通用版2020版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第5講函數(shù)的單調(diào)性與最值學(xué)案理新人教A版20190313377

1、第5講函數(shù)的單調(diào)性與最值1.單調(diào)函數(shù)的定義增函數(shù)減函數(shù)定義一般地,設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閕,如果對(duì)于定義域i內(nèi)某個(gè)區(qū)間d上的任意兩個(gè)自變量的值x1,x2當(dāng)x1<x2時(shí),都有,那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間d上是增函數(shù) 當(dāng)x1<x2時(shí),都有,那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間d上是減函數(shù) 圖像描述自左向右看圖像是 自左向右看圖像是 2.單調(diào)區(qū)間的定義如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間d上是,那么就說函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性,叫作函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間. 3.函數(shù)的最值前提設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)閕,如果存在實(shí)數(shù)m滿足條件(

2、1)對(duì)于任意xi,都有f(x)m;(2)存在x0i,使得f(x0)=m(1)對(duì)于任意xi,都有; (2)存在x0i,使得 結(jié)論m為最大值m為最小值常用結(jié)論1.函數(shù)的單調(diào)性(1)若f(x),g(x)均為區(qū)間a上的增(減)函數(shù),則f(x)+g(x)也是區(qū)間a上的增(減)函數(shù).(2)若k>0,則kf(x)與f(x)單調(diào)性相同;若k<0,則kf(x)與f(x)單調(diào)性相反. (3)函數(shù)y=f(x)(f(x)>0)在公共定義域內(nèi)與y=-f(x),y=1f(x)的單調(diào)性相反.(4)函數(shù)y=f(x)(f(x)0)在公共定義域內(nèi)與y=f(x)的單調(diào)性相同.(5)復(fù)合函數(shù)單調(diào)

3、性的確定方法:若兩個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)的單調(diào)性相同,則這兩個(gè)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)為增函數(shù);若兩個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)的單調(diào)性相反,則這兩個(gè)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)為減函數(shù).簡(jiǎn)稱“同增異減”.2.單調(diào)性定義的等價(jià)形式:設(shè)x1,x2a,b,x1x2.(1)若有(x1-x2)f(x1)-f(x2)>0或f(x1)-f(x2)x1-x2>0,則f(x)在閉區(qū)間a,b上是增函數(shù);(2)若有(x1-x2)f(x1)-f(x2)<0或f(x1)-f(x2)x1-x2<0,則f(x)在閉區(qū)間a,b上是減函數(shù).3.函數(shù)最值的兩條結(jié)論:(1)閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定存在最大值和最小值,當(dāng)函數(shù)在閉區(qū)間上單調(diào)時(shí)最值一定在端點(diǎn)處取得.

4、(2)開區(qū)間上的“單峰”函數(shù)一定存在最大值或最小值.題組一常識(shí)題1.教材改編 函數(shù)f(x)=(2a-1)x-3是r上的減函數(shù),則a的取值范圍是. 2.教材改編 函數(shù)f(x)=(x-2)2+5(x-3,3)的單調(diào)遞增區(qū)間是;單調(diào)遞減區(qū)間是. 3.教材改編 函數(shù)f(x)=3x+1(x2,5)的最大值與最小值之和等于. 4.教材改編 函數(shù)f(x)=|x-a|+1在2,+)上是增函數(shù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是. 題組二常錯(cuò)題索引:求單調(diào)區(qū)間忘記定義域?qū)е鲁鲥e(cuò);對(duì)于分段函數(shù),一般不能整體單調(diào),只能分段單調(diào);利用單調(diào)性解不等式忘記在單調(diào)區(qū)間內(nèi)求解;混淆“單調(diào)區(qū)間”與“在

5、區(qū)間上單調(diào)”兩個(gè)概念.5.函數(shù)f(x)=ln(4+3x-x2)的單調(diào)遞減區(qū)間是. 6.已知函數(shù)f(x)=(a-2)x,x2,12x-1,x<2是定義在r上的減函數(shù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍為. 7.函數(shù)y=f(x)是定義在-2,2上的減函數(shù),且f(a+1)<f(2a),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是. 8.(1)若函數(shù)f(x)=x2+2(a-1)x+2在區(qū)間(-,4上是減函數(shù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是. (2)若函數(shù)f(x)=x2+2(a-1)x+2的單調(diào)遞減區(qū)間為(-,4,則a的值為. 探究點(diǎn)一函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明例1 判斷函數(shù)f(x)=ax+x-

