 a1x0，結(jié)合 x(0，e，解得 0 x1

10、a， 令 f(x)0 得 a1x0，結(jié)合 x(0，e，解得1axe.從而 f(x)在0，1a上為增函數(shù)，在1a，e 上為減函數(shù)，所以 f(x)maxf1a1ln1a. 令1ln1a3，得 ln1a2， 即 ae2. 因?yàn)閑21e，所以 ae2為所求 故實(shí)數(shù) a 的值為e2. 考點(diǎn)三 生活中的優(yōu)化問題(應(yīng)用型) 復(fù)習(xí)指導(dǎo)| 通過使利潤(rùn)最大、用料最省、效率最高等優(yōu)化問題，體會(huì)導(dǎo)數(shù)在解決實(shí)際問題中的作用 核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)建模 某生產(chǎn)廠家每天生產(chǎn)一種精密儀器，已知該工廠每天生產(chǎn)的產(chǎn)品最多不超過 30件，且在生產(chǎn)過程中產(chǎn)品的正品率 p 與每日生產(chǎn)產(chǎn)品件數(shù) x(xn*)間的關(guān)系為 p(x)mx23 000，

11、每生產(chǎn)一件正品盈利 2 000 元，每出現(xiàn)一件次品虧損 1 000 元，已知若生產(chǎn) 10 件，則生產(chǎn)的正品只有 7 件(注：正品率產(chǎn)品的正品件數(shù) 產(chǎn)品總件數(shù)100%) (1)將日利潤(rùn) y(元)表示成日產(chǎn)量 x(件)的函數(shù)； (2)求該廠的日產(chǎn)量為多少件時(shí)，日利潤(rùn)最大？并求出日利潤(rùn)的最大值 【解】 (1)由題意，知當(dāng) x10 時(shí)，p(10)710，即 p(10)m1023 000710，解得 m2 200. 所以 p(x)2 200 x23 000. 故 日 利 潤(rùn) y 2 000 xp(x) 1 000 x1 p(x) 3 000 x p(x) 1 000 x 3 000 x2 200 x23

12、 0001 000 xx31 200 x， 故所求的函數(shù)關(guān)系式是 yx31 200 x(xn*，1x30) (2)y3x21 200，令 y0，解得 x20. 當(dāng) x1，20)時(shí)，y0，函數(shù)單調(diào)遞增； 當(dāng) x(20，30時(shí)，y0，函數(shù)單調(diào)遞減 所以當(dāng) x20 時(shí)，y 取最大值，最大值為2031 2002016 000(元) 所以該廠的日產(chǎn)量為 20 件時(shí)，日利潤(rùn)最大，最大值為 16 000 元 解決優(yōu)化問題的基本思路 利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題的步驟： (1)分析實(shí)際問題中各個(gè)量之間的關(guān)系，確定實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型，寫出實(shí)際問題中變量之間的函數(shù)關(guān)系 yf(x)； (2)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù) f(x)，

13、解方程 f(x)0； (3)比較函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)和使 f(x)0 的點(diǎn)的函數(shù)值的大小，求出最值； (4)回歸實(shí)際問題作答 某產(chǎn)品包裝公司要生產(chǎn)一種容積為 v 的圓柱形飲料罐(上下都有底)， 一個(gè)單位面積的罐底造價(jià)是一個(gè)單位面積罐身造價(jià)的 3 倍， 若不考慮飲料罐的厚度， 欲使這種飲料罐的造價(jià)最低，則這種飲料罐的底面半徑是_ 解析：由 vr2h，得 hvr2， 設(shè) f(r)32r22rh6r22vr， 所以 f(r)12r2vr212r32vr2， 所以 f(r)在0，3v6上單調(diào)遞減， 3v6，上單調(diào)遞增， 所以當(dāng) r3v6時(shí)造價(jià)最低 答案：3v6 基礎(chǔ)題組練 1函數(shù) f(x)2x39x22 在

