求導(dǎo)法則與求導(dǎo)公式教學(xué)教材

1、此文檔僅供收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除§2.2 求導(dǎo)法則與導(dǎo)數(shù)的基本公式教學(xué)目標與要求1. 掌握并能運用函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則2. 理解反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)并能應(yīng)用；3. 理解復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)并會求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；4. 熟記求導(dǎo)法則以及基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式。教學(xué)重點與難度1. 會用函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則求導(dǎo)；2. 會求反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；3. 會求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)前面， 我們根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，求出了一些簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。但是，如果對每一個函數(shù)都用定義去求它的導(dǎo)數(shù), 有時候?qū)⑹且患浅?fù)雜或困難的事情。因此，本節(jié)介紹求導(dǎo)數(shù)的幾個基本法則和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式。鑒于初等函數(shù)的定義，有

2、了這些法則和公式，就能比較方便地求出常見的函數(shù)初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。一、函數(shù)的和、差、積、商求導(dǎo)法則1. 函數(shù)的和、差求導(dǎo)法則定理 1函數(shù) u( x) 與 v(x) 在點 x 處可導(dǎo)，則函數(shù)yu( x)v( x) 在點 x 處也可導(dǎo)，且yu( x)v( x)u ( x)v ( x)同理可證： u(x)v(x) 'u' ( x)v' ( x)只供學(xué)習(xí)與交流此文檔僅供收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除即證。注意： 這個法則可以推廣到有限個函數(shù)的代數(shù)和，即 u (x)u(x) Lu ( x) 'u' ( x)u' (x) Lu' (x) ，12n12

3、n即有限個函數(shù)代數(shù)和的導(dǎo)數(shù)等于導(dǎo)數(shù)的代數(shù)和。例 1求函數(shù) yx4cosxln x的導(dǎo)數(shù)2解yx4cos xln x2x4cos xln x2314xsin x2. 函數(shù)積的求導(dǎo)公式定理 2函數(shù) u( x) 與 v(x) 在點 x 處可導(dǎo)，則函數(shù)y u( x)gv(x) 在點 x 也可導(dǎo)，且y' u( x) gv(x) 'u' ( x) gv( x)u( x)gv' ( x) 。注意： 1）特別地，當(dāng)uc （ c 為常數(shù)）時，y' cv( x) 'cv' ( x) ，即常數(shù)因子可以從導(dǎo)數(shù)的符號中提出來。而且將其與和、差的求導(dǎo)法則結(jié)合，可得：

4、只供學(xué)習(xí)與交流此文檔僅供收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除y' au(x) bv(x) 'au ' ( x)bv' ( x) 。2）函數(shù)積的求導(dǎo)法則，也可以推廣到有限個函數(shù)乘積的情形 ，即(u1u2 L un )'u1'u2 L unu1u2' L unL u1u2 L un'。例 2求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。1） y3x32x25x4sin x ；解y3x32x25x4sin x9x24x54cos x2） y3x34ln x5cos x解y'4x4 5sin xx例 3求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1） yx34 xgsin x ；2） y

5、 x3 gln xgcos x解 1）y'( x34xgsin x) '( x3 )'4(x )'sin xx(sin x)' 3x24(1 gg3x22sin xgsin xx cosx)x4 x cos x2x2）y'( x3 g g'3)'g gx3 g'g3 g g'ln x cosx)( xln x cosx(ln x)cos x xln x (cosx)3x2 ggx3g1 gx3 ggln x cos xxcosxln x sin xx2 (3ln xgcosxcos xxgln xgsin x)3.

6、 函數(shù)商的求導(dǎo)法則定理 3函數(shù) u( x) 與 v(x) 在點 x 處可導(dǎo)，且 v(x)0u( x)，則函數(shù) yv(x)在點 x 處也可導(dǎo)，且y u( x) u ( x)v( x) u(x)v ( x)v( x)v2 ( x)只供學(xué)習(xí)與交流此文檔僅供收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除uuvyv xx所以xxxv xx .vx因為vx可導(dǎo) ,必連續(xù) ,故于是xv x ,lim v xx0yv xlimuu xlimvy limvx 0xx 0xx 0xxlim v xxx0ux v xu x vxv2x注意 ：特別地，當(dāng)uc （ c 為常數(shù)）時，y c cv ( x) (v( x) 0)v( x

7、)v2 ( x)只供學(xué)習(xí)與交流此文檔僅供收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除總結(jié)： 根據(jù)上一節(jié)中求出的正弦和余弦的導(dǎo)數(shù)公式，可得三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為：只供學(xué)習(xí)與交流此文檔僅供收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除二、反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)想一想 ：在基本初等函數(shù)中，還有哪些函數(shù)沒有求導(dǎo)法則？在基本初等函數(shù)中，我們還有反三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求法沒有討論，如何求呢？易知，反三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)分別是三角函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的反函數(shù)。能否通過三角函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)來求反三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)呢？這是可以的， 這就是我們下面將要介紹的反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：定理4設(shè)函數(shù)yf (x) 在某一區(qū)間是單調(diào)連續(xù)，在區(qū)間任一點x 處可導(dǎo)，且f (

