人教版高中數(shù)學(xué)選修2-3《排列組合問題的解題策略選講》教案

1、精品排列組合問題的解題策略選講普通高中實驗教科書 數(shù)學(xué) 選修2-3介紹、講解高中排列組合問題常見的四種解題策略，使學(xué)生提高這類問題的分析能力和解決能力。 教學(xué)內(nèi)容1教學(xué)目標(biāo)(1)知識與技能目標(biāo)：掌握有關(guān)排列組合問題的解題策略，提高分析、解決問題的能力。(2)過程與方法目標(biāo)：通過排列組合問題的解題策略的思路形成過程，讓學(xué)生領(lǐng)悟四種解題策略的思想方法。(3)情感、態(tài)度與價值觀目標(biāo)：通過設(shè)問解疑，讓學(xué)生感受思考的樂趣與成功的喜悅，體會數(shù)學(xué)的理性與嚴(yán)謹(jǐn)，激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的熱愛，養(yǎng)成實事求是的科學(xué)態(tài)度。2教學(xué)重點、難點(1)重點：排列組合問題解題策略的應(yīng)用。(2)難點：排列組合問題解題策略的思路形成。

2、3教學(xué)方法和手段(1)教學(xué)方法：采用啟發(fā)式講授法的教學(xué)方法。在教學(xué)中，我們不僅要使學(xué)生獲得知識、提高解題能力，還要讓學(xué)生在教師的啟發(fā)引導(dǎo)下學(xué)會學(xué)習(xí)、樂于學(xué)習(xí)，感受數(shù)學(xué)學(xué)科的人文思想，使學(xué)生在學(xué)習(xí)中培養(yǎng)堅強(qiáng)的意志品質(zhì)、形成良好的道德情感。(2)教學(xué)手段：利用多媒體平臺。通過多媒體平臺彌補(bǔ)傳統(tǒng)教學(xué)的缺乏，增強(qiáng)教學(xué)效果的直觀性，幫助學(xué)生更好地理解排列組合問題解題策略的思路形成。課件精心制作、做好細(xì)節(jié)、突出重點。4教學(xué)過程(1)復(fù)習(xí)回憶在前面的幾節(jié)課，我們已經(jīng)對選修2-3的第一章?計數(shù)原理?進(jìn)行系統(tǒng)地復(fù)習(xí)。說明：打出第1張幻燈片。圖：第1張幻燈片片段教學(xué)內(nèi)容說明：由于這些內(nèi)容前面已經(jīng)系統(tǒng)地復(fù)習(xí)了，所以

3、簡單扼要地表達(dá)上面幻燈片的內(nèi)容，主要是幫助學(xué)生回憶前幾節(jié)課的內(nèi)容。雖然復(fù)習(xí)穩(wěn)固了，但同學(xué)們反映還是有很多題目不會做或做錯。為什么呢？計數(shù)問題中，排列組合問題是最常見的。其特點是條件隱晦，不易挖掘，題目多變，解法獨特。有的題目的解法往往是構(gòu)造性的，方法靈活、多樣，不同解法導(dǎo)致問題難易變化也較大。而且解題過程出現(xiàn)“重復(fù)和“遺漏的錯誤較難自檢發(fā)現(xiàn)。所以面對這一類問題，同學(xué)們往往就會束手無策了。(2)創(chuàng)設(shè)問題在這一類問題中，我們以如下幾個問題作為典例進(jìn)行研究。說明：打出第2張幻燈片。圖：第2張幻燈片片段說明：問題逐個打出，讀題。讓學(xué)生對問題有個印象，提醒學(xué)生不要忙于解答，后面我們將會一一解答。上面所列

4、的這幾個問題，在高中階段屬于比擬常見的類型。因而對這些問題歸納總結(jié)，并掌握一些在高中比擬常用的解題策略是必要的。(3)思考探究在講解解題策略之前，我還得請同學(xué)們和我一起來弄清楚下面兩個思考題，這將使得我們能更好的理解排列組合問題，正所謂知己知彼，方能百戰(zhàn)百勝。 思考1：排列和組合的區(qū)別是什么？很多學(xué)生都會按照課本的概念，認(rèn)為涉及順序的是排列問題，沒有順序的是組合問題，教學(xué)內(nèi)容實際上這使得我們的思維出現(xiàn)很大程度的模糊。因為究竟什么才是有順序，怎么理解有順序呢？既然這樣我們又該如何理解排列和組合的區(qū)別呢？我們先看幾個例子。說明：打出第3張幻燈片。圖：第3張幻燈片片段說明：上面四個例子打出順序為和、

