高數(shù)同濟(jì)大一下學(xué)期期末復(fù)習(xí)學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1高數(shù)同濟(jì)大一下學(xué)期期末復(fù)習(xí)高數(shù)同濟(jì)大一下學(xué)期期末復(fù)習(xí)第一頁，編輯于星期三：七點(diǎn) 十九分。（一）直線與平面的位置關(guān)系，空間曲線的切線，空間曲面的切平面（1）設(shè)則第1頁/共62頁第二頁，編輯于星期三：七點(diǎn) 十九分。（2）曲面在某點(diǎn)處的切平面、空間曲線在某點(diǎn)處的切線要點(diǎn)：I：曲面在某點(diǎn)處的切平面（1）設(shè)曲面方程為第一步：計(jì)算第二步：計(jì)算曲面的法向量第三步：分別寫出切平面和法線的方程第2頁/共62頁第三頁，編輯于星期三：七點(diǎn) 十九分。（2）設(shè)曲面方程為第一步：取第二步：計(jì)算曲面的法向量第三步：利用點(diǎn)法式和對(duì)稱式分別寫出切平面和法線的方程第3頁/共62頁第四頁，編輯于星期三：七點(diǎn) 十九分。要點(diǎn)I

2、I：空間曲線的切線與法平面（1）設(shè)空間曲線 的方程第一步：確定點(diǎn)第二步：計(jì)算第三步：利用對(duì)稱式和點(diǎn)法式分別寫出切線和法平面的方程第4頁/共62頁第五頁，編輯于星期三：七點(diǎn) 十九分。（2）設(shè)空間曲線 的方程第5頁/共62頁第六頁，編輯于星期三：七點(diǎn) 十九分。解設(shè)所求直線的方向向量為根據(jù)題意知取所求直線的方程3、典型例題第6頁/共62頁第七頁，編輯于星期三：七點(diǎn) 十九分。例2：設(shè)直線 L 和平面 的方程分別為則必有（ ）解：C第7頁/共62頁第八頁，編輯于星期三：七點(diǎn) 十九分。例3：求曲面上同時(shí)垂直于平面與平面解：取的切平面方程。設(shè)切點(diǎn)為第8頁/共62頁第九頁，編輯于星期三：七點(diǎn) 十九分。例:(1

3、)已知曲線在點(diǎn)P處的切線平行于平面，求P點(diǎn)的坐標(biāo)第9頁/共62頁第十頁，編輯于星期三：七點(diǎn) 十九分。（二）多元函數(shù)的定義域、極限和連續(xù)；方向?qū)?shù)，復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)（高階），隱函數(shù)的求導(dǎo)和全微分、條件極值（1）多元函數(shù)在某點(diǎn)的定義域、極限和連續(xù)要點(diǎn)：I：求二元函數(shù)在某點(diǎn)的極限1、利用函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的定義和極限的四則運(yùn)算法則2、利用有界函數(shù)與無窮小乘積的性質(zhì)3、利用變量對(duì)換化為一元函數(shù)極限4、利用夾逼準(zhǔn)則與兩個(gè)重要極限第10頁/共62頁第十一頁，編輯于星期三：七點(diǎn) 十九分。例：求下列函數(shù)的極限：第11頁/共62頁第十二頁，編輯于星期三：七點(diǎn) 十九分。第12頁/共62頁第十三頁，編輯于星期三：七點(diǎn) 十九

4、分。解：求極限第13頁/共62頁第十四頁，編輯于星期三：七點(diǎn) 十九分。解：求極限第14頁/共62頁第十五頁，編輯于星期三：七點(diǎn) 十九分。（1）多元函數(shù)的定義域、極限、連續(xù)要點(diǎn)：I：求二元函數(shù)在某點(diǎn)的極限（二）多元函數(shù)的定義域、極限和連續(xù)；方向?qū)?shù)，復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)（高階），隱函數(shù)的求導(dǎo)和全微分、條件極值第15頁/共62頁第十六頁，編輯于星期三：七點(diǎn) 十九分。（1）多元函數(shù)的定義域、在某點(diǎn)的極限、連續(xù)要點(diǎn)：II：用定義求二元函數(shù)在某點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)（二）多元函數(shù)的定義域、極限和連續(xù)；方向?qū)?shù)，復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)（高階），隱函數(shù)的求導(dǎo)和全微分、條件極值第16頁/共62頁第十七頁，編輯于星期三：七點(diǎn) 十九分。典型例

