《新學案》2015年春高中數(shù)學蘇教版必修4名師導學教案：第三章 三角恒等變換(共8課時)

1、第3章三角恒等變換第1課時兩角和與差的余弦 教學過程一、 問題情境1在實數(shù)運算中,有公式a(b+c)=ab+ac;在向量運算中,有公式a·(b+c)=a·b+a·c;在三角運算中,有公式cos(-)=cos-cos嗎?如果沒有,式子一定不成立嗎?二、 數(shù)學建構問題1在直角坐標系xOy中,以Ox為始邊分別作角, (0),其終邊分別與單位圓交于P1, P2,則向量, 的夾角是多少?·的值是多少?2(圖1)由圖1可得向量, 的夾角是-,=(cos, sin), =(cos, sin).一方面,由向量數(shù)量積的定義,有·=|·|cos(-)=c

2、os(-).另一方面,由向量數(shù)量積的坐標表示,有·=coscos+sinsin.從而cos(-)=coscos+sinsin, 0.問題2如果, R,上述公式還成立嗎?3當-0, 時, -就是, 的夾角,所以cos(-)=coscos+sinsin.對于任意的, ,總可選適當?shù)恼麛?shù)k,使-2k-, ).記1=+2k,則1與的終邊相同,且-1-, ),從而|-1|, |-1|就是, 的夾角.因此cos(|-1|)=cos(-1)=cos(-2k)=cos(-)=coscos+sinsin.綜上,cos(-)=coscos+sinsin,這就是兩角差的余弦公式,記為C(-).問題3cos

3、(-)的展開式是什么?它與cos(-)展開式相等嗎?為什么?cos(-)=coscos+sinsin,它們展開式相等.因為余弦函數(shù)是偶函數(shù),所以cos(-)=cos(-).問題4能利用兩角差的余弦公式求cos(+)嗎?4在兩角差的余弦公式中,用-代替,就可以得到cos(+)=coscos-sinsin,這就是兩角和的余弦公式,記為C(+).思考“用-代替”的換元方法體現(xiàn)在圖形上有什么幾何意義?能直接利用向量的數(shù)量積推出兩角和的余弦公式嗎?用“-代替”的幾何意義就是作出角關于x軸的對稱圖形.(一) 公式理解 1. 結構特征:左邊是兩角差的余弦,右邊是同名積的和;左邊是兩角和的余弦,右邊是同名積的

4、差. 2. 公式中的, 可以是任意的角(或式子). 3. 當, 中有一個是90°的整數(shù)倍時,用誘導公式比較簡便.(二) 鞏固概念問題5(教材第104頁例1(1)請利用兩角和(差)的余弦公式證明cos=sin.5cos=coscos+sinsin=sin.三、 數(shù)學運用【例1】(教材第105頁例2)利用兩角和(差)的余弦公式,求cos75°, cos15°, sin15°, tan15°.6(見學生用書P61)處理建議引導學生將75°, 15°轉(zhuǎn)化為兩個特殊角的和或差,正弦需轉(zhuǎn)化為余弦.規(guī)范板書解(1) 方法1:cos75&#

5、176;=cos(45°+30°)=cos45°cos30°-sin45°sin30°=.方法2:cos75°=cos(120°-45°)=cos120°cos45°+sin120°sin45°=.(2) 方法1:cos15°=cos(45°-30°)=cos45°cos30°+sin45°sin30°=.方法2:cos15°=cos(60°-45°)=cos60&#

6、176;cos45°+sin60°sin45°=.(3) sin15°=cos(90°-75°)=cos75°=.(4) tan15°=2-.題后反思(1)兩角差(和)的余弦公式也適用于形式上不是差(和)角,但可以拆分成兩角差(和)的情形;(2)角的拆分可能有多種形式,要根據(jù)題目選擇適當?shù)牟鸱?變式化簡cos+cos.規(guī)范板書解原式=coscos-sinsin+coscos+sinsin=cos.【例2】不查表,求下列式子的值:(1) cos120°cos15°-sin120°sin1

7、5° (2) cos58°sin77°+sin122°sin13°.(見學生用書P62)處理建議本例是逆用兩角和(差)的余弦公式求值,要引導學生構造公式中的結構.規(guī)范板書解(1)原式=cos(120°+15°)=cos135°=-.(2) 原式=cos58°cos13°+sin58°sin13°=cos(58°-13°)=.變式不查表,求cos215°-sin215°的值.規(guī)范板書解cos215°-sin215°=c

