2022屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（原卷版）第6講　對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)

1、第 6 講對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)一、知識(shí)梳理1對(duì)數(shù)概念如果 axn(a0， 且 a1)， 那么數(shù) x 叫做以 a 為底數(shù) n 的對(duì)數(shù)， 記作 xlogan，其中 a 叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，n 叫做真數(shù)，logan 叫做對(duì)數(shù)式性質(zhì)對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化：axnxlogan(a0，且 a1)loga10，logaa1，alogann(a0，且 a1)運(yùn)算法則loga(mn)logamlogana0，且 a1，m0，n0logamnlogamloganlogamnnlogam(nr)換底公式logablogcblogca(a0，且 a1，c0，且 c1，b0)2.對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)a10a1 時(shí)，y0當(dāng) 0 x1

2、 時(shí)，y1 時(shí)，y0當(dāng) 0 x0在(0，)上是增函數(shù)在(0，)上是減函數(shù)3.反函數(shù)指數(shù)函數(shù) yax與對(duì)數(shù)函數(shù) ylogax 互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線 yx 對(duì)稱(chēng)常用結(jié)論1換底公式的三個(gè)重要結(jié)論logab1logba；logambnnmlogab；logablogbclogcdlogad.2對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與底數(shù)大小的關(guān)系如圖，作直線 y1，則該直線與四個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為相應(yīng)的底數(shù)故 0cd1ab.由此我們可得到以下規(guī)律：在第一象限內(nèi)與 y1 相交的對(duì)數(shù)函數(shù)從左到右底數(shù)逐漸增大二、教材衍化1(log29)(log34)_解析：(log29)(log34)lg 9lg 2lg 4lg 3

3、2lg 3lg 22lg 2lg 34.答案：42若函數(shù) yf(x)是函數(shù) y2x的反函數(shù)，則 f(2)_解析：由題意知 f(x)log2x，所以 f(2)log221.答案：13函數(shù) yloga(4x)1(a0，且 a1)的圖象恒過(guò)點(diǎn)_解析：當(dāng) 4x1 即 x3 時(shí)，yloga111.所以函數(shù)的圖象恒過(guò)點(diǎn)(3，1)答案：(3，1)4已知 a213，blog213，clog1213，則 a，b，c 的大小關(guān)系為_(kāi)解析：因?yàn)?0a1，b1.所以 cab.答案：cab一、思考辨析判斷正誤(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1)loga(mn)logamlogan.()(2)logaxlogayloga

4、(xy)()(3)函數(shù) ylog2x 及 ylog133x 都是對(duì)數(shù)函數(shù)()(4)對(duì)數(shù)函數(shù) ylogax(a0 且 a1)在(0，)上是增函數(shù)()(5)函數(shù) yln1x1x與 yln(1x)ln(1x)的定義域相同()(6)對(duì)數(shù)函數(shù) ylogax(a0 且 a1)的圖象過(guò)定點(diǎn)(1，0)，且過(guò)點(diǎn)(a，1)，1a，1，函數(shù)圖象只經(jīng)過(guò)第一、四象限()答案：(1)(2)(3)(4)(5)(6)二、易錯(cuò)糾偏常見(jiàn)誤區(qū)|(1)對(duì)數(shù)函數(shù)圖象的特征不熟致誤；(2)忽視對(duì)底數(shù)的討論致誤；(3)忽視對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域致誤1已知 a0，a1，函數(shù) yax與 yloga(x)的圖象可能是_(填序號(hào))解析：函數(shù) yloga

5、(x)的圖象與 ylogax 的圖象關(guān)于 y 軸對(duì)稱(chēng)，符合條件的只有.答案：2函數(shù) ylogax(a0，a1)在2，4上的最大值與最小值的差是 1，則 a_解析：分兩種情況討論：當(dāng) a1 時(shí)，有 loga4loga21，解得 a2；當(dāng) 0a1 時(shí)，有 loga2loga41，解得 a12.所以 a2 或12.答案：2 或123函數(shù) ylog23（2x1）的定義域是_解析：由 log23(2x1)0，得 02x11.所以120，y0，2x3y0，所以xy94，所以 log32xy2.答案：24設(shè) 2a5bm，且1a1b2，則 m 等于_解析：由 2a5bm 得 alog2m，blog5m，所以1

