D函數(shù)的微分同濟(jì)學(xué)習(xí)教案

1、會計學(xué)1D函數(shù)的微分同濟(jì)函數(shù)的微分同濟(jì)引例引例: 一塊正方形金屬薄片受溫度變化的影響,問此薄片面積改變了多少? 設(shè)薄片邊長為 x , 面積為 A , 則面積的增量為xx 0 xx 0關(guān)于x 的線性主部高階無窮小0 x時為故稱為函數(shù)在 的微分0 x當(dāng) x 在取得增量x時,0 x變到邊長由其第1頁/共27頁的微分微分,在點(diǎn) 的增量可表示為0 x( A 為不依賴于x 的常數(shù))則稱函數(shù)而 稱為xA記作即定理定理: 函數(shù))(xfy 在點(diǎn) 可微的充要條件充要條件是0 x即在點(diǎn)0 x可微可微,第2頁/共27頁證證: “必要性必要性” 已知)(xfy 在點(diǎn) 可微 ,0 x則故)( xoxA)(xfy 在點(diǎn) 可

2、導(dǎo),0 x且)(xfy 在點(diǎn) 可微的充要條件充要條件是0 x)(xfy 在點(diǎn) 處可導(dǎo),0 x且即xxfy)(d0第3頁/共27頁)(xfy 在點(diǎn) 可微的充要條件充要條件是0 x)(xfy 在點(diǎn) 處可導(dǎo),0 x且, )(0 xfA即xxfy)(d0“充分性充分性”已知)(xfy 即在點(diǎn) 可導(dǎo),0 x則第4頁/共27頁時 ,所以時yd很小時, 有近似公式與是等價無窮小,當(dāng)故當(dāng)?shù)?頁/共27頁xxfy)(d0 xx0 xyO)(xfy 0 xyyd當(dāng) 很小時,x則有從而導(dǎo)數(shù)也叫作微商切線縱坐標(biāo)的增量自變量的微分自變量的微分,記作記第6頁/共27頁02. 0d2xxyd基本初等函數(shù)的微分公式 (見 P

3、116表)又如又如,第7頁/共27頁設(shè) u(x) , v(x) 均可微 , 則(C 為常數(shù))分別可微 ,的微分為微分形式不變微分形式不變5. 復(fù)合函數(shù)的微分則復(fù)合函數(shù)第8頁/共27頁求 解解:第9頁/共27頁求 .dy解解: 利用一階微分形式不變性 , 有例例3. 在下列括號中填入適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)使等式成立:說明說明: 上述微分的反問題是不定積分要研究的內(nèi)容.C注意 數(shù)學(xué)中的反問題往往出現(xiàn)多值性.注意:第10頁/共27頁數(shù)學(xué)中的反問題往往出現(xiàn)多值性 , 例如 第11頁/共27頁當(dāng)很小時,使用原則使用原則:得近似等式:第12頁/共27頁很小時,常用近似公式常用近似公式:很小)x(x證明證明:令得第13

4、頁/共27頁的近似值 .解解: 設(shè)取則第14頁/共27頁的近似值 .解解:5245第15頁/共27頁為了提高球面的光潔度,解解: 已知球體體積為鍍銅體積為 V 在時體積的增量01. 01RR因此每只球需用銅約為( g )用銅多少克 . 估計一下, 每只球需要鍍上一層銅 ,厚度定為 0.01cm , 第16頁/共27頁某量的精確值為 A ,其近似值為 a ,稱為a 的絕對誤差絕對誤差稱為a 的相對誤差相對誤差若稱為測量 A 的絕對誤差限絕對誤差限稱為測量 A 的相對誤差限相對誤差限第17頁/共27頁已知測量誤差限為按公式計算 y 值時的誤差故 y 的絕對誤差限約為相對誤差限約為若直接測量某量得

5、x ,第18頁/共27頁測量D 的 絕對誤差限欲利用公式圓鋼截面積 ,解解:計算 A 的絕對誤差限約為 A 的相對誤差限約為試估計面積的誤差 . 計算(mm2)第19頁/共27頁1. 微分概念 微分的定義及幾何意義 可微可導(dǎo)2. 微分運(yùn)算法則微分形式不變性 :( u 是自變量或中間變量 )3. 微分的應(yīng)用近似計算估計誤差第20頁/共27頁1. 設(shè)函數(shù))(xfy 的圖形如下, 試在圖中標(biāo)出的點(diǎn)0 x處的及并說明其正負(fù) .ydxx00 xxyO00yyd第21頁/共27頁第22頁/共27頁由方程確定,解解:方程兩邊求微分,得當(dāng)時由上式得求6. 設(shè) ,0a且,nab 則第23頁/共27頁P(yáng)123 1 ; 3 (4) , (7) , (8) , (9) , (10) ; 4 ; 5; 8(1)