8、os(15°+15°)=.題后反思 只有式子結構與公式結構完全相同時才能逆用公式,否則需對式子進行變形.【例3】(教材第105頁例3)已知sin=, , cos=-,求cos(+)的值.(見學生用書P62)處理建議由公式C(+)可知,欲求cos(+),應先計算cos,sin的值.cos, sin是通過sin2x+cos2x=1(x為任意角)來求解的,要注意“±”的選取.規(guī)范板書解因為, sin=,所以cos=-=-=-.又因為cos=-, ,所以sin=-=-=-,所以cos(+)=coscos-sinsin=-×-×=.題后反思思考:在例3中

9、,你能求出sin(+)的值嗎?*【例4】若, 為銳角,且滿足cos=, cos(+)=,求cos的值.處理建議先由學生自己分析解題思路,可能是“展開cos(+),與sin2+cos2=1聯(lián)立,解方程組”.再引導學生觀察發(fā)現(xiàn), +, 三個角之間的關系為=(+)-,用兩角差的余弦公式求解.最后由學生比較兩種方法的簡易度,讓學生體會拆角方法的簡捷和思路的合理性.規(guī)范板書解因為, 為銳角,所以0<<, 0<<, 0<+<.因為cos=, cos(+)=,所以sin=, sin(+)=,所以cos=cos(+)-=cos(+)cos+sin(+)sin=×+

10、×=.題后反思 在“給式求值”問題中,要注意用已知角來表示所求角.如本題已知角為+和,所求角是,則=(+)-.變式已知cos(2-)=-, sin(-2)=,且<<, 0<<,求cos(+)的值.處理建議引導學生尋找已知角與所求角之間的關系,即(2-)-(-2)=+.由, 的取值范圍,分別求出2-, -2的正弦值和余弦值,再利用公式即可求解.規(guī)范板書解 <<, 0<<, <2-<, -<-2<.由cos(2-)=-, sin(-2)=,得sin(2-)=, cos(-2)=, cos(+)=cos(2-)-(-2

11、)=cos(2-)·cos(-2)+sin(2-)·sin(-2)=×+×=.四、 課堂練習 1. 化簡:cos(30°+)-cos(30°-)=-sin. 2. 化簡:cos65°cos115°-cos25°sin115°=-1.提示原式=cos65°cos115°-sin65°sin115°=cos(65°+115°)=cos180°=-1. 3. 已知sin=, , cos=-,是第三象限角,則cos(-)=-.提示因為

12、, sin=,所以cos=-=-=-.又因為cos=-,是第三象限角,所以sin=-=-=-,所以cos(-)=coscos+sinsin=×+×=-. 4. 已知, cos=,則cos=.提示因為,所以-, 所以sin=-.因此,cos=cos=cos-sin=.五、 課堂小結 1. 運用向量數(shù)量積的定義及坐標運算公式推導兩角差的余弦公式,在兩角差的余弦公式上用賦值法得到兩角和的余弦公式. 2. 兩角和與差的余弦公式的結構特證. 3. 三角變換時,注意角與角的關系(用已知角表示所求角).第2課時兩角和與差的正弦(1) 教學過程一、 問題情境1如何求sin15°的

13、值?二、 數(shù)學建構問題1上節(jié)課中,我們是如何求sin15°的值?我們是將sin15°變換成cos75°,再利用兩角和的余弦公式來計算.而sin15°=sin(45°-30°),有沒有兩角和(差)的正弦公式?問題2能否用上述方法,將sin(+)轉(zhuǎn)化成某個角的余弦?sin(+)=cos.問題3上述中涉及三個角和的余弦,如何展開才能使結果只含有, 的正弦和余弦?cos=cos=coscos+sinsin=sincos+cossin,即sin(+)=sincos+cossin,這就是兩角和的正弦公式,記為S(+).問題4能得到兩角差的正弦公式

14、嗎?即sin(-)=.2 解法一在兩角和的正弦公式中,用-代替,就可以得到sin(-)=sincos-cossin,這就是兩角差的正弦公式,記為S(-).解法二sin(-)=cos-(-)=cos-+=cos-cos-sin-sin=sincos-cossin.問題5能用同角三角函數(shù)的關系,由C(±)推導出S(±)?這樣做有什么困難?用同角三角函數(shù)的關系推導時,會遇到符號確定的困難.問題6sin(-)的展開式是什么?它與sin(-)的展開式相同嗎?為什么?sin(-)=sincos-cossina,它與sin(-)的展開式互為相反數(shù).因為正弦函數(shù)是奇函數(shù),所以si