6、a1blogm2logm5logm10.因?yàn)?a1b2，所以 logm102.所以 m210，所以 m 10.答案： 10提醒對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)以及有關(guān)公式都是在式子中所有的對(duì)數(shù)符號(hào)有意義的前提下才成立的，不能出現(xiàn) log212log2(3)(4)log2(3)log2(4)的錯(cuò)誤考點(diǎn)二對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用(基礎(chǔ)型)復(fù)習(xí)指導(dǎo)|初步理解對(duì)數(shù)函數(shù)的概念，能借助計(jì)算器或計(jì)算機(jī)畫(huà)出具體對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象及特殊點(diǎn)核心素養(yǎng)：直觀想象(1)若函數(shù) ya|x|(a0，且 a1)的值域?yàn)閥|y1，則函數(shù) yloga|x|的圖象大致是()(2)若方程 4xlogax 在0，12 上有解，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍為_(kāi)【解析】

7、(1)由于 ya|x|的值域?yàn)閥|y1，所以 a1，則 yloga|x|在(0，)上是增函數(shù)，又函數(shù) yloga|x|的圖象關(guān)于 y 軸對(duì)稱(chēng)因此 yloga|x|的圖象應(yīng)大致為選項(xiàng) b(2)構(gòu)造函數(shù) f(x)4x和 g(x)logax，當(dāng) a1 時(shí)不滿足條件，當(dāng) 0a1 時(shí)，畫(huà)出兩個(gè)函數(shù)在0，12 上的圖象，可知，只需兩圖象在0，12 上有交點(diǎn)即可，則 f12 g12 ，即 2loga12，則 a22，所以 a 的取值范圍為0，22 .【答案】(1)b(2)0，22【遷移探究】(變條件)若本例(2)的條件變?yōu)椋寒?dāng) 0 x12時(shí)，4x1 時(shí)不滿足條件，當(dāng) 0a1 時(shí)，畫(huà)出兩個(gè)函數(shù)在0，12 上的

8、圖象， 可知 f12 g12 ， 即 222， 所以 a 的取值范圍為22，1.答案：22，1對(duì)數(shù)函數(shù)圖象的識(shí)別及應(yīng)用方法(1)在識(shí)別函數(shù)圖象時(shí)，要善于利用已知函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)圖象上的特殊點(diǎn)(與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、最高點(diǎn)、最低點(diǎn)等)排除不符合要求的選項(xiàng)(2)一些對(duì)數(shù)型方程、不等式問(wèn)題常轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)圖象問(wèn)題，利用數(shù)形結(jié)合法求解1函數(shù) y2log4(1x)的圖象大致是()解析：選 c函數(shù) y2log4(1x)的定義域?yàn)?，1)，排除 a，b；函數(shù) y2log4(1x)在定義域上單調(diào)遞減，排除 d選 c2已知函數(shù) f(x)log2x，x0，3x，x0，關(guān)于 x 的方程 f(x)xa0 有且只有一個(gè)實(shí)根

9、，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是_解析： 問(wèn)題等價(jià)于函數(shù) yf(x)與 yxa 的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)圖象可知 a1.答案：(1，)考點(diǎn)三對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用(綜合型)復(fù)習(xí)指導(dǎo)|利用對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象，探索并了解對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，知道指數(shù)函數(shù) yax與對(duì)數(shù)函數(shù) ylogax 互為反函數(shù)(a0，a1)核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算角度一比較對(duì)數(shù)值的大小(2019高考天津卷)已知 alog27，blog38，c0.30.2，則 a，b，c 的大小關(guān)系為()acbababccbcadcalog242，blog381，c0.30.20.301，所以 cb0 且 a1)滿足 f2a 0 的解集為()a(0

