人教數(shù)學(xué)必修二空間幾何體的表面積和體積學(xué)習(xí)教案

1、會計(jì)學(xué)1人教數(shù)學(xué)人教數(shù)學(xué)(shxu)必修二空間幾何體的表必修二空間幾何體的表面積和體積面積和體積第一頁，共83頁。 1 1、表面、表面(biomin)(biomin)積：幾何體表面積：幾何體表面(biomin)(biomin)的面積的面積 2 2、體積：幾何體所占空間、體積：幾何體所占空間(kngjin)(kngjin)的大小。的大小。第1頁/共82頁第二頁，共83頁。第2頁/共82頁第三頁，共83頁。第3頁/共82頁第四頁，共83頁。2.2.幾何體的表面積幾何體的表面積 （1 1）棱柱、棱錐、棱臺的表面積就是）棱柱、棱錐、棱臺的表面積就是 . . （2 2）圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面展開）圓柱、

2、圓錐、圓臺的側(cè)面展開(zhn ki)(zhn ki)圖分別是圖分別是 、 、 ；它們的表面積等于；它們的表面積等于 . .各面面積各面面積(min j)之和之和矩矩形形扇形扇形(shn xn)扇環(huán)形扇環(huán)形側(cè)面積側(cè)面積與底面面積之和與底面面積之和第4頁/共82頁第五頁，共83頁?；貞浕貞?huy)復(fù)習(xí)有關(guān)概念復(fù)習(xí)有關(guān)概念1、直棱柱、直棱柱(lngzh)：2、正棱柱、正棱柱(lngzh)：3、正棱錐：、正棱錐：4、正棱臺：、正棱臺：側(cè)棱和底面?zhèn)壤夂偷酌娲怪贝怪钡睦庵兄崩庵睦庵兄崩庵酌媸钦噙呅蔚牡酌媸钦噙呅蔚闹敝崩庵姓庵庵姓庵酌媸钦噙呅危酌媸钦噙呅?，頂點(diǎn)在底面的射影是底

3、面中心頂點(diǎn)在底面的射影是底面中心的棱錐的棱錐正棱錐正棱錐被平行于底面的平面所截，被平行于底面的平面所截，截面和底面之間的部分叫正棱臺截面和底面之間的部分叫正棱臺第5頁/共82頁第六頁，共83頁。作直三棱柱、正三棱錐、正三棱臺各一個作直三棱柱、正三棱錐、正三棱臺各一個(y )，找出，找出斜高斜高CBAA1B1C1COBAPD斜高(xi o)的概念第6頁/共82頁第七頁，共83頁。2、分別作出一個圓柱、分別作出一個圓柱(yunzh)、圓錐、圓臺，并找出旋轉(zhuǎn)軸、圓錐、圓臺，并找出旋轉(zhuǎn)軸分別經(jīng)過分別經(jīng)過(jnggu)旋轉(zhuǎn)軸作一個平面，觀察得到的軸截面是旋轉(zhuǎn)軸作一個平面，觀察得到的軸截面是 什么形狀的圖

4、形什么形狀的圖形.ABCDABCABCD第7頁/共82頁第八頁，共83頁。ch2rl知識點(diǎn)一：柱、錐、臺、球的表面積知識點(diǎn)一：柱、錐、臺、球的表面積(min j)與側(cè)面與側(cè)面積積(min j)(1)柱體的側(cè)面積(min j)第8頁/共82頁第九頁，共83頁。把直三棱柱側(cè)面沿一條側(cè)棱展開，得到什么圖形？側(cè)面積(min j)怎么求？chhcbaS )（直直棱棱拄拄側(cè)側(cè)habcabchh第9頁/共82頁第十頁，共83頁。棱柱棱柱(lngzh)(lngzh)的側(cè)面展開圖是什么？如何計(jì)算它的表的側(cè)面展開圖是什么？如何計(jì)算它的表面積？面積？h正棱柱的側(cè)面正棱柱的側(cè)面(cmin)展開圖展開圖底側(cè)表面積SSS

5、2第10頁/共82頁第十一頁，共83頁。思考：把圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面思考：把圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面(cmin)分別沿著一條母線分別沿著一條母線 展開，分別得到什么圖形展開，分別得到什么圖形?展開的圖形與原圖展開的圖形與原圖 有什么關(guān)系？有什么關(guān)系？rlr2 長長寬寬llSSr2 長長方方形形圓圓柱柱側(cè)側(cè) 第11頁/共82頁第十二頁，共83頁。圓柱圓柱(yunzh)的側(cè)面展開圖的側(cè)面展開圖是矩形是矩形2222()Srrlr rlOOrl2 r 底側(cè)表面積SSS2第12頁/共82頁第十三頁，共83頁。12chrl(2)錐體錐體(zhu t)的側(cè)面積的側(cè)面積第13頁/共82頁第十四頁，共83頁。把

