計算方法上機實驗指導

1、計算方法上機實驗指導、非線性方程求解(一) 問題的指出二分法1. 方法概要假定/(x)在a,切上連續(xù),/(«)/(/?)< 0口/(兀)在(d,b)內僅有一實根f取區(qū)間中點 c,若/(c) = 0,則c恰為其根，否則，根據0是否成立，可判斷出根所屬的 新的有根子區(qū)間(a,c)或(c,b),為節(jié)省內存，仍稱其為運算重復進行，直到滿足精 度耍求為止，即lc flvb avg。式中為新的有根子區(qū)間的端點。2. 計算框圖nowton迭代法1.方法概要兀0為初始猜測,則由遞推關系xx廠嵌產牛逼近解t的迭代序列",這個遞推公式就是newton法。當兀。距f較近時，%,很快收斂于t

2、。但當x。選擇不當時，會導致兀發(fā)散。故我們事先規(guī)定迭代的最多次數。若 超過這個次數，述不收斂，則停止迭代另選初值。2 計算框圖(-)目的學握二分法與t-頓法的基本原理及應用(三)要求1. 用二分法計算方程2sin %- = ()2在(1, 2)內的根的近似值2. 用二分法計算方程兀3 - x -1 = 0 在(1, 1.5)內的根的近似值 = ().5><10一5) o3.用牛頓法求下列非線性方程的近似根。加 1 = 0xq 0.5x3 - x -1 = 0兀0 = 1（兀一1尸（2 兀一1） = 0兀o = 0.45x() = 0.654.用改進的牛頓法無+i =兀一2心）計算方

3、程（兀一1）2（2兀 一 1） = （）兀0 =0.55的近似根，并與要求3.中的的結果進行比較。二、gauuss列主元消去法（）問題的提出由地一般線性方程組在使用gauss消去法求解時，從求解過程中可以清楚地看到，若 4嚴=（）,必須施以行交換的手續(xù)，才能使消去過程繼續(xù)下去。有時既使嚴工0,但其 絕對值很小，由于舍入誤差的影響，消去過程也會出現不穩(wěn)立現象。因此，為使這種不穩(wěn)定 現象發(fā)生的可能性減至最小，在施行消去過程時每一步都要選主元素，即要尋找行廠，使i a；：" 1= max i a：""丨i>k并將第廠行與第£行交換，以使此t的當前值（即心

4、的數值）遠人于0。這種列主元消去法的主要步驟如下：1. 消元過程對r=l,2,一1,做1°選主元，記i ark= max i aik ii>k若ar, =0,說明方程組系數矩陣奇界，則停止計算，否則進行2。2°交換4 （增廣矩陣）的廠,r兩行元素5 <akj j =,n + l3°計算a.tj=a.-aikakjlakkj = r + 1,，斤 + 12. 回代過程對k =仏卅一1,2,1,計算耳=（.卄1一 x a/）j=k-l其計算框圖如f：（二）目的1. 熟悉gauss列主元消去法,編出實用程序。2. 認識選主元技術的重耍性。3. 明確對于哪些系

5、數矩陣a ,在求解過程中不需使用選主元技術。（三）要求1. 編制程序，川gauss列主元消去法求解線性方程組ax = b,并打印結果，其屮_10-8231(1)a =-13.7124.623,b =2-21.0725.643_3_4-24'_10(2)a =-217 10b =3-410 9-72. 與不選主元的gauss消去法結果比較并分析原因。三、runge現象的產生和克服（）問題的提出在給定+1個插值節(jié)點和相應的函數值以后構造次插值多項式的方法。從余項的表達式看出，插值多項式與被插函數逼近的程度是同分點的數日及位置有關的。能不能說，分 點越多，插值多項式對函數的逼近程度越好呢？答

6、案是否定的，在本世紀初runge指出了 這種多項式插值的缺點。什么是runge現象呢?例：給定函數/w =11 + 25?2取等距節(jié)點齊=1 + /（心0,1,10）,試建立插值多項式0io，并研究它與/的誤差。插值多項式的次數為10,用拉格朗口插值公式有10010二/（k）/=0其中f (xi)=11 + 25#1 +討*1。（兀一兀0）（兀一兀）（無一兀+）（兀一州0）畫出它們的圖形,從圖中可以看出,在-0.20, 0區(qū)間內九）能較好地逼近/（%）, 但在其他部分0|（）（x）與/（兀）的差異較大，越靠近端點，逼近的效果越差。事實上可以證明, 對一這個函數在-1, 1區(qū)間內用 + 1個等距

