暑期輔導(dǎo)第八講：圓與方程

1、第八講:圓與方程一、曲線和方程1. 點(diǎn)p(x0,y0)在曲線c： /(x,y) = 0±o/(xo,yo) = o2. 曲線方程的求法(注意：軌跡與軌跡方程的區(qū)別)：(1) 直接法:建系；設(shè)點(diǎn);列式;化簡(小心范圍)(2)代入法:(3)參數(shù)法;(4)交軌法(聯(lián)立消參)二、圓的方程1. 標(biāo)準(zhǔn)方程：(x-z)斜率：如上是點(diǎn)(兀)與(0,0)連線的斜率;x 截距：如遇到2x+y,令2x+y = w,則比是宜線ly = -2x + u的縱截距； 距離：®(x-l)2+(y + 2)2是點(diǎn)(兀,y)到(1,-2)的距離的平方； +(y-z?)2 = r2(r>0),圓心為(d,

2、/?),半徑為廠.2. 般方程：+£">0),圓心為 ，,半徑為 r=-3+e-4f. 2 2 丿 2v z7 -1- >* co£ f)3. 參數(shù)方程：.(r為半徑，&為參數(shù))，圓心為(q").，= b+rsi n0三、點(diǎn)、直線、圓與圓的位置關(guān)系設(shè)hic： /(兀,y) = 0.其中/仗y)=(xg+(y礦一，或= f+屮+氐+場汁尸.1點(diǎn)p(如，)與圓的位置關(guān)系：點(diǎn)p(x0,y0)在圓內(nèi)o .f (心)b) v ° ；點(diǎn)p(兀o,%)在圓上o /(勺,) = 0.點(diǎn)p(x0,兒)在圓夕卜o .f (心)b) > &

3、#176;2 .宜線l:ax+by + c = 0與圓c:f(x,y) = 0的位置關(guān)系：若c至畀距離為d ,半徑為廠，貝u(1) d>r<=> i與dc相離；(2)d = ro /與dc相切;(3) d so/與dc相交(也可用判別式討論).3. 圓m圓的位置關(guān)系：若圓心距為d ,兩圓的半徑為r,廠，則(l)d>/? +廠o 相離；(2)d = r +廠 o 夕卜切；(3)|/? "<</? + 廠0 相交；(4)d=|/? "o 內(nèi)切；(5)dv|r "o 內(nèi)含四、求圓的方程、切線方程、切線長、弦長1. 求圓的方程：待定系數(shù)

4、法；代入法；圓系法：(1) 過直線l:ax+by + c = 0與圓c:f +，2 +dt+e，+ f = 0的交點(diǎn)的圓系方程為x2 + y2 + dr + ey + f + 2 (ar + by + c)二 0.(2) 過圓6：爪尢？)=只+尸+砂:+殆，+斥=0與圓c2:f2(x,)=x2 +y+d2x+e1y+f1=q的交點(diǎn)的圓系方程為: f(x,y) + 2(%,y) = 0 (2ht)(不包括圓 c?) 特別地：兩圓的公共弦所在直線的方程為(口 -q)尢+(g -e)y +斤-巧=o.2. 求圓的切線方程：過圓上一點(diǎn))的圓的切線有u僅有-條，一般先求斜率，再用點(diǎn)斜式解決.也可肓接應(yīng)用

5、公式：x2 -> xox, y2 -> yqy : x+ x； y _> aiz . (x-a)2 -> (x0； (y-z?)2 ->(y0 -b)(y-b) 過圓x2 + y2 =廠2上一點(diǎn)m(%0,y0)的圓的切線方程是：x()x-y()y = r2。 過圓(兀一a)? +(y-b=r2上一點(diǎn)m (x0,y0)的圓的切線方程是：(兀。一。)(兀一。)+(兒一b)(y -b) = r2。 過圓x2 + y2 + z)x+ey+f=0(d2+e2-4f>0)上一點(diǎn)m (心北)的圓的切線方程是：x0x+>v+d.+e.a±z+f = 0o2