15、n(-)=-sin(-).公式理解 1. 結構特征:左邊是兩角和的正弦,右邊是異名積的和;左邊是兩角差的余弦,右邊是異名積的差. 2. 公式中的, 可以是任意的角(或式子). 3. 運用公式要注意角及函數(shù)的位置排列順序. 4. 當, 中有一個是90°的整數(shù)倍時,用誘導公式比較簡便.三、 數(shù)學運用【例1】已知sin=-, 是第四象限角,求sin的值.(見學生用書P63)處理建議由學生自己分析解題思路,教師引導學生注意cos的正負.規(guī)范板書解因為sin=-, 是第四象限角,所以cos=,所以sin-=sincos-cossin=×-×=.變式化簡:sin+sin.規(guī)范

16、板書解原式=sincos-cossin+=2sincos=cos.【例2】已知, sin=,求sin的值.(見學生用書P64)處理建議先由學生自己分析解題思路,可能是“展開sin,與sin2+cos2=1聯(lián)立,解方程組”.再引導學生觀察分析, +之間的關系,根據(jù)兩角差的正弦公式求解.規(guī)范板書解因為, 所以+, .又因為sin=,所以 cos+=,所以sin=sin+-=sin+cos-cos+sin=×-×=-.題后反思(1)三角變換中要注意角與角的關系,如=-, =+等等.(2)利用平方關系確定cos時,一定要注意+的范圍.變式已知, sin=,求sin的值.規(guī)范板書解因

17、為, 所以+.又因為sin(+)=,所以 cos+=±.(1) 當cos=-時, cos<cos,所以+>,即>(舍去).(2) 當cos=時,sin=sin=sincos-cossin=×-×=-.【例3】(教材第108頁例2)已知cos(+)=, cos=, , 均為銳角,求sin的值.(見學生用書P64)處理建議先由學生自己分析解題思路,可能是“展開cos(+),與sin2+cos2=1聯(lián)立,解方程組”.再引導學生思考:在學習兩角和差的余弦公式時,有類似的題目嗎?是如何解決的?(將看成是+與的差,即=(+)-,再用兩角差的正弦公式求解)規(guī)范

18、板書解因為, 均為銳角,所以+(0, ).又因為cos(+)=, cos=,所以sin(+)=, sin=,所以sin=sin=sin(+)cos-cos(+)sin=×-×=.題后反思 (1)在“給式求值”問題中,要注意用已知角來表示所求角.如本題已知角為+和,所求角是,則=(+)-.(2)在解三角函數(shù)問題時,常通過條件縮小角的范圍,避免討論.如將本題的范圍改為(0, ),則如何求解呢?(由cos=, (0, ),得)變式已知<<, 0<<, cos=, sin=,試求sin(+)的值.處理建議引導學生思考:(1) 本題中的已知角是什么?所求角是什

19、么?兩者間有什么關系?(已知角是+, -,所求角是+,兩者間的關系是-=+(+)(2) 已知角的和是+(+),不是+,如何求sin(+)?(先求cos)規(guī)范板書解因為<<, 0<<,所以-, +.又因為cos=, sin=,所以sin=-, cos=-.所以cos=cos+-=cos+cos-+sin+sin-=-×+×-=-.又因為cos=-sin(+),所以sin(+)=.*【例4】cos33°cos12°-cos57°cos78°=. 處理建議引導學生從公式結構出發(fā),構造與公式相同的結構,逆用公

20、式.規(guī)范板書解法一(用兩角和的余弦公式)原式=cos33°cos12°-sin33°sin12°=cos(33°+12°)=.解法二(用兩角差的正弦公式)原式=sin57°cos12°-cos57°sin12°=sin(57°-12°)=.題后反思逆用公式要注意公式的結構與條件結構是否相同.變式1(教材第109頁例3)求函數(shù)y=sinx+cosx的最大值.處理建議引導學生思考:(1) 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)分別在何時取最大值?(正弦函數(shù)當x=2k+,kZ時取最大值,余弦函數(shù)當x=

21、2k,kZ時取最大值)(2) 題中函數(shù)的最值是在x=2k+,kZ,或x=2k,kZ時取得嗎?(3) 本題如何求最大值?規(guī)范板書解y=sinxcos+cosxsin=sin.當x+=2k+,kZ,即x=+2k,kZ時,函數(shù)y取得最大值1.題后反思本題還有其他解法嗎?(y=sinxsin+cosxcos=cos.當x-=2k,kZ,即x=+2k,kZ時,函數(shù)y取得最大值1)變式2(教材第112頁習題3.1(2)第5(3)題)求函數(shù)y=sinx+cosx的最大值.處理建議引導學生發(fā)現(xiàn)變式1與變式2之間的關系.規(guī)范板書解y=2sinx+cosx=2sinxsin+cosxcos=2cosx-.當x-=