6、3x+2(a>1),x(-2,+)的單調(diào)性,并用單調(diào)性的定義證明你的結(jié)論.        總結(jié)反思 (1)定義法證明函數(shù)單調(diào)性的一般步驟:任取x1,x2d,且x1<x2;作差f(x1)-f(x2);變形(通常是因式分解和配方);定號(hào)(即判斷f(x1)-f(x2)的正負(fù));下結(jié)論(即指出函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間d上的單調(diào)性).變式題 (1)下列函數(shù)中,在(0,+)上單調(diào)遞增的函數(shù)是()a.y=-x2+1b.y=|x-1|c.y=1-1x-1d.y=ln x+x(2)2018·茂名二聯(lián) 設(shè)函數(shù)f(

7、x)在r上為增函數(shù),則下列結(jié)論一定正確的是()a.y=f(x)2在r上為增函數(shù)b.y=|f(x)|在r上為增函數(shù)c.y=2-f(x)在r上為減函數(shù)d.y=-f(x)3在r上為增函數(shù)探究點(diǎn)二求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間例2 (1)2018·石嘴山一模 函數(shù)y=ln(-x2+2x+3)的單調(diào)遞增區(qū)間是()a.(-1,1b.1,3)c.(-,1d.1,+)(2)設(shè)函數(shù)f(x)=1,x>0,0,x=0,-1,x<0,g(x)=x2f(x-1),則函數(shù)g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是.    總結(jié)反思 (1)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的常見方法:定義法;圖像法;導(dǎo)數(shù)法.(2

8、)求復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟為:確定函數(shù)的定義域;求簡(jiǎn)單函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;求復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,其依據(jù)是“同增異減”.(3)單調(diào)區(qū)間只能用區(qū)間表示,不能用集合或不等式表示,有多個(gè)單調(diào)區(qū)間應(yīng)分開寫,不能用并集符號(hào)“”連接.變式題 (1)2019·成都七中一診 函數(shù)f(x)=x2-2x-8的單調(diào)遞增區(qū)間是()a.(-,-2b.(-,1c.1,+)d.4,+)(2)已知函數(shù)f(x)=-x|x|+2x,則下列結(jié)論正確的是()a.f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,+)b.f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(-,0)c.f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-,-1) d.f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-1,1)探究點(diǎn)三利用

9、函數(shù)單調(diào)性解決問題微點(diǎn)1利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小例3 已知f(x)是定義在(0,+)上的函數(shù),對(duì)任意兩個(gè)不相等的正數(shù)x1,x2,都有x2f(x1)-x1f(x2)x1-x2>0.記a=f(30.2)30.2,b=f(0.32)0.32,c=f(log25)log25,則()a.a<b<cb.b<a<cc.c<a<bd.c<b<a   總結(jié)反思 比較函數(shù)值的大小時(shí),應(yīng)先將自變量轉(zhuǎn)化到同一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi),再利用函數(shù)的單調(diào)性去比較大小.微點(diǎn)2利用函數(shù)的單調(diào)性解決不等式問題例4 (1)2018·廣州模擬 已知函

10、數(shù)f(x)=log2(4x+1)+x,則不等式f(log3x)<1的解集為()a.(0,1)b.(0,2)c.(-1,0)d.(-1,1)(2)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閞,對(duì)任意x1<x2,都有f(x1)-f(x2)<x1-x2,且f(2)=3,則不等式f(3x-1)>3x的解集為()a.(2,+)b.(-,2)c.(1,+)d.(-,1)   總結(jié)反思 解函數(shù)不等式的理論依據(jù)是函數(shù)單調(diào)性的定義,具體步驟是:(1)將函數(shù)不等式轉(zhuǎn)化成f(x1)>f(x2)的形式;(2)考查函數(shù)f(x)的單調(diào)性;(3)據(jù)函數(shù)f(x)的單調(diào)性去掉法則“f

