(完整word版)高中數(shù)學必修二知識點總結(jié)(2),推薦文檔

1、第一章空間幾何體 、空間幾何體的結(jié)構(gòu) 1 1多面體： 一般地，我們把由若干個平面多邊形圍成的幾何體叫做多面體。圍成多面體的各 個多邊形叫做多面體的面； 相鄰兩個面的公共邊叫做多面體的棱； 棱與棱的公共點叫做多面 體的頂點。 2 2旋轉(zhuǎn)體：我們把由一個平面圖形繞它所在平面內(nèi)的一條定直線旋轉(zhuǎn)所形成的封閉幾何體叫 做旋轉(zhuǎn)體。這條定直線叫做旋轉(zhuǎn)體的軸。 棱柱:一般地，有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形， 并且每相鄰兩個各四 邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱。 棱柱中，兩個互 丿相平行的面叫做棱柱的底面，簡稱底；其余各面叫做棱柱的側(cè)面；相鄰側(cè)面的公 共邊叫做棱柱的側(cè)棱；側(cè)面與底面

2、的公共頂點叫做棱柱的頂點。 柱 圓柱：以矩形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體 i叫做圓柱。旋轉(zhuǎn)軸叫做圓柱的軸；垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面叫做圓柱的底面； 平行于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面叫做圓柱的側(cè)面； 無論旋轉(zhuǎn)到什么位置，不垂直于 軸的邊都叫做圓柱側(cè)面的母線。 棱錐：一般地，有一個面是多邊形， 其余各面都是由一個公共頂點的三角形， 由 這些面所圍成的多面體叫做棱錐， 這個多邊形面叫做棱錐的底面或底； 有公共頂 點的各個三角形面叫做棱錐的側(cè)面；各側(cè)面的公共 頂點叫做棱錐的頂點；相鄰側(cè)面的公共邊叫做棱錐的側(cè)棱。 J 圓錐：以直角三角形的一天直角邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸， 其余兩邊旋

3、轉(zhuǎn)形成的面所 圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做圓錐。 圓錐也有軸、底面、側(cè)面、母線。 棱臺：用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐， 底面與截面之間的部分，這樣的 多面體叫做棱臺。原棱錐 的底面和截面分別叫做棱臺的下底面和上底面，棱臺也有側(cè)面、側(cè)棱、頂點。 圓臺：用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面與截面之間的部分，叫做圓臺。 圓臺也有軸、底面、側(cè)面、母線。 球： 以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸， 半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體叫做球體， 簡稱 球。半圓的圓心叫做球的球心，半圓的半徑叫做球的半徑，半圓的直徑叫做球的 直徑。 、空間幾何體的三視圖和直觀圖 1 1投影：由于光的照射，在不透明物體后面的屏幕上可以留下這個物體

4、的影子，這種現(xiàn)象叫 做投影。其中我們把光線叫做投影線，把留下物體影子的屏幕叫做投影面。 2 2中心投影：我們把光由一點向外散射形成的投影，叫做中心投影。 3 3平行投影：我們把在一束平行光線照射下形成的投影，叫做平行投影。 4 4三視圖：光線從幾何體的前面向后面正投影，得到投影圖，這種投影圖叫做幾何體的正視 圖；光線從幾何體的左面向右面正投影， 得到投影圖，這種投影圖叫做幾何體的側(cè)視圖；光 線從幾何體的上面向下面正投影， 得到投影圖，這種投影圖叫做幾何體的俯視圖。 幾何體的 正視圖、側(cè)視圖和俯視圖統(tǒng)稱為幾何體的三視圖。 5 5斜二測畫法：對于平面多邊形，我們常用斜二測畫法畫它們的直觀圖。斜二測

