Matlab在最優(yōu)化問題中的應用

1、函數(shù)：fminbnd功能：求取固定區(qū)間內(nèi)單變量函數(shù)的最小值，也就是一元函數(shù)最小值問題。函數(shù)：fminsearch功能：求解多變量無約束函數(shù)的最小值。函數(shù)：fminunc功能：求多變量無約束函數(shù)的最小值。函數(shù)：quadprog功能：求解二次規(guī)劃問題。10.2 非線性規(guī)劃問題10.2.1非線性無約束規(guī)劃問題無約束規(guī)劃由3個功能函數(shù)fminbnd、fminsearch、fminunc實現(xiàn)。10.2.1.1 fminbnd函數(shù) 教材第28頁數(shù)學模型： 式中，和為標量，為函數(shù)，返回標量。格式：x = fminbnd(fun,x1,x2)x = fminbnd(fun,x1,x2,options)x =

2、fminbnd(fun,x1,x2,options,P1,P2,.)x,fval = fminbnd(.)x,fval,exitflag = fminbnd(.)x,fval,exitflag,output = fminbnd(.)說明：fminbnd 求取固定區(qū)間內(nèi)單變量函數(shù)的最小值x = fminbnd(fun,x1,x2) 返回x1, x2區(qū)間上fun參數(shù)描述的標量函數(shù)的最小值點x。x = fminbnd(fun,x1,x2,options) 用options參數(shù)指定的優(yōu)化參數(shù)進行最小化。x = fminbnd(fun,x1,x2,options,P1,P2,.) 提供另外的參數(shù)P1，P

3、2等，傳輸給目標函數(shù)fun。如果沒有設置options選項，則令options = 。x,fval = fminbnd(.) 返回解x處目標函數(shù)的值。x,fval,exitflag = fminbnd(.) 返回exitflag值描述fminbnd函數(shù)的退出條件。x,fval,exitflag,output = fminbnd(.) 返回包含優(yōu)化信息的結構輸出。·fun：需要最小化的目標函數(shù)。fun函數(shù)需要輸入標量參數(shù)x，返回x處的目標函數(shù)標量值f?？梢詫un函數(shù)指定為命令行，如 x = fminbnd (inline (sin (x*x), x0)同樣，fun參數(shù)可以是一個包含函

4、數(shù)名的字符串。對應的函數(shù)可以是M文件、內(nèi)部函數(shù)或MEX文件。若fun = myfun， 則x = fminbnd(myfun,x0)其中M文件函數(shù)myfun.m必須為下面的形式 function f = myfun (x) f = %計算x處的函數(shù)值。·options：優(yōu)化參數(shù)選項。你可以用optimset函數(shù)設置或改變這些參數(shù)的值。Options參數(shù)有以下幾個選項： ·Display 顯示的水平。選擇off，不顯示輸出；選擇iter，顯示每一步迭代過程的輸出；選擇final，顯示最終結果； ·MaxFunEvals 函數(shù)評價的最大允許次數(shù)； ·MaxI

5、ter 最大允許迭代次數(shù)； ·TolX x處的終止容限。·exitflag：描述退出條件： ·>0 表示目標函數(shù)收斂于解x處； ·0 表示已經(jīng)達到函數(shù)評價或迭代的最大次數(shù)； ·<0 表示目標函數(shù)不收斂。·output：該參數(shù)包含下列優(yōu)化信息： ·output .iteratiions 迭代次數(shù)； ·output .algorithm 所采用的算法； ·output .funcCount 函數(shù)評價次數(shù)。注意：（1）目標函數(shù)必須是連續(xù)的；（2）fminbnd函數(shù)可能只給出局部最優(yōu)解；（3）當問題的

6、解位于區(qū)間邊界上時，fminbnd函數(shù)的收斂速度常常很慢。此時，fmincon函數(shù)的計算速度更快，計算精度更高；（4）fminbnd函數(shù)只用于實數(shù)變量。例10-4 在(0, 上求函數(shù)sinx的最小值。解：Matlab中實現(xiàn)：>> x,y_min=fminbnd('sin(x)',0,2*pi)x = 4.7124y_min = -1.0000或>> x,y_min=fminbnd(sin,0,2*pi) 內(nèi)部函數(shù)的用法x = 4.7124y_min = -1.0000P28，例3.11求函數(shù)f(x)=(x-3)2-1,x0,5的最小值>> x

