2019年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)(北京卷)word版

1、絕密本科目考試啟用前2019 年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（北京卷）理科數(shù)學(xué)本試卷共 5 頁(yè)， 150 分。考試時(shí)長(zhǎng) 120 分鐘?？忌鷦?wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第一部分 （選擇題 共 40 分）、選擇題共 8小題，每小題 5分，共 40 分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。1）已知復(fù)數(shù) z=2+i ，則 z zD)5C)32）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的s 值為A)13）已知直線A)154）已知橢圓B）C）23xl 的參數(shù)方程為1 3t,2 4tt 為參數(shù)），D)4則點(diǎn)（ 1，0）到直線 l的距離是2 B)5C)5D

2、）2x2a2 y b21 （ a> b> 0）的離心率為 12 ，則A)a2=2b2B)3a2=4b2C) a=2bD）3a=4b5）若 x， y 滿足 | x| 1 y ，且 y-1，則 3x+y 的最大值為（A）- 7（B）1（C）5（D）76）在天文學(xué)中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來(lái)描述兩顆星的星等與亮度滿足5 E1m2- m1= lg 1 ，其中星等為 mk的星的亮度為 Ek（ k=1， 2）已知太陽(yáng)的星等是 - 26.7，2 E2天狼星的星等是 - 1.45，則太陽(yáng)與天狼星的亮度的比值為（A）1010.1（B）10.1（C）lg10.1（ D）10- 10.1uuur

3、 uuru uuur uuur uuur7）設(shè)點(diǎn) A，B，C不共線，則“ AB 與 AC的夾角為銳角”是“ |AB AC| |BC |”的（ A）充分而不必要條件 （ B）必要而不充分條件（C）充分必要條件（ D）既不充分也不必要條件8）數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線，曲線C： x2 y2 1 |x| y就是其中之一如圖）給出下列三個(gè)結(jié)論：曲線好教育云平臺(tái) 高考真題第 7頁(yè)（共 5 頁(yè) ）曲線 C上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不超過(guò) 2 ；曲線 C 所圍成的“心形”區(qū)域的面積小于3其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是D）（A）（B）（ C）第二部分 （非選擇題 共 110 分）、填空題共 6 小題，每小

4、題 5分，共 30分。9）函數(shù) f（ x） =sin22x 的最小正周期是 10）設(shè)等差數(shù)列 an的前 n 項(xiàng)和為 Sn，若 a2=-3，S5=-10，則 a5=，Sn的最小值為11 ）某幾何體是由一個(gè)正方體去掉一個(gè)四棱柱所得，其三視圖如圖所示 如果網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為 1，那么該幾何體的體積為12）已知 l，m 是平面 外的兩條不同直線給出下列三個(gè)論斷：lm； m ；l 以其中的兩個(gè)論斷作為條件，余下的一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫出一個(gè)正確的命題：（13）設(shè)函數(shù) f（x） =ex+ae-x（a 為常數(shù)）若 f（x）為奇函數(shù)，則 a=；若 f（x）是 R 上的增函數(shù)，則 a 的取值范圍是 （14）

5、李明自主創(chuàng)業(yè)，在網(wǎng)上經(jīng)營(yíng)一家水果店，銷售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃， 價(jià)格依次為 60元/盒、65元/盒、80 元/盒、90 元/盒為增加銷量，李明對(duì)這四種水果 進(jìn)行促銷： 一次購(gòu)買水果的總價(jià)達(dá)到 120 元，顧客就少付 x 元每筆訂單顧客網(wǎng)上支付 成功后，李明會(huì)得到支付款的 80%當(dāng) x=10 時(shí)，顧客一次購(gòu)買草莓和西瓜各 1 盒，需要支付 元；在促銷活動(dòng)中，為保證李明每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價(jià)的七折，則 x 的最大值為 三、解答題共 6 小題，共 80 分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程。（15 ）（本小題 13 分）1在 ABC中， a=3，b- c=2， cos