11、”,轉(zhuǎn)化為形如“x1>x2”或“x1<x2”的常規(guī)不等式,從而得解.微點(diǎn)3利用函數(shù)的單調(diào)性求最值問題例5 (1)已知a>0,設(shè)函數(shù)f(x)=2018x+1+20172018x+1+2018x3(x-a,a)的最大值為m,最小值為n,則m+n的值為()a.2018b.2019c.4035d.4036(2)2018·龍巖質(zhì)檢 函數(shù)f(x)=13x-log2(x+4)在區(qū)間-2,2上的最大值為.    總結(jié)反思 若函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上單調(diào),則必在區(qū)間的端點(diǎn)處取得最值;若函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上不單調(diào),則最小值為函數(shù)f(x)在

12、該區(qū)間內(nèi)的極小值和區(qū)間端點(diǎn)值中最小的值,最大值為函數(shù)f(x)在該區(qū)間內(nèi)的極大值和區(qū)間端點(diǎn)值中最大的值.微點(diǎn)4利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的范圍(或值)例6 (1)2018·南充三模 已知f(x)=(3-a)x,x(-,1,ax,x(1,+)是r上的增函數(shù),那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是()a.(0,3)b.(1,3)c.(1,+)d.32,3(2)已知函數(shù)f(x)=e|x-a|(a為常數(shù)),若f(x)在區(qū)間1,+)上是增函數(shù),則a的取值范圍是.    總結(jié)反思 (1)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性,將題設(shè)條件轉(zhuǎn)化為含參數(shù)的不等式(組),即可求出參數(shù)的值或范圍;(2)若分段

13、函數(shù)是單調(diào)函數(shù),則不僅要保證在各區(qū)間上單調(diào)性一致,還要確保在整個(gè)定義域內(nèi)是單調(diào)的.應(yīng)用演練1.【微點(diǎn)1】2018·南陽第一中學(xué)模擬 已知a,br,0<a<b<1,則下列不等式錯(cuò)誤的是()a.a3<b3b.2a<2bc.log2a<log3bd.loga2<logb22.【微點(diǎn)3】設(shè)函數(shù)f(x)=2xx-2在區(qū)間3,4上的最大值和最小值分別為m,m,則m2m=()a.23b.38c.32d.833.【微點(diǎn)4】已知函數(shù)f(x)=ax2-2x-5a+6對(duì)任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)x1,x22,+),都有不等式f(x2)-f(x1)x2-x1>0成立

14、,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()a.(0,+)b.12,+c.0,12d.12,24.【微點(diǎn)2】2018·昆明檢測(cè) 已知函數(shù)f(x)=e-x,x0,-x2-2x+1,x>0,若f(a-1)f(-a),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()a.-,12b.12,+c.0,12d.12,15.【微點(diǎn)3】2018·河南六市聯(lián)考 若函數(shù)f(x)=|x|-1x2,1|x|9的最大值為m,最小值為m,則m-m=()a.24181b.24281c.269d.319第5講函數(shù)的單調(diào)性與最值考試說明 1.理解函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值及其幾何意義.2.會(huì)運(yùn)用基本初等函數(shù)圖像分析函數(shù)的性質(zhì).【課前雙基鞏固

15、】知識(shí)聚焦1.f(x1)<f(x2)f(x1)>f(x2)上升的下降的2.增函數(shù)或減函數(shù)區(qū)間d3.f(x)mf(x0)=m對(duì)點(diǎn)演練1.a<12解析 當(dāng)2a-1<0,即a<12時(shí),f(x)是r上的減函數(shù).2.(2,3-3,2解析 由函數(shù)f(x)=(x-2)2+5(x-3,3)的圖像(圖略)即可得到單調(diào)區(qū)間.3.32解析 函數(shù)f(x)=3x+1在2,5上是減函數(shù),所以最大值為f(2)=1,最小值為f(5)=12,所以最大值與最小值之和為1+12=32.4.a2解析 因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=|x-a|+1的單調(diào)遞增區(qū)間是a,+),當(dāng)f(x)在2,+)上單調(diào)遞增時(shí),滿足2,+)