5、。在和這兩個例子從字面上看出有順序嗎？在中，學(xué)生認(rèn)為“第一組和“第二組是不同的，所以有順序。因此均等分組后應(yīng)該再排列，即方法數(shù)是。那么的方法數(shù)就應(yīng)該是。雖然沒有明顯的順序關(guān)系，但是學(xué)生可以從“位置是否可區(qū)分來判斷問題到底是有沒有順序的。當(dāng)學(xué)生看到時，會很快給出這個答案，因為中出現(xiàn)了“3個不同位置的字眼。按照這樣的理解那么的答案也就是了？雖然我們還不至于犯這樣的錯誤，但是我們的判斷依據(jù)是什么呢？我們的判斷依據(jù)是“元素是否可區(qū)分。于是，我們可以得到一個結(jié)論：問題中所涉及的元素和位置都具有可區(qū)分性的，屬于排列問題，否那么是組合問題。說明：結(jié)論在第3張幻燈片的底部打出。這樣一來，排列組合的區(qū)別就更加明

6、了，我們解題的思維方式也就更加清晰了。教學(xué)內(nèi)容思考2：符號的含義是什么？符號是指排列數(shù)，實際上這個符號限制著我們的思維方式。它的含義是指在n個元素中取出k個元素進(jìn)行排列。說明：打出第4張幻燈片。圖：第4張幻燈片片段在這個例子中，我們可以先從6人中取出3人，有種情況，再將3人分配到3個職位，有種情況，所以不同的選法為種。也就是說其中包含了兩層意思，一層是在n個元素中取出k個元素，另一層是再將這取出的k個元素進(jìn)行全排列，即。實際上是將兩個思維過程串在一起，這使得我們做較為難一點的題的時候，經(jīng)常會思維混亂。于是，我們可以得到一個結(jié)論：所有的排列問題都遵循“先取后排的原那么，用代替更有利于解決較難的問

7、題。說明：結(jié)論在第4張幻燈片的底部打出。這個結(jié)論有利于解放思維，有利于我們對問題的思考。(4)展開課題理解這兩個思考題之后，我們就帶著前面的四個問題，來對排列組合問題的一些常見解題策略進(jìn)行學(xué)習(xí)。教學(xué)內(nèi)容策略1插空策略插空策略可以解決元素不相鄰的問題。說明：打出第5張幻燈片，先打出插空策略的說明。圖：第5張幻燈片片段這類問題可把沒有位置要求的元素進(jìn)行排隊，再把要求不相鄰的元素插入中間和兩端。說明：打出第5張幻燈片的插空策略的模型進(jìn)行解釋。有兩個元素要求不相鄰，那么把其余四個元素先排好，再把這兩個元素插入其余四個元素的中間和兩端?；脽羝袆赢嬔菔静幌噜彽膬蓚€元素的插空過程。接下來，我們來看一道例題

8、。說明：打出第6張幻燈片，先打出例題。圖：第6張幻燈片片段要使得甲乙不相鄰，我們只要先排好其余5個人，然后在這5個人的間隙以及兩端的6個位置選兩個插入甲乙，這樣甲乙自然就不相鄰了。教學(xué)內(nèi)容說明：引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)模型對例題進(jìn)行分析，進(jìn)而加以肯定，打出例題的解答過程。并提出問題，在第2步中為什么是而不是呢？因為解決這個問題能使得更多的學(xué)生明白何為排列何為組合，那么課前的兩個思考探究的作用就更加明顯了。在第2步中，其中的可以解釋為6個位置選兩個為，因為甲乙是可區(qū)分的，所以應(yīng)該再乘上，即。解答完例題后，對插空策略進(jìn)行總結(jié)：幾個元素不能相鄰時，先排一般元素，再讓特殊元素按照要求進(jìn)行插空。說明：總結(jié)在第6張幻

9、燈片的底部打出。前面我們提到的問題中，有一個就是“元素不相鄰的，下面把這個問題當(dāng)成一道練習(xí)題，請同學(xué)們來完成。說明：打出第7張幻燈片，先打出練習(xí)題。圖：第7張幻燈片片段引導(dǎo)學(xué)生將此問題等價為在七盞亮著的路燈的6個間隙中插入三盞關(guān)閉的路燈。說明：提問后再進(jìn)行分析。打出分析過程?；脽羝瑒赢嬔菔具@個插入的過程?？赡苡袑W(xué)生會認(rèn)為答案是，根據(jù)前面的思考探究，由于關(guān)閉的路燈是不可區(qū)分的，所以應(yīng)該是。在這個練習(xí)中，我們要注意考察問題中的條件，運用插空策略。先排一般元素，再讓特殊元素按照要求進(jìn)行插空，同學(xué)們在平時的練習(xí)中要多加觀摩揣意。策略2捆綁策略捆綁策略可以解決元素相鄰的排列問題。教學(xué)內(nèi)容說明：打出第8張