7、,y=fminbnd(inline('(x-3)2-1'),0,5)x = 3y = -1或>> x,y=fminbnd('(x-3)2-1',0,5)x = 3y = -1 例10-5 對邊長為3m的正方形鐵板，在四個角處剪去相等的小正方形以制成方形無蓋盒子，問如何剪法使盒子容積最大？解：設剪去的正方形的邊長為x，則盒子容積為 f (x) = (3-2x)2 x現(xiàn)在要求在區(qū)間(0, 1.5)上確定x，使f (x)最大化。因為優(yōu)化工具箱中要求目標函數(shù)最小化，所以需要對目標函數(shù)進行轉換，即要求-f (x)最小化。在Matlab中實現(xiàn)：>>

8、x,f_min=fminbnd('-(3-2*x)2*x',0,1.5)x = 0.5000f_min = -2.0000或編寫M文件Ex1005.m>> x,f_min=fminbnd(Ex1005,0,1.5)x = 0.5000f_min = -2.0000即剪去邊長為0.5 m的正方形，最大容積為2 m3。10.2.1.2 fminsearch函數(shù)教材第23頁函數(shù)：fminsearch功能：求解多變量無約束函數(shù)的最小值。數(shù)學模型： 其中，為向量，為一函數(shù)，返回標量。 格式：x = fminsearch(fun,x0)x = fminsearch(fun,x0

9、,options)x = fminsearch(fun,x0,options,P1,P2,.)x,fval = fminsearch(.)x,fval,exitflag = fminsearch(.)x,fval,exitflag,output = fminsearch(.)說明：fminsearch 求解多變量無約束函數(shù)的最小值。該函數(shù)常用于無約束非線性最優(yōu)化問題。x = fminsearch(fun,x0) 初值為x0，求fun函數(shù)的局部極小點x。x0可以是標量、向量或矩陣。x = fminsearch(fun,x0,options) 用options參數(shù)指定的優(yōu)化參數(shù)進行最小化。x =

10、fminsearch(fun,x0,options,P1,P2,.) 將問題參數(shù)P1、P2等直接輸給目標函數(shù)fun，將options參數(shù)設置為空矩陣，作為options參數(shù)的默認值。x,fval = fminsearch(.) 將x處的目標函數(shù)值返回到fval參數(shù)中。x,fval,exitflag = fminsearch(.) 返回exitflag值，描述函數(shù)的退出條件。x,fval,exitflag,output = fminsearch(.) 返回包含優(yōu)化信息參數(shù)output的結構輸出。各變量的意義同前及下面fminunc函數(shù)。注意：（1）應用fminsearch函數(shù)可能會得到局部最優(yōu)解

11、；（2）fminsearch函數(shù)只對實數(shù)進行最小化，即x必須由實數(shù)組成，f (x)函數(shù)必須返回實數(shù)。如果x為復數(shù)，則必須將它分為實數(shù)部和虛數(shù)部兩部分；（3）對于求解二次以上的問題，fminunc函數(shù)比fminsearch函數(shù)有效，但對于高度非線性不連續(xù)問題時，fminsearch函數(shù)更具穩(wěn)鍵性。（4）fminsearch函數(shù)不適合求解平方和問題，用lsqnonlin函數(shù)更好一些。例10-6 求2x13+4x1x23-10x1x2+x22的最小值。解：在Matlab中實現(xiàn)如下：>> f='2*x(1)3+4*x(1)*x(2)3-10*x(1)*x(2)+x(2)2'

12、%直接定義函數(shù)>> x0=0,0;>> x,f_min=fminsearch(f,x0)x = 1.0016 0.8335f_min = -3.3241或在Matlab編輯器中編輯M文件Ex1006.m：function f=Ex1006(x)f=2*x(1)3+4*x(1)*x(2)3-10*x(1)*x(2)+x(2)2;x0=0,0;命令窗口運行：>> x,f_min=fminsearch(Ex1006,x0)x = 1.0016 0.8335f_min = -3.3241運行后結果一致。10.2.1.3 fminunc函數(shù)教材第23頁函數(shù)：fminu