5、畫法是一種 特殊的平行投影畫法。 斜二測畫法原則：橫不變，縱減半。 斜二測畫法步驟：在已知圖形中取互相垂直的 x軸和y軸，兩軸相交于點 0。畫直觀圖 面直線所成的角的范圍是 0,90 ;異面直線所成的角與點 0的位置無關(guān)；選點0時, 時，把它們畫成對應(yīng)的 x軸與y軸，兩軸交于點 O，且使 x0y 45 （或 135135）, 它們確定的平面表示水平面。 已知圖形中平行于 x軸或y軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于 x軸或y軸的線段。 已 知 圖 形 中 平 行 于 x軸 的 線 段 ， 在 直 觀 圖 中 保 持 原 長 度 不 變 ， 平 行 于y軸 的 線 段 ， 長 度 為 原 來 的

6、一 半 。 三、空間幾何體的表面積與體積 面積、 體積、 幾何體 側(cè)面積 表面積 體積 柱 體 S側(cè)面積2 rl S表面積2 r (r l) V Sh 錐 體 S側(cè)面積 rl S表面積 r (r l) 1 V -Sh 3 臺 體 S側(cè)面積 rl r l 2 2 S表面積 (r r rl rl) V 】(S VSS S)h 3 球 體 S表面積=4 R 4 3 V R 3 第二章 點、直線、平面之間的位置關(guān)系 1 1平面：我們常常把水平的平面畫成一個平行四邊形，用平行四邊形表示平面，平行四邊形 的銳角通常畫成 4545，且橫變長等于其鄰邊長的 2 2 倍。如果一個平面被另一個平面遮擋住， 為了增

7、強它的立體感，我們常把被遮擋部分用虛線畫出。 2.2. 平面的表示：為了表示平面，我們常把希臘字母a,3, 丫等寫在代表平面的平行四邊形 的一個角上；也可以用代表平面的平行四邊形的四個頂點， 或者相對的兩個頂點的大寫英文 字母作為這個平面的名稱。 3.3. 補充：1 1 個平面將空間分成 2 2 個部分；2 2 個平面將空間分成 3 3 或 4 4 個部分；3 3 個平面將空間 分成 4 4 或 6 6 或 7 7 或 8 8 個部分。 4.4. 異面直線：我們把不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線叫做異面直線。 5.5. 空間兩條直線的位置關(guān)系 ： 相交直線：同一平面內(nèi)，有且只有一個公共點。 共面

8、直線 * L L 平行直線：同一平面內(nèi)，沒有公共點。 異面直線：不同在任何一個平面內(nèi)，沒有公共點。 6.6. 異面直線所成的角：已知兩條異面直線 a,b，經(jīng)過空間任一點 0作直線a II a , b / b , 我們把a與b所成的銳角（或直角）叫做異面直線 a與b所成的角（或夾角）【規(guī)定：兩條 直線平行時，兩直線所成的角為 0 0】。如果兩條異面直線所成的角是直角，那么我們就說 這兩條直線互相垂直。兩條互相垂直的異面直線 a, b，記作a b。 注意：異面直線所成的角是空間中的線線角； 用平面角來刻畫異面直線所成的角； 異 一般選在一條異面直線上， 再過該點作另一條直線的平行線， 如果在特殊圖

9、形中， 一般選端 點或中點；若兩條異面直線所成的角為 9090,我們稱這兩條異面直線相互垂直（以算代 證）。 7 7直線與平面的位置關(guān)系： 直線在平面內(nèi) 有無數(shù)個公共點； 直線與平面相交有且只有一個公共點（直線a與平面 相交于點 A A，記作 a I A）； 直線與平面平行一一沒有公共點（直線 a與平面 平行，記作a / ）。 直線與平面相交或平行的情況統(tǒng)稱為直線在平面外。 8 8兩個平面之間的位置關(guān)系 ： 兩個平面平行一一沒有公共點（平面 與平面 平行，記作 / ）； 兩個平面相交一一有一條公共直線。 9 9如果直線l與平面 內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線 l與平面 互相垂直，記作 I

10、 。直線I叫做平面 的垂線，平面 叫做直線I的垂面。直線與平面垂直時，它們惟 一的公共點 P P 叫做垂足。 10.10. 直線和平面所成角：如圖，一條直線 PAPA 和一個平面 相交，但不和這個平面垂直， 這條直線叫做這個平面的斜線，斜線和平面的交點 A A 叫做斜足。 過斜線上斜足以外的 一點向平面引垂線 POPO,過垂足 O O 和斜足 A A 的直線 AOAO 叫做斜線在這個平面上的射影。平 面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角， 叫做這條直線和這個平面所成的角。 一條直 線垂直于平面，我們說它們所成的角是直角； 一條直線和平面平行，或在平面內(nèi)， 我們說它 們所成的角是 0 0。的

