《最短路徑問題》教學設計（陳小峰）

1、 人教版八年級數(shù)學上13.4課題學習 最短路徑問題教學設計 蘄春縣檀林中學 陳小峰一、教學內容利用軸對稱特點研究生活中遇到的某些最短路徑問題.二、教學目標1、 認知目標：（1）能利用軸對稱將最短路徑問題轉化為線段和最小問題。（2）能通過邏輯推理證明所求距離最短。（3）在探索最短路徑的過程中，體會軸對稱的“橋梁”作用，感悟轉化思想。2、能力目標：（1）經歷問題探究的過程，將實際問題轉化為數(shù)學問題，培養(yǎng)轉化的能力。（2）在解決問題過程中，養(yǎng)成良好的作圖的習慣。（3）感受圖形變換、轉化、數(shù)形結合、模型等思想方法。3、 情感目標：通過逐步講解，運用合適的教學手段，提高學生學習的興趣

2、，歸納出方法和規(guī)律，積累解決數(shù)學問題的經驗，提高學生的合作交流的意識，消除學生對此類問題的陌生感和恐懼感，提高學生解決問題的信心和能力。三、重點難點重點：利用軸對稱將最短路徑問題轉化為線段和最小問題。難點：如何利用軸對稱將最短路徑問題轉化為線段和最小問題。四、教學過程1復習回顧問題1：如圖，從A點到B點有三條線路，哪條最短？說說你的理由.師生活動：學生回答問題，說出理由：兩點之間，線段最短.(讓學生回顧“兩點之間，線段最短”，為引入新課作準備) 問題2：如圖，點A是直線 l 外一點，點A到直線的所有線路中，最短的是？說說你的理由.師生活動：學生回答問題，說出理由：點到直線的距離，垂線段最短.（

3、讓學生回顧“連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短”，為引入新課做準備.） 問題3：如圖，點A，點B是直線l兩側的點，請在直線l上找一點C,使AC+BC最短。師生活動：學生回答，連接AB，線段AB與l的交點即為C點的位置（讓學生進一步感受“兩點之間，線段最短”，為把“同側的兩點”轉化為“異側的兩點”做鋪墊） 2新知探究 <將軍飲馬問題> 相傳，古希臘亞歷山大里亞城里有一位久負盛名的學者，名叫海倫有一天，一位將軍專程拜訪海倫，求教一個百思不得其解的問題：從圖中的A 地出發(fā)，到一條筆直的河邊l 飲馬，然后到B 地到河邊什么地方飲馬可使他所走的路線全程最短？精通數(shù)學、物理學的

4、海倫稍加思索，利用軸對稱的知識回答了這個問題這個問題后來被稱為“將軍飲馬問題”你能將這個問題抽象為數(shù)學問題嗎？師生活動：學生分組討論，然后各小組總結歸納:（1）將A，B 兩地抽象為兩個點，將河l 抽象為一條直線；（2）在直線l上找到一點C，使AC與BC的和最??？ （通過學生自己動手操作，在感知軸對稱圖形特征的基礎上，抽象出軸對稱圖形的概念） 如圖，點A，B 在直線l 的同側，在直線l上找到一點C，使AC 與BC的和最?。?師生活動：學生獨立思考，嘗試畫圖，相互交流.教師作適時提示：（1）如果點B在點A的異側，如何在直線l上找到一點C，使AC 與BC的和最小（2）現(xiàn)在點B與點A在同側，能否將點B

5、移到l 的另一側點處，且滿足直線l上的任意一點C，都能保持?（3）你能根據(jù)軸對稱的知識，找到（2）中符合條件的點嗎？師生共同完成作圖，作法如下：（1）作點B 關于直線l 的對稱點B；（2）連接AB，與直線l 相交于點C則點C 即為所求（逐步引導學生，如何將同側的兩點轉化為異側的兩點，為問題的解決提供思路，滲透轉化思想.）問題4 ： 你能用所學的知識證明AC +BC最短嗎？師生活動：學生獨立思考，相互交流，師生共同完成證明過程.追問1：證明AC +BC最短時，為什么要在直線l上任取一點（與點C但不重合）？師生活動：學生相互交流，教師適時點撥，最后達成共識：若直線l上任意一點（與點C不重

6、合）與A，B兩點的距離和都大于AC +BC，就說明AC +BC最小(讓學生體會作法的正確性，提高邏輯思維能力)追問2：回顧前面的探究過程，我們是通過怎樣的過程、借助什么解決問題的？ 師生活動：學生回答，相互補充:通過將BC轉化為BC,將原題中直線同側兩點轉化為學生熟悉的直線異側兩點.(讓學生在反思中，體會軸對稱的橋梁作用，感悟轉化思想，豐富數(shù)學活動經驗.)練習如圖牧馬人從A地出發(fā)，先到草地邊某一處牧馬，再回到河邊飲馬，然后回到B處，請畫出最短路徑。              師生活動:學生分析解題思路，獨立完成畫圖，教師適時點撥：利用二次對稱. (讓學生進一步鞏固解決最短路徑問題的基本策略和基本方法.)3.歸納小結這節(jié)課我學到了什么？將軍飲馬問題軸對稱轉化兩點之間，線段最短。這節(jié)課我掌握了什么數(shù)學方法？在解決最短路徑