13、nc功能：求多變量無約束函數(shù)的最小值。數(shù)學模型： 其中，為向量，為一函數(shù)，返回標量。 格式：x = fminunc(fun,x0)x = fminunc(fun,x0,options)x = fminunc(fun,x0,options,P1,P2,.)x,fval = fminunc(.)x,fval,exitflag = fminunc(.)x,fval,exitflag,output = fminunc(.)x,fval,exitflag,output,grad = fminunc(.)x,fval,exitflag,output,grad,hessian = fminunc(.)說明：

14、fminunc 給定初值，求多變量標量函數(shù)的最小值。常用于無約束非線性最優(yōu)化問題。x = fminunc(fun,x0) 給定初值x0，求fun函數(shù)的局部極小點x。x0可以是標量、向量或矩陣。x = fminunc(fun,x0,options) 用options參數(shù)指定的優(yōu)化參數(shù)進行最小化。x = fminunc(fun,x0,options,P1,P2,.) 將問題參數(shù)P1、P2等直接輸給目標函數(shù)fun，將options參數(shù)設置為空矩陣，作為options參數(shù)的默認值。x,fval = fminunc(.) 將x處的目標函數(shù)值返回到fval參數(shù)中。x,fval,exitflag = fmi

15、nunc(.) 返回exitflag值，描述函數(shù)的退出條件。x,fval,exitflag,output = fminunc(.) 返回包含優(yōu)化信息參數(shù)output的結構輸出。x,fval,exitflag,output,grad = fminunc(.) 將解x處fun函數(shù)的梯度值返回到grad參數(shù)中。x,fval,exitflag,output,grad,hessian = fminunc(.) 將解x處目標函數(shù)的Hessian矩陣信息返回到hessian參數(shù)中。·fun變量：為目標函數(shù)。需要最小化的目標函數(shù)。fun函數(shù)需要輸入向量參數(shù)x，返回x處的目標函數(shù)標量值f。可以將fun

16、函數(shù)指定為命令行，如x = fminunc(inline('norm(x)2'),x0)同樣，fun函數(shù)可以是一個包含函數(shù)名的字符串。對應的函數(shù)可以是M文件、內(nèi)部函數(shù)或MEX文件。若fun = myfun，則x = fminunc(myfun,x0)其中M文件函數(shù)myfun.m必須有下面的形式：function f = myfun (x)f = %計算x處的函數(shù)值。若fun函數(shù)的梯度可以算得，且options.GradObj設為on（用下式設定） options = optimset (GradObj, on)則fun函數(shù)必須返回解x處的梯度向量g到第二個輸出變量中去。注意，當

17、被調(diào)用的fun函數(shù)只需要一個輸出變量時（如算法只需要目標函數(shù)的值而不需要其梯度值時），可以通過核對nargout的值來避免計算梯度值functionf, g = myfun (x)f = %計算x處的函數(shù)值if nargout > 1 %調(diào)用fun函數(shù)并要求有兩個輸出變量 g = %計算x處的梯度值end若Hessian矩陣可以求得，并且options. Hessian設為on，即 options = optimset (Hessian, on)則fun函數(shù)必須返回解x處的Hessian對稱矩陣H到第三個輸出變量中去。注意，當被調(diào)用的fun函數(shù)只需要一個或兩個輸出變量時（如算法只需要目標

18、函數(shù)的值f和梯度值g而不需要Hessian矩陣H時），可以通過核對nargout的值來避免計算Hessian矩陣functionf, g = myfun (x)f = %計算x處的函數(shù)值if nargout > 1 %調(diào)用fun函數(shù)并要求有兩個輸出變量 g = %計算x處的梯度值 if nargout > 2 H = %計算x處的Hessian矩陣end·options變量：優(yōu)化參數(shù)選項?？梢酝ㄟ^optimset函數(shù)設置或改變這些參數(shù)。其中有的參數(shù)適用于所有的優(yōu)化算法，有的則只適用于大型優(yōu)化問題，另外一些則只適用于中型問題。首先描述適用于大型問題的選項。這僅僅是一個參考，