16、a,+),所以a2.5.32,4解析 函數(shù)f(x)的定義域是(-1,4),u(x)=-x2+3x+4=-x-322+254,x(-1,4)的單調(diào)遞減區(qū)間為32,4,函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為32,4.6.-,138解析 由題知a-2<0,(a-2)×2122-1,解得a138,即實(shí)數(shù)a的取值范圍是-,138.7.-1,1)解析 由條件知-2a+12,-22a2,a+1>2a,解得-1a<1.8.(1)a-3(2)-3解析 (1)函數(shù)圖像的對(duì)稱軸為直線x=1-a,由1-a4,得a-3.(2)函數(shù)圖像的對(duì)稱軸為直線x=1-a,由1-a=4,得a=-3.【課堂考點(diǎn)探究】

17、例1思路點(diǎn)撥 直接判斷單調(diào)性即可,再按照單調(diào)性的定義證明單調(diào)性.解:該函數(shù)在(-2,+)上單調(diào)遞增.證明如下: 任取x1,x2(-2,+),不妨設(shè)x1<x2,則x2-x1>0,x1+2>0,x2+2>0,又a>1,所以ax2>ax1,即有ax2-ax1>0,所以f(x2)-f(x1)=ax2+x2-3x2+2-ax1-x1-3x1+2=(ax2-ax1)+(x2-3)(x1+2)-(x1-3)(x2+2)(x1+2)(x2+2)=(ax2-ax1)+5(x2-x1)(x1+2)(x2+2)>0,故函數(shù)f(x)在(-2,+)上單調(diào)遞增.變式題(1)

18、d(2)c解析 (1)對(duì)于選項(xiàng)a,函數(shù)y=-x2+1在(0,+)上單調(diào)遞減,故a錯(cuò);對(duì)于選項(xiàng)b,函數(shù)y=|x-1|在(0,+)上先減后增,故b錯(cuò);對(duì)于選項(xiàng)c,函數(shù)y=1-1x-1在(0,1)和(1,+)上均單調(diào)遞增,但在(0,+)上不單調(diào)遞增,故c錯(cuò);對(duì)于選項(xiàng)d,函數(shù)y=ln x+x在(0,+)上單調(diào)遞增,所以d正確.(2)a錯(cuò),比如f(x)=x在r上為增函數(shù),但y=f(x)2在r上不具有單調(diào)性;b錯(cuò),比如f(x)=x在r上為增函數(shù),但y=|f(x)|=|x|在(0,+)上為增函數(shù),在(-,0)上為減函數(shù);c對(duì),f(x)在r上為增函數(shù),所以-f(x)在r上單調(diào)遞減,所以y=2-f(x)在r上為

19、減函數(shù);d錯(cuò),比如f(x)=x在r上為增函數(shù),但y=-f(x)3=-x3在r上為減函數(shù).故選c.例2思路點(diǎn)撥 (1)先令t=-x2+2x+3>0求得函數(shù)的定義域,再根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)判定函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;(2)作出函數(shù)g(x)的圖像,由圖像可得單調(diào)遞減區(qū)間.(1)a(2)0,1)解析 (1)令t=-x2+2x+3>0,求得-1<x<3,故函數(shù)的定義域?yàn)?-1,3).由二次函數(shù)的性質(zhì)可知,t=-(x-1)2+4,x(-1,3)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-1,1,故函數(shù)y=ln(-x2+2x+3)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-1,1.(2)由題意知g(x)=x2,x>1,0,

