數(shù)理經(jīng)濟學第6章課后題答案

1、第六章 習題答案1考慮如下最優(yōu)化問題 用圖解法解此題。并檢驗均衡解點是否滿足（1）約束規(guī)格；（2）庫恩塔克極大化條件解： 可行域為OAB BAOx1x2利用圖解法求的均衡點為，對于來說，有，因此該約束規(guī)格是緊的。構建拉格朗日函數(shù) 符合條件2考慮如下最優(yōu)化問題用圖解法解此題。并檢驗均衡解點是否滿足（1）約束規(guī)格；（2）庫恩塔克極大化條件解：利用圖解法求的均衡點為， 求法同上，可知約束規(guī)范是緊的構建拉格朗日函數(shù) 符合條件 x1Ox23. 考慮如下最優(yōu)化問題檢驗均衡解點是否滿足（1）約束規(guī)格；（2）庫恩塔克極大化條件解： x2x1利用圖解法求的均衡點為， 求法同上，可知約束規(guī)范是緊的構建拉格朗日函數(shù)

2、 不符合條件4寫出下面優(yōu)化問題的一階必要條件解：一階必要條件為：5求解下面最優(yōu)化問題（1） （2） （3） （4） （5） 解：（1）一階必要條件為：解得（2）圖解法x1BCA0x2可行域為，均衡解點(3) 一階必要條件為：(4) 一階必要條件為：解得(5) 一階必要條件為：解得6考慮如下最優(yōu)化模型 證明：（1）均衡解不滿足庫恩-塔克條件；（2）當引進新乘數(shù)，把拉格朗日函數(shù)修改成如下形式，則在點處滿足庫恩-塔克條件。解：（1）一階必要條件為：不符合K-T條件。（2）此時，一階必要條件為：當時，符合K-T條件7消費者對兩種商品的偏好用效用函數(shù)表示為假設消費者的收入為12元，兩種商品價格分別為。試

3、求最優(yōu)的商品組合。解：由題意知，一階必要條件為：解得8求解消費者問題效用極大值點，并利用二階充分條件判斷極大值點是否為最大化值點。解：一階必要條件為：解得驗證其為負定。9一個消費者生活在小島上，那里只生產兩種產品，和，生產可能前沿是，他消費所有的產品，她的效用函數(shù)是，這個消費者同時面臨環(huán)境對于她所能生產的兩種產品總額上的約束，約束條件是（1）寫出庫恩塔克一階條件（2）求消費者最優(yōu)的和，確定約束條件是否發(fā)揮限制作用。解：（1）K-T一階條件為：（2）假設第二個約束條件（定量配額）沒有發(fā)揮作用，由互補松弛性得，故有解得，因故為K-T條件最終解。反之解得，因故被拒絕。10一家電子公司在外國設立一個發(fā)

4、電站?，F(xiàn)在需要規(guī)劃其產能。電力需求的高峰時段的需求函數(shù)是,非高峰時段的需求函數(shù)是。變動成本是20（兩個市場都要支付），產能成本是每單位10，只要一次支付并且可以在兩個時期中使用。（1）寫出這個問題的拉格朗日條件和庫恩塔克條件。（2）求出這個問題中的最優(yōu)產量和產能。（3）每個市場分別能支付多少（即和的值是多少）（4）現(xiàn)在假設產能成本是每單位30（只需要支付一次）。求出數(shù)量、產量以及每個市場為產能所支付的費用（即和）。11給定最優(yōu)化問題（1） 為了得到可應用的極大化的充分條件，哪些凹凸條件需要追加在和上？（2） 論述極小化問題的庫恩塔克條件。解：（1）對于極大化問題，存在下列充分條件： 如果滿足：

5、 a.目標函數(shù)為凹函數(shù)且可微； b.每個約束函數(shù)為凸函數(shù)且可微； c.點滿足庫恩塔克極大化條件。 則點為目標函數(shù)的整體極大值點。 對于極小化問題，存在下列充分條件： 如果滿足： a.目標函數(shù)為凸函數(shù)且可微； b.每個約束函數(shù)為凹函數(shù)且可微； C.點滿足庫恩塔克極小化條件。（2）構造拉格朗日函數(shù)，如果若為該問題的均衡解，則存在拉格朗日乘數(shù)使得滿足庫恩塔克必要條件： 12對于下面問題，庫恩塔克充分性定理是否適用（1），（2）  13考慮如下模型 （a）庫恩塔克充分性定理可以應用這個問題嗎？庫恩塔克極小值條件是充分必要條件嗎？（b）寫出庫恩塔克條件，并求解最優(yōu)值（）。由庫恩