22、2k,kZ,即x=+2k,kZ時,函數(shù)y取得最大值2.題后反思解題過程中提出的系數(shù)2與原系數(shù)1, 有何關系?(2=)四、 課堂練習 1. 計算:sin69°cos99°-cos69°sin99°=-. 2. 在ABC中, A=, cosB=,則sinC=.提示 A=, cosA=sinA=.又cosB=,B(0, ), sinB=, sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=. 3. 函數(shù)y=sinx-cosx的最小值是-2.提示y=2=2sinx-.當x-=2k-,kZ,即x=2k-,kZ時,函數(shù)y取得最小值-2. 4. 已知co

23、s=, cos(+)=,且, 都為銳角,求sin的值.解由已知條件可得sin=, sin(+)=,所以sin=sin=sin(+)cos-cos(+)sin=×-×=.五、 課堂小結 1. 運用兩角和與差的余弦公式及三角函數(shù)的誘導公式來推導兩角和與差的正弦公式. 2. 兩角和與差的正弦公式的結構特征. 3. 三角變換時,注意角與角的關系(用已知角表示所求角).第3課時兩角和與差的正弦(2) 教學過程一、 問題情境化簡:sin+cos.二、 數(shù)學建構活動解決問題情境中的問題.解原式=sin2xcos-cos2xsin+cos2xcos-sin2xsin=sin2x-cos2x

24、+cos2x-sin2x=0.問題1在“兩角和與差的余弦”這一課中,我們曾發(fā)現(xiàn)在求解三角函數(shù)問題時,如果能注意到角與角的關系,可以減少運算量,那么這道題中涉及哪些角,它們有什么關系?從局部看,本題涉及2x, , ,它們沒有明顯關系.從整體來看,本題涉及2x-, 2x+,它們的關系為-=.問題2能否根據(jù)上述回答想到其他解決思路?原式=sin2x-+cos+2x-=sin2x-sin2x-=0.總結在求解三角函數(shù)問題時,要注意角與角之間的關系.三、 數(shù)學運用【例1】求的值.(見學生用書P65)處理建議引導學生尋找題中角的關系,將50°看成60°-10°,從而減少非特殊

25、角的個數(shù)(消元的思想).規(guī)范板書解原式=.題后反思(1) 通過尋找角與角間的關系,減少非特殊角的個數(shù),這是三角變換的重要思路之一.(2) 思考:為什么不將10°改寫成60°50°?【例2】已知sin(2+)+2sin=0, cos(+)cos0,求證:tan=3tan(+).(見學生用書P65)處理建議引導學生觀察條件中的角與結論中的角之間的關系.規(guī)范板書證明sin(2+)+2sin=sin+2sin=sin(+)cos+cos(+)sin+2sin(+)cos-cos(+)sin=3sin(+)cos-cos(+)sin=0.又因為cos(+)cos0,所以=,

26、即tan=3tan(+).【例3】(教材第110頁例6)已知sin(+)=, sin(-)=-,求的值.(見學生用書P66)處理建議引導學生思考:(1) 條件是關于角的正弦,結論是關于角的正切,這種既含有正弦、余弦,又含有正切的問題,我們一般先做什么?(化切為弦,即求)(2) 要求,就要求sincos, cossin,條件中有嗎?(只需將sin(+), sin(-)展開即可)規(guī)范板書解由已知條件得所以從而=×=.題后反思(1)三角變換要會“執(zhí)果索因”,如本例及例1中將所求角表示成已知角.(2)本例的解法體現(xiàn)了方程思想.(3)思考:從本例的解題過程可以看出,只要知道sin(+), si

27、n(-)的值,就可以求出sincos, cossin.據(jù)此你能用+, -的正弦與余弦表示sincos, cossin, coscos, sinsin嗎?【例4】化簡:sin(+)cos-sin(2+)-sin.(見學生用書P66)處理建議引導學生觀察2+, , +, 四個角之間的關系,即2+=(+)+, =(+)-,從而可將原三角函數(shù)式化為關于角+和的三角函數(shù)式,再做適當整合、化簡.規(guī)范板書解原式=sin(+)cos-=sin(+)cos-·2cos(+)sin=sin(+)cos-cos(+)sin=sin=sin.題后反思(1)正確逆用兩角和與差的正、余弦公式,是化簡三角函數(shù)式的

28、基本途徑.(2)化簡三角函數(shù)式要從分析角的關系入手,即找題中角與角的關系,這是化簡三角函數(shù)式的一個切入點.四、 課堂練習 1. 求的值.解原式=. 2. 證明:=tan(+).證明左邊=tan(+)=右邊.五、 課堂小結 