6、正三棱錐側(cè)面沿一條側(cè)棱展開(zhn ki)，得到什么圖形？側(cè)面積怎么求？hh21chS正棱錐側(cè)正棱錐側(cè)第14頁/共82頁第十五頁，共83頁。棱錐的側(cè)面展開圖是什么？如何棱錐的側(cè)面展開圖是什么？如何(rh)(rh)計(jì)算它的表面積計(jì)算它的表面積？/h/h正三棱錐的側(cè)面正三棱錐的側(cè)面(cmin)展開圖展開圖第15頁/共82頁第十六頁，共83頁。側(cè)面展開正五棱錐正五棱錐(lngzhu)的的側(cè)面展開圖側(cè)面展開圖底側(cè)表面積SSS第16頁/共82頁第十七頁，共83頁。思考：把圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面分別沿著一條母線思考：把圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面分別沿著一條母線 展開，分別得到什么展開，分別得到什么(shn m

7、e)圖形圖形?展開的圖形與原圖展開的圖形與原圖 有什么有什么(shn me)關(guān)系？關(guān)系？rl180lnl 扇扇lR 扇扇rllllnSS 扇扇扇扇圓圓錐錐側(cè)側(cè)213602第17頁/共82頁第十八頁，共83頁。圓錐的側(cè)面展開圓錐的側(cè)面展開(zhn ki)圖是圖是扇形扇形r2lOr2()Srrlr rl第18頁/共82頁第十九頁，共83頁。12(cc)hl(rr)(3)臺體的側(cè)面積臺體的側(cè)面積(min j)注：表面積注：表面積(min j)(min j)側(cè)面積側(cè)面積(min j)(min j)底面積底面積(min j)(min j)第19頁/共82頁第二十頁，共83頁。把正三棱臺側(cè)面沿一條側(cè)棱展開

8、，得到什么圖形(txng)？側(cè)面積怎么求？（類比梯形的面積）hh) 21hccS （正正棱棱臺臺側(cè)側(cè)第20頁/共82頁第二十一頁，共83頁。側(cè)面展開hh正四棱臺的側(cè)面正四棱臺的側(cè)面(cmin)展開圖展開圖棱臺的側(cè)面展開棱臺的側(cè)面展開(zhn ki)(zhn ki)圖是什么？如何計(jì)算圖是什么？如何計(jì)算它的表面積？它的表面積？下底上底側(cè)表面積SSSS第21頁/共82頁第二十二頁，共83頁。 參照圓柱參照圓柱(yunzh)(yunzh)和圓錐的側(cè)面展開圖，試想象圓臺的和圓錐的側(cè)面展開圖，試想象圓臺的側(cè)面展開圖是什么側(cè)面展開圖是什么 r2lOrO r2 r圓臺的側(cè)面圓臺的側(cè)面(cmin)展開圖展開圖是

9、扇環(huán)是扇環(huán)22()Srrr lrl 第22頁/共82頁第二十三頁，共83頁。思考：把圓柱、圓錐、圓臺思考：把圓柱、圓錐、圓臺(yunti)的側(cè)面分別沿著一條母線的側(cè)面分別沿著一條母線 展開，分別得到什么圖形展開，分別得到什么圖形?展開的圖形與原圖展開的圖形與原圖 有什么關(guān)系？有什么關(guān)系？1r2rllrrSS)21 （扇環(huán)扇環(huán)圓臺側(cè)圓臺側(cè) 第23頁/共82頁第二十四頁，共83頁。r2lOrO r2 r22()Srrr lrl xrxrxl rxr xr l S側(cè)側(cè)()()r lxr xrlrxr x ()r lrl 第24頁/共82頁第二十五頁，共83頁。lOrO r圓柱、圓錐、圓臺三者的表面積

10、公式之間有什么圓柱、圓錐、圓臺三者的表面積公式之間有什么(shn me)(shn me)關(guān)系？關(guān)系？lOOrrr上底擴(kuò)大上底擴(kuò)大lOrr0上底縮小上底縮小2222()Srrlr rl 2()Srrlr rl22()Srrr lrl 第25頁/共82頁第二十六頁，共83頁。 棱柱棱柱(lngzh)(lngzh)、棱錐、棱臺都是由多個平面圖形圍成的幾、棱錐、棱臺都是由多個平面圖形圍成的幾何體，何體，h它們它們(t men)(t men)的側(cè)面展開圖還是平面圖形，的側(cè)面展開圖還是平面圖形，計(jì)算它們的計(jì)算它們的表面積就是計(jì)算它的各個側(cè)面面積和底面面積表面積就是計(jì)算它的各個側(cè)面面積和底面面積之和之和第2

11、6頁/共82頁第二十七頁，共83頁。例1：一個正三棱臺的上、下底面邊長分別(fnbi)是3cm和6cm，高是3/2cm，求三棱臺的側(cè)面積. 分析：關(guān)鍵(gunjin)是求出斜高，注意圖中的直角梯形ABCC1A1B1O1ODD1E第27頁/共82頁第二十八頁，共83頁。例3：圓臺的上、下底面半徑分別為2和4，高為 ，求其側(cè)面(cmin)展開圖扇環(huán)所對的圓心角32分析(fnx)：抓住相似三角形中的相似比是解題的關(guān)鍵小結(jié)：1、抓住側(cè)面展開圖的形狀，用好相應(yīng)的計(jì)算公式(gngsh)，注意逆向用公式(gngsh)； 2、圓臺問題恢復(fù)成圓錐圖形在圓錐中解決圓臺問題，注意相似比.答：1800第28頁/共82

