六西格瑪數(shù)據(jù)分析技術(shù)4

1、SSMC中國人民大學六西格瑪質(zhì)量管理研究中心六西格瑪管理培訓(xùn)叢書（5）o 何曉群何曉群 主編主編 六西格瑪數(shù)據(jù)分析技術(shù)六西格瑪數(shù)據(jù)分析技術(shù)何曉群 編著光盤作者：陶 沙 蘇晨輝中 國 人 民 大 學 出 版 社SSMC中國人民大學六西格瑪質(zhì)量管理研究中心第4章 參數(shù)估計4.1 參數(shù)估計的基本概念4.2 總體均值和總體比例的區(qū)間估計4.3 樣本容量的確定4.4 兩總體均值之差的區(qū)間估計4.5 兩總體比例之差的區(qū)間估計4.6 正態(tài)總體方差的區(qū)間估計4.7 兩個正態(tài)總體方差比的區(qū)間估計4.8 有關(guān)區(qū)間估計的Minitab軟件實現(xiàn)小組討論與練習返回目錄SSMC中國人民大學六西格瑪質(zhì)量管理研究中心本 章

2、目 標1.掌握參數(shù)估計的基本概念2.建立起在管理中運用參數(shù)估計的思想3.能運用Minitab實現(xiàn)各種區(qū)間估計的計算4.掌握樣本容量的確定方法5.能在管理實踐中運用參數(shù)估計方法返回目錄SSMC中國人民大學六西格瑪質(zhì)量管理研究中心4.1 參數(shù)估計的基本概念 u參數(shù)估計有兩大類，一種叫點估計，一種叫區(qū)間估計u點估計是利用樣本的信息對所感興趣的參數(shù)估計出一個數(shù)值u區(qū)間估計包含了兩個數(shù)值，對應(yīng)著數(shù)軸上的一個區(qū)間，所以稱為區(qū)間估計u點估計的方法最常用的有兩種：矩估計法極大似然估計法u對一個估計優(yōu)良性的評價有一些相應(yīng)的評價準則返回目錄SSMC中國人民大學六西格瑪質(zhì)量管理研究中心u 對總體參數(shù)的估計，人們最容

3、易想到的方法就是矩估計法，即用樣本矩估計總體相應(yīng)的矩，用樣本矩的函數(shù)估計總體相應(yīng)矩的函數(shù)。u 矩是指以期望值為基礎(chǔ)而定義的數(shù)字特征，例如均值、方差、協(xié)方差等。u 最常用的矩估計有：用樣本均值估計總體均值，用樣本標準差估計總體標準差。u 例41.已知某種燈泡的壽命 XN(,2)，其中,2均未知，今隨機抽取4只燈泡，測得壽命(單位：小時)為1502，1453，1367，1650。試估計,。 矩估計法返回目錄SSMC中國人民大學六西格瑪質(zhì)量管理研究中心矩估計法(續(xù))u解：因為是全體燈泡的平均壽命， 為樣本的平均壽命，很自然地會想到用 去估計；同理用s去估計。u由于u例42.設(shè)樣本x1,x2, xn來

4、自參數(shù)為 的泊松分布。由于E(X)=D(X)=，因而 與s2都可以作為的矩估計值。u由例42可以看出E(X)=D(X)=，這表明總體均值與方差相等，但在實際問題中 與s2不見得一樣，因而矩估計的結(jié)果不惟一。)(61.118),(149316 .118140691406914)14936501 ()14931502(1493)1650136714531502(41222小時小時即sxssxxxxx返回目錄SSMC中國人民大學六西格瑪質(zhì)量管理研究中心極大似然估計 u極大似然估計是利用總體的分布密度或概率分布的表達式及其樣本所提供的信息建立求未知參數(shù)估計量的一種方法。u極大似然估計好多初學者覺得難以

5、理解，我們用下面的說法幫助理解：在產(chǎn)品檢驗中，有說這批產(chǎn)品的次品率可能是1/10000，也有說次品率可能是1/100。 如果你在這批產(chǎn)品中隨機抽取一件，竟然 就是次品，自然應(yīng)當認為這批產(chǎn)品的次品 率最有可能是1/100而不是1/10000。把這 種考慮問題的方法一般化，就概括出極大 似然估計方法。返回目錄SSMC中國人民大學六西格瑪質(zhì)量管理研究中心極大似然估計 (續(xù)1) u設(shè)總體X的分布已知，未知參數(shù)為 ，假定其分布密度族為f(x;)；u假設(shè)對總體X的n次觀測結(jié)果為(x1, x2, xn)。應(yīng)在一切中選取使樣本(X1,X2, Xn)落在點(x1, x2, xn)附近概率最大的 作為未知參數(shù)真值