10、幻燈片，先打出捆綁策略的說明。圖：第8張幻燈片片段對于這類問題可采用“局部到整體的排法，即先把相鄰元素局部先排列，然后當(dāng)成一個元素，再與其他元素整體排列。說明：打出前面我們提到的問題2,以及捆綁策略的模型進(jìn)行解釋。有一對雙胞胎要求相鄰，那么把這一對雙胞胎“捆綁在一起局部排列，幻燈片中動畫演示“捆綁后放到其他元素中進(jìn)行排列整體排列的過程。這樣問題2的答案明顯就是了。下面，我們同樣通過一道例題進(jìn)行融會貫穿。說明：打出第9張幻燈片，先打出例題。圖：第9張幻燈片片段甲乙丙要相鄰，我們可以先把甲乙丙排在一起捆綁，然后把甲乙丙的排列當(dāng)成一個教學(xué)內(nèi)容元素再與其它的元素進(jìn)行排列。說明：引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行分析，進(jìn)而加

11、以肯定，打出例題的解答過程。解答完例題后，對捆綁策略進(jìn)行總結(jié)：幾個元素必須相鄰時，先按照要求把它們捆綁成一個元素，再與其它的元素進(jìn)行排列。 說明：總結(jié)在第9張幻燈片的底部打出。策略3剪串策略剪串策略可以解決“將n個相同的元素分到k個不同的容器n > k,每個容器至少一個元素的這類問題。說明：打出第10張幻燈片，先打出剪串策略的說明。圖：第10張幻燈片片段將n個相同的元素分到k個不同的容器n >k,每個容器至少一個元素,可以將n個相同的元素串成一串，在這一串的n-1個空隙中選k-1個位置，剪斷后自然就分成了k份，元素是不可區(qū)分的，屬于組合問題，所以共有種。特別提醒學(xué)生要注意“元素必須

12、是相同的才能符合剪串策略。說明：打出前面所提的問題3，用模型進(jìn)行解釋。把足球看成是“珠子串在一起，幻燈片中動畫演示四把剪刀從19個間隙中的任意選四個進(jìn)行剪斷的過程。那么通過模型的解釋，問題3的答案明顯就是了。教學(xué)內(nèi)容我們也同樣通過一道例題再加以理解。說明：打出第11張幻燈片，先打出例題。圖：第11張幻燈片片段因為是方程的正整數(shù)解，所以也就是把200個“1分給，至少分一個。即把200個相同的元素分到20個不同的容器，每個容器至少一個元素，符合剪串策略。說明：引導(dǎo)、啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行對問題進(jìn)行分析、轉(zhuǎn)化。打出例題的解答過程。解答完例題后，對剪串策略進(jìn)行總結(jié)：將n個相同的元素分到k個不同的容器n >

13、 k,每個容器至少有一個元素的方法數(shù)為種。說明：總結(jié)在第11張幻燈片的底部打出。4等時機(jī)策略等時機(jī)策略可以解決元素順序固定的排列問題。說明：打出第12張幻燈片，先打出等時機(jī)策略的說明。圖：第12張幻燈片片段教學(xué)內(nèi)容解決元素順序固定的排列問題，先把所有元素一起排列，因為每一個排列的時機(jī)相等，所以在所有元素的全排列中，只有幾分之幾是滿足元素順序固定的排列種數(shù)。說明：打出前面所提到的問題4。九位領(lǐng)導(dǎo)的就座方法總數(shù)是，其中包括了校長坐在1、2、3和7、8、9位置的情況，用模型進(jìn)行解釋。由于每一個排列的時機(jī)相等，那么校長坐在中間三個位置的概率就是，通過模型的解釋，問題變得簡單明了，答案便是無可厚非的了。