10、，1)b(，1)c(1，)d(0，)【解析】法一：因?yàn)楹瘮?shù) f(x)logax(a0 且 a1)在(0，)上為單調(diào)函數(shù)，而2a3a且f2a 02x11，所以 x1.法二：由 f2a loga3a，所以 loga21loga31，所以 loga21，由 f(2x1)0 得 loga(2x1)0，所以 2x11，即 x1.【答案】c解對(duì)數(shù)不等式的函數(shù)及方法(1)形如 logaxlogab 的不等式，借助 ylogax 的單調(diào)性求解，如果 a 的取值不確定，需分 a1 與 0ab 的不等式，需先將 b 化為以 a 為底的對(duì)數(shù)式的形式角度三對(duì)數(shù)型函數(shù)的綜合問(wèn)題已知函數(shù) f(x)log4(ax22x3)

11、(1)若 f(1)1，求 f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若 f(x)的最小值為 0，求 a 的值【解】(1)因?yàn)?f(1)1，所以 log4(a5)1，因此 a54，即 a1，所以 f(x)log4(x22x3)由x22x30 得1x0，3a1a1，解得 a12.故實(shí)數(shù) a 的值為12.解與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題的步驟1(2019高考全國(guó)卷)已知 alog20.2，b20.2，c0.20.3，則()aabcbacbccabdbca解析：選 b因?yàn)?alog20.2201，c0.20.30，所以ac1，則滿足 f(x)2 的 x 的取值范圍是()a1，2b0，2c1，)d0，)解析：選 d當(dāng)

12、 x1 時(shí)，21x2，解得 x0，所以 0 x1；當(dāng) x1 時(shí)，1log2x2，解得 x12，所以 x1.綜上可知 x0.3 已知 a0， 若函數(shù) f(x)log3(ax2x)在3， 4上是增函數(shù)， 則 a 的取值范圍是_解析：要使 f(x)log3(ax2x)在3，4上單調(diào)遞增，則 yax2x 在3，4上單調(diào)遞增，且 yax2x0 恒成立，即12a3，9a30，解得 a13.答案：13，基礎(chǔ)題組練1函數(shù) y log3（2x1）1的定義域是()a1，2b1，2)c23，d23，解析：選 c由log3（2x1）10，2x10，即log3（2x1）log313，x12，解得 x23.故選 c2若函

13、數(shù) yf(x)是函數(shù) yax(a0 且 a1)的反函數(shù)，且 f(2)1，則 f(x)()alog2xb12xclog12xd2x2解析：選 a由題意知 f(x)logax(a0 且 a1)，因?yàn)?f(2)1，所以 loga21，所以 a2.所以 f(x)log2x.故選 a3設(shè)函數(shù) f(x)loga|x|在(，0)上單調(diào)遞增，則 f(a1)與 f(2)的大小關(guān)系是()af(a1)f(2)bf(a1)f(2)cf(a1)f(2)d不能確定解析：選 a由已知得 0a1，所以 1a1f(2)4.(多選)在同一直角坐標(biāo)系中，f(x)kxb 與 g(x)logbx 的圖象如圖，則下列關(guān)系不正確的是()a

14、k0，0b1bk0，b1cf1x g(1)0(x0)dx1 時(shí)，f(x)g(x)0解析：選 abc由直線方程可知，k0，0b1，故 a，b 不正確；而 g(1)0，故 c不正確；而當(dāng) x1 時(shí)，g(x)0，f(x)0，所以 f(x)g(x)0.所以 d 正確5(多選)已知函數(shù) f(x)ln(x2)ln(6x)，則()af(x)在(2，6)上單調(diào)遞增bf(x)在(2，6)上的最大值為 2ln 2cf(x)在(2，6)上單調(diào)遞減dyf(x)的圖象關(guān)于直線 x4 對(duì)稱(chēng)解析：選 bdf(x)ln(x2)ln(6x)ln(x2)(6x)，定義域?yàn)?2，6)令 t(x2)(6x)，則 yln t因?yàn)槎魏?/p>