6、83;塔克充分性定理知：要滿足：a.目標函數(shù)為凸函數(shù)且可微；b.每個約束函數(shù)為凹函數(shù)且可微；（1） 中，為兩個凸函數(shù)之和，故為連續(xù)可微凸函數(shù)；為線性函數(shù)，連續(xù)可微凹函數(shù)。（2） （2）中，為線性函數(shù)；為凸函數(shù)與線性函數(shù)之和，不為凹函數(shù)，故，不滿足充分性條件。（1）滿足上題a.b條件，即可適用充分性定理：題中為兩個凸函數(shù)之和，為連續(xù)可微凸函數(shù)；為線性函數(shù)，故，滿足充分性定理； 又，為滿足必要性定理，則需滿足約束規(guī)格：任意x，存在，梯度矩陣秩為1，故，滿足約束規(guī)格。（2） 極小化問題的帶非負約束的庫恩塔克一階必要條件為： 構造拉格朗日函數(shù)，如果若為該問題的均衡解，則存在拉格朗日乘數(shù)使得滿足庫恩塔克

7、必要條件： 解：構造拉格朗日函數(shù) 庫恩塔克一階必要條件為 解之得，a.若，則可得，與（2）式矛盾。 b.若，則，或者，則，均與（1）矛盾； C.若，則可得，綜上，（1,1）為其極值點。14給定非線性規(guī)劃問題試確定滿足該問題的庫恩塔克條件的點，并且（1）在這些點處，檢驗約束規(guī)格是否成立；（2）在這些點處，檢驗庫恩塔克充分性定理是否成立。解：構造拉格朗日函數(shù)：，則均衡解滿足如下的一階必要條件： （1） （2） （3）解之得，滿足上面式子的解為。（1） 檢驗約束規(guī)格，帶入（-1,0）得矩陣（-2,0），秩為1，滿足線性獨立約束規(guī)格；（2）下面驗證二階充分條件，由于，所以。構造如下海塞加邊矩陣 驗證后

8、一個加邊主子式的符號即可。在點處，與同號，所以是目標函數(shù)的一個極大值點。15假定兩種投入要素的生產函數(shù)，其中，分別為兩種要素的投入量。假設兩種要素投入的價格向量，每月費用支出不超過10000，為使每個月的產出極大化，該廠商應該如何安排每月的要素投入量（要求檢驗二階充分條件）。解：有題目得極大化模型為： 首先驗證約束規(guī)格，梯度矩陣秩為1，滿足約束規(guī)格； 構造拉格朗日函數(shù) 庫恩塔克一階必要條件為 解之得，滿足上式的極大值解為。 檢驗二階充分條件，由于，所以。構造如下海塞加邊矩陣 驗證后一個加邊主子式的符號即可。在點處，與同號，所以是目標函數(shù)的一個極大值點。16考慮下面最優(yōu)化問題寫出與其對應的拉格朗

9、日函數(shù)以及一階必要條件，并求出該函數(shù)的鞍點。解：對應的庫恩塔克條件為:分四種情況討論：（1），解矛盾，舍去（2）則，解得（）是可能的極值點（3），則，解得（），（）是可能的極值點（4），解得（）是可能的極值點。17考慮下面最優(yōu)化問題（1） 證明該問題得拉格朗日函數(shù)在可行域內沒有鞍點；（2） 考慮該問題的等價形式其中為參數(shù)。該問題得拉格朗日函數(shù)是否也不存在鞍點？是說明理由。解：（1）拉格朗日函數(shù)為 庫恩塔克一階必要條件為 解得該拉格朗日函數(shù)載可行域內沒有鞍點。（2）拉格朗日函數(shù)為 庫恩塔克一階必要條件為 時，該拉格朗日函數(shù)載可行域內沒有鞍點。18考慮極大化問題（1） 求目標函數(shù)的最優(yōu)值在處的導數(shù)

10、。（2） 根據(jù)（1），估計出當由1變?yōu)?.02時，目標函數(shù)的最優(yōu)值的改變量為多少？估計新問題目標函數(shù)的最優(yōu)值。解：拉格朗日函數(shù)為 庫恩塔克一階必要條件為 可得，當時，時； 時，； 時，；故（0,0）是極值點。同理，時，函數(shù)最優(yōu)解為，。19考慮極大化問題利用包絡定理解決下面的問題：（1） 求目標函數(shù)的均衡解在處分別關于和的偏導數(shù)。（2） 根據(jù)（1），估計當、由16變?yōu)?6.03時，目標函數(shù)的均衡解的改變量為多少？估計新問題目標函數(shù)的均衡解？（3） 根據(jù)（1），估計當、由4變?yōu)?.98時，目標函數(shù)的均衡解的改變量為多少？估計新問題目標函數(shù)的均衡解？（4） 根據(jù)（1），估計由16變?yōu)?6.03、由4變?yōu)?.98時，目標函數(shù)的均衡解的改變量為多少？估計新問題目標函數(shù)的均衡解？解：（1）拉格朗日條件為：，將（a,b）=(16,4)代入得，故（8,2，2）是均衡解，（2）目標函數(shù)均衡解的改變量為：，新目標函數(shù)的均衡解為16.06。（3）目標函數(shù)均衡解的改變量為：，新問題目標函數(shù)的均衡解為16.08。（4）目標函數(shù)均衡解的改變量為：0.06+0.08=0.14新問題目標函數(shù)的均衡解為16.14。20考慮極大化問題利用包絡定理解決以下問題：（1）求目標函數(shù)的均衡解在處分別關于和的偏導數(shù)。（2）根據(jù)（1），估計當、由1變?yōu)?.01時，目