14、4，2上的最大值和最小值分別是( ) a25，2 b50，14 c50，2 d50，14 解析：選 c因?yàn)?f(x)2x39x22，所以 f(x)6x218x，當(dāng) x4，3)或 x(0，2時(shí)，f(x)0，f(x)為增函數(shù)，當(dāng) x(3，0)時(shí)，f(x)0，f(x)為減函數(shù)，由 f(4)14，f(3)25，f(0)2，f(2)50，故函數(shù) f(x)2x39x22 在4，2上的最大值和最小值分別是 50，2. 2(多選)已知函數(shù) yf(x)的導(dǎo)函數(shù) f(x)的圖象如圖所示，則下列判斷正確的是( ) a函數(shù) yf(x)在區(qū)間3，12內(nèi)單調(diào)遞增 b當(dāng) x2 時(shí)，函數(shù) yf(x)取得極小值 c函數(shù) yf(

15、x)在區(qū)間(2，2)內(nèi)單調(diào)遞增 d當(dāng) x3 時(shí)，函數(shù) yf(x)有極小值 解析：選 bc對(duì)于 a，函數(shù) yf(x)在區(qū)間3，12內(nèi)有增有減，故 a 不正確；對(duì)于b，當(dāng) x2 時(shí)，函數(shù) yf(x)取得極小值，故 b 正確；對(duì)于 c，當(dāng) x(2，2)時(shí)，恒有 f(x)0，則函數(shù) yf(x)在區(qū)間(2，2)上單調(diào)遞增，故 c 正確；對(duì)于 d，當(dāng) x3 時(shí)，f(x)0，故 d 不正確 3已知函數(shù) f(x)2f(1)ln xx，則 f(x)的極大值為( ) a2 b2ln 22 ce d2e 解析：選 b函數(shù) f(x)定義域(0，)，f(x)2f（1）x1，所以 f(1)1，f(x)2ln xx，令 f

16、(x)2x10，解得 x2.當(dāng) 0 x0，當(dāng) x2 時(shí)，f(x)0，g(x)6x22x1 的 200 恒成立，故 f(x)0 恒成立， 即 f(x)在定義域上單調(diào)遞增，無極值點(diǎn) 6函數(shù) f(x)x33x24 在 x_處取得極小值 解析：由 f(x)3x26x0，得 x0 或 x2.列表 x (，0) 0 (0，2) 2 (2，) f(x) 0 0 f(x) 極大值 極小值 所以在 x2 處取得極小值 答案：2 7 已知函數(shù) f(x)x3ax2(a6)x1.若函數(shù) f(x)的圖象在點(diǎn)(1， f(1)處的切線斜率為 6，則實(shí)數(shù) a_；若函數(shù)在(1，3)內(nèi)既有極大值又有極小值，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍

17、是_ 解析：f(x)3x22axa6，結(jié)合題意 f(1)3a96，解得 a1；若函數(shù)在(1，3)內(nèi)既有極大值又有極小值，則 f(x)0 在(1，3)內(nèi)有 2 個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則 4a212（a6）0，f（1）0，f（3）0，解得337a3. 答案：1 337，3 8 (2020 甘肅蘭州一中期末改編)若 x2 是函數(shù) f(x)(x2ax1)ex的極值點(diǎn)， 則 f(2)_，f(x)的極小值為_ 解析：由函數(shù) f(x)(x2ax1)ex可得 f(x)(2xa)ex(x2ax1)ex，因?yàn)?x2 是函數(shù) f(x)的極值點(diǎn)，所以 f(2)(4a)e2(42a1)e20，即4a32a0，解得a1.所以