5、題例1：設(shè)求解：第17頁/共62頁第十八頁，編輯于星期三：七點(diǎn) 十九分。典型例題例2：設(shè)求解：第18頁/共62頁第十九頁，編輯于星期三：七點(diǎn) 十九分。典型例題例3：設(shè)求解：第19頁/共62頁第二十頁，編輯于星期三：七點(diǎn) 十九分。二元函數(shù)的連續(xù)性要點(diǎn)：III：多元函數(shù)的連續(xù)性第20頁/共62頁第二十一頁，編輯于星期三：七點(diǎn) 十九分。(2) 討論函數(shù)在(0,0)的連續(xù)性第21頁/共62頁第二十二頁，編輯于星期三：七點(diǎn) 十九分。例： 討論函數(shù)在(0,0)的連續(xù)性解取其值隨k的不同而變化，極限不存在故函數(shù)在(0,0)處不連續(xù)第22頁/共62頁第二十三頁，編輯于星期三：七點(diǎn) 十九分。（2）方向?qū)?shù)、復(fù)合

6、函數(shù)求導(dǎo)（高階）、隱函數(shù)的求導(dǎo)、多元函數(shù)的微分要點(diǎn)：I、方向?qū)?shù)II ：二元抽象函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算；III ：隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算；例1：設(shè)答案：IV ：多元函數(shù)全微分的計(jì)算；第23頁/共62頁第二十四頁，編輯于星期三：七點(diǎn) 十九分。例:(1)函數(shù) 在點(diǎn) 處沿哪個(gè)方向 的方向?qū)?shù)最大？并求方向?qū)?shù)的最大值.例1：設(shè)例3：設(shè)求(2)求函數(shù)在點(diǎn)處沿到點(diǎn)的方向上的方向?qū)?shù)第24頁/共62頁第二十五頁，編輯于星期三：七點(diǎn) 十九分。例3：設(shè)求解：zxyuxyu第25頁/共62頁第二十六頁，編輯于星期三：七點(diǎn) 十九分。例4：設(shè)答案：要點(diǎn)：I、方向?qū)?shù)II ：二元抽象函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算；III ：隱

7、函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算；IV ：多元函數(shù)全微分的計(jì)算；（2）方向?qū)?shù)、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)（高階）、隱函數(shù)的求導(dǎo)、多元函數(shù)的微分第26頁/共62頁第二十七頁，編輯于星期三：七點(diǎn) 十九分。例3：設(shè)是由方程解：兩邊取全微分所確定的二元函數(shù)，求整理并解得第27頁/共62頁第二十八頁，編輯于星期三：七點(diǎn) 十九分。例3：設(shè)是由方程解：兩邊取全微分所確定的二元函數(shù)，求整理并解得第28頁/共62頁第二十九頁，編輯于星期三：七點(diǎn) 十九分。拉格朗日乘數(shù)法：（1）構(gòu)造拉格朗日函數(shù)：（2）聯(lián)解方程組，求出問題 1 的所有可能的極值點(diǎn)。問題 1：求函數(shù) z = f ( x , y ) 在約束條件 ( x , y ) = 0 下的

8、極值（稱為條件極值問題）。（3）進(jìn)一步確定所求點(diǎn)是否為極值點(diǎn)，在實(shí)際問題中往往可根據(jù)問題本身的性質(zhì)來判斷。（3） 條件極值。第29頁/共62頁第三十頁，編輯于星期三：七點(diǎn) 十九分。例1：在橢球面上，求距離平面的最近點(diǎn)和最遠(yuǎn)點(diǎn)。解：設(shè) ( x , y , z ) 為橢球面上任意一點(diǎn)則該點(diǎn)到平面的距離為問題1：在約束條件下，求距離 d 的最大最小值。 由于 d 中含有絕對(duì)值，為便于計(jì)算，考慮將問題 1 轉(zhuǎn)化為下面的等價(jià)問題第30頁/共62頁第三十一頁，編輯于星期三：七點(diǎn) 十九分。問題2：在條件下，求函數(shù)的最大最小值。問題1：在約束條件下，求距離 d 的最大最小值。（1）作拉格朗日函數(shù)（2）聯(lián)解方程

9、組第31頁/共62頁第三十二頁，編輯于星期三：七點(diǎn) 十九分。（1）作拉格朗日函數(shù)（2）聯(lián)解方程組求得兩個(gè)駐點(diǎn)：對(duì)應(yīng)的距離為第32頁/共62頁第三十三頁，編輯于星期三：七點(diǎn) 十九分。例1：在橢球面上，求距離平面的最近點(diǎn)和最遠(yuǎn)點(diǎn)。解：?jiǎn)栴}1：在約束條件下，求距離 d 的最大最小值。求得兩個(gè)駐點(diǎn)：對(duì)應(yīng)的距離為（3）判斷：由于駐點(diǎn)只有兩個(gè)，且由題意知最近距離和最遠(yuǎn)距離均存在。所以最近距離為最遠(yuǎn)距離為第33頁/共62頁第三十四頁，編輯于星期三：七點(diǎn) 十九分。三、二重積分的計(jì)算（直角坐標(biāo)、極坐標(biāo)）重點(diǎn)內(nèi)容（1）二重積分在直角坐標(biāo)下的計(jì)算；第34頁/共62頁第三十五頁，編輯于星期三：七點(diǎn) 十九分。答案：例1