15、數(shù) t(x2)(6x)的圖象的對(duì)稱(chēng)軸為直線 x4，又 f(x)的定義域?yàn)?2，6)，所以 f(x)的圖象關(guān)于直線 x4 對(duì)稱(chēng)，且在(2，4)上單調(diào)遞增，在(4，6)上單調(diào)遞減，當(dāng) x4 時(shí)，t 有最大值，所以 f(x)maxln(42)ln(64)2ln 2，故選 bd6已知函數(shù) f(x)x3alog3x，若 f(2)6，則 f12 _解析：由 f(2)8alog326，解得 a2log32，所以 f12 18alog31218alog32182log32log32178.答案：1787(2020貴州教學(xué)質(zhì)量測(cè)評(píng)改編)已知函數(shù) yloga(x3)89(a0，a1)的圖象恒過(guò)定點(diǎn) a，則點(diǎn) a

16、的坐標(biāo)為_(kāi)；若點(diǎn) a 也在函數(shù) f(x)3xb 的圖象上，則 f(log32)_解析： 令 x31 可得 x2， 此時(shí) yloga18989， 可知定點(diǎn) a 的坐標(biāo)為2，89 .點(diǎn) a 也在函數(shù) f(x)3xb 的圖象上， 故8932b， 解得 b1.所以 f(x)3x1， 則 f(log32)3log321211.答案：2，8918(教材習(xí)題改編)若 loga340，且 a1)，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是_解析：當(dāng) 0a1 時(shí)，loga34logaa1，所以 0a1 時(shí)，loga341.所以實(shí)數(shù) a 的取值范圍是0，34 (1，)答案：0，34 (1，)9已知函數(shù) f(x3)logax6x(a

17、0，a1)(1)求 f(x)的解析式；(2)判斷 f(x)的奇偶性，并說(shuō)明理由解：(1)令 x3u，則 xu3，于是 f(u)loga3u3u(a0，a1，3u0，a1，3x0 且 a1)，且 f(1)2.(1)求實(shí)數(shù) a 的值及 f(x)的定義域；(2)求 f(x)在區(qū)間0，32 上的最大值解：(1)因?yàn)?f(1)2，所以 loga42(a0，a1)，所以 a2.由1x0，3x0，得1x3，所以函數(shù) f(x)的定義域?yàn)?1，3)(2)f(x)log2(1x)log2(3x)log2(1x)(3x)log2(x1)24，所以當(dāng) x(1，1時(shí)，f(x)是增函數(shù)；當(dāng) x(1，3)時(shí)，f(x)是減函

18、數(shù)，故函數(shù) f(x)在0，32 上的最大值是 f(1)log242.綜合題組練1若函數(shù) yloga(x2ax1)有最小值，則 a 的取值范圍是()a0a1b0a2，a1c1a1 時(shí)，y 有最小值，則說(shuō)明 x2ax1 有最小值，故 x2ax10 中0，即 a24a1.當(dāng) 0a1 時(shí)，y 有最小值，則說(shuō)明 x2ax1 有最大值，與二次函數(shù)性質(zhì)相互矛盾，舍去綜上可知，故選 c2(2020河南新鄉(xiāng)二模)已知函數(shù) f(x)log3(9x1)mx 是偶函數(shù)，則不等式 f(x)4xlog32 的解集為()a(0，)b(1，)c(，0)d(，1)解析：選 c由 f(x)log3(9x1)mx 是偶函數(shù)，得 f

19、(x)f(x)，即 log3(9x1)m(x)log3(9x1)mx，變形可得 m1，即 f(x)log3(9x1)x，設(shè) g(x)f(x)4xlog3(9x1)3x，易得 g(x)在 r 上為增函數(shù)，且 g(0)log3(901)log32，則 f(x)4xlog32g(x)g(0)，則有 x0，且 a1，所以 uax3 為增函數(shù)，所以若函數(shù) f(x)為增函數(shù)，則 f(x)logau 必為增函數(shù)，所以 a1.又 uax3 在1，3上恒為正，所以 a30，即 a3.答案：(3，)4設(shè)實(shí)數(shù) a，b 是關(guān)于 x 的方程|lg x|c 的兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根，且 ab10，則 abc 的取值范圍是_解析：由題意知，在(0，10)上，函數(shù)