8、 x)0 ，則它的反函數(shù)xf 1( y) 在相應(yīng)區(qū)間內(nèi)也處處可導(dǎo)，且 f 1 (x)1f (x)或 f ( x)11( x) f證因為函數(shù) yf (x) 在某一區(qū)間內(nèi)是單調(diào)連續(xù)函數(shù)，可知其反函數(shù)x f 1( y) 在相應(yīng)區(qū)間內(nèi)也是單調(diào)連續(xù)函數(shù)。當(dāng) yf (x) 的反函數(shù) xf1( y) 的自變量 y 取得改變量y(y0) 時，由 x f 1 ( y)的單調(diào)性知xf1 ( yy)f1 ( y)0 ，于是x1yyx又因為 xf1 ( y) 連續(xù)，所以當(dāng)y0 時， x0 。由條件知f ( x) 0 ，所以 f1 ( y)limxlim11y1y 0yx 0ylimf ( x)xx 0x故 f 1 (

9、 x)1或 f (x) f1f ( x)1 (x)即證。例 6求下列反三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。1 ） yarcsin x ；2） yarccosx ；3） yarctanx ；4） yarccot x 。只供學(xué)習(xí)與交流此文檔僅供收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除例 7求函數(shù) y ax (a0, a1) 的導(dǎo)數(shù)。解由于 y ax (x (,) 為對數(shù)函數(shù) x log a y( y (0,) 的反函數(shù)，根據(jù)反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)法則得y(ax )1y ln aa x ln a(log a y)所以， 指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式為(a x )ax ln a特別地 ，當(dāng) ae 時，有(ex )ex三、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則綜上，我

10、們對基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)都進行討論，根據(jù)基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式，以及求導(dǎo)法則，就可以求一些較復(fù)雜的初等函數(shù)了。但是，在初等函數(shù)的構(gòu)成過程中，除了四則運算外，還有復(fù)合函數(shù)形式，例如：ysin 2x 。思考： 如果 ysin 2x ，是否有 (sin 2x)'cos2x ？因此，要完全解決初等函數(shù)的求導(dǎo)法則還必須研究復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則。定理設(shè)函數(shù) u( x) 在點 x 處有導(dǎo)數(shù) ux( x) ，函數(shù) yf (u) 在對應(yīng)點 u 處有導(dǎo)數(shù) yuf (u) ，則復(fù)合函數(shù) y f (x) 在點 x 處也有導(dǎo)數(shù)，且( f ( x)f (u)(x)只供學(xué)習(xí)與交流此文檔僅供收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站

11、刪除簡記為 dydydu 或 yx yu ux 。dxdudx（證明略）注意：（ 1）復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則表明：復(fù)合函數(shù)對自變量的的導(dǎo)數(shù)等于復(fù)合函數(shù)對中間變量求導(dǎo)乘以中間變量對自變量求導(dǎo)。這種從外向內(nèi)逐層的求導(dǎo)的方法，形象稱為 鏈式法則 。（ 2）復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則可以推廣到有限個中間變量的情形。例如，設(shè)y f (u) ，u g(v), v(x) ，則dydydudvdxdudv或 yx yu uv vxdx（ 3）在熟練掌握復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則后，求導(dǎo)時不必寫出具體的復(fù)合步驟。只需記住哪些變量是自變量，哪些變量是中間變量，然后由外向內(nèi)逐層依次求導(dǎo)。例 8求函數(shù) y23x6的導(dǎo)數(shù)解y 6 23x5

12、5318 2 3x例 9求函數(shù) ysinln3x 的導(dǎo)數(shù)解y cos ln11cos ln 3x3x32x3x2 x例 10求冪函數(shù) yxu 的導(dǎo)數(shù)。例11求函數(shù) yfsin xsin fx的導(dǎo)數(shù)。解yfsin xcosxcos fxfx例 12 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。只供學(xué)習(xí)與交流此文檔僅供收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除1） yf ( 1 ) ；2） y ef ( x ) 。x本節(jié)小結(jié)通過本節(jié)以及上一節(jié)學(xué)習(xí)，到目前為止。 我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了全部初等函數(shù)的求導(dǎo)公式和函數(shù)的求導(dǎo)法則， 以及反函數(shù)、復(fù)合函數(shù)、隱函數(shù)的求導(dǎo)法則。從而解決了初等函數(shù)的求導(dǎo)問題。這些公式和法則是基礎(chǔ)，所以，必須要牢記和熟記。歸納如下：1. 求導(dǎo)法則（ 1） u v 'u'v'（ 2） (uv)'u'vuv'（ 3） (cu) 'cu ' （ c 為常數(shù)）（ 4） (u )