12、頁第二十九頁，共83頁。例：圓臺的上、下底半徑分別是10cm和20cm，它的側(cè)面展開圖的扇環(huán)的圓心角是1800，那么圓臺的側(cè)面積是多少(dusho)？（結(jié)果中保留）第29頁/共82頁第三十頁，共83頁。小結(jié)(xioji)：1、弄清楚柱、錐、臺的側(cè)面展開圖的形狀是關(guān)鍵； 2、對應(yīng)的面積公式)cc21hS（正正棱棱臺臺C=021chS三三棱棱錐錐C=CchchS 直直棱棱柱柱S圓柱側(cè)= 2rlS圓錐側(cè)= rlS圓臺側(cè)=（r1+r2)lr1=0r1=r2第30頁/共82頁第三十一頁，共83頁。例1：一個正三棱柱的底面是邊長為5的正三角形(zhn sn jio xn)，側(cè)棱長為4，則其側(cè)面積為 _;答

13、：60例2：正四棱錐底面邊長為6 ,高是4，中截面把棱錐截成一個(y )小棱錐和一個(y )棱臺，求棱臺的側(cè)面積79答：第31頁/共82頁第三十二頁，共83頁。 例例3 已知棱長為已知棱長為a，各面均為等邊三角形的四面體，各面均為等邊三角形的四面體S-ABC，求它的表面積，求它的表面積 DBCAS 分析：四面體的展開分析：四面體的展開(zhn ki)圖是由四個全等圖是由四個全等的正三角形組成的正三角形組成因?yàn)橐驗(yàn)锽C=a，aSBSD2360sin所以：所以： 243232121aaaSDBCSABC因此因此(ync)，四面體，四面體S-ABC 的表面積的表面積交交BC于點(diǎn)于點(diǎn)D解：先求解：先求

14、 的面積，過點(diǎn)的面積，過點(diǎn)S作作 ，ABCBCSD 第32頁/共82頁第三十三頁，共83頁。【思路點(diǎn)撥【思路點(diǎn)撥(din bo)(din bo)】(1)(1)證明證明AEDAED為直角三角形，然后求側(cè)棱長；為直角三角形，然后求側(cè)棱長；(2)(2)分別求出側(cè)分別求出側(cè)面積與底面積面積與底面積第33頁/共82頁第三十四頁，共83頁。第34頁/共82頁第三十五頁，共83頁。第35頁/共82頁第三十六頁，共83頁。思考：怎樣求斜棱柱(lngzh)的側(cè)面積？ 1）側(cè)面展開圖是 平行四邊形 2）S斜棱柱(lngzh)側(cè)=直截面周長側(cè)棱長 3） S側(cè)=所有側(cè)面面積之和第36頁/共82頁第三十七頁，共83頁。

15、幾何體的表面積問題幾何體的表面積問題(wnt)(wnt)小結(jié)小結(jié)2多面體的表面積是各個面的面積之和圓柱、多面體的表面積是各個面的面積之和圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面是曲面，計(jì)算側(cè)面積時需要將這個曲面圓錐、圓臺的側(cè)面是曲面，計(jì)算側(cè)面積時需要將這個曲面展為平面展為平面(pngmin)圖形計(jì)算，而表面積是側(cè)面積與底圖形計(jì)算，而表面積是側(cè)面積與底面圓的面積之和面圓的面積之和3幾何體的表面積應(yīng)注意重合部分的處理幾何體的表面積應(yīng)注意重合部分的處理第37頁/共82頁第三十八頁，共83頁。幾何體占有幾何體占有(zhnyu)空間部分的大小叫做空間部分的大小叫做它的體積它的體積一、體積一、體積(tj)的概念與公理的概念

16、與公理:第38頁/共82頁第三十九頁，共83頁。公理公理(gngl)1、長方體的體積等于它的長、寬、長方體的體積等于它的長、寬、高的積。高的積。V長方體長方體= abc推論推論(tuln)1 、長方體的體積等于它的底面積、長方體的體積等于它的底面積s和高和高h(yuǎn)的積。的積。V長方體長方體= sh推論推論2 、正方體的體積、正方體的體積(tj)等于它的棱長等于它的棱長a 的立方的立方。V正方體正方體= a3第39頁/共82頁第四十頁，共83頁。公理公理2 2、夾在兩個平行平面間的兩個幾何體，被平行于這兩、夾在兩個平行平面間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任意平面所截，如果截得的兩個截面的面積總相

