浦東暑假新高二數(shù)學(xué)補習(xí)班利用空間向量解立體幾何(完整版)

1、向量法解立體幾何引言立體幾何的計算和證明常常涉及到二大問題：一是位置關(guān)系，它 主要包括線線垂直，線面垂直，線線平行，線面平行；二是度量問題, 它主要包括點到線、點到面的距離，線線、線面所成角，面面所成角 等。教材上講的比較多的主要是用向量證明線線、線面垂直及計算線 線角，而如何用向量證明線面平行，計算點到平面的距離、線面角及 面面角的例題不多，給老師對這部分內(nèi)容的教學(xué)及學(xué)生解有關(guān)這部分 內(nèi)容的題目造成一定的困難，下面主要就這幾方面問題談一下自己的 想法，起到一個拋磚引玉的作用?；舅悸放c方法、基本工具1數(shù)量積:a-b = ahcos32射影公式：向量。在b上的射影為甞3直線ax + by +

2、c = 0的法向量為（a,b）,方向向量為（-b,a）4平面的法向量（略）二、用向量法解空間位置關(guān)系仁平行關(guān)系線線平行o兩線的方向向量平行線面平行o線的方向向量與面的法向量垂直面面平行o兩面的法向量平行2 垂直關(guān)系線線垂直（共面與異面）o兩線的方向向量垂直線面垂直o線與面的法向量平行面面垂直o兩面的法向量垂直三、用向量法解空間距離1 點點距離點 p（x，x，z1）與 0（兀2，力，22）的距離為pq = 4 一兀 1）2 +（歹2 一）2 +（?2 石）22 點線距離求點p（兀0,兒）到直線/: ax + by + c = o的距離方法：在直線上取一點q（x,y）,>ja2 + b2則向

3、量西在法向量 =（a, b）上的射影p° h心）+ by。+ c即為點p到/的距離.3 點面距離求點鞏心兒）到平面q的距離：方法：在平面q上去一點q（x9y）,得向量西計算平面。的法向量,計算西在2上的射影，即為點p到面。的距離.用向量法解空間角1 線線夾角（共面與異面）線線夾角o兩線的方向向量的夾角或夾角的補角2 線面夾角求線面夾角的步驟： 先求線的方向向量與面的法向量的夾角，若為銳角角即可，若 為鈍角，則取其補角； 再求其余角，即是線面的夾角.3面面夾角（二面角）若兩面的法向量一進一出，則二面角等于兩法向量的夾角；法 向量同進同出，則二面角等于法向量的夾角的補角.實例分析一.運用

4、法向量求空間角向量法求空間兩條異面直線a, b所成角e ,只要在兩條異面直線a, b上各任取一個向量兀?和麗，則角vaabb'>=q或tt七,因為8是銳角,所以cos0=不需要用法向量。k運用法向量求直線和平面所成角設(shè)平面c（的法向量為：二（x, y, 1）,則直線ab和平面c（所成的角。的正弦值為心二ab nsine二 cos(y-0) = |cos<ab,2、運用法向量求二面角設(shè)二面角的兩個面的法向量為無石，則v兀，可或mv幾可是所求 角。這時要借助圖形來判斷所求角為銳角還是鈍角，來決定兀，石 是所求，還是tty兀庇是所求角。二.運用法向量求空間距離仁求兩條異面直線間的

5、距離設(shè)異面直線a、b的公共法向量為n在a、b上任取一點a、b,則異面直線a、b的距d=ab-cos,baa'=略證：如圖，ef為a、b的公垂線段，a '為過f與a平行的直線，在a、b上任取一點a、b,過a作aa'仏ef，交于a，pio aal lln ,所以zbaa =<ba,n> （或其補角）異面直線a、b的距離 ws閉aa上魯其中，：的坐標可利用a、b上的任一向量a,b（或圖中的疋，麗）,及：的定義得丄drfa = o"丄為rfb = o解方程組可得二2、求點到面的距離求a點到平面a的距離，設(shè)平面a的法向量法為：=（兀,”1）,在a內(nèi)任取一點b

6、 ,則a點到平面c（的距離為d二遜也"的坐標由7與平 面a內(nèi)的兩個不共線向量的垂直關(guān)系，得到方程組（類似于前面所述, 若方程組無解，則法向量與xoy平面平行，此時可改設(shè)7 = （1,”0）, 下同）b3、求直線到與直線平行的平面的距離求直線a到平面a的距離，設(shè)平面a的法向量法為方=（兀,”1），在直 線a上任取一點a ,在平面a內(nèi)任取一點b，則直線a到平面c（的距離4、求兩平行平面的距離設(shè)兩個平行設(shè)平面cl 0的公共法向量法為：=（兀,”1），在平面a、p內(nèi)各任取一點a、b ,則平面a到平面0的距離d二 絲w應(yīng)用舉例:三.證明線面.面面的平行.垂直關(guān)系設(shè)平面外的直線a和平面a、p,兩

7、個面a、0的法向量為兀庇，則a/a o a 丄®a 丄 aoa/ri|all 0 o /?, / n2g 丄（3 0 n、丄 n2!1!例仁 如右下圖，在長方體abcda1b1c1d1中，已知ab= 4, ad=3, aai= 2. e. f分別是線段ab、bc上的點，且eb= fb=1.(1)求二面角cdeci的正切值;(2)求直線eci與fdi所成的余弦值.解：(i )以a為原點，ab,ad9aa分別為x軸，y軸,z軸的正向建 立空間直角坐標系，則 d(0,3,0)、di(0,3,2)、e(3,0,0). f(4,1,0).ci(4,3,2)于是，de = (3,-3,0),ec

