直線參數(shù)方程中t的意義理解(高中數(shù)學精華)(共5頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上 專題:直線參數(shù)方程中的幾何意義幾點分析與解析一 知識點概述： 若傾斜角為的直線過點，t為參數(shù)，則該直線的參數(shù)方程可寫為 若直線過點M，直線與圓錐曲線交于兩點P、Q，則 |MP|、|MQ|的幾何意義就是：； |MP|+|MQ|的幾何意義就是：； |MP|·|MQ|的幾何意義就是：； |PQ|的幾何意義就是：. 若過點M、傾斜角為的直線l與圓錐曲線交于A、B兩點，則弦的中點坐標公式為：或，為常數(shù)，均不為零(其中 中點M的相應(yīng)參數(shù)為t，而，所以中點坐標也為： ) 若過點M、傾斜角為的直線l與圓錐曲線交于A、B兩點，且M恰為弦AB中點，則中點M的相應(yīng)參數(shù)：=0 （

2、因為，而均不為0，所以t=0）體會一：教學中一定要講清楚直線參數(shù)方程的推導(dǎo)過程，并且一定要強調(diào)其中參數(shù)T的由來。實際上由新課程標準人教A版數(shù)學選修課本中坐標系與參數(shù)方程的內(nèi)容我們知道，平面內(nèi)過定點、傾斜角為的直線的參數(shù)方程的標準形式為（t為參數(shù)），其中t表示直線上以定點為起點，任意一點P（x，y）為終點的有向線段的數(shù)量，當P點在上方時t為正，當P點在下方時t為負。體會二：教學中必須要強調(diào)參數(shù)T的幾何意義及兩個結(jié)論的引導(dǎo)應(yīng)用示范。實際上在教學中我們知道，由直線參數(shù)方程的推導(dǎo)過程及向量模的幾何意義等知識，很容易得參數(shù)t具有如下的兩個重要結(jié)論： 如果我們假設(shè)直線上兩點A、B所對應(yīng)的參數(shù)分別為，則：第

3、一：A、B兩點之間的距離為，特別地，A、B兩點到的距離分別為第二：A、B兩點的中點所對應(yīng)的參數(shù)為，若是線段AB的中點，則，反之亦然。 在解決坐標系與參數(shù)方程這一選考題，特別是直線的參數(shù)方程與曲線的參數(shù)方程或是極坐標方程有關(guān)的內(nèi)容的題目，最典型的是涉及直線與圓錐曲線相交所得的弦和弦長、或是求一點到某點的距離為定值、求弦的中點等有關(guān)方面的題目時，如果我們能夠充分利用參數(shù)t的上述兩個重要結(jié)論的話，我們的解題速度和解題正確率、得分率將得到的大大提高，我們的解題水準也必將得到巨大的提升。1、例如在求解與距離有關(guān)的題目時我們可以用結(jié)論一：例1、直線過點，傾斜角為，且與曲線C：相交于A、B兩點。（1）求弦長

4、AB. （2）求和的長 （3）解：（1）因為直線過點，傾斜角為，所以直線的參數(shù)方程為，即，（t為參數(shù)），而曲線C是圓，于是將直線的參數(shù)方程代入圓C的方程，得，整理得有參數(shù)T的幾何意義設(shè)A、B所對應(yīng)的參數(shù)分別為，則，所以（2） 解：由第一問解方程得，有參數(shù)的幾何意義同理可得，（3） 由于是由第一問的求解過程可知=2、再如在求解與點的坐標有關(guān)的題目時可以用結(jié)論二：例2、已知直線過點，傾斜角為，求出直線上到點的距離為5的點的坐標。解：因為直線過點，傾斜角為，所以直線的參數(shù)方程為，即，（t為參數(shù)）， （1）設(shè)直線上與已知點相距為5的點為P點，且P點對應(yīng)的參數(shù)為t，則，所以，將t的值代入（1）式，當t5

