求解最值問題的幾種思路復習過程

1、精品文檔求解最值問題的幾種思路最值問題涉及的知識面較廣，解法靈活多變， 越含著豐富的數(shù)學思想方法，對發(fā)展學生的思維，提升學生解題能力起著十分重要的作用.本文舉例介紹這類問題的常見思路和方法.一、利用非負數(shù)的性質(zhì)在實數(shù)范圍內(nèi)，顯然有m2n2pp ，當且僅當mn 0時，等號成立，即m2n2p 的最小值為 p .例 1 形碼 設(shè) a 、 b 為實數(shù)，求 a2abb2a2b 的最小值 .解析a2abb2a2b = a2(b1)ab22b= (a b 1) 23 b23 b12424= (ab 1 23211 .2)(b1)b14當 a0,b 10，即 a0, b1 時，上式等號成立 .2故 a2abb

2、2a2b 的最小值為 - 1.二、均值代換法在一些數(shù)學問題中， 常遇到含有 mnp 型條件的問題， 若用 mppq, nq 來代換，往往能獲得簡捷的妙法 .22例 2已知 x 、 y 為實數(shù)，且 x2y22 ，求 (2 xy)(2xy) 的最值 .解析由2x2y22xy 得 xy1 ，易得最小值為3.設(shè) x21 k, y21 k ,其中 1 k 1 ,(2xy)(2xy)4x2 y24 (1k 2 )k 23,又 03k2313 ，即 3k 234 .(2xy)(2xy) 的最小值是3 ，最大值是 2.三、局部換元法例 3若 abc 1，求 a2b2c2 的最小值 .解析設(shè) a11,3, b3

3、精品文檔精品文檔J則 c1() .3( 1( 11 (2a2b2c2)2)2)333122()21.313故 a2b2c2 的最小值為.3四、積化和差法完全平方公式 (ab)2a22abb2 ；(ab)2a22abb2.將這兩個公式的左右兩邊分別相減，得結(jié)論 14ab( ab) 2( ab)2.由于 (ab)20 ，故由又可得如下積化和的完全平方不等式.結(jié)論24ab(ab)2 ，當且僅當ab時，等號成立 .結(jié)論、表明兩個代數(shù)式之積可化為它們的和差的關(guān)系式.應用上述公式解題，方法獨特，別致新穎，給人一種清晰、明快的感覺.例 4設(shè) x2y2a2 , a21，求 S1x21y2的最大值 .解把 S1

4、x21y2兩邊平方得S22 ( x2y2 ) 2 1 x21 y2 ，即 S22 a22 1 x21 y2 ，1 x21 y21 (S2a22) .2由積化和差公式，得1 x21 y2(1 x21 y2 ) 2(1 x21 y 2 )222代人上式，得1 (S2a22) (S)2(1 x21 y2 )2 .222(1x21y2) 21 S21 a2 1 0 ,242精品文檔精品文檔S242a2,Q S0,S42a2 .又 xy2 a 時 ,2S 2 1a242a2，2S最大值42a2.注有時將積化和差公式4ab(ab)2(ab)2化為如下形式 :ab ( a b )2( a b )2 ,22用

5、起來比較方便.五、配方法解題時把題中所給的代數(shù)式，應用配方法化成一個或幾個完全平方式與常數(shù)的代數(shù)和的形式 ;再根據(jù) (a b)20，可求出代數(shù)式的最小值，根據(jù) ( a b)20 ，可求出代數(shù)式的最大值 .例 5求函數(shù) yx4x21的最值 .解析y ( x2 )2x2 1 ( x2 1 )23 .24Q x20,x2 的最小值是0， x 最小也是0.當 x 0 時， y 的最小值為 :(01 )231.24y 的最值，那就錯了 .事實上，當注本題如果機械地套用二次函數(shù)求極值的公式去求x2b1時， y 取得極小值，這是不可能的。一般情況下，如果自變量取值范圍有2a2一定限制， 不能輕易套用極值公式

6、， 而應先通過配方，再求極值， 這樣做才不會得出錯誤的答案 .六、增加輔助量例 6若 實 數(shù) a 、 b 、 c 、 d 、 f滿 足 條 件 a b c d f 8和a2b2c2d2f 216 ，求 f 的最值 .精品文檔精品文檔解Qab cdf8 ,abcd8f .設(shè) a8 f8f， c8f， d8f,4， b444則0,而 a2b2c2d 24(8 f )22() 8 f222244(8f )2.416 f 2(8 f ) 2 ，即 5 f 216 f0.40f16.516 ，最小值為 0 .故 f的最大值為5七、數(shù)形結(jié)合法例 7已知 a 、b 都是小于1 的正數(shù)，求a2b2a2(1b)

7、2(1a) 2(1 b) 2(1a) 2b2的最小值 .解對形如a2b2 的問題，不妨考慮利用勾股定理和題中所給的已知條件，構(gòu)造相應的幾何圖形，并根據(jù)圖形中邊與邊之間的關(guān)系解決問題.如圖 1，構(gòu)造邊長為 1 的正方形 ABCD ， P 是正方形內(nèi)一點，它到 AB 、 BC 的距離分別為 a 、 b ，即 PG a ， PH b ，則由勾股定理，易得BPa2b2PD(1a)2(1 b)2APa2(1b)2精品文檔精品文檔PC(1a) 2b2ACBD2 .Q APPCAC， PB PDBD ,則 APPBPCPD2AC ,a2 b2a2(1b)2(1a)2(1 b) 2(1 a) 2 b22 2即

8、所求最小值 22 .八、構(gòu)造一元二次方程例 8若 2x23xy2 y21 ，求 xyxy 的最小值 .解 將 2x23xy2 y21 配方，得2( xy)21xy設(shè) kx yxy則 1 xy k (x y) 1方程可構(gòu)造為以xy 為主元的一元二次方程:2( xy)2(xy)k10Q xy 是實數(shù)，V0即 1242(k1)0解之得 k98即 xyxy 的最小值98點評此題巧妙運用了構(gòu)造方程的思想，并利用一元二次方程根的判別式求得k 的最值.九、構(gòu)造函數(shù)由于最值問題中一般都存在某些變量變化的過程， 因此解決最值問題離不開函數(shù)， 我們常利用構(gòu)造函數(shù)法使問題得到解決 .例 9求代數(shù)式 : x 1x2 的最值 .解設(shè) Qx 1x2 ( 1x1) ，再令 xsin，x則有2 2 Q x 1 x2 sin 1 sin 2精品文檔精品文檔1sincossin22Q1sin21Q 最小值為11，最大值為22十、零點分段討論法例 10當 x16時，求函數(shù) y x x2 x 1 的最大值 .分析先由條件x16 ，求出 x 的取值范圍，再用“零點分段討論法”去掉函數(shù)y 中的絕對值符號， 然后求出 y 在各個區(qū)段上的最大值并加以比較，從中確定出在取值范圍內(nèi)的最大值 .解 由 x 16 6，知 7 x 5 .當7x0 時，y