14、下面我們再來看一道相關(guān)的例題。說明：打出第13張幻燈片的例題局部。圖：第13張幻燈片片段先把7個人全部進(jìn)行排列有種，甲乙丙3人的排法有種，甲乙丙順序一定只是其中的一種，所以滿足條件的排法只占所有排法的。說明：引導(dǎo)、啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行分析，進(jìn)而加以肯定，打出例題的解答過程。解答完例題后，對等時機(jī)策略進(jìn)行總結(jié)：幾個元素順序一定時，先把所有元素進(jìn)行排列，再乘以順序固定占總數(shù)中的幾分之幾。說明：總結(jié)在第13張幻燈片的底部打出。(5)練習(xí)作業(yè)以上的四種策略是高中最為常見的，希望同學(xué)們能夠熟悉掌握。下面我們再通過幾個練習(xí)題，來幫助同學(xué)們理解、加強(qiáng)這些策略。說明：打出第14張幻燈片，先打出練習(xí)2。教學(xué)內(nèi)容圖：第1

15、4張幻燈片片段說明：練習(xí)打出后，很快就有學(xué)生在嘀咕了。此時提問，直到問到答案為止。加以分析，打出答案和變式1。變式1和剪串策略的模式比擬接近，可能有的學(xué)生會給出這樣的答案。提示學(xué)生注意“4封不同的信和剪串策略中的“n個相同的元素是不同的。說明：很快有學(xué)生就想到了捆綁策略了。此時提問，得到正解。加以分析，打出答案和變式2，至此答案為就不言而喻了。做完練習(xí)2之后，進(jìn)行總結(jié)：解題時,一定要注意題目的條件，選取適宜的解題策略來解決問題，不要盲目地套用某種解題策略。說明：總結(jié)在第14張幻燈片的底部打出。好，我們再看下面的練習(xí)。說明：打出第15張幻燈片，先打出練習(xí)3、4、5。圖：第15張幻燈片片段經(jīng)過一節(jié)

16、課的學(xué)習(xí)和總結(jié)，效果相當(dāng)明顯，全班同學(xué)們幾乎都在很短的時間內(nèi)就判斷出這三個練習(xí)分別屬于插空、捆綁和等時機(jī)策略了。說明：提問得到正確答案，打出正解。布置作業(yè)，在第15張幻燈片底部打出。教學(xué)內(nèi)容 (6)課題小結(jié)本課題，我們對有關(guān)排列組合的幾種常見的解題策略加以講解。具體有：插空策略不相鄰問題；捆綁策略相鄰問題；剪串策略相同元素至少一個的分發(fā)問題；等時機(jī)策略位置、順序固定的問題。解題時要根據(jù)題目的條件，選取適當(dāng)?shù)牟呗詠斫鉀Q問題。把復(fù)雜的問題簡單化，懂得舉一反三，觸類旁通,觀摩揣意,不要盲目地套用某種解題策略。本課題到此結(jié)束，謝謝大家。5板書設(shè)計排列組合問題的解題策略選講 1排列和組合的區(qū)別是什么？2

17、符號的含義是什么？1插空策略:不相鄰問題2捆綁策略:相鄰問題3剪串策略:相同元素的分發(fā)問題4等時機(jī)策略:順序固定的問題可擦除區(qū)域例題、練習(xí)的講解思路，演算或者答案可寫在這個區(qū)域6教學(xué)反思一個策略的形成是螺旋式上升的，對策略的理解不僅是對結(jié)果的理解，更是對方法和過程的理解。本課題設(shè)計上，把數(shù)學(xué)知識的“學(xué)術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)課堂的“教學(xué)形態(tài)，返璞歸真。從四個問題，兩個思考探究出發(fā)，設(shè)問解疑，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)入本課題的中心。教師作為學(xué)生學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者、合作者應(yīng)因材施教，選擇適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)方法。本課題雖然采用比擬傳統(tǒng)的講授法，但教學(xué)過程中采用啟發(fā)式的追問方式，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思考，給學(xué)生說話的時機(jī)，收集知識誤區(qū)，

18、及時更正，啟發(fā)學(xué)生對問題進(jìn)行分析解答，然后從全體學(xué)生中提取結(jié)論，實際教師也就是在對來源于學(xué)生的觀點加以修正和總結(jié)。表達(dá)了以學(xué)生的開展為本的教學(xué)理念。教的秘訣在于度，學(xué)的真諦在于悟，只有學(xué)生真正理解了，才能舉一反三、融會貫穿。教學(xué)中重過程、多交流，因材施教、尊重差異，促進(jìn)了個性化學(xué)習(xí)，更好地實現(xiàn)了教學(xué)目標(biāo)。排列、組合問題大都來源于生活和學(xué)習(xí)中所熟悉的情景，解題思路通常是依據(jù)具體做事的過程，用數(shù)學(xué)的原理和語言加以表述。教學(xué)內(nèi)容?排列組合問題的解題策略選講?教案說明揭陽揭東縣 地都中學(xué) 鄭維寶數(shù)學(xué)是開展學(xué)生思維、培養(yǎng)學(xué)生良好意志品質(zhì)和美好情感的重要學(xué)科，在教學(xué)中，我們不僅要使學(xué)生獲得知識、提高解題能