19、因為使用大型問題算法有一些條件。對于fminunc函數(shù)來說，必須提供梯度信息 ·LargeScale 當設為on時，使用大型算法，若設為off則使用中型問題的算法適用于大型和中型算法的參數(shù)： ·Diagnostics 打印最小化函數(shù)的診斷信息 ·Display 顯示水平。選擇off，不顯示輸出；選擇iter，顯示每一步迭代過程的輸出；選擇final，顯示最終結果 ·GradObj 用戶定義的目標函數(shù)的梯度。對于大型問題此參數(shù)是必選的，對于中型問題則是可選項 ·MaxFunEvals 函數(shù)評價的最大次數(shù) ·MaxIter 最大允許迭代次

20、數(shù) ·TolFun 函數(shù)值的終止容限 ·TolX x處的終止容限只適用于大型算法的參數(shù)： ·Hessian 用戶定義的目標函數(shù)的Hessian矩陣 ·HessPattern 用于有限差分的Hessian矩陣的稀疏形式。若不方便求fun函數(shù)的稀疏Hessian矩陣H，可以通過用梯度的有限差分獲得的H的稀疏結構（如非零值的位置等）來得到近似的Hessian矩陣H。若連矩陣的稀疏結構都不知道，則可以將HessPattern設為密集矩陣，在每一次迭代過程中，都將進行密集矩陣的有限差分近似（這是默認設置）。這將非常麻煩，所以花一些力氣得到Hessian矩陣的稀疏結

21、構還是值得的 ·MaxPCGIter PCG迭代的最大次數(shù) ·PrecondBandWidth PCG前處理的上帶寬，默認時為零。對于有些問題，增加帶寬可以減少迭代次數(shù) ·TolPCG PCG迭代的終止容限 ·TypicalX 典型x值只適用于中型算法的參數(shù)： ·DerivativeCheck 對用戶提供的導數(shù)和有限差分求出的導數(shù)進行對比 ·DiffMaxChange 變量有限差分梯度的最大變化 ·DiffMixChange 變量有限差分梯度的最小變化 ·LineSearchType 一維搜索算法的選擇·

22、exitflag變量：描述退出條件： ·>0 表示目標函數(shù)收斂于解x處 ·0 表示已經(jīng)達到函數(shù)評價或迭代的最大次數(shù) ·<0 表示目標函數(shù)不收斂·output變量：該參數(shù)包含下列優(yōu)化信息： ·output.iterations 迭代次數(shù) ·output.algorithm 所采用的算法 ·output.funCount 函數(shù)評價次數(shù) ·output.cgiterations PCG迭代次數(shù)（只適用于大型規(guī)劃問題） ·output.stepsize 最終步長的大?。ㄖ贿m用于中型問題） ·

23、output.firstorderopt 一階優(yōu)化的度量，解x處梯度的范數(shù)注意：（1）目標函數(shù)必須是連續(xù)的。fminunc函數(shù)有時會給出局部最優(yōu)解；（2）fminunc函數(shù)只對實數(shù)進行優(yōu)化，即x必須為實數(shù)，而且f (x)必須返回實數(shù)。當x為復數(shù)時，必須將它分解為實部和虛部；（3）在使用大型算法時，用戶必須在fun函數(shù)中提供梯度(options參數(shù)中GradObj屬性必須設置為on )，否則將給出警告信息； （4）目前，若在fun函數(shù)中提供了解析梯度，則options參數(shù)DerivativeCheck不能用于大型算法以比較解析梯度和有限差分梯度。通過將options參數(shù)的MaxIter屬性設置為