6、的估計值，即選取 使： 其中 稱為似然函數(shù)，它是樣本的聯(lián)合概率密度函數(shù)。)(max)(2121nn, x, xxL, x, xxL；)(21n, x, xxL；返回目錄SSMC中國人民大學六西格瑪質(zhì)量管理研究中心極大似然估計 (續(xù)2) u一般情況下，我們用求解似然方程的方法進行極大似然估計，具體步驟是：1.由總體分布導(dǎo)出樣本的聯(lián)合概率密度；2.把樣本聯(lián)合概率密度中自變量x1, x2, xn看成已知常數(shù)，而把參數(shù)看作變量，得到似然函數(shù)；3.用微分原理求似然函數(shù)的最大值點；4.在最大值點的表達式中，代入樣本值就得參數(shù)的估計值。u可以證明：若x1, x2, xn來自正態(tài)總體N(,2)，則：niini

7、ixxnxnx121)(11返回目錄SSMC中國人民大學六西格瑪質(zhì)量管理研究中心u例4-3.設(shè)某種品牌的電視機的首次故障時間遵從指數(shù)分布f(t)=e-t,t0，共測試了7臺電視機，獲得相應(yīng)的首次故障時間（單位：萬小時）為： 1.49，3.65，0.26，4.25，5.43，6.97，8.09 求參數(shù)的估計值。解：樣本x1, x2, xn的聯(lián)合密度用均值 來表示，就有： ，將 看作常數(shù)， 看作變量，可得似然函數(shù) ，進而取對數(shù)，求微商，解方程可得： 對本例而言，就有：極大似然估計(續(xù)3)2326. 01 .3071xxnnxnnnniixnxnineLe, x, xxPxnxee, x, xxPn

8、iii)()(1)()(2111211x返回目錄SSMC中國人民大學六西格瑪質(zhì)量管理研究中心點估計的優(yōu)良性準則u不同的參數(shù)估計方法，可得到不同的估計量，不同的估計量誰優(yōu)誰劣？我們有一些相應(yīng)的評價準則。在6管理中，最常用的點估計優(yōu)良性準則有兩個：一個是無偏性，另一個是有效性。u無偏性：設(shè) 是參數(shù)的一個估計量，如果 ，則稱 是參數(shù)的無偏估計。無偏性實際上是指對于一個估計量，屢次變更數(shù)據(jù)反復(fù)求估計值時，估計值的平均與真值相一致，即盡管 有時比大，有時比小，總的看來，它的“平均值”就是?？梢宰C明 ：許多情況下， 是的無偏估計，s是的無偏估計。然而，在正態(tài)分布中的極大似然估計就不是無偏估計。x)(E返回

9、目錄SSMC中國人民大學六西格瑪質(zhì)量管理研究中心有效性無偏性只考慮估計值的平均結(jié)果是否等于待估參數(shù)的真值，而不考慮每個估計值與待估參數(shù)真值之間偏差的大小和散布程度。實際問題的研究中，不僅希望估計是無偏的，更希望這些估計值的偏差盡可能地小。u設(shè) 都是參數(shù)的無偏估計量，如果 且至少有一個 ，嚴格不等號成立，則稱 比 有效。設(shè) 、x1都是的無偏估計，但樣本均值 的方差為2/n，x1的方差為2，只要n1，作為的估計值， 比x1就更有效。)()(21DD21、210 xxx返回目錄SSMC中國人民大學六西格瑪質(zhì)量管理研究中心區(qū)間估計u點估計沒有給出估計的精度和可靠程度，區(qū)間估計解決了這一問題。u設(shè)是總體

10、的一個待估參數(shù)，從總體中獲得容量為n的樣本是x1, x2, xn，對給定的(05，n(1p)5，則可用正態(tài)分布去近似二項分布，因而有： 因此由正態(tài)分布構(gòu)造總體比例p的置信區(qū)間為：p )1 (1,(ppnpNpnppZp) 1 ( 2/1返回目錄SSMC中國人民大學六西格瑪質(zhì)量管理研究中心總體比例置信區(qū)間估計的例子u例47.某企業(yè)在一項關(guān)于職工流動原因的研究中，從該企業(yè)前職工的總體中隨機抽選了200人組成一個樣本。訪問結(jié)果，有140人說他的離開是由于企業(yè)管理缺乏人性化。試對由于這種原因而離開企業(yè)的人員的真正比例進行估計(=0.05)。解：已知n=200， =0.7， =1405， =605, Z