11、角。 11.11. 二面角：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角。這條直線叫做二面角 的棱，這兩個半平面叫做二面角的面。如右圖二面角可記作二面角 AB 或二面角 P AB Q或二面角 I 或二面角P I Q【注意：二面角是一個面面角，范圍 是0,180】。在二面角 I 的棱I上任取一點 O O,以點 O O 為垂足，在半平面 和 內(nèi)分別作垂直于棱I的射線 ONON 和 0M0M，則射線 ONON 和 0M0M 構(gòu)成的/ NOMNOM 叫做二面角 的平面角。一般地，兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互 相垂直。 12.12. 公理：公理 1 1：【文字語言】

12、 如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此 平面內(nèi)。 【符號語言】 A I,B I,且 A ,B I 注意：點動成線、線動成面。直線、平面都可以看成點的集合。 點P在直線I上，記作P I ; ; 點P在直線I夕卜，記作P I。如果直線I上的所有點都在平面a內(nèi)， 就說直線I在平面a內(nèi)， 或者說平面a經(jīng)過直線I，記作| ；否則，就說直線|在平面a外，記作| 。 文字語言 付號語言 圖形語言 點 A A 在直線 L L 上 A I A L - - 點 A A 不在直線 L L 上 A l A L 點 A A 在平面a內(nèi) A 口 點 A A 不在平面a內(nèi) A A z2Z7 直線 L L 在平

13、面a內(nèi) l 直線 L L 不在平面a內(nèi) l L 公理 2 2:過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面。 作用：公理 2 2 刻畫了平面特有的基本性質(zhì)，它給出了一個確定平面的依據(jù)。 引申：推論：經(jīng)過直線和直線外一點，有且只有一個平面。 推論：經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面。 推論：經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面。 公理 3 3：【文字語言】如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點 的公共直線。 【符號語言】P ,且 P I 1,且 P l 作用：用來判斷平面是否相交；用來證明點共線；用來證明線過點。 公理 4 4：（平行公理）平行于同一條直線的兩條直線互相平行。 作

14、用：公理 4 4 表明，空間平行于一條已知直線的所有直線都互相平行。 它給出了判斷空間兩 條直線平行的依據(jù)。它表述的性質(zhì)通常叫做空間平行線的傳遞性。 1313定理：（等角定理） 空間中如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互 補。 （直線與平面平行的判定） 【文字語言】平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則 該直線與此平面平行。（線線平行 線面平行） 【符號語言】a , b ,且 a / b a / （平面與平面平行的判定） 【文字語言】一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行， 則這兩個平面平行。（線面平行 面面平行） 【符號語言】a ,b ,aI b P,a / , b /

15、引申：推論：如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線分別與另一個平面內(nèi)的兩條相交直線平行， 么這兩個平面平行。 （直線與平面平行的性質(zhì)） 一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平 面的交線與該直線平行。（線面平行 線線平行） 作用：直線與平面平行的性質(zhì)定理揭示了直線與平面平行中蘊含著直線與直線平行。 （平面與平面平行的性質(zhì)） 如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線 平行。（面面平行 線線平行） （直線與平面垂直的判定） 此平面垂直。 （平面與平面垂直的判定） （直線與平面垂直的性質(zhì)） （平面與平面垂直的性質(zhì)） 一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與 一個平面過另一個

16、平面的垂線，則這兩個平面垂直。 垂直于同一個平面的兩條直線平行。 兩個平面垂直，則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平 面垂直。 1 14.4.補充： 證線線平行的方法：i 定義法；n . .線面平行的性質(zhì)定理；川. .面面平行的性質(zhì)定理；w 平行公理 證線面平行的方法：i 線面平行的判定定理；n 定義法；川面面平行證線面平 行 證面面平行的方法：i 定義法；n 面面平行的判定定理；川平面平行的傳遞性 三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條斜線的射影垂直，那 么它也和這條垂線垂直。 三垂線定理逆定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條斜線垂直，那 么它也和這條斜線的射影垂直