7、節(jié)點作插值多項式血（兀），當” t 00時1 + 25x必 只能在1兀1<0.73內收斂，而在這個區(qū)間z外是發(fā)散的，這一現象稱為runge現象。從上面例子看到,在區(qū)間上給定等距插值節(jié)點，過這些插值節(jié)點作拉格朗fi插值多項式, 節(jié)點不斷加密時，構造的插值多項式的次數也不斷提高，但是，盡管被插值函數是連續(xù)的, 高次插值多項式也不一足收斂到相應的被插值函數。解決runge現象有分段線性插值，三次樣條插值等方法。分段線性插值：設在區(qū)間q,®上，給定” + 1插值節(jié)點a =兀。v 兀< < xn = b和相應的函數值兒】，兒，求作一個插值函數0（兀），具冇下面性質：（1）0（

8、形）=兒，）=0丄2,（2）0（兀）在每個小區(qū)間廠，兀田上是線性函數。插值函數0（切叫做區(qū)間上對數據a，x）a=o,i,）的分段線性插值函數。三次樣條插值給定區(qū)間切一個分劃a: a = x（< %）< < xa,. =h若函數ss）滿足下述兩條件：1）s（x）在每個小區(qū)間®_,©（/ = 1,2,n）上是3次多項式。2）s（x）及其直到2階導數在切連續(xù)。則稱s（x）是關于分劃的三次樣條函數。（-）目的1. 深刻認識多項式插ffi的缺點；2. 明確插值的不收斂性怎樣克服；3. 明確精度與節(jié)點、插值方法的關系。（三）要求給定函數/（%） =11 + 25?及節(jié)

9、點、xj) = 1,2,，n + 1,試用如下插值方法如何克服runge現象1. 用多項式插值計算出下列插值s冷,s” （0.06 + 0.1燈,sn （-0.06 - 0.1k）k =0,1,-,9 ,觀察是否會產生runge現象。2. 用下列方法進行計算，并且比較它們克服runge現象的效果。(1) 分段線性插值(2) 三次樣條函數插值(一)，條件為：|s1v(x.) = /(xy),丿丄1,n + 1s：(兀)=廠(®),心1,"+ 1(3) 三次樣條函數插值(二)，條件為sn(xj) = f(xj 丿=1,n l 二廣(兀)，心1,n-13. 編程序，打印結果分析。

10、(1) 編寫計算程序，調試計算，比較每種插值在插值點上與精確值的誤差是多少。(2) 同一種插值法，當節(jié)點增多時，精度怎樣？(3) 打卬程序、結果，寫出實驗報告。u9、多項式最小二乘法(一) 問題的提出對于給定的測量數據uf.j； )(/ = 1,2,/!)設函數分布為)心)=工勺禺(兀)7=0特別地，取禺(兀)為多項式形式(p (x) = xj j = 0,1,2,，加則根據最小二乘原理，可構造泛函h (兔"，, )二工(£ 一 y 幻禺(兀)2/=1 7=00則可得到法方程e e冏（兀）久（兀）勺=x /；久（兀）；=（）i=li=lk =0丄2,，n?求解該方程組，則可

11、得到解勺,舛衛(wèi)2，衛(wèi)加，因此可得到數據的最小二乘解f（x）xa j（pj（x）；=0（二）目的1. 學習使用最小二乘原理2. 了解法方程的特性（三）要求用最小二乘方法處理實驗數據。34567892.012.983.505.025.476.027.05并作出/（x）的近似分布圖。五、龍貝格積分法（）問題的提出考慮積分/(/)=bfmdxa欲求其近似值，可以采用如卜公式:（復化）梯形公式（復化）辛卜生公式"丈細a)+/a+j/=o le=-口/占”()12"t hs 二工家/(兀)+ 4/q+/3+jz=0 o1 24嚴s)（復化）柯特斯公式b_a(h、"-1 hc

12、= zw)+ 32/(x 1/=0/+432/(兀 3)+ 7/q+ji+42(b-a)(he =-）+ 12+2這里，梯形公式顯得算法簡單，具有如卜遞推關系1u “tmy因此，很容易實現從低階的計算結果推算岀高階的近似值，而只需要花費較少的附加換數計 算。但是，山于梯形公式收斂階較低，收斂速度緩慢。所以，如何提高收斂速度，口然是人 們極為關心的課題。為此，記g為將區(qū)間進行2人等份的復化梯形積分結果，t k為 將區(qū)間%進行2“等份的復化辛卜生積分結果，7；乂為將區(qū)間s，b進行2“等份的復化柯 特斯積分結果。根據李查遜（richardson）外推加速方法，可得到am t -t r s-hr+l

13、1 m-.k4" 一 1 0,1,2,、 嚴= 0,1,2,丿可以證明，如果/（兀）充分光滑，則有l(wèi)im, =/（/）（加固定）«t8'1訕幾。w）itoo這是一個收斂速度更快的一個數值求積公式，我們稱為龍貝格積分法。該方法的計算町按卜衣進行兀2 gi上0,0t2lot2 2,0工0,1jn丁2、葉 2很明顯，龍貝格計算過程在計算機上實現時，只需開辟一個一維數組，即每次計算的結果tna ,可存放在7；以位置上，其最終結果7；是存放在a。位置上。具體的計算過程為：1. 準備初值，計算hr 10 （£為等份次數）2. 按梯形公式的遞推關系，計算g+1 =to.