11、1-/2=1.96故該企業(yè)職工認為企業(yè)管理缺乏人性化而離開的比例為63.6%76.4%。)764. 0 ,636. 0()200)7 . 01 (7 . 096. 17 . 0 ,200)7 . 01 (7 . 096. 17 . 0() 1 ( ,) 1 ( (2/12/1nppZpnppZpp pn) 1 (pn返回目錄SSMC中國人民大學六西格瑪質(zhì)量管理研究中心4.3 樣本容量的確定u在研究實際問題時，需要自己動手設(shè)計 調(diào)查方案，這時如何確定樣本容量大有 學問。如果樣本量太大，必然費用增加； 如果樣本量過小，估計誤差又會增大。u這就看你需要什么樣的估計精度，即你想構(gòu)造多寬的估計區(qū)間？u對

12、于你所確定的置信區(qū)間，你想要多大的置信度？u估計總體均值時，樣本容量的確定 在總體均值的區(qū)間估計里，置信區(qū)間是： 該區(qū)間估計的精度為 ，是區(qū)間估計長度的一半。)/,/(2121nZxnZxnZ/21返回目錄SSMC中國人民大學六西格瑪質(zhì)量管理研究中心樣本容量的確定(續(xù)1)u如果我們希望估計值與其真實值之間的 誤差或估計的精度在置信度(1-)下不超 過某一數(shù)值B(允許誤差)，則可從下面的 方程確定n。 解之得：u只要我們知道了Z1-/2，和允許誤差，就可具體算出樣本容量n。u如果算出的n不是整數(shù)，就去超過該小數(shù)的最接近的整數(shù)即可。22121)B/(B/ZnnZ返回目錄SSMC中國人民大學六西格瑪

13、質(zhì)量管理研究中心樣本容量的確定(續(xù)2)u由樣本容量的確定公式 ，你可發(fā)現(xiàn)幾個量之間的一些關(guān)系：1.總體方差越大，必要的樣本容量n越大。2.必要樣本容量n反比例于允許誤差B。即在給定的置信水平下，允許誤差越大，樣本容量就可以越?。辉试S誤差越小，樣本容量就必須加大。3.必要樣本容量n與正態(tài)分布Z1-/2分位數(shù)(也稱可靠性系數(shù))成正比。即：我們要求的可靠程度越高，樣本容量就應(yīng)越大；如果要求的可靠程度越低，樣本容量就可以小些。221)B/( Zn返回目錄SSMC中國人民大學六西格瑪質(zhì)量管理研究中心樣本容量的確定(續(xù)3)u例48.某廣告公司想估計某類商場去年 所花的廣告費平均有多少。經(jīng)驗表明， 總體方差

14、約為1800000。如置信度取 95%，并要使估計值處在總體平均值 附近500元的范圍內(nèi)，這家廣告公司 應(yīng)取多大的樣本？解：已知2=1800000，=0.05，Z1-/2=1.96，B=500即這家廣告公司應(yīng)抽取28個商場作樣本。2865.27)500()1800000()96. 1 ()B(22221Zn返回目錄SSMC中國人民大學六西格瑪質(zhì)量管理研究中心樣本容量的確定(續(xù)4)u估計總體比例時，樣本容量n的計算公式是：u例49.某市場調(diào)查公司想估計某地區(qū)有數(shù)碼相機的家庭所占的比例。該公司希望對p的估計誤差不超過0.05，要求的可靠度為95%，應(yīng)取多大的樣本？沒有可利用的 估計值。解：通常在此

15、類問題研究中，無法得到 值時,可以用 =0.5計算。已知B=0.05, =0.05，Z1-/2=1.96， =0.5即抽取385戶調(diào)查，就可以95%的可靠度保證估計誤差不超過0.05。2221B) 1 ( ppZn385(0.05)5 . 01 (5 . 096).(1B) 1 ( 222221ppZnp p p p 返回目錄SSMC中國人民大學六西格瑪質(zhì)量管理研究中心4.4 兩個總體均值之差的區(qū)間估計u某化工廠需要比較由兩個供應(yīng)商提供的原材料所帶來的產(chǎn)量，某企業(yè)質(zhì)量管理部的部長希望 了解車間內(nèi)兩條生產(chǎn)線生產(chǎn)的燈泡 平均壽命是否存在差異等。這些都 是要對兩個總體均值之差作區(qū)間估計。u兩個總體的