24、0來用中型方法核對導數(shù)，然后重新用大型方法求解問題；（5）對于求解平方和問題，fminunc函數(shù)不是最好的選擇，用Isqnonlin函數(shù)效果更佳。例10-7 最小化下列函數(shù)： f (x) = 3x12+2x1x2+x22解：使用M文件，創(chuàng)建文件Ex10071.m：function f=Ex10071(x)f=3*x(1)2+2*x(1)*x(2)+x(2)2;然后調(diào)用fminunc函數(shù)求1，1附近f (x)函數(shù)的最小值：>> x0=1,1;>> x,fval=fminunc(Ex10071,x0)Warning: Gradient must be provided fo

25、r trust-region method; using line-search method instead.> In E:matlab6p1toolboxoptimfminunc.m at line 211 Optimization terminated successfully: Search direction less than 2*options.TolXx = 1.0e-008 * -0.7591 0.2665fval = 1.3953e-016下面用提供的梯度g最小化函數(shù)，修改M文件為Ex10072.m：function f,g=Ex10072(x)f=3*x(1)2+2

26、*x(1)*x(2)+x(2)2;if nargout>1 g(1)=6*x(1)+2*x(2); g(2)=2*x(1)+2*x(2);end下面通過將優(yōu)化選項結構options.GradObj設置為on來得到梯度值。>> options=optimset('GradObj','on');>> x0=1,1;>> x,fval=fminunc(Ex10072,x0,options)Optimization terminated successfully: First-order optimality less than

27、 OPTIONS.TolFun, and no negative/zero curvature detectedx = 1.0e-015 * 0.1110 -0.8882fval = 6.2862e-031例10-8 求函數(shù)f (x) = e x1(4x12+2x22+4x1x2+2x2+1)的最小值。解：在Matlab中實現(xiàn)：>>x,fval,exitflag,output=fminunc('exp(x(1)*(4*x(1)2+2*x(2)2+4*x(1)*x(2)+2*x(2)+1)',-1,1)Warning: Gradient must be provide

28、d for trust-region method; using line-search method instead.> In E:matlab6p1toolboxoptimfminunc.m at line 211 Optimization terminated successfully: Current search direction is a descent direction, and magnitude of directional derivative in search direction less than 2*options.TolFunx = 0.5000 -1.

29、0000fval = 1.3028e-010exitflag = 1output = iterations: 7 funcCount: 40 stepsize: 1 firstorderopt: 8.1998e-004 algorithm: 'medium-scale: Quasi-Newton line search'例10-9 求無約束非線性問題 f (x) = 100 (x2-x12)2+(1-x1)2 x0 = -1.2, 1解：在Matlab中實現(xiàn)：>> x0=-1.2,1;>> x,fval=fminunc('100*(x(2)-x(

30、1)2)2+(1-x(1)2',x0)Warning: Gradient must be provided for trust-region method; using line-search method instead.> In E:matlab6p1toolboxoptimfminunc.m at line 211Optimization terminated successfully: Current search direction is a descent direction, and magnitude of directional derivative in se

31、arch direction less than 2*options.TolFunx = 1.0000 1.0000fval = 1.9116e-01110.2.2 二次規(guī)劃教材第26頁數(shù)學模型：如果某非線性規(guī)劃的目標函數(shù)為自變量的二次函數(shù)，約束條件全是線性函數(shù)，就稱這種規(guī)劃為二次規(guī)劃。其數(shù)學模型為 其中，和為矩陣，和為向量。函數(shù)：quadprog功能：求解二次規(guī)劃問題。格式：x = quadprog(H,f,A,b)x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq)x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub)x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,

32、beq,lb,ub,x0)x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options)x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options,p1,p2,.)x,fval = quadprog(.)x,fval,exitflag = quadprog(.)x,fval,exitflag,output = quadprog(.)x,fval,exitflag,output,lambda = quadprog(.)說明：x = quadprog(H,f,A,b) 返回向量x，最小化函數(shù)1/2*x*H*x+f*x，其約束條件為A*x

33、<=b。x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq) 仍求上面的解，但添加了等式約束條件Aeq*x = beq。x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub) 定義設計變量的下界lb和上界ub，使得lb<=x<=ub。x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0) 同上，并設置初值x0。x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options) 根據(jù)options參數(shù)指定的優(yōu)化參數(shù)進行最小化。x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,opti