6、B=2（）求 b，c 的值；（）求 sin（ BC）的值16 ）（本小題 14 分）如圖， 在四棱錐 PABCD中，PA平面ABCD，ADCD，ADBC，PA=AD=CD=2，BC=3E為 PD 的中點(diǎn)，點(diǎn) F 在 PC上，且PFPC）求證： CD平面 PAD；）求二面角 FAEP 的余弦值；）設(shè)點(diǎn) G在 PB上，且PGPB2 判斷直線 AG 是否在平面 AEF內(nèi)，說(shuō)明理由317 ）（本小題 13 分）改革開(kāi)放以來(lái)， 人們的支付方式發(fā)生了巨大轉(zhuǎn)變 近年來(lái)， 移動(dòng)支付已成為主要支付方式之一為了解某校學(xué)生上個(gè)月 A，B 兩種移動(dòng)支付方式的使用情況，從全校學(xué)生中隨 機(jī)抽取了 100 人，發(fā)現(xiàn)樣本中

7、A，B 兩種支付方式都不使用的有 5人，樣本中僅使用 A 和僅使用 B 的學(xué)生的支付金額分布情況如下：支付金額（元）支付方式(0， 1000(1000， 2000大于 2000僅使用 A18 人9人3人僅使用 B10 人14 人1人（）從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取 1 人，估計(jì)該學(xué)生上個(gè)月 A，B 兩種支付方式都使用的概 率；（）從樣本僅使用 A和僅使用 B的學(xué)生中各隨機(jī)抽取 1 人，以 X表示這 2人中上個(gè) 月支付金額大于 1000 元的人數(shù)，求 X 的分布列和數(shù)學(xué)期望； （）已知上個(gè)月樣本學(xué)生的支付方式在本月沒(méi)有變化現(xiàn)從樣本僅使用 A 的學(xué)生中， 隨機(jī)抽查 3 人，發(fā)現(xiàn)他們本月的支付金額都大于20

8、00 元根據(jù)抽查結(jié)果，能否認(rèn)為樣本僅使用 A 的學(xué)生中本月支付金額大于 2000 元的人數(shù)有變化？說(shuō)明理由18 ）（本小題 14 分）已知拋物線 C：x2=-2py 經(jīng)過(guò)點(diǎn)（ 2，-1）（）求拋物線 C 的方程及其準(zhǔn)線方程；（）設(shè) O為原點(diǎn)， 過(guò)拋物線 C的焦點(diǎn)作斜率不為 0 的直線 l交拋物線 C于兩點(diǎn) M，N， 直線 y=-1 分別交直線 OM，ON 于點(diǎn) A和點(diǎn) B求證：以 AB為直徑的圓經(jīng)過(guò) y 軸上的 兩個(gè)定點(diǎn)19 ）（本小題 13 分）1 3 2已知函數(shù) f （x） x3 x2 x 4（）求曲線 y f （ x） 的斜率為 1 的切線方程；（）當(dāng) x 2, 4時(shí)，求證： x 6 f

9、 （x） x；（）設(shè) F（x） | f（x） （x a）|（a R），記 F（x）在區(qū)間 2,4 上的最大值為 M （ a）當(dāng) M（ a）最小時(shí)，求 a 的值20 ）（本小題 13 分）已知數(shù)列 an，從中選取第 i1項(xiàng)、第 i2項(xiàng)、第 im項(xiàng)（i1<i2<<im），若ai1 ai2aim ，則稱新數(shù)列 ai1，ai2， ，aim 為 an的長(zhǎng)度為 m 的遞增子列規(guī)定：數(shù)列 an的任意一項(xiàng) 都是 an 的長(zhǎng)度為 1 的遞增子列（）寫出數(shù)列 1，8，3，7，5，6，9 的一個(gè)長(zhǎng)度為 4的遞增子列；（）已知數(shù)列 a n的長(zhǎng)度為 p 的遞增子列的末項(xiàng)的最小值為 am0 ，長(zhǎng)度為 q

