基本不等式的向量形式

1、2222基本不等式的向量形式思維擴展波利亞有句名言：“類比是偉大的引路人”這句話言簡意賅地闡 明了類比在數(shù)學發(fā)現(xiàn)中的地位我們知道， a2 b22ab(a， b R)以及ab ab(a，bR )是 2 兩個應用廣泛的基本不等式，一種有趣的想法是：這兩個不等式可以 類比到向量中去嗎？由(ab)2|ab|20 不難得到 a2b22a·b，當且僅當 ab時等號成立但將ab2 ab(a， b R ) 簡單地類比為ab2 a·b就不行了，由于該不等式左邊為向量，右邊為數(shù)量，故其無意義，因此我們 需要調(diào)整角度，看能否獲得有用的結果ab注意到 ab(a，bR ) 2 æab

2、46; ç ÷è ø2ab(a，bR )，而不等æabö 式ç ÷è ø2 a·b 左右兩邊都是數(shù)量，因而可以比較大小事實上，æabö由(ab)2(ab)24a·b|ab|24a·b4a·b 可得ç ÷2è øa·b，當且僅當 ab 時等號成立這樣，我們就得到如下兩個結論：定理 1設 a，b 是兩個向量，則 a2b22a·b，當且僅當 ab時等號成立定理 2æab&#

3、246;設 a，b 是兩個向量，則ç ÷è ø2a·b，當且僅當 ab2 4 4時等號成立例 1 若平面向量 a，b 滿足|2ab|3，則 a·b 的最小值是_答案 98解析方法一 由定理 1 得32|2ab|2(2ab)2(2a)2b24a·b2·(2a·b)4a·b8a·b，9所以 a·b ，當且僅當 b2a 時等號成立，89故 a·b 的最小值是 .8方法二由定理 2 得æ2abö |2ab|2 92a·(b)ç 

4、47;2 ，è ø9則 a·b ，當且僅當 b2a 時等號成立 89故 a·b 的最小值是 .8說明本題可推廣至一般形式：若平面向量 a，b 滿足：|ab|m2m(m>0)，則當>0 時，a·b 的最大值為 ；當<0 時，a·b 的最4m2小值為 .4例 2 已知 a，b 滿足|a|1，(ab)·(a2b)0，則|b|的最小值 為_ 分析此題有一定難度普通學生難以想到事實上，利用定理 1此題極易作答，過程如下222答案解析12引入正參數(shù)，由(ab)·(a2b)0 得 a2a·b2b20，

5、又|a|1，則 12b2 a·b，1æ 1 ö12b2a·b ça2 b2÷è ø1 1 ( b2)，2 當且僅當a21b2，即 b2 2時等號成立所以 1221æ 1 ö a·b ça2 b2÷è ø1æ 1 ö ç ·2÷è ø，1解得|b| ，21故|b|的最小值為 .2例 3 已知 a，b 是平面內(nèi)兩個互相垂直的單位向量，若向量 c 滿足 (ac)·(bc)0

6、，求|c|的最大值解 由(ac)·(bc)0 得 c2c·(ab)，由定理 1 及已知條件得1c2c·(ab) c2(ab)221 1 (c2a2b2) (c22)，2 2解得|c|22，故|c|的最大值是 2. ABBC ç÷21 4 2 |AC 2| |AC| 拓展 1 已知 a，b 是平面內(nèi)夾角為的兩個單位向量，若向量 c 滿足(ac)·(bc)0，則|c|的最大值是1cos.2拓展 2 已知 a，b 是平面內(nèi)兩個互相垂直的向量，且|a|m，|b|n，若向量 c 滿足(ac)·(bc)0，則|c|的最大值是 m2n2.

7、例 4 平面上三點 A，B，C 滿足AB·BC>0，求AC21的最小值 AB·BC解æ ö由定理 2 得 0<AB·BC 2ç ÷è ø AC24，則1 4AC2 AC2AB·BC AC2|AC|2 2·|AC|· 4， 故當且僅當ABBC，且|AC| 2時，AC21 取得最小值 4. AB·BC例 5設 a，b 滿足 a2a·bb23，求 a2a·bb2的取值范圍解 由定理 1 得 a·ba2b2 ，23a·b所以 a·b ，2解得 a·b1.又由定理 1 得(a)·ba22b2，所以 a·ba2b2 3a·b ，解得 a·b3. 2 2所以3a·b1.因為 a2a·bb2(3a·b)a·b32a·b，所以 1a2a·bb29.以上五道例題從