34、ons,p1,p2,.) 將參數(shù)P1，P2等直接輸給Hessian乘子函數(shù)，如果存在，用options參數(shù)中的HessMult屬性指定。x,fval = quadprog(.) 返回解x處的目標函數(shù)fval = 1/2*x*H*x+f*x。x,fval,exitflag = quadprog(.) 返回exitflag參數(shù)，描述計算的退出條件。x,fval,exitflag,output = quadprog(.) 返回包含優(yōu)化信息的結構輸出output。x,fval,exitflag,output,lambda = quadprog(.) 返回解x處包含Lagrange乘子的lambda參數(shù)

35、。各變量的意義同前。注意：（1）一般地，如果問題不是嚴格凸性的，用quadprog函數(shù)得到的可能是局部最優(yōu)解；（2）如果用Aeq和Beq明確地指定等式約束，而不是用lb和ub指定，則可以得到更好的數(shù)值解；（3）若x的組分沒有上限或下限，則quadprog函數(shù)希望將對應的組分設置為Inf（對于上限）或-Inf（對于下限），而不是強制性地給予上限一個很大的數(shù)或給予下限一個很小的負數(shù)；（4）對于大型優(yōu)化問題，若沒有提供初值x0，或x0不是嚴格可行，則quadprog函數(shù)會選擇一個新的初始可行點；（5）若為等式約束，且quadprog函數(shù)發(fā)現(xiàn)負曲度(negative curvature)，則優(yōu)化過程終

36、止，exitflag的值等于-1；（6）此時，顯示水平只能選擇off和final，迭代參數(shù)iter不可用；（7）當問題不定或負定時，常常無解（此時exitflag參數(shù)給出一個負值，表示優(yōu)化過程不收斂）。若正定解存在，則quadprog函數(shù)可能只給出局部極小值，因為問題可能是非凸的；（8）對于大型問題，不能依靠線性等式，因為Aeq必須是行滿秩的，即Aeq的行數(shù)必須不多于列數(shù)。若不滿足要求，必須調(diào)用中型算法進行計算；（9）大型化問題 大型化問題不允許約束上限和下限相等，如若lb (2)= =ub (2)，則給出以下出錯信息：Equal upper and lower bounds not perm

37、itted in this large-scale method.Use equality constraints and the medium-scale method instead.若優(yōu)化模型中只有等式約束，仍然可以使用大型算法；如果模型中既有等式約束又有邊界約束，則必須使用中型方法。中型優(yōu)化問題 當解不可行時，quadprog函數(shù)給出以下警告：Warning: The constraints are overly stringent; there is no feasible solution.這里，quadprog函數(shù)生成使約束條件矛盾最壞程度最小的結果。當?shù)仁郊s束不連續(xù)時，給出下面

38、的警告信息：Warning: The equality constraints are overly stringent; there is no feasible solution.當Hessian矩陣為負半定時，生成無邊界解，給出下面的警告信息：Warning: The solution is unbounded and at infinity; the constraints are not restrictive enough.這里，quadprog函數(shù)返回滿足約束條件的x值。例10-10 求解下面的最優(yōu)化問題：目標函數(shù) 約束條件 解：首先，目標函數(shù)寫成下面的矩陣形式： ，在Matla

39、b中實現(xiàn)：>> H=1 -1;-1 2;>> f=-2;-6;>> A=1 1;-1 2;2 1;>> b=2;2;3;>> lb=zeros(2,1);>> x,fval,exitflag,output,lambda=quadprog(H,f,A,b,lb)Warning: Large-scale method does not currently solve this problem formulation,switching to medium-scale method.> In E:matlab6p1tool

40、boxoptimquadprog.m at line 213Optimization terminated successfully.x = 0.6667 1.3333fval = -8.2222exitflag = 1output = iterations: 3 algorithm: 'medium-scale: active-set' firstorderopt: cgiterations: lambda = lower: 2x1 double upper: 2x1 double eqlin: 0x1 double ineqlin: 3x1 double>> l