16、方差 已知情況下，兩總體均值差異1-2的區(qū)間估計： 其中， 分別為來自兩個總體的樣本均值，n1，n2為抽自兩總體的樣本容量， 分別是兩總體的方差。u只要樣本容量足夠大，對于總體分布是否正態(tài)都可適用。2221、2221212121Z)(nnxx21xx、2221、返回目錄SSMC中國人民大學六西格瑪質(zhì)量管理研究中心兩個總體均值之差的估計案例u例410.某企業(yè)質(zhì)量部部長希望了解企業(yè)兩條生產(chǎn)線生產(chǎn)的燈泡平均壽命是否存在差異。假定兩條生產(chǎn)線生產(chǎn)的燈泡的壽命均呈正態(tài)分布，方差分別為 。隨機從兩條生產(chǎn)線生產(chǎn)的燈泡中各抽取20只和25只，測得平均壽命分別為1478小時和1456小時，在=0.05時，求出兩條

17、生產(chǎn)線生產(chǎn)的燈泡平均壽命差異的區(qū)間估計。解： 即1-2的95%的置信區(qū)間為(9.8，34.2)。4454202221，)2 .8,34. 9(Z)(,96. 1Z,05. 0445,420,1456,1478,25,202221212121212122212121nnxxxxnn的區(qū)間估計為：則返回目錄SSMC中國人民大學六西格瑪質(zhì)量管理研究中心兩個總體方差 未知的情況u兩個總體均遵從正態(tài)分布，且 未知時，為了給出1-2的估計我們必須利用兩個樣本中關(guān)于2的信息聯(lián)合大體估計2 ，這個聯(lián)合估計量為：u這時兩個總體均值之差1-2的1-置信水平下的置信區(qū)間為：22212221，當2221、2) 1()

18、 1(212222112nnsnsnSp2121212111)2()(nnSnntxxp返回目錄SSMC中國人民大學六西格瑪質(zhì)量管理研究中心方差不等的情況u當兩個總體均遵從正態(tài)分布， ，且方差未知時，自然用 抽樣分布不遵從自由度為(n1+ n22)的t分布，而近似遵從自由度為f的t分布。f的計算公式為： 這樣兩個總體均值之差1-2的1-置信水平下的置信區(qū)間為：2221)1)(1)()(22222121212222121nnsnnsnsnsf2221212121)()(nsnsftxx的但此時的估計為從而得到和分別估計和22212121212221212)(22212221)()(),(,21n

19、snsxxnsnsssxx 返回目錄SSMC中國人民大學六西格瑪質(zhì)量管理研究中心4.5 兩個總體比例之差的區(qū)間估計u設(shè)兩個正態(tài)總體的比例分別為p1和p2，為了估計 p1p2，分別從兩個總體中各隨機抽取容量為n1和n2的兩個隨機樣本，并計算兩個樣本的比例 ，可以證明，p1p2的置信度為1-的置信區(qū)間為：21pp和2221112121)1 ()1 (Z)(nppnpppp返回目錄SSMC中國人民大學六西格瑪質(zhì)量管理研究中心4.6 正態(tài)總體方差的區(qū)間估計u設(shè)x1,x2, xn來自均值為，方差為2的正態(tài)總體， 、2均未知，則2的估計量為s2，且u利用2(n1)分布可以得到2的1置信區(qū)間為：u其中 分別

20、是2(n1)分布的 1/2分位數(shù)與/2分位數(shù)。) 1() 1(,) 1() 1(2222212nsnnsn) 1() 1(22221nn與) 1() 1(222nsn返回目錄SSMC中國人民大學六西格瑪質(zhì)量管理研究中心總體方差區(qū)間估計的案例u例414.對某種金屬材料的10個樣品所組成的一個隨機樣本作抗拉強度試驗。從試驗數(shù)據(jù)算出方差為4，試求2的95%置信區(qū)間。解：設(shè)該種金屬材料的抗拉強度遵從正態(tài)分布，則此時2的置信度為95%的置信區(qū)間為：即1.8925，13.3314，而標準差的95%的置信區(qū)間為：7004. 24) 110(,0228.194) 110(405. 095. 0110,) 1() 1(,) 1() 1(22222212snnsnnsn，式中。，即65. 338. 13314.13,8925. 1返回目錄SSMC中國人民大學六西格瑪質(zhì)量管理研究中心4.7 兩個正態(tài)總體方差比的區(qū)間估計u實際問題中，我們需要比較兩種測量工具的精度；比較兩個生產(chǎn)過程的穩(wěn)定性；比較兩個評委評分的變異性等等，這些都可轉(zhuǎn)化為兩個總體方差的比較。u可以證明：置信度為1-的 的區(qū)間估計為：注意：F分布的分位數(shù)F(n1,n2)=1/F1-(n2,n1)，查表時有用。 2221) 1, 1(1,) 1, 1(1212222121212221n