20、x=1,-x2,x<1,該函數(shù)的圖像如圖所示,其單調(diào)遞減區(qū)間是0,1).變式題(1)d(2)d解析 (1)由x2-2x-80得x4或x-2.令t=x2-2x-8,則y=t為增函數(shù),又t=x2-2x-8在4,+)上單調(diào)遞增,原函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為4,+),故選d.(2)由題意可得函數(shù)的定義域?yàn)閞.函數(shù)f(x)=-x|x|+2x,f(-x)=x|-x|-2x=-f(x),f(x)為奇函數(shù).當(dāng)x0時(shí),f(x)=-x2+2x=-(x-1)2+1,由二次函數(shù)的性質(zhì)可知,函數(shù)在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,+)上單調(diào)遞減;由奇函數(shù)的性質(zhì)可得,函數(shù)在(-1,0)上單調(diào)遞增,在(-,-1)上單調(diào)遞減.綜

21、上可得,函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-1,1). 故選d.例3思路點(diǎn)撥 先根據(jù)已知條件判定y=f(x)x的單調(diào)性,再比較大小.b解析 f(x)是定義在(0,+)上的函數(shù),對(duì)任意兩個(gè)不相等的正數(shù)x1,x2,都有x2f(x1)-x1f(x2)x1-x2>0,函數(shù)y=f(x)x是(0,+)上的增函數(shù).1<30.2<30.5=3<2,0<0.32<1,log25>2,0<0.32<30.2<log25,b<a<c.故選b.例4思路點(diǎn)撥 (1)分析函數(shù)的單調(diào)性,將不等式轉(zhuǎn)化為f(log3x)<f(0),進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為求解log3x&l

22、t;0即可;(2)構(gòu)造函數(shù),利用單調(diào)性把所求不等式中的函數(shù)符號(hào)去掉,得出一般的不等式,解該不等式即可.(1)a(2)c解析 (1)易知函數(shù)f(x)=log2(4x+1)+x是r上的增函數(shù),且f(0)=log2(1+1)=1,所以f(log3x)<1可以轉(zhuǎn)化為f(log3x)<f(0),結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可以將不等式轉(zhuǎn)化為log3x<0,解得0<x<1,從而得原不等式的解集為(0,1).(2)由已知條件知f(x1)-x1<f(x2)-x2對(duì)任意x1<x2恒成立,故函數(shù)g(x)=f(x)-x為r上的增函數(shù),且g(2)=f(2)-2=1.不等式f(3x-1)&

23、gt;3x,即f(3x-1)-(3x-1)>1,即g(3x-1)>1=g(2),所以3x-1>2,得3x>3,解得x>1,故所求不等式的解集為(1,+).例5思路點(diǎn)撥 (1)對(duì)原函數(shù)解析式化簡(jiǎn)變形,利用常見函數(shù)的單調(diào)性確定f(x)的單調(diào)性,從而得到函數(shù)的最大值和最小值;(2)函數(shù)f(x)可看成是由函數(shù)y=13x和函數(shù)y=-log2(x+4)組合而成的,分別考查這兩個(gè)函數(shù)的單調(diào)性可得函數(shù)f(x)在區(qū)間-2,2上的最大值.(1)c(2)8解析 (1)f(x)=2018x+1+20172018x+1+2018x3=2018(2018x+1)-12018x+1+2018x

24、3=2018-12018x+1+2018x3.因?yàn)閥=-12018x+1,y=2018x3均為增函數(shù),所以f(x)在-a,a上單調(diào)遞增,故最大值為f(a),最小值為f(-a),所以m+n=f(a)+f(-a)=2018-12018a+1+2018a3+2018-12018-a+1+2018(-a)3=4036-1=4035.(2)因?yàn)楹瘮?shù)y=13x和函數(shù)y=-log2(x+4)是定義域內(nèi)的減函數(shù),所以函數(shù)f(x)=13x-log2(x+4)在區(qū)間-2,2上單調(diào)遞減,則所求函數(shù)的最大值為f(-2)=13-2-log2(-2+4)=9-1=8.例6思路點(diǎn)撥 (1)根據(jù)一次函數(shù)以及指數(shù)函數(shù)的性質(zhì),結(jié)