17、。 射影長定理：i 從平面外一點向平面所引的斜線段、垂線段中，垂線段最短。 n 如圖（射影長定理圖）：若PA PB，則OA OB ;若OA OB，則PA PB。 川如圖（射影長定理圖）：若PA PB，則OA OB ;若PA PB，則 PA PB。 最小角定理：斜線和平面所成的角是這個斜線與平面內(nèi)過斜足的所有直線所 成角中的最小角。（最小角定理圖） 余弦定理 cosA cosB cosC b2 2 c 2 a 2bc 2 2 2 a c b 2ac 2 2 2 a b c 2ab 第三章直線與方程 一、直線的傾斜角與斜率 1 1傾斜角：當直線l與 x x 軸相交時，我們?nèi)?x x 軸作為基準，x

18、 x 軸正向與直線l向上方向之間所 成的夾角 叫做直線I的傾斜角。當直線I與 x x 軸平行或重合時，我們規(guī)定它的傾斜角為 0 0 則直線的傾斜角 的取值范圍為 00 v 180180。 2 2確定一條直線的條件：直線上的一點和這個直線的傾斜角可以惟一確定一條直線。 3 3確定平面直角坐標系中一條直線位置的幾何要素是 ：直線上的一個定點以及它的傾斜角。 4 4坡度（傾斜程度）：日常生活中，我們用“升高量與前進量的比”表示傾斜面的“坡度”（傾 升高量 斜程度），即坡度（比）二升高量 前進量 5 5斜率：一條直線的傾斜角 的正切值叫做這條直線的斜率， 我們用斜率表示直線的傾斜程 度。斜率常用小寫字

19、母 k k 表示，即k tan 。 注意：傾斜角是 9090的直線沒有斜率。 6 6經(jīng)過兩點R為， ,F2 X2,y2 （Xi X2）的直線的斜率公式為 k 上一匕 X2 X! 7 7對于兩條不重合的直線 h,l2，其斜率分別為ki,k2，有 h h / I2 ki k2 注意：若直線li和*可能重合時，我們得到 ki k2 li / I2或li與 I2重合 8 8如果兩條直線都有斜率，且它們互相垂直，那么它們的斜率之積等于 - -i i ；反之，如果它們 的斜率之積等于- -i i，那么它們互相垂直，即li l2 kik2 i 9 9兩條直線垂直的條件：li l2 kik2 i 或 ki,

20、k2中一個為 0，另一個不存在 二、直線的方程 i i直線的點斜式方程（簡稱點斜式）：y yo k（x x） 【當直線I的傾斜角為 0 0時，tan0tan0 =0=0,即 k=0k=0,這是直線l與 x x 軸平行或重合，|的方程 就是y y 0,或 y y】 注意：直線的點斜式方程僅適用于有斜率的情形， 所以在求直線的方程時，應(yīng)先討論直線有 無斜率。 2.2.截距：我們把直線I與 x x 軸交點 a,0的橫坐標a叫做直線在 x x 軸上的截距。我們把直線l 與 y y 軸交點0,b的縱坐標 b b 叫做直線I在 y y 軸上的截距。 注意：截距不是距離，截距是數(shù)。 3.3.直線的斜截式方程

21、（簡稱斜截式）：y kx 注意：直線的斜截式方程僅適用于有斜率的直線。 若R Xi, yi ,P2 X2, y2中有Xi X2或yi y時，直線RB沒有兩點式方程。當為x? 時，直線RP2平行于 x x 軸，直線方程為x Xi 0，或x Xi ；當yi y2時，直線RP?平行 4.4.直線的兩點式方程（簡稱兩點式） y yi y yi X2 Xi 注意：直線的兩點式方程不適用于沒有斜率或斜率為 0 0 的直線。 于 x x 軸，直線方程為y y 0，或y y 。 5直線的截距式方程：a by 1 a o，b 0 注意：直線的截距式方程不適用于平行于 x x 軸（或 y y 軸）或過原點的直線。

