高考數(shù)學一輪復習總教案：10.5　直線、平面垂直的判定及其性質_20210103224756

1、10.5直線、平面垂直的判定及其性質典例精析題型一面面垂直的判定與性質【例1】 平面平面，A，B，AB與平面、所成的角分別為和，求AB與，的交線l所成的角的大小.【解析】過A、B分別作AAl，BBl，垂足分別為A、B，則AA，BB.連接AB，AB，則ABA，BAB.設AB1，則AA，AB，BB，所以AB.過B作BCl且BC，連接AC、AC，則ABC為AB與l所成的角，來源:數(shù)理化網(wǎng)因為ABBC，且BBAB，所以ABBC為矩形，所以ACBC.又因為AABC，AAACA，所以BC平面AAC，所以ACBC.在RtACB中，cosABC，所以ABC，即AB與l所成的角為.【點撥】此題關鍵是根據(jù)面面垂直

2、的性質，構造直角三角形.【變式訓練1】如圖一所示，已知四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面為正方形，O1、O分別為上、下底面的中心，且A1在底面ABCD內的射影是O.求證：平面O1DC平面ABCD.【證明】要證明平面O1DC與平面ABCD垂直，考慮到圖中已知平面ABCD的垂線A1O，因而設法在平面O1DC中找出A1O的平行線.如圖二所示，連接AC，BD，A1C1，則O為AC、BD的交點，O1為A1C1、B1D1的交點.由棱柱的性質知：A1O1OC，且A1O1OC，所以四邊形A1OCO1為平行四邊形，所以A1OO1C.又A1O平面ABCD，所以O1C平面ABCD，又O1C平面O1DC，所以平面O

3、1DC平面ABCD.題型二線面垂直的判定與性質【例2】 RtABC所在平面外一點S滿足SASBSC，D為斜邊AC的中點.(1)求證：SD平面ABC；(2)若ABBC，求證：BD平面SAC.【證明】(1)設E是AB的中點.因為D是AC的中點.所以DEBC，又BCAB，所以DEAB.因為SASB，所以SEAB，又SEDEE，所以AB平面SDE，而SD平面SDE，所以ABSD，又SASC，D為AC的中點，所以SDAC.而ABACA，所以SD平面ABC.(2)若ABBC，則BDAC.又由(1)知，SD平面ABC，所以SDBD，而SDACD，來源:所以BD平面SAC.【點撥】證明直線與平面垂直，關鍵在于

4、證明直線與平面內的兩相交直線垂直.【變式訓練2】如圖，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，BAC90°，BC1AC，則C1在上底面ABC上的射影H必在()A.直線AB上B.直線BC上C.直線AC上D.ABC內部【解析】選A.題型三折疊問題【例3】 在四邊形ABCD中，ADBC，ADAB，BCD45°，BAD90°，將ABD沿對角線BD折起，記折起后點A的位置為P，且使平面PBD平面BCD，如圖所示：(1)求證：平面PBC平面PDC；(2)在折疊前的四邊形ABCD中，作AEBD于E，過E作EFBC于F，求折疊后的圖形中PFE的正切值.【解析】(1)折疊前，在四邊形ABC

5、D中，ADBC，ADAB，BAD90°，所以ABD為等腰直角三角形.又因為BCD45°，所以BDC90°.折疊后，因為平面PBD平面BCD，CDBD，所以CD平面PBD，又因為PB平面PBD，所以CDPB.又因為PBPD，PDCDD，所以PB平面PDC，又PB平面PBC，故平面PBC平面PDC.(2)AEBD，EFBC，折疊后的這些位置關系不變，所以PEBD，又平面PBD平面BCD，所以PE平面BCD，所以PEEF，設ABADa，則BDa，所以PEaBE，在RtBEF中，EFBE·sin 45°a×a.在RtPFE中，tanPFE.【

6、點撥】翻折與展開是一個問題的兩個方面，不論是翻折還是展開，均要注意平面圖形與立體圖形各個對應元素的相對變化，元素間的大小與位置關系.一般而言，在翻折過程中， 處在同一個半平面內的元素是不變的，弄清這一點是解決這類問題的關鍵.【變式訓練3】如圖，平行四邊形ABCD中，DAB60°，AB2，AD4.將CBD沿BD折起到EBD的位置，使平面EBD平面ABD.(1)求證：ABDE；來源:(2)求三棱錐EABD的側面積.【解析】(1)證明：在ABD中，來源:因為AB2，AD4，DAB60°，所以BD2.所以AB2BD2AD2，所以ABBD.又因為平面EBD平面ABD，平面EBD平面ABDBD，AB平面ABD，所以AB平面EBD.因為DE平面EBD，所以ABDE.(2)由(1)知ABBD.因為CDAB，所以CDBD. 從而DEBD.在RtDBE中，因為DB2，DEDCAB2，所以SBDEDB·DE2.又因為AB平面EBD，BE平面EBD，所以ABBE.因為BEBCAD4，所以SABEAB·BE4.來源:數(shù)理化網(wǎng)因為DEBD，平面EBD平面ABD，所以ED平面ABD，而AD平面ABD，所以EDAD