10、 的遞增子 列的末項(xiàng)的最小值為 an0 若 p<q，求證： am0 < an0 ；（）設(shè)無(wú)窮數(shù)列 an的各項(xiàng)均為正整數(shù)，且任意兩項(xiàng)均不相等若an的長(zhǎng)度為 s 的遞增子列末項(xiàng)的最小值為 2s1，且長(zhǎng)度為 s末項(xiàng)為 2s1 的遞增子列恰有 2s-1個(gè)（s=1，2，）， 求數(shù)列 a n的通項(xiàng)公式2019 年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（北京卷）理科數(shù)學(xué)答案一、選擇題（共 8小題，每小題 5分，共 40分）（1）D（2）B（3）D（4）B（5）C（6） A（7）C（8）C二、填空題（共 6小題，每小題 5分，共 30分）（9）（10）010（11）40（12）若 l m，l，則 m .（答

11、2案不唯一）13 ) 1 ( ,014) 130 15好教育云平臺(tái) 高考真題答案第 9頁(yè)（共 7 頁(yè) ）三、解答題（共 6小題，共 80分）22a c 2ac cos B ，得解：15 ）（共 13 分）2221b232c2 2 3 c.2因?yàn)閎c 2 ，所以(c2)2 32 c223c12）由余弦定理 b2解得 c 5. 所以 b 7.)由 cosB1得sin B 3225314c由正弦定理得 sinC sinBb在 ABC 中， B是鈍角， 所以 C為銳角 .所以 cosC 1 sin2 C 11 .14所以 sin(B C) sin BcosC cosB sin C4316 ）（共 14

12、分）解：（）因?yàn)?PA平面 ABCD，所以 PA CD 又因?yàn)?AD CD，所以CD平面 PAD（）過(guò) A作AD的垂線交 BC于點(diǎn) M因?yàn)?PA平面 ABCD，所以 PAAM ，PAAD如圖建立空間直角坐標(biāo)系 A-xyz，則A（0， 0，0）， B（ 2， 1，0），C（2，2，0）， D（0，2，0），P（0，0，2）因?yàn)?E為PD的中點(diǎn)，所以 E（0，1，1）uuur 所以 AE(0,1,1),uuurPC(2,2,2),uuurAP(0,0, 2) uuur1uuur222uuuruuuruuur224所以 PFPCAFAPPF33,3,3,3,33設(shè)平面 AEF的法向量為 n=（x，

13、y，z），則uuur n AE0,yz0,uuur即224n AF0,xyz0333令z=1，則y1, x1于是 n=（1,1,1)又因?yàn)槠矫?PAD的法向量為 p=（1， 0，0），所以 cos n, pnp|np|由題知，二面角 F-AE-P為銳角，所以其余弦值為）直線 AG在平面 AEF內(nèi)因?yàn)辄c(diǎn) G在PB上，且 PG 2PB 3uuurPB (2, 1,2)，uuur 2uuur 所以 PG 2 PB 34, 2,3, 3,4 uuur43 ,AGuuurAPuuurPG由（）知，平面AEF的法向量 n=（ 1,1,1).uuur 所以 AG n4 2 2 0.333所以直線 AG在平面

14、 AEF內(nèi) .17 ）（共 13分）解：（）由題意知， 樣本中僅使用 A的學(xué)生有 18+9+3=30人，僅使用 B的學(xué)生有 10+14+1=25 人， A， B兩種支付方式都不使用的學(xué)生有5人 .故樣本中 A，B兩種支付方式都使用的學(xué)生有 100-30-25-5=40 人 .所以從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取 1人，該學(xué)生上個(gè)月 A，B兩種支付方式都使用的概率估計(jì)為401000.4.） X的所有可能值為 0， 1，2.記事件 C為 “從樣本僅使用 A的學(xué)生中隨機(jī)抽取 1人，該學(xué)生上個(gè)月的支付金額大于 1000 元”，事件 D為“從樣本僅使用 B的學(xué)生中隨機(jī)抽取 1人，該學(xué)生上個(gè)月的支付金額大于 1000