5、時，M點的坐標為； 當t5時，M點的坐標為，綜上，所求P點的坐標為或. 點評：若使用直線的普通方程，利用兩點間的距離公式求P點的坐標需要將直線方程代入曲線方程，消元后再用根與系數(shù)的關(guān)系，中點坐標公式來求解，相當麻煩，而我們使用直線的參數(shù)方程，充分利用參數(shù)t的幾何意義求P點的坐標就顯得比較容易。3、解決有關(guān)弦的中點問題時也可以用性質(zhì)二例3、過點，傾斜角為的直線和曲線線相交于M、N兩點，求線段MN的中點P的坐標。解：直線過點，傾斜角為，所以直線的參數(shù)方程為，（t為參數(shù)），因為直線和拋物線相交，將直線的參數(shù)方程代入拋物線方程中，得：，整理得，設(shè)這個二次方程的兩個根為，由韋達定理得，由P為線段MN的中

6、點，根據(jù)t的幾何意義，得，易知中點M所對應(yīng)的參數(shù)為，將此值代入直線的參數(shù)方程得，M點的坐標為（2，1）點評：對于上述直線的參數(shù)方程，M、N兩點對應(yīng)的參數(shù)為，則它們的中點所對應(yīng)的參數(shù)為將參數(shù)值代入直線參數(shù)方程后很快就可得到答案，這將十分方便快捷。再如例4：過雙曲線的右焦點F作傾斜角為的直線L與雙曲線交于A,B兩點，M是AB的中點，求|MF|。 如果用傳統(tǒng)的解法則是解：方法一 依題意a=3,b=4,c=5 所以F(5，0)，又直線l的傾斜角為45度 所以k=1 整個解答過程將會比較繁瑣，因為傳統(tǒng)的解法必須要將直線方程與曲線方程聯(lián)立，消元后用根與系數(shù)的關(guān)系及終點坐標公式才能求解。解法2：依題意l的參

7、數(shù)方程為： 小結(jié)：方法二：用參數(shù)方程求解，且靈活運用參數(shù)t的幾何意義，使求解過程變得簡潔， 不容易出錯，如果我們在教學中能多引導(dǎo)學生從這些方面思考，那么我們教起來輕松，學生學起來也將會更容易。體會三：兩個性質(zhì)在用的過程中要注意參數(shù)T取非單位向量時候的處理轉(zhuǎn)化。 從上面的例子不難看出，這兩個性質(zhì)的確好用，但是我們在教學中一定要要注意下面例子中的問題就需要對參數(shù)T所取的單位長度作轉(zhuǎn)化：例如：已知曲線的方程是，直線L的方程是若直線與曲線相交與A、B兩點，求AB弦長。解法1：解：直線方程可以化簡為：，而曲線的方程可化簡為：將直線方程代入曲線方程，消去一個未知數(shù)后可得關(guān)于的一元二次方程，由點到直線的距離

8、公式及，弦心距，半徑，半弦長之間構(gòu)成直角三角形可以解得解法2：將直線的參數(shù)方程代入曲線方程，則可以得到一個關(guān)于的一元二次方程：如果還是用以前的有參數(shù)的幾何意義的話將會求得AB的弦長為 這一結(jié)果與上述結(jié)果為何會不一樣呢？兩種解法所得的結(jié)果是哪一種對呢？當然答案是第一種解法的對，實際上這就是在推導(dǎo)直線的參數(shù)方程時一定要注意到直線參數(shù)方程中參數(shù)T的幾何意義的問題，實際上，在上述題目中我們的參數(shù)T是選取了模為5的向量當作了單位向量，而非模為1的向量為單位向量，但是在解題過程中多數(shù)同學甚至是老師也不會注意到這一細節(jié)，所以在涉及到直線參數(shù)方程，曲線的極坐標方程的問題時我們一定要注意到直線參數(shù)方程中參數(shù)T的幾何意義的探究，如上題中的直線方程中由于直線的參數(shù)方程標準形式中的系數(shù)無論是，都只能在上取值一旦的前面的系數(shù)超過了區(qū)間則要考慮參數(shù)是多少個單位長度為單位向量。于是在上面的解答中我們只要在的基礎(chǔ)上乘以直線參數(shù)方程中的模5即可以得到正確答案即。 如果我