25、合函數(shù)的單調(diào)性得到不等式組,解出即可.(2)根據(jù)解析式求出所給函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間,利用1,+)是所得單調(diào)遞增區(qū)間的子集,求得a的取值范圍.(1)d(2)(-,1解析 (1)由題意得3-a>0,a>1,3-aa,解得32a<3,故選d.(2)f(x)=e|x-a|=ex-a,xa,ea-x,x<a,f(x)在a,+)上為增函數(shù),則由題意得1,+)a,+),a1.應(yīng)用演練1.d解析 因?yàn)楹瘮?shù)y=x3與函數(shù)y=2x在定義域內(nèi)單調(diào)遞增,所以a,b正確;由log2a<log3a<log3b可得c正確;函數(shù)y=log2x單調(diào)遞增,所以log2a<log2b<

26、0,所以1log2a>1log2b,即loga2>logb2,所以d錯(cuò)誤.故選d.2.d解析 由題意得f(x)=2xx-2=2+4x-2,所以函數(shù)f(x)在區(qū)間3,4上單調(diào)遞減,所以m=f(3)=2+43-2=6,m=f(4)=2+44-2=4,所以m2m=426=83.故選d.3.d解析 因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=ax2-2x-5a+6對(duì)任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)x1,x22,+),都有不等式f(x2)-f(x1)x2-x1>0成立,所以函數(shù)f(x)=ax2-2x-5a+6在2,+)上單調(diào)遞增.易知a=0時(shí)不合題意,所以只需a>0,a×22-2×2-5a+60,

27、-22a2,解得12a2,即實(shí)數(shù)a的取值范圍是12,2,故選d.4.a解析 函數(shù)f(x)=e-x=1ex在(-,0上為減函數(shù),函數(shù)f(x)=-x2-2x+1在(0,+)上為減函數(shù),且e-0=-02-2×0+1,所以函數(shù)f(x)在(-,+)上為減函數(shù).由f(a-1)f(-a)得a-1-a,解得a12.故選a.5.b解析 令t=|x|,1t9,則f(x)=g(t)=t-1t2,由y=t,y=-1t2在1,9上單調(diào)遞增,可得g(t)=t-1t2在1,9上單調(diào)遞增,所以f(x)的最小值m=g(1)=1-112=0,f(x)的最大值m=g(9)=9-192=24281,所以m-m=24281,

28、故選b.【備選理由】 例1考查抽象函數(shù)單調(diào)性的證明以及函數(shù)不等式的求解,考查轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算能力;例2考查的是有關(guān)函數(shù)值比較大小的問題,在求解的過程中,需要抓住題中的條件f(1+x)=f(1-x),得到函數(shù)圖像的對(duì)稱性,再結(jié)合單調(diào)性比較大小;例3需要構(gòu)造函數(shù),利用函數(shù)單調(diào)性求解,考查學(xué)生的觀察能力和運(yùn)用條件的能力,有一定的難度;例4涉及絕對(duì)值函數(shù)的最值問題,一般利用絕對(duì)值定義去掉絕對(duì)值,將函數(shù)轉(zhuǎn)化為分段函數(shù),再根據(jù)函數(shù)單調(diào)性確定函數(shù)的最值.例1配合例1使用 函數(shù)f(x)對(duì)任意的m,nr都有f(m+n)=f(m)+f(n)-1,并且當(dāng)x>0時(shí),恒有f(x)>1.(1)求證:f(x)在r

29、上是增函數(shù);(2)若f(3)=4,解不等式f(a2+a-5)<2.解:(1)證明:設(shè)x1,x2r,且x1<x2,則x2-x1>0,所以f(x2-x1)>1,所以f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)+x1-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1)>0,即f(x2)>f(x1),所以f(x)是r上的增函數(shù). (2)因?yàn)閙,nr,不妨設(shè)m=n=1,所以f(1+1)=f(1)+f(1)-1,即f(2)=2f(1)-1,所以f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)-1=2f(1)-1+f(1)-1=3f(1)-2=4,所以f(1)=2,所以f(a2+a-5)<2等價(jià)于f(a2+a-5)<f(1).因?yàn)閒(x)在r上為增函數(shù),所以a2+a-5<1,得-3<a<2,即a(-3,2).例2配合例3使用 2018·莆田質(zhì)檢 設(shè)函數(shù)f