17、等個平面的任意平面所截，如果截得的兩個截面的面積總相等(xingdng)(xingdng)，那么這兩個幾何體的體積相等，那么這兩個幾何體的體積相等(xingdng)(xingdng)。PQ祖暅原理祖暅原理(yunl)第40頁/共82頁第四十一頁，共83頁。定理定理(dngl)1： 柱體（棱柱、圓柱）的體積柱體（棱柱、圓柱）的體積等于它的底面積等于它的底面積 s 和高和高 h 的積。的積。V柱體柱體= sh二：柱體的體積二：柱體的體積(tj)推論推論 ： 底面半徑為底面半徑為r，高為高為h圓柱的體積是圓柱的體積是V圓柱圓柱= r2h第41頁/共82頁第四十二頁，共83頁。三三:錐體錐體(zhu

18、t)體積體積例例2 2： 如圖：三棱柱如圖：三棱柱(lngzh)AD1C1-BDC,(lngzh)AD1C1-BDC,底面積為底面積為S,S,高高為為h.h. ABD C D1C1CDA BCD1ADCC1D1A答答:可分成可分成(fn chn)棱錐棱錐A-D1DC, 棱錐棱錐A-D1C1C, 棱錐棱錐A-BCD. 問：（問：（1 1）從）從A A點(diǎn)出發(fā)棱柱能點(diǎn)出發(fā)棱柱能分割分割成幾個三棱錐？成幾個三棱錐？ 第42頁/共82頁第四十三頁，共83頁。3.13.1錐體錐體(zhu t)(zhu t)（棱錐、圓錐）的體積（棱錐、圓錐）的體積 （底面積（底面積S S，高，高h(yuǎn) h） 注意：三棱錐的頂點(diǎn)

19、和底面可以根據(jù)需要變換(binhun)，四面體的每一個面都可以作為底面，可以用來求點(diǎn)到面的距離shV31三棱錐第43頁/共82頁第四十四頁，共83頁。定理如果一個定理如果一個(y )(y )錐體（棱錐、圓錐）的底面錐體（棱錐、圓錐）的底面 積是，高是，那么它的體積是：積是，高是，那么它的體積是：推論推論(tuln)(tuln)：如果圓錐的底面半徑是，高是：如果圓錐的底面半徑是，高是， 那么它的體積是：那么它的體積是：hSS錐體錐體 3131圓錐圓錐(yunzhu) Sh第44頁/共82頁第四十五頁，共83頁。ss/ss/hx四四.臺體的體積臺體的體積(tj)V V臺體臺體= =1 1h(s+s

20、s +s)h(s+ss +s)3 3上下上下(shngxi)底面積分別是底面積分別是s/,s,高是高是h，則，則第45頁/共82頁第四十六頁，共83頁。推論推論(tuln)(tuln)：如果圓臺的上：如果圓臺的上, ,下底面半徑是下底面半徑是r1.r2,r1.r2,高是，那么它的體積是：高是，那么它的體積是：31圓臺圓臺 h)(222121rrrr第46頁/共82頁第四十七頁，共83頁。五五.柱體、錐體、臺體的體積柱體、錐體、臺體的體積(tj)公式之間有什么關(guān)系？公式之間有什么關(guān)系？hSSSSV)(31S為底面面積為底面面積(min j)，h為柱為柱體高體高ShV 0SS分別分別(fnbi)為

21、上、為上、下底面面積，下底面面積，h 為臺為臺體高體高ShV31SS S為底面面積，為底面面積，h為錐體高為錐體高上底擴(kuò)大上底擴(kuò)大上底縮小上底縮小第47頁/共82頁第四十八頁，共83頁。Sh知識點(diǎn)二柱、錐、臺、球的體積知識點(diǎn)二柱、錐、臺、球的體積(tj)第48頁/共82頁第四十九頁，共83頁。13r2h第49頁/共82頁第五十頁，共83頁。13h(r2rrr2)13R3第50頁/共82頁第五十一頁，共83頁。例從一個正方體中，如圖那樣截去4個三棱錐后，得到一個正三棱錐ABCD，求它的體積(tj)是正方體體積(tj)的幾分之幾？第51頁/共82頁第五十二頁，共83頁。幾何體的體積幾何體的體積(t

22、j)(tj)小結(jié)小結(jié)2計(jì)算柱體、錐體、臺體的體積關(guān)鍵計(jì)算柱體、錐體、臺體的體積關(guān)鍵(gunjin)是是根據(jù)條件找出相應(yīng)的底面面積和高，要充分利用多面體的截根據(jù)條件找出相應(yīng)的底面面積和高，要充分利用多面體的截面及旋轉(zhuǎn)體的軸截面，將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題面及旋轉(zhuǎn)體的軸截面，將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題第52頁/共82頁第五十三頁，共83頁。RR球的體積球的體積(tj)(tj)：一個半徑和高都等于一個半徑和高都等于(dngy)R的圓柱，挖去一個的圓柱，挖去一個以上底面為底面，下底面圓心為頂點(diǎn)的圓錐以上底面為底面，下底面圓心為頂點(diǎn)的圓錐后，所得的幾何體的體積與一個半徑為后，所得的幾何體的體積與一個半徑為R

23、的的半球的體積相等。半球的體積相等。探究(tnji)第53頁/共82頁第五十四頁，共83頁。球球1 1V =V =2 23 32 2= = R R3 33 3球球4 4V =V = R R3 3RR22221 1 RR-RR- RRRR3 3第54頁/共82頁第五十五頁，共83頁。第一步：分割第一步：分割(fng)(fng)O O球面被分割成球面被分割成n n個網(wǎng)格個網(wǎng)格(wn )(wn )， 表面積分別為：表面積分別為：nSSSS.321，則球的表面積：則球的表面積：nSSSSS.321則球的體積則球的體積(tj)(tj)為：為：設(shè)設(shè)“小錐體小錐體”的體積為：的體積為：iViVnVVVVV.