15、元”.9 3 14 1 由題設(shè)知，事件 C，D相互獨(dú)立，且 P(C) 0.4, P(D) 0.6 .30 25所以 P(X 2) P(CD) P(C)P(D) 0.24 ，P(X 1) P(CD UCD)P(C)P(D) P(C)P(D)=0.4 ×(1-0.6 )+(1-0.4 )×0.6=0.52，P(X 0) P(CD)P(C)P(D) 0.24 .所以 X的分布列為2000元”.假設(shè)樣本僅使用 A的學(xué)生中，本月支付金額大于 2000 元的人數(shù)沒(méi)有變化，則由上個(gè)月的樣本數(shù)據(jù)得 P（E）1C33014060答案示例 1：可以認(rèn)為有變化 .理由如下：P（ E）比較小，概率

16、比較小的事件一般不容易發(fā)生.一旦發(fā)生，就有理由認(rèn)為本月的支付金額大于 2000 元的人數(shù)發(fā)生了變化 .所以可以認(rèn)為有變化 .答案示例 2：無(wú)法確定有沒(méi)有變化 .理由如下：事件 E是隨機(jī)事件， P（E）比較小，一般不容易發(fā)生，但還是有可能發(fā)生的，所以無(wú)法 確定有沒(méi)有變化 .18 ）（共 14 分）解：（）由拋物線 C:x22py 經(jīng)過(guò)點(diǎn) （2, 1），得 p 2.所以拋物線 C的方程為 x24y ，其準(zhǔn)線方程為 y 1.）拋物線 C 的焦點(diǎn)為 F（0, 1）.設(shè)直線 l 的方程為 y kx 1(k 0) .y kx 1, 2由 2得 x2 4kx 4 0.x2 4y設(shè) M x1,y1 ,N x2

17、,y2 ，則 x1x2 4.直線 OM 的方程為 y y1 x.x1令 y 1 ，得點(diǎn) A 的橫坐標(biāo) xAx1y1同理得點(diǎn) B 的橫坐標(biāo)xBx2y2設(shè)點(diǎn)D(0, n)，則uuurDAx1uuur,DBx2y1y2uuurDAuuurDBx1x2y1y2(n1)2x1x222x1 x2(n1)216 2 (n 1)2 x1x24 (n 1)2.uuur uuur令 DA DB 0 ，即 4(n1)20，則n3.綜上，以 AB 為直徑的圓經(jīng)過(guò)y 軸上的定點(diǎn) （0,1） 和 （0,3).19 ）（共 13 分）解：（）令 f (x)又 f (0)由 f (x) 1 x34 即 3 x2 2x488

18、f ( ) ，3 271，0，所以曲線x2f（x） 的斜率為)令 g(x)13 由 g(x) 4 x3x 得 f (x) 3 x241，得 x 0 或 x的切線方程是 y2x1.64 x27f (x) x,x2x2 得 g'(x) 2,4 .3 x2 2x.48278，3，令 g'(x) 0得 x 0或 x 8 .3故6g(x)0 ，即 x6f (x)（）由（）知，當(dāng)a3時(shí)，M (a)F(0)|g(0)當(dāng)a3時(shí)，M (a)F( 2)|g(當(dāng)a3時(shí)，M (a)3綜上，當(dāng) M （a） 最小時(shí)，a3.2) a |a| a 3；x.g'（x）,g（x） 的情況如下：x2( 2,0)0(0, 83)83(83,4)4g'(x)g(x)6Z06427Z0所以 g（x） 的最小值為 6，最大值為 0.20 ）（共 13分）解：（） 1，3，5， 6.答案不唯一）設(shè)長(zhǎng)度為 q末項(xiàng)為an0 的一個(gè)遞增子列為ar1 ,ar2 ,L ,arq 1 ,an0 .由p<q，得 arp arq1 an0 .因?yàn)?an 的長(zhǎng)度為 p的遞增子列末項(xiàng)的最小值為 am0 ，又 ar1 , ar2 ,L ,arp 是 an 的長(zhǎng)度為 p的遞增子列， 所以 am0 arp .所以 am0 an0