8、 = (1,3,2),fd = (-4,2,2)設(shè)法向量n = (x, y, 2)與平面cide垂直,則有3x-3j = 0=>兀 + 3)：+ 2z = 0冗丄ec)“ (一 1, 一1,2),向量頑二(0,0,2)與平面cde垂直,：與鬲所成的角&為二面角c-de-ci的平面角八-1xo-1xo + 2x2 斥 cos 0 =.=/:/= lnlxla4l jl + 1+ 4 xj0 + 0 +43:.tan 0 2(ii )設(shè)丘。與f3所成角為0 ,貝iec、 fd、eqxfdllx(-4) + 3x2 + 2x2a/12 +32 +22 x7(-4)2 + 22+22魚1

9、4例2 :如圖，已知四棱錐p-abcd ,底面abcd是菱形，2dab=60° , pd丄平面 abcd , pd=ad ,點e為ab中點，點f為pd中點。(1 )證明平面ped丄平面pab ;(2 )求二面角p-ab-f的平面角的余弦值fdaxb證明:(1 ) 面 abcd 是菱形,zdab=60° ,. .abd是等邊三角形，又e是ab中點，連結(jié)bd. zedb=300 , zbdc=60。, . edc=90° ,如圖建立坐標系 d-ecp，設(shè) ad二ab=1 貝ijpf=fd=i ,ed= ,2 2 p(0 , 0 , 1 ), e( £ , 0

10、 , 0), b( f , 0)pb= ( , 1 , -1 ), pe= (£,0,-1),平面ped的一個法向量為旋=(0,1 , 0 ),設(shè)平面pab的法向量為7= ( x, y, 1)1 1 0xy -1 = 0 2 2x-l = 02r 1=>,0, 1),設(shè)平面(兀,y,l)(+，亍1) = 0 j-=><(x,= 0 dc-n=0即反丄7二平面ped丄平面pab(2 )解：由(1 )知：平面pab的法向量為方二(fab的法向量為h1=(x, y, -1),由(1)知:f ( 0 , 0 , i ), fb= ( , 1 , -1 ), fe = (&#

11、163;,0, 丄)2八由771 丄 fb- => </ii 丄 fe(“1).(¥，*,扣()點i1)(寺,0,-/ = 0v3 11 xy + = 02 2* 2 能丄1 o兀+ = 02 2=>1x=-y = 0|cos< n , n 1>|.二面角p-ab-f的平面角的余弦值cos0 =5a/7n hi例3 :在棱長為4的正方體abcd-a1b1c1d1中，o是正方形a1b1c1d1的中心，點p在棱cg上,且cc尸4cp(i) 求直線ap與平面bcc1b1所成的角的大小(結(jié)果用反三角函數(shù)值表示)；z(ii) 設(shè)o點在平面dap上的射影是h ,求證

12、：dih±ap ;(iii) 求點p到平面ab0的距離.解：如圖建立坐標系d-acdi,棱長為4 a (4,0,0),b(4,4,0),p(0,4,1):.ap = (-4, 4, 1),顯然呢二(0,4,0 )為平面bcc1b1的一個法向量二直線ap與平面bcc1b1所成的角。的正弦值sin0= |cos< ap ,dc>-16_4a/33j42 +42 + 33仍銳角直線ap與平面bcc冋所成的角e為a®警(iii)設(shè)平面abd1的法向量為q ( x, y, 1),:ab - (0,4,0), ad, = ( -4,0,4 )由 5,7* 得二 4 = 0

13、mw點p到平面abdi的距離d =3近例4 :在長、寬、高分別為2,2,3的長方體abcd-a1b1c1d1中，o是底面中心，求aio與bic的距離。解：如圖，建立坐標系d-acdi，則o ( 1 , 1 , 0 ),ai(2,2,3),c(0,2,0).麗=(-1,1, -3)bc = (-2,0,-3)應(yīng)=(0,2,0)設(shè)a|o與bic的公共法向量為n =(x,y,l)，貝i3丄 a。 j(x, y, 1) ( 1,1,3) 0_x + y 3 = 02二丄 «cl(x,y, 1) (-2,0-3) = 0-2x-3 = 0_3uiv =2dci片0與3c的距離為d = i ab

14、 ml _(0,2,0).|-|,|,l2(3+a3v2211例5 :在棱長為1的正方體abcd-a1b1c1d1中，e、f分別是bici.cidi的中點，求ai到面bdfe的距離。解：如圖，建立坐標系 d-acdi，則 b（1 ,1 , 0 ）, ai （ 1 ,0 ,1 ）,be = （-,0,1）乙的=()丄一1)設(shè)面bdfe的法向量為n = (x, yj)，則”丄肋一 »n丄be（兀,y,l）（-1,一1,0） = 0x y = 0r _ 21 => 1 => （兀,1）（-亍0,1） = 0-x + 1 = ob = 2n （2,2,1）ai 到面 bdfe 的距離為 di ab9n _ |（0,1,一1）（2,-2,1）|_|_3|_22+（-2）2 + 13五.課后練習(xí):1>如圖,已知正u1棱柱 abcd-a1b1c1d1, ab=1,aai=2,點 e 為 cci中點，點f為bd中點.(1 )證明ef為bdi與cci的公垂線；(2 ) 求點di到面bde的距離.ad2、已知正方形abcd ,邊長為1 , a d作pd丄平面abcd ,且pd=1 , e、f分別是ab和bc的中點,(1 )求d到平面pef的距 離