41、ambda.lowerans = 0 0>> lambda.ineqlinans = 3.1111 0.4444 010.2.3 有約束規(guī)劃教材第21頁函數(shù)：fmincon功能：求多變量有約束非線性函數(shù)的最小值。數(shù)學模型： 其中，和為向量，和為矩陣，和為函數(shù)，返回標量。，和可以是非線性函數(shù)。 格式：x = fmincon(fun,x0,A,b)x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq)x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub)x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon)x = fmin

42、con(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options)x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options,P1,P2, .)x,fval = fmincon(.)x,fval,exitflag = fmincon(.)x,fval,exitflag,output = fmincon(.)x,fval,exitflag,output,lambda = fmincon(.)x,fval,exitflag,output,lambda,grad = fmincon(.)x,fval,exitflag,output

43、,lambda,grad,hessian = fmincon(.)說明：fmincon 求多變量有約束非線性函數(shù)的最小值。該函數(shù)常用于有約束非線性優(yōu)化問題。x = fmincon(fun,x0,A,b) 給定初值x0，求解fun函數(shù)的最小值點x。fun函數(shù)的約束條件為A*x<=b，x0可以是標量、向量或矩陣。x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq) 最小化fun函數(shù)，約束條件為A*x<=b和Aeq*x = beq。若沒有不等式存在，則設置A = ，b = 。x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub) 定義設計變量x的下界lb和上

44、界ub，使得lb<=x<=ub。若無等式存在，則令Aeq = ，beq = 。x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon) 在上面的基礎上，在nonlcon參數(shù)中提供非線性不等式c (x)或等式ceq (x)。fmincon函數(shù)要求c (x)<=0且ceq (x) = 0。當無邊界存在時，令lb = 和（或）ub = 。x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options) 用options參數(shù)指定的參數(shù)進行最小化。x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,l

45、b,ub,nonlcon,options,P1,P2, .) 將問題參數(shù)P1，P2等直接傳遞給函數(shù)fun和nonlcon。若不需要參數(shù)A，b，Aeq，beq，lb，ub，nonlcon和options，將它們設置為空矩陣。x,fval = fmincon(.) 返回解x處的目標函數(shù)值。x,fval,exitflag = fmincon(.) 返回exitflag參數(shù)，描述計算的退出條件。x,fval,exitflag,output = fmincon(.) 返回包含優(yōu)化信息的結構輸出output。x,fval,exitflag,output,lambda = fmincon(.) 返回解x處包

46、含Lagrange乘子的lambda參數(shù)。x,fval,exitflag,output,lambda,grad = fmincon(.) 返回解x處fun函數(shù)的梯度。x,fval,exitflag,output,lambda,grad,hessian = fmincon(.) 返回解x處fun函數(shù)的Hessian矩陣。·nonlcon參數(shù)該參數(shù)計算非線性不等式約束c (x)<=0和非線性等式約束ceq (x) = 0。nonlcon參數(shù)是一個包含函數(shù)名的字符串。該函數(shù)可以是M文件、內(nèi)部文件或MEX文件。它要求輸入一個向量x，返回兩個變量解x處的非線性不等式向量c和非線性等式向量

47、ceq。例如，若nonlcon = mycon，則M文件mycon.m具有下面的形式：function c, ceq = mycon (x)c = %計算x處的非線性不等式ceq = %計算x處的非線性等式若還計算了約束的梯度，即 options = optimset (GradConstr, on)則nonlcon函數(shù)必須在第三個和第四個輸出變量中返回c (x)的梯度GC和ceq (x)的梯度GCeq。當被調(diào)用的nonlcon函數(shù)只需要兩個輸出變量（此時優(yōu)化算法只需要c和ceq的值，而不需要GC和GCeq）時，可以通過查看nargout的值來避免計算GC和GCeq的值。function c,