14、k +?可/ + 7（，+ *）3. 按龍貝格公式計算加速值amt-tqnripl1,r + 1加 "li 術一加1 c1a）, j y tn =7j 加=0,1,2,，k4. 精度控制。對給定的精度若i 幾,0 - n-1.0 k £則終止計算，并取t（5 <r- tms作為所求結果；否則k<-k + l,垂復24步，直到滿足精度 為止。(-)目的1. 理解和掌握龍貝格積分法的原理；2. 學會使用龍貝格積分法；3. 明確龍貝格積分法的收斂速度及應用時容易出現的問題。 (三)要求1. 用龍貝格積分法計算下列積分的近似值c loo .r 1 sin xc1 o(1

15、) i x3dx ；(2) i dx ；(3) i sinxdxj 6j() xj 02. 打卬龍貝格積分法的函數表，使積分結果更加清楚。3. 分析所出現的問題并加以討論。六、常微分方程初值問題的數值解法()問題的提出(6.1)-階常微分方程初值問題dx7(xo)= jo的數值解法是近似計算中很重要的部分。常微分方程初值問題的數值解法是求方程(6.1)的解在點列暫=兀心+他5 = 0,1,) 上的近似值兒，這里hn& xn_到?！钡牟介L，一般略去下標記為h o常微分方程初值問題的數值解法一般分為兩大類：(1) 單步法:這類方法在計算九時,只用到柿、£和兒,即前一步的值。因此,

16、在 有了初值以片就可以逐步往k計算。典型方法如龍格-庫塔(r - k)方法。(2) 多步法：這類方法在計算兒+|時，除用到?！?£和幾以外，述要用 兒_p(p = 1,2,r； r>0),即而面£步的值。典型方法如adams方法。經典的r-k方法是一個四階的方法，它的計算公式是：h兒+1=片+匸 +2k2+2k3+kjok】=f(xn,兒)<= jxn +£，兒 +£& )(6.2)= f(xn 兒+£心)k4 =f(xn+h,兒 +/%)r-k方法的優(yōu)點是：單步法、精度高，計算過程便于改變步長，缺點是計算量較大，每前進一步

17、需要計算四次函數值f 0四階adams預測-校止方法是一個線性多步法，它是山adams顯式公式和隱式公式組 成，計算公式是：九=兒+£（55九一59幾+37入一9幾3）z+1 = /uz?+1, y,i+1）h 兒+1 = yn + 方（9九+ +19力一 5 九一+九_2）a+l=/（xn+p 兒+j它的局部截斷誤差是y（兀+）-兒+嚴0（斥）。利用adams顯式和隱式公式具冇同階截斷誤預測校正（6.3）差但系數不同的特點，將截斷誤差以預測值和校止值來表示，在預測和校止公式中分別以它 們各自的截斷誤差來進行補足，可期望使精度進一步得到改善。用幾和-分別表示第/!步 兒的預測值和校正

18、值，修正后的預測-校正公式為:預測修正求/校正修正求導幾+嚴兒+魯（55九59幾+37幾2 -9仁）251、（6.4）mn+l= pn+l （cnpn）加：+】=/（£+】，加”+jh伽=兒+方帥爲+19九-5人+九_2）兒+ = c“+ 一 （c“_i 一 幾_| ）必+】=于（£+1,兒+1）由于開始無預測值和校正值可以利用，故令幾=c（）=0,以后就按上面步預計算。此 方法的優(yōu)點是：可以節(jié)省計算量（與r-k方法相比減少了函數/的計算次數）；缺點是： 它不是自開始的，需要先知道前面四個點的值兒,開，力，兒，因此，它不能獨立使用。另外, 它也不便于改變步長。（二）目的和意義通過實便，編寫程序上機計算，使得對常微分方程初值問題的數值解法有更深的理解， 掌握單步法和線性多步法是如何進行實際計算的及兩類方法的適用范闌和優(yōu)缺點，特別是對 這兩類方法中最有代表性的方法；r-k方法和adams方法及預測-校正方法有更好的理 解。通過這兩種方法的配合使用，掌握不同方法如何配合在一起，解決實際問題。（三）實際計算例題1. 初值問題（/ 2