24、321iSO O知識點(diǎn)三、球的表面積和體積知識點(diǎn)三、球的表面積和體積（第55頁/共82頁第五十六頁，共83頁。O O第二步：求近似第二步：求近似(jn (jn s)s)和和O Oih由第一步得：由第一步得：nVVVVV.321nnhShShShSV31313131332211.iiihSV31iSiV第56頁/共82頁第五十七頁，共83頁。第三步：轉(zhuǎn)化第三步：轉(zhuǎn)化(zhunhu)(zhunhu)為球的表面積為球的表面積RSVii31 如果如果(rgu)(rgu)網(wǎng)格分的越細(xì)網(wǎng)格分的越細(xì), ,則則: :RSRSRSRSVni3131313132.RSSSSSRni313132).( 由由 得得:

25、 :334RV 球的體積球的體積: :2 24 4R RS S iSiVih的值就趨向于球的半徑的值就趨向于球的半徑R RRihiSO OiV“小錐體小錐體”就越接近小棱錐。就越接近小棱錐。第57頁/共82頁第五十八頁，共83頁。43R3例例1(2009年高考上海卷年高考上海卷)若球若球O1、O2表面積表面積之比之比4，則它們，則它們(t men)的半徑之比的半徑之比_.第58頁/共82頁第五十九頁，共83頁。(1)(1)若球的表面積變?yōu)樵瓉砣羟虻谋砻娣e變?yōu)樵瓉?yunli)(yunli)的的2 2倍倍, ,則半徑變?yōu)樵瓉韯t半徑變?yōu)樵瓉?yunli)(yunli)的的倍。倍。(2)(2)若球半

26、徑變?yōu)樵瓉砣羟虬霃阶優(yōu)樵瓉?yunli)(yunli)的的2 2倍，則表面積變?yōu)樵瓉肀?，則表面積變?yōu)樵瓉?yunli)(yunli)的的倍。倍。(3)(3)若兩球表面積之比為若兩球表面積之比為1:21:2，則其體積之比是，則其體積之比是。(4)(4)若兩球體積之比是若兩球體積之比是1:21:2，則其表面積之比是，則其表面積之比是。例例2 2：2422:134: 1第59頁/共82頁第六十頁，共83頁。例例3.3.如圖，正方體如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1ABCD-A1B1C1D1的棱長為的棱長為a,a,它的各個頂它的各個頂點(diǎn)點(diǎn)(dngdin)(dngdin)都在球都在球O O的球面上，

27、問球的球面上，問球O O的表面積。的表面積。A AB BC CD DD D1 1C C1 1B B1 1A A1 1O OA AB BC CD DD D1 1C C1 1B B1 1A A1 1O O分析：正方體內(nèi)接于球，則由球和正方體都是中心對稱圖形分析：正方體內(nèi)接于球，則由球和正方體都是中心對稱圖形(txng)(txng)可可知，它們中心重合，則正方體對角線與球的直徑相等。知，它們中心重合，則正方體對角線與球的直徑相等。略解：2222211113423,)2()2(22:aRSaRaaRaDBRDBDDBRt得得：，中中變題變題1.1.如果如果(rgu)(rgu)球球O O和這個正方體的六

28、個面都相切，則有和這個正方體的六個面都相切，則有S=S=。變題變題2.2.如果如果(rgu)(rgu)球球O O和這個正方體的各條棱都相切，則有和這個正方體的各條棱都相切，則有S=S=。2a2 2 a 關(guān)鍵關(guān)鍵：找正方體的棱長找正方體的棱長a a與球半徑與球半徑R R之間的關(guān)系之間的關(guān)系第60頁/共82頁第六十一頁，共83頁。OABCO 例例4已知過球面上三點(diǎn)已知過球面上三點(diǎn)A、B、C的截面到球心的截面到球心O的距離等的距離等于球半徑的一半于球半徑的一半(ybn)，且，且AB=BC=CA=cm，求球的，求球的體積，表面積體積，表面積解：如圖，設(shè)球解：如圖，設(shè)球O半徑半徑(bnjng)為為R，截