19、力，還要讓學(xué)生在教師的啟發(fā)引導(dǎo)下學(xué)會學(xué)習(xí)、樂于學(xué)習(xí)，感受數(shù)學(xué)學(xué)科的人文思想，使學(xué)生在學(xué)習(xí)中培養(yǎng)堅強(qiáng)的意志品質(zhì)、形成良好的道德情感。本課題雖然采用比擬傳統(tǒng)的講授法，但教學(xué)過程中采用啟發(fā)式的追問方式，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思考，給學(xué)生說話的時機(jī)，收集知識誤區(qū)，及時更正，啟發(fā)學(xué)生對問題進(jìn)行分析解答，然后從全體學(xué)生中提取結(jié)論，實際教師也就是在對來源于學(xué)生的觀點加以修正和總結(jié)。表達(dá)了以學(xué)生的開展為本的教學(xué)理念。教的秘訣在于度，學(xué)的真諦在于悟，只有學(xué)生真正理解了，才能舉一反三、融會貫穿。教學(xué)中重過程、多交流，因材施教、尊重差異，促進(jìn)了個性化學(xué)習(xí)，更好地實現(xiàn)了教學(xué)目標(biāo)。為了更好地表達(dá)課堂教學(xué)中“教師為主導(dǎo)，學(xué)生為主體

20、的教學(xué)關(guān)系和“以人為本，以學(xué)定教的教學(xué)理念，在本課題的教學(xué)過程中，我將緊緊圍繞“教師組織，啟發(fā)引導(dǎo)，學(xué)生思考，教師總結(jié)啟發(fā)式教學(xué)模型進(jìn)行教學(xué)。讓學(xué)生在策略模型中，經(jīng)歷知識的形成和開展，通過觀察、思考、歸納、反思參與學(xué)習(xí)，認(rèn)識和理解排列組合問題的解題策略。在教學(xué)中注意過程和關(guān)注全體學(xué)生，充分調(diào)動學(xué)生積極參與教學(xué)過程的每個環(huán)節(jié)。利用多媒體平臺，通過多媒體平臺彌補(bǔ)傳統(tǒng)教學(xué)的缺乏，增強(qiáng)教學(xué)效果的直觀性。本課題設(shè)計了六個環(huán)節(jié)，環(huán)環(huán)相扣、層層深入。各個環(huán)節(jié)的安排和關(guān)系如下列圖所示。教學(xué)內(nèi)容下表對教學(xué)過程再進(jìn)行補(bǔ)充和說明。環(huán)節(jié)活 動 內(nèi) 容設(shè) 計 意 圖復(fù)習(xí)回顧簡單扼要地表達(dá)與排列組合有關(guān)的內(nèi)容。這些內(nèi)容前

21、幾節(jié)課，已經(jīng)系統(tǒng)復(fù)習(xí)了，故不要太詳細(xì)。引導(dǎo)學(xué)生回憶知識，課前熱身，引入課題。創(chuàng)設(shè)問題問題1：有編號的十盞路燈,為了節(jié)能要關(guān)掉彼此不相鄰的三盞，且兩端的路燈不能關(guān)閉，有多少種關(guān)閉路燈的方法？問題2：6個人排隊，其中一對雙胞胎要站在一起，有多少種排隊的方法？ 問題3：將20個足球分給5個班級，每班級至少分到一個足球的分法有多少種？ 問題4：畢業(yè)合影，前排九個位置由九位領(lǐng)導(dǎo)就座，正校長只能坐在中間三個位置的坐法有多少種？ 重現(xiàn)學(xué)生經(jīng)常做錯的類型題目，激發(fā)學(xué)生的求知欲望。思考探究思考1：排列和組合的區(qū)別是什么？探究模式：舉例分析得出結(jié)論結(jié)論：問題中所涉及的元素和位置都具有可區(qū)分性的，屬于排列問題，否那么是組合問題。思考2：符號的含義是什么？探究模式：舉例分析得出結(jié)論結(jié)論：所有的排列問題都遵循“先取后排的原那么，用代替更有利于解決較難的問題。思考1：很多學(xué)生都會按照課本的概念