10、：計(jì)算二重積分答案：第35頁/共62頁第三十六頁，編輯于星期三：七點(diǎn) 十九分。三、二重積分的計(jì)算（直角坐標(biāo)、極坐標(biāo)）重點(diǎn)內(nèi)容（2）二重積分中二次積分的交換次序；答案:例2：試證：第36頁/共62頁第三十七頁，編輯于星期三：七點(diǎn) 十九分。解積分區(qū)域分為兩塊第37頁/共62頁第三十八頁，編輯于星期三：七點(diǎn) 十九分。例2：試證：證明：畫出積分區(qū)域 D 由圖可知 D 又可以寫成X 型區(qū)域第38頁/共62頁第三十九頁，編輯于星期三：七點(diǎn) 十九分。（3）利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分；再根據(jù) D 的極坐標(biāo)表示，將極坐標(biāo)下的二重積分化為累次積分。例3:計(jì)算由直線 y = x 及曲線所圍平面區(qū)域。第39頁/共62頁第

11、四十頁，編輯于星期三：七點(diǎn) 十九分。（4）利用對(duì)稱性和被積函數(shù)的奇偶性計(jì)算二重積分；在二重積分的計(jì)算過程中，要注意對(duì)稱性。例5：計(jì)算其中 D 由直線 y = x , y = 1 , 及x = 1 所圍平面區(qū)域第40頁/共62頁第四十一頁，編輯于星期三：七點(diǎn) 十九分。解第41頁/共62頁第四十二頁，編輯于星期三：七點(diǎn) 十九分。（5）三重積分在直角坐標(biāo)系中“先二后一”的計(jì)算方法；例6：提示：再對(duì)用“ 先二后一 ” 的方法計(jì)算，并用對(duì)稱性給出另外兩項(xiàng)的結(jié)果。第42頁/共62頁第四十三頁，編輯于星期三：七點(diǎn) 十九分。例7：提示：利用對(duì)稱性、被積函數(shù)奇偶性及 “先二后一” 法（6）利用柱面坐標(biāo)計(jì)算三重積

12、分例8：繞 z 軸旋轉(zhuǎn)一周而成曲面與平面 z = 8 所圍空間立體第43頁/共62頁第四十四頁，編輯于星期三：七點(diǎn) 十九分。四、第一、二類曲線積分，積分與路徑無關(guān)、第一、二類曲面積分、格林公式、高斯公式。（1）曲線和曲面積分的基本概念和基本計(jì)算方法；（2）基本公式格林公式高斯公式主要作用：將平面曲線積分轉(zhuǎn)化為二重積分主要作用：將曲面積分轉(zhuǎn)化為三重積分第44頁/共62頁第四十五頁，編輯于星期三：七點(diǎn) 十九分。（3）基本應(yīng)用：1.格林公式和高斯公式的兩類典型應(yīng)用題：2. 平面曲線積分“ 封口法 ” 和 “ 挖洞法 ”。與路徑無關(guān)在單連通區(qū)域 G 內(nèi)第45頁/共62頁第四十六頁，編輯于星期三：七點(diǎn)

13、十九分。（4）基本計(jì)算技巧1. 利用對(duì)稱性；2. 利用曲線或曲面方程化簡(jiǎn)被積函數(shù)；3. 利用關(guān)系式將對(duì)不同的坐標(biāo)的曲面積分化為同一個(gè)曲面積分；4. 利用積分與路徑無關(guān)，適當(dāng)改變積分路徑，簡(jiǎn)化平面曲線積分。第46頁/共62頁第四十七頁，編輯于星期三：七點(diǎn) 十九分。例1：設(shè)橢球面 的表面積為a，則20a提示：利用曲面方程及對(duì)稱性例2：設(shè)則提示：利用曲線方程及對(duì)稱性0例3：提示：利用高斯公式及橢球體的體積。第47頁/共62頁第四十八頁，編輯于星期三：七點(diǎn) 十九分。例4：設(shè) f (x) 在 ( 0 , + ) 上有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，L 是由點(diǎn)提示：利用積分與路徑無關(guān)，并取新路徑：A ( 1 , 2 ) 到點(diǎn)