29、面截面 O的半徑的半徑(bnjng)為為r，r332AB2332AO 是正三角形，是正三角形，ABCROO ,2 第61頁/共82頁第六十二頁，共83頁。例例5、有三個球、有三個球,一球切于正方體的各面一球切于正方體的各面,一一球切于正方體的各側(cè)棱球切于正方體的各側(cè)棱,一球過正方體的一球過正方體的各頂點(diǎn)各頂點(diǎn)(dngdin),求這三個球的體積之比求這三個球的體積之比.作軸截面作軸截面(jimin)第62頁/共82頁第六十三頁，共83頁。3如果直棱柱的底面周長如果直棱柱的底面周長(zhu chn)是是c，高是，高是h，那么它的側(cè)面積是那么它的側(cè)面積是S直棱柱側(cè)直棱柱側(cè)ch.4應(yīng)注意各個公式的推導(dǎo)

30、過程，不要死記硬背公式本身應(yīng)注意各個公式的推導(dǎo)過程，不要死記硬背公式本身，要熟悉柱體中的矩形、錐體中的直角三角形、臺體中的直角，要熟悉柱體中的矩形、錐體中的直角三角形、臺體中的直角梯形等特征圖形在公式推導(dǎo)中的作用梯形等特征圖形在公式推導(dǎo)中的作用第63頁/共82頁第六十四頁，共83頁。8計(jì)算計(jì)算(j sun)圓柱、圓錐、圓臺的體積時，關(guān)鍵是圓柱、圓錐、圓臺的體積時，關(guān)鍵是根據(jù)條件找出相應(yīng)的底面面積和高，應(yīng)注意充分利用多面體根據(jù)條件找出相應(yīng)的底面面積和高，應(yīng)注意充分利用多面體的截面和旋轉(zhuǎn)體的軸截面，將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題求解的截面和旋轉(zhuǎn)體的軸截面，將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題求解第64頁/共82頁第

31、六十五頁，共83頁。題型一題型一 幾何體的展開與折疊幾何體的展開與折疊 有一根長為有一根長為3 cm3 cm，底面半徑為，底面半徑為1 cm1 cm的的 圓柱形鐵管，用一段鐵絲在鐵管上纏繞圓柱形鐵管，用一段鐵絲在鐵管上纏繞2 2圈，并圈，并 使鐵絲的兩個端點(diǎn)落在圓柱的同一母線的兩端使鐵絲的兩個端點(diǎn)落在圓柱的同一母線的兩端, , 則鐵絲的最短長度則鐵絲的最短長度(chngd)(chngd)為多少？為多少？ 把圓柱沿這條母線展開，將問題轉(zhuǎn)把圓柱沿這條母線展開，將問題轉(zhuǎn) 化為平面上兩點(diǎn)間的最短距離化為平面上兩點(diǎn)間的最短距離. .題型分類題型分類(fn li) (fn li) 深度深度剖析剖析第65頁

32、/共82頁第六十六頁，共83頁。解解 把圓柱側(cè)面及纏繞把圓柱側(cè)面及纏繞(chnro)(chnro)其上其上的鐵絲展開，在平面上得到的鐵絲展開，在平面上得到矩形矩形ABCDABCD（如圖所示），（如圖所示），由題意知由題意知BC=3 cmBC=3 cm，AB=4 cmAB=4 cm，點(diǎn)，點(diǎn)A A與點(diǎn)與點(diǎn)C C分別是鐵絲的起、止位分別是鐵絲的起、止位置，故線段置，故線段ACAC的長度即為鐵絲的最短長度的長度即為鐵絲的最短長度. .故鐵絲的最短長度為故鐵絲的最短長度為5 cm.5 cm.cm,522BCABAC第66頁/共82頁第六十七頁，共83頁。 求立體圖形表面上兩點(diǎn)的最短距離求立體圖形表面上兩

33、點(diǎn)的最短距離問題，是立體幾何中的一個重要題型問題，是立體幾何中的一個重要題型. .這類題目的這類題目的特點(diǎn)是：立體圖形的性質(zhì)特點(diǎn)是：立體圖形的性質(zhì)(xngzh)(xngzh)和數(shù)量關(guān)系分散和數(shù)量關(guān)系分散在立體在立體圖形的幾個平面上或旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面上圖形的幾個平面上或旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面上. .為了便于發(fā)為了便于發(fā)現(xiàn)它們圖形間性質(zhì)現(xiàn)它們圖形間性質(zhì)(xngzh)(xngzh)與數(shù)量上的相互關(guān)系，與數(shù)量上的相互關(guān)系，必須將必須將圖中的某些平面旋轉(zhuǎn)到同一平面上，或者將曲面圖中的某些平面旋轉(zhuǎn)到同一平面上，或者將曲面展開為平面，使問題得到解決展開為平面，使問題得到解決. .其基本步驟是：展其基本步驟是：展開（有時全

34、部展開，有時部分展開）為平面圖形，開（有時全部展開，有時部分展開）為平面圖形，找出表示最短距離的線段，再計(jì)算此線段的長找出表示最短距離的線段，再計(jì)算此線段的長. . 第67頁/共82頁第六十八頁，共83頁。題型二題型二 旋轉(zhuǎn)體的表面積及其體積旋轉(zhuǎn)體的表面積及其體積 如圖所示如圖所示, ,半徑為半徑為R R的半圓內(nèi)的的半圓內(nèi)的 陰影部分以直徑陰影部分以直徑ABAB所在直線為軸所在直線為軸, ,旋旋 轉(zhuǎn)一周轉(zhuǎn)一周(y zhu)(y zhu)得到一幾何體得到一幾何體, ,求該幾何體的求該幾何體的 表面積表面積( (其中其中BAC=30BAC=30) )及其體積及其體積. . 先分析陰影部分旋轉(zhuǎn)后形成