48、 ceq, GC, GCeq = mycon (x)c = %解x處的非線性不等式ceq = %解x處的非線性等式if nargout>2 %被調(diào)用的nonlcon函數(shù)，要求有4個輸出變量 GC = %不等式的梯度 GCeq = %等式的梯度end若nonlcon函數(shù)返回m元素的向量c和長度為n的x，則c (x)的梯度GC是一個n×m的矩陣，其中GC(i, j)是c (j)對x (i)的偏導數(shù)。同樣，若ceq是一個p元素的向量，則ceq (x)的梯度GCeq是一個n×p的矩陣，其中GCeq(i, j)是ceq (j)對x (i)的偏導數(shù)。其它參數(shù)意義同前。注意：（1）

49、大型優(yōu)化問題： （1.1）使用大型算法，必須在fun函數(shù)中提供梯度信息（options.GradObj設置為on）。如果沒有梯度信息，則將給出警告信息。 Fmincon函數(shù)允許g (x)為一近似梯度，但使用真正的梯度將使優(yōu)化過程更具穩(wěn)鍵性。 （1.2）當對矩陣的二階導數(shù)（即Hessian矩陣）進行計算后，用該函數(shù)求解大型問題將更有效。但不需要求得真正的Hessian矩陣，如果能提供Hessian矩陣稀疏結構的信息（用options參數(shù)的HessPattern屬性），則fmincon函數(shù)可以算得Hessian矩陣的稀疏有限差分近似。 （1.3）若x0不是嚴格可行的，則fmincon函數(shù)選擇一個新

50、的嚴格可行初始點。 （1.4）若x的某些元素沒有上界或下界，則fmincon函數(shù)更希望對應的元素設置為Inf（對于上界）或-Inf（對于下界），而不希望強制性地給上界賦一個很大的值，給下界一個很小的負值。 （1.5）線性約束最小化課題中也有幾個問題需要注意： ·Aeq矩陣中若存在密集列或近密集列（A dense or fairly dense column），會導致滿秩并使計算費時； ·fmincon函數(shù)剔除Aeq中線性相關的行。此過程需要進行反復的因子分解，因此，如果相關行很多的話，計算將是一件很費時的事情； ·每一次迭代都要用下式進行稀疏最小二乘求解 其中為前

51、提條件的Cholesky（喬累斯基）因子。（2）中型優(yōu)化問題： （2.1）如果用Aeq和beq清楚地提供等式約束，將比用lb和ub獲得更好的數(shù)值解。 （2.2）在二次子問題中，若有等式約束并且因等式（dependent equalities）被發(fā)現(xiàn)和剔除的話，將在過程標題中顯示 dependent（當output參數(shù)要求使用options.Display = iter）。只有在等式連續(xù)的情況下，因等式才會被剔除。若等式系統(tǒng)不連續(xù)，則子問題將不可行并在過程標題中打印infeasible信息。（3）求大型優(yōu)化問題的代碼中不允許上限和下限相等，即不能有l(wèi)b (2)= =ub (2)，否則給出下面的出

52、錯信息：Equal upper and lower bounds not permitted in this large-scale method.Use equality constraints and the medium-scale method instead. 若只有等式約束，仍然可以使用大型算法。當既有等式約束又有邊界約束時，使用中型算法。（4）目標函數(shù)和約束函數(shù)都必須是連續(xù)的，否則可能會只給出局部最優(yōu)解。（5）當問題不可行時，fmincon函數(shù)將試圖使最大約束值最小化。（6）目標函數(shù)和約束函數(shù)都必須是實數(shù)。（7）對于大型優(yōu)化問題，使用大型優(yōu)化算法時，用戶必須在fun函數(shù)中提供梯度（options參數(shù)的GradObj屬性必須設置為on），并且只可指定上界和下界約束，或者只有線性約束必須存在，Aeq的行數(shù)不能多于列數(shù)。（8）如果在fun函數(shù)中提供了解析梯度，選項參數(shù)DerivativeCheck不能與大型方法一起用，以比較解析梯度和有限差分梯度?？梢酝ㄟ^將options參數(shù)的MaxIter屬性設置為0來用中型方法核對導數(shù)，然后用大型方法求解問題。例10-11 求解下列優(yōu)化問題：本題可用lingo求解目標函數(shù) 約束條件 解：將約束條件改寫成下面的不等式 兩個約束條件都是線性的，在Matlab中實現(xiàn)：>>