22、 7. 7. 直 線 的一般 式 方 程（簡 稱 A Ax By C 0（其中 A B 不同時為 0）,k=- （k 0） B 8 8. .在方程 Ax By C 0中， 當A 0,C 0時， 方程表示的直線平行于 x x 軸； 當B 0,C 0時， 方程表示的直線平行于 y y 軸； 當A 0,B 0,C 0時，方程表示的直線與 x x 軸重合; 當A 0,B 0,C 0時，方程表示的直線與 y y 軸重合。 l1 : Aix B1y C1 12: A? x B2 y C2 l1丄l2的充要條件是：l1 I2 A1A2 B1B2 0 三、直線的交點坐標與距離公式 1 1若方程組有唯一解 h

23、h 與I2相交，且有唯一交點; 若方程組無解 l1 / l2 ； 若方程與方程可化成同一個方程 l1與l2重合。 6.6.線段RF2的中點坐標公式 :若點R, P2的坐標分別為 x1, y1 ， x2, y2，且線段RP2的中 點M M 的坐標為 x, y，則 yi y2 2 9 9已知直線 0 ，則 0 h h / I I2的充要條件是：h h / I I2 A B2 A2 B1 0且 BC 2 - 0 或 AC2 A2C1 0 引申：2.2.當變化時，方程Ax B1y C1 AJX B2y C2 0表示直線束。 A2x B2y C2 0表示過直線A1x B1y C1 0與直線 A?x B2

24、y C2 0交點的任意一條直線，但它不能表示 A2x B2y C2 0這條直線。 延展【常用結(jié)論】 4過l1 : A1x B1y C1 0與l2 : Ax B2y C2 0交點的直線方程可3.3.方程 Ax B-)y C1 設(shè) 為 A1x By G A2x B2y C2 0 （不表 示 l2 ） 或 第四章圓與方程 、圓的方程 2 2 o 1.1.圓的標準方程：x a y b r2 注意：以方程的解為坐標的點都在圓上；在圓上的點，它的坐標都是方程的解。 2 2 2 2.2. 點在圓上 x a y b r 2 2 2 j點在圓內(nèi) x a y b r 2 2 2 點在圓外 x a y b r 2

25、2 3.3. 單位圓：若x y 1，則稱其為單位圓。 Ax B2y C2 Ax By G 0 （不表示h） 5.5.與直線Ax By C 0平行的直線方程可設(shè)為 Ax By m 0, （ m C） 6.6.與直線Ax By C 0垂直的直線方程可設(shè)為 Bx Ay m 0 7.7.兩點p ,y1 ,P2 x2,y2間的距離公式為 IRP2I 2 yi 8.8.原點O 0,0與任一點P x,y的距離公式為 |OP| .X2 y2 9 9點F0 Xo,yo到直線Ax By C 0的距離公式為：d | AX0_By。_C | .A2 B2 10.10.兩條平行直線Ax By C1 0與Ax By C2

26、 0間的距離為：d | C1_C2 | .A2 B2 4.4.圓的一般方程 x2 y2 Dx Ey F 0【注意：當D2 E2 4F 0時，方程 x2 y2 Dx Ey F 0 表示以 DE 1 g 2 2 , 為圓心， D2 E2 4F為半徑長的圓; 2 2 2 y2 2 Xi 二、直線、圓的位置關(guān)系 1.1. 直線與圓的位置關(guān)系當D2 E2 4F 2 2 0時，方程x y Dx Ey F 0表示一個點 當D2 E2 4F 2 2 0時，方程x y Dx Ey F 0不表示任何圖形。】 1.1.如圖OABC DABC是單位正方體。以0為原點，分別以射線 OA,OC,OD的方向為正方向，以線段 OA,OC,OD的長為單位長，建立三 條數(shù)軸：x x 軸、y y 軸、z z 軸。這是我們說建立了一個空間直角坐標系 Oxyz，其 中點 0 0 叫做坐標原點， x x 軸、 y y 軸、 z z 軸叫做坐標軸。 通過每兩個坐標軸的