18、f(x)(x2x2)ex.令f(x)0可得x2或x1.當(dāng)x1時(shí)， f(x)0，此時(shí)函數(shù) f(x)為增函數(shù)，當(dāng)2x1 時(shí)，f(x)0，此時(shí)函數(shù) f(x)為減函數(shù)，所以當(dāng) x1 時(shí)函數(shù) f(x)取得極小值，極小值為 f(1)(1211)e1e. 答案：0 e 9(2020 洛陽尖子生第二次聯(lián)考)已知函數(shù) f(x)mxnxln x，mr. (1)若函數(shù) f(x)的圖象在(2，f(2)處的切線與直線 xy0 平行，求實(shí)數(shù) n 的值； (2)試討論函數(shù) f(x)在區(qū)間1，)上的最大值 解：(1)由題意得 f(x)nxx2，所以 f(2)n24.由于函數(shù) f(x)的圖象在(2，f(2)處的切線與直線 xy

19、0 平行，所以n241，解得 n6. (2)f(x)nxx2，令 f(x)n；令 f(x)0，得 x1 時(shí)，函數(shù) f(x)在1，n)上單調(diào)遞增，在(n，)上單調(diào)遞減，所以 f(x)maxf(n)m1ln n. 10(2019 高考江蘇卷節(jié)選)設(shè)函數(shù) f(x)(xa)(xb) (xc)，a，b，cr，f(x)為 f(x)的導(dǎo)函數(shù) (1)若 abc，f(4)8，求 a 的值； (2)若 ab，bc，且 f(x)和 f(x)的零點(diǎn)均在集合3，1，3中，求 f(x)的極小值 解：(1)因?yàn)?abc，所以 f(x)(xa)(xb)(xc)(xa)3. 因?yàn)?f(4)8，所以(4a)38，解得 a2. (

20、2)因?yàn)?bc，所以 f(x)(xa)(xb)2x3(a2b)x2b(2ab)xab2， 從而 f(x)3(xb)x2ab3.令 f(x)0，得 xb 或 x2ab3. 因?yàn)?a，b，2ab3都在集合3，1，3中，且 ab， 所以2ab31，a3，b3. 此時(shí)，f(x)(x3)(x3)2，f(x)3(x3)(x1) 令 f(x)0，得 x3 或 x1.列表如下： x (，3) 3 (3，1) 1 (1，) f(x) 0 0 f(x) 極大值 極小值 所以 f(x)的極小值為 f(1)(13)(13)232. 綜合題組練 1(綜合型)(2020 河北石家莊二中期末)若函數(shù) f(x)(1x)(x2

21、axb)的圖象關(guān)于點(diǎn)(2，0)對(duì)稱，x1，x2分別是 f(x)的極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)，則 x2x1( ) a 3 b2 3 c2 3 d 3 解析：選 c由題意可得 f(2)3(42ab)0， 因?yàn)楹瘮?shù)圖象關(guān)于點(diǎn)(2，0)對(duì)稱，且 f(1)0， 所以 f(5)0， 即 f(5)6(255ab)0， 聯(lián)立b2a40，b5a250，解得b10，a7. 故 f(x)(1x)(x27x10)x36x23x10， 則 f(x)3x212x33(x24x1)， 結(jié)合題意可知 x1，x2是方程 x24x10 的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且 x1x2， 故 x2x1|x1x2| （x1x2）24x1x2（4）2412 3. 2(創(chuàng)新型)(2020 鄭州質(zhì)檢)若函數(shù) yf(x)存在 n1(nn*)個(gè)極值點(diǎn)，則稱 yf(x)為 n折函數(shù)，例如 f(x)x2為 2 折函數(shù)已知函數(shù) f(x)(x1)exx(x2)2，則 f(x)為( ) a2 折函數(shù) b3 折函數(shù) c4 折函數(shù) d5 折函數(shù) 解析：選 cf(x)(x2)ex(x2)(3x2)(x2) (ex3x2)，令 f(x)0，得 x2 或 ex3x2. 易知 x2 是 f(x)的一個(gè)極值點(diǎn)， 又 ex3x2，結(jié)合函數(shù)圖象，yex與 y3x2 有兩個(gè)交點(diǎn)又 e23(2)2 4. 所以函數(shù) yf(x)有 3 個(gè)極值點(diǎn)，則 f(x)為 4 折函數(shù) 3若函數(shù) f(x