14、 B ( 2 , 8 ) 的直線段，計(jì)算（30）例5：計(jì)算 由拋物面與圓柱面及坐標(biāo)面在第一卦限中所圍曲面外側(cè)。提示：利用高斯公式及（三重積分）柱面坐標(biāo)第48頁/共62頁第四十九頁，編輯于星期三：七點(diǎn) 十九分。第49頁/共62頁第五十頁，編輯于星期三：七點(diǎn) 十九分。例6：計(jì)算再由坐標(biāo)原點(diǎn)沿 x 軸到 B (2 , 0)。解：其中，L 為由點(diǎn) A (1 , 1) 沿曲線到坐標(biāo)原點(diǎn)，分析：應(yīng)用格林公式補(bǔ)充：第50頁/共62頁第五十一頁，編輯于星期三：七點(diǎn) 十九分。五、數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性判別，條件收斂與絕對(duì)收斂、冪級(jí)數(shù)的收斂域，冪級(jí)數(shù)求和函數(shù)。（1）數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性判別1. 正項(xiàng)級(jí)數(shù)比較判別法，比值判別法，

15、根值判別法，收斂的必要條件幾何級(jí)數(shù)、P 級(jí)數(shù)和調(diào)和級(jí)數(shù)2. 交錯(cuò)級(jí)數(shù)：萊布尼茨定理3. 任意項(xiàng)級(jí)數(shù)：絕對(duì)收斂和條件收斂。第51頁/共62頁第五十二頁，編輯于星期三：七點(diǎn) 十九分。任意項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性判斷的一般步驟：（1）檢驗(yàn)（3）用正項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法檢驗(yàn)是否收斂？則原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，從而收斂，（4）若發(fā)散，但是用比值或根值法判斷的則原級(jí)數(shù)也發(fā)散。是否成立？若否，則原級(jí)數(shù)發(fā)散若是或難求，則進(jìn)行下一步；若是，否則，進(jìn)行下一步；（2）若原級(jí)數(shù)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)或交錯(cuò)級(jí)數(shù)，則可用正項(xiàng)級(jí)數(shù) 或萊布尼茨判別法檢驗(yàn)其收斂性，否則進(jìn)行下一步（5）用性質(zhì)或其它方法。第52頁/共62頁第五十三頁，編輯于星期三：七點(diǎn) 十九分。（2）

16、冪級(jí)數(shù)的收斂半徑和收斂域求冪級(jí)數(shù)（1）利用極限（2）判定冪級(jí)數(shù)在端點(diǎn)確定收斂半徑 R 及收斂區(qū)間 處的收斂性，收斂域的一般步驟：（3）收斂域等于收斂區(qū)間加收斂的端點(diǎn)。說明（1）冪級(jí)數(shù)中不能出現(xiàn)“缺項(xiàng)”。（2）對(duì)冪級(jí)數(shù)要先做變換第53頁/共62頁第五十四頁，編輯于星期三：七點(diǎn) 十九分。（3）求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)求冪級(jí)數(shù)（1）利用極限（2）判定冪級(jí)數(shù)在端點(diǎn)確定收斂半徑 R 及收斂區(qū)間 處的收斂性，收斂域的一般步驟：（3）收斂域等于收斂區(qū)間加收斂的端點(diǎn)。說明（1）冪級(jí)數(shù)中不能出現(xiàn)“缺項(xiàng)”。（2）對(duì)冪級(jí)數(shù)要先做變換第54頁/共62頁第五十五頁，編輯于星期三：七點(diǎn) 十九分。性質(zhì)3：冪級(jí)數(shù)逐項(xiàng)積分后所得級(jí)數(shù)的

17、和函數(shù) s (x) 在收斂域 I 上可積，并有逐項(xiàng)積分公式其收斂半徑與原級(jí)數(shù)相同。 （3）求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)第55頁/共62頁第五十六頁，編輯于星期三：七點(diǎn) 十九分。性質(zhì)4：冪級(jí)數(shù)逐項(xiàng)求導(dǎo)后所得級(jí)數(shù)的和函數(shù) s (x) 在收斂區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，并有逐項(xiàng)求導(dǎo)公式其收斂半徑與原級(jí)數(shù)相同。 說明：求和函數(shù)一定要先求收斂域。第56頁/共62頁第五十七頁，編輯于星期三：七點(diǎn) 十九分。典型例題例1：若冪級(jí)數(shù)在 x = - 2 處收斂，則此冪級(jí)數(shù)在 x = 5 處（ ） （A）一定發(fā)散。（B）一定條件收斂。（C）一定絕對(duì)收斂。（D）收斂性不能確定。 C例2：若冪級(jí)數(shù)的收斂半徑是16，則冪級(jí)數(shù)的收斂半徑是 （ ）4第57頁/共6