35、幾何體的先分析陰影部分旋轉(zhuǎn)后形成幾何體的 形狀形狀, ,再求表面積再求表面積. .第68頁/共82頁第六十九頁，共83頁。解解 如圖所示如圖所示, ,過過C C作作CO1ABCO1AB于于O1,O1,在半圓在半圓(bnyun)(bnyun)中可得中可得BCA=90BCA=90,BAC=30,BAC=30,AB=2R,AB=2R,AC= ,BC=R,AC= ,BC=R,SS球球=4R2,=4R2,R3,231RCO ,231123234,2323,233232222112121RRRRSSSSRRRSRRRSBOAOBOAO側(cè)圓錐側(cè)圓錐球幾何體表側(cè)圓錐側(cè)圓錐.23112R表面積為旋轉(zhuǎn)所得到的幾何

36、體的第69頁/共82頁第七十頁，共83頁。 解決這類題的關(guān)鍵是弄清楚旋轉(zhuǎn)后所解決這類題的關(guān)鍵是弄清楚旋轉(zhuǎn)后所形成的圖形的形狀，再將圖形進(jìn)行合理的分割，形成的圖形的形狀，再將圖形進(jìn)行合理的分割，然后然后(rnhu)利用有關(guān)公式進(jìn)行計(jì)算利用有關(guān)公式進(jìn)行計(jì)算. .652134)(41314131,34333111221111221113RRRVVVVBORCOBOVAORCOAOVRVBOAOBOAO圓錐圓錐球幾何體圓錐圓錐球又第70頁/共82頁第七十一頁，共83頁。知能遷移知能遷移2 2 已知球的半徑為已知球的半徑為R R，在球內(nèi)作一個，在球內(nèi)作一個(y )(y )內(nèi)內(nèi) 接圓柱，這個圓柱底面半徑與

37、高為何值時，它接圓柱，這個圓柱底面半徑與高為何值時，它 的側(cè)面積最大？側(cè)面積的最大值是多少？的側(cè)面積最大？側(cè)面積的最大值是多少？ 解解 如圖為軸截面如圖為軸截面. . 設(shè)圓柱的高為設(shè)圓柱的高為h h，底面半徑為，底面半徑為r r， 側(cè)面積為側(cè)面積為S S，則，則,)2(222Rrh.2414,2,22,21.41)21(4)(442.2242242222222222RRRhRrRrRRrrRrrRrrhSrRh最大值是最大圓柱側(cè)面積時即當(dāng)且僅當(dāng)即第71頁/共82頁第七十二頁，共83頁。知能遷移知能遷移2 2 已知球的半徑為已知球的半徑為R R，在球內(nèi)作一個內(nèi)，在球內(nèi)作一個內(nèi) 接圓柱，這個圓柱底

38、面半徑與高為何接圓柱，這個圓柱底面半徑與高為何(wih)(wih)值時，它值時，它 的側(cè)面積最大？側(cè)面積的最大值是多少？的側(cè)面積最大？側(cè)面積的最大值是多少？ 解解 如圖為軸截面如圖為軸截面. . 設(shè)圓柱的高為設(shè)圓柱的高為h h，底面半徑為，底面半徑為r r， 側(cè)面積為側(cè)面積為S S，則，則,)2(222Rrh.2414,2,22,21.41)21(4)(442.2242242222222222RRRhRrRrRRrrRrrRrrhSrRh最大值是最大圓柱側(cè)面積時即當(dāng)且僅當(dāng)即第72頁/共82頁第七十三頁，共83頁。題型三題型三 多面體的表面積及其體積多面體的表面積及其體積 一個正三棱錐的底面邊長

39、為一個正三棱錐的底面邊長為6 6，側(cè)棱長，側(cè)棱長 為為 ，求這個三棱錐的體積，求這個三棱錐的體積. . 本題為求棱錐的體積問題本題為求棱錐的體積問題(wnt).(wnt).已知已知底面底面 邊長和側(cè)棱長，可先求出三棱錐的底面面積邊長和側(cè)棱長，可先求出三棱錐的底面面積 和高，再根據(jù)體積公式求出其體積和高，再根據(jù)體積公式求出其體積. . 解解 如圖所示，如圖所示， 正三棱錐正三棱錐SABC.SABC. 設(shè)設(shè)H H為正為正ABCABC的中心，的中心， 連接連接SHSH， 則則SHSH的長即為該正三棱錐的高的長即為該正三棱錐的高. .15第73頁/共82頁第七十四頁，共83頁。連接連接AHAH并延長交