6、2過圓外一點(diǎn)p(兀0，北)的圓的切線有兩條，用點(diǎn)斜式設(shè)切線方程，用=廠求解，若只求得一條，則另一條為x = %0.3. 求切線長：勾股定理 4.求弦長：垂徑定理五、圓中的最值問題：常用方法：參數(shù)方程；數(shù)形結(jié)合(是解析幾何的靈魂)1. 要熟悉常見的一些表達(dá)式的幾何意義|兀-2y + l|是點(diǎn)(x,y)到直線x-2y + l二0距離的苗倍等等.2. 與圓有關(guān)的距離的最值(抓心距：心點(diǎn)距、心線距、心心距)3點(diǎn)p在圓dc內(nèi)，過點(diǎn)p的最長弦為肓徑；最短弦ab丄pc.4. 動玄線斜率范圍：界線斜率先計(jì)算，九十度線是關(guān)鍵，包含此線取兩邊，不含此線夾中間.點(diǎn)撥：降低運(yùn)算量的常用方法：平兒知識；向雖知識；數(shù)形結(jié)

7、合；設(shè)而不求.例題講解：例1平面上有半徑為1的圓q和半徑為2的圓q，且|o,o2| = 4,動點(diǎn)p向兩圓所張視角相等，求點(diǎn)p的軌跡.圓周上有兩個動點(diǎn)a,b,例2.指出方程xox+ yoy = r2 (廠> o,.r.xo,yo不同吋為0)的兒何意義.例3.已知圓的方程為x2+y2=r2f圓內(nèi)有定點(diǎn)p(a,b). pa丄pb ,求矩形apbq的頂點(diǎn)q的軌跡方程.例 4.已知點(diǎn) p(5,0)和圓 o： x2 + >,2=16.(1) 自p作圓o的切線，求切線的長及切線的方程；(2) 過p任意作直線/與圓o交于a, b兩點(diǎn)，求弦ab的中點(diǎn)m的軌跡.例 5.己知圓 c: x2 +(y-1)

8、 = 5 ,直線/: nvc- y + 1 -m = 0.(1) 求證：對mwr,總線/與圓c總有兩個不同的交點(diǎn)；(2) 設(shè)直線z少圓c交于兩點(diǎn)，若|ab| =求直線/的傾斜角;(3) 若定點(diǎn)p(l,l)滿足2ap = pb,求此時直線/的方程；(4) 求弦4b的中點(diǎn)m的軌跡方程.例6.已知實(shí)數(shù)x, y滿足%2 + y2 +2x- 2羽y = 0 .(1)求f + b的最大值；(2)若x+y + 2n0恒成立，求兄的范圍.例7.設(shè)圓滿足:截y軸所得弦長為2;被兀軸分成兩段圓弧,具弧長的比為3:1,在滿足條件、的所有圓小，求圓 心到直線l:x-2y = 0的距離最小的圓的方程.作業(yè)一、選擇題1.

9、 當(dāng)點(diǎn)p在圓x2 + r = l±變動時，它與定點(diǎn)2(3,0)相連，線段pq的中點(diǎn)m的軌跡方程是()a. (x + 3)2 + y1 =4 b.(兀一3)2 + 尸二1 c. (2x-3)2+4yl d. (2兀 + 3)2+4尸=12. 若直線y = x + b與曲線y = 3-44x冇公共點(diǎn)，則方的取值范圍是()a. 1-2血,1 + 2冋b. 1-v2,3 c. -1,1 + 2呵d. 1-272,33. 與圓f +y2 _仮一 2y+=0關(guān)于直線x_y_l=0對稱的圓的方程為x1 +y2 -4x+b = 0,貝 ijq + /?=()a. 3b. 4c. 5d. 64. 直線

10、y = kx + 3與圓(3)2+(y-2)2二4相交于m,/v兩點(diǎn)，若阿皿2能，則r的取值范圍是(a.b.00.4u0,+oo)3 3d.-1°5. 若圓0-3)2+(y + 5)2 =廠2上有且僅有兩個點(diǎn)到直線4x-3y = 2的距離為1,則半徑廠的取值范圍是()a.(4,6)b. 4,6)c.(4,6d. 4,6二、填空題6. 若直線y = x + b與曲線兀=jl_)，恰冇一個公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是.7. 將直線2x-y + 2 = 0,沿兀軸向左平移1個單位，所得直線與圓x2 + y2+2x-4y = 0相切，則實(shí)數(shù)/i的值為8. 己知圓c的方程為才+于2y 3=0,過點(diǎn)p(-1,2)的直線/與圓c交于a,b兩點(diǎn)，若使小創(chuàng)最小，則直線/的方程是.9. 已知a(-1,2),b(加,0),且與兩點(diǎn)的距離分別為1和2的肓線有且只有兩條，則加的取值范圍是三、解答題10. 己知動點(diǎn)m到點(diǎn)a(2,0)的距離是它到點(diǎn)5(8,0)的距