40、并延長交BCBC于于E E，則則E E為為BCBC的中點(diǎn)的中點(diǎn)(zhn din)(zhn din)，且，且AHBC.AHBC.ABCABC是邊長為是邊長為6 6的正三角形，的正三角形，, 33623AE. 93393131312153215,Rt. 393362121,. 323222SHSV，AHSASH，AHSASHAAEBCSABCAEAHABCABC正三棱錐中在中在第74頁/共82頁第七十五頁，共83頁。 求錐體的體積，要選擇適當(dāng)?shù)牡酌婧颓箦F體的體積，要選擇適當(dāng)?shù)牡酌婧透?，然后?yīng)用公式高，然后應(yīng)用公式 進(jìn)行計(jì)算即可進(jìn)行計(jì)算即可. .常用方常用方法：割補(bǔ)法和等積變換法法：割補(bǔ)法和等積變換

41、法. .（1 1）割補(bǔ)法：求一個幾何體的體積可以將這個幾）割補(bǔ)法：求一個幾何體的體積可以將這個幾何體分割成幾個柱體、錐體，分別求出錐體和柱何體分割成幾個柱體、錐體，分別求出錐體和柱體的體積，從而得出幾何體的體積體的體積，從而得出幾何體的體積. .（2 2）等積變換法：利用三棱錐的任一個面可作為）等積變換法：利用三棱錐的任一個面可作為(zuwi)(zuwi)三棱錐的底面三棱錐的底面. .求體積時，可選擇容易計(jì)算的方求體積時，可選擇容易計(jì)算的方式來計(jì)算；利用式來計(jì)算；利用“等積性等積性”可求可求“點(diǎn)到面的點(diǎn)到面的距離距離”.”.ShV31第75頁/共82頁第七十六頁，共83頁。題型四題型四 組合體

42、的表面積及其體積組合體的表面積及其體積 (12 (12分分) )如圖所示如圖所示, ,在等腰梯形在等腰梯形ABCDABCD中中, , AB=2DC=2 AB=2DC=2，DAB=60DAB=60，E E為為ABAB的中點(diǎn)，的中點(diǎn)， 將將ADEADE與與BECBEC分別沿分別沿EDED、ECEC向上折起，向上折起， 使使A A、B B重合重合, ,求形成的三棱錐的外接球的體積求形成的三棱錐的外接球的體積. . 易知折疊成的幾何體是棱長為易知折疊成的幾何體是棱長為1 1的正的正 四面體，要求外接球的體積只要求出外接球的四面體，要求外接球的體積只要求出外接球的 半徑即可半徑即可. . 解解 由已知條

43、件由已知條件(tiojin)(tiojin)知，平面圖形中知，平面圖形中 AE=EB=BC=CD=DA=DE=EC=1. AE=EB=BC=CD=DA=DE=EC=1. 折疊后得到一個正四面體折疊后得到一個正四面體. 2. 2分分 第76頁/共82頁第七十七頁，共83頁。方法一方法一 作作AFAF平面平面DECDEC，垂足為，垂足為F F，F(xiàn) F即為即為DECDEC的中心的中心. .取取ECEC的中點(diǎn)的中點(diǎn)(zhn din)G(zhn din)G，連接，連接DGDG、AGAG，過球心過球心O O作作OHOH平面平面AEC.AEC.則垂足則垂足H H為為AECAEC的中心的中心. 4. 4分分外

44、接球半徑可利用外接球半徑可利用OHAOHAGFAGFA求得求得. .在在AFGAFG和和AHOAHO中，根據(jù)三角形相似可知，中，根據(jù)三角形相似可知，,36)33(1,232AFAG.864663434.46363323.3333OAAFAHAGOAAH外接球體積為6 6分分1010分分1212分分第77頁/共82頁第七十八頁，共83頁。方法二方法二 如圖所示，把正四面體如圖所示，把正四面體(zhn s min t)(zhn s min t)放在正放在正方體中方體中. .顯然，正四面體顯然，正四面體(zhn s min t)(zhn s min t)的外接球就的外接球就是正方體的外接球是正方體的

45、外接球. 3. 3分分正四面體正四面體(zhn s min t)(zhn s min t)的棱長為的棱長為1 1，正方體的棱長為正方體的棱長為 ， 6 6分分22.86.86)46(34,46,22323為該三棱錐外接球的體積體積為外接球直徑RR9 9分分1212分分第78頁/共82頁第七十九頁，共83頁。方法與技巧方法與技巧1.1.對于基本概念和能用公式直接求出棱柱、棱對于基本概念和能用公式直接求出棱柱、棱 錐、棱臺與球的表面積的問題，要結(jié)合它們的錐、棱臺與球的表面積的問題，要結(jié)合它們的 結(jié)構(gòu)特點(diǎn)與平面幾何知識來解決結(jié)構(gòu)特點(diǎn)與平面幾何知識來解決. .2.2.要注意將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題要注意將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題. .3.3.當(dāng)給出的幾何體比較復(fù)雜，有關(guān)當(dāng)給出的幾何體比較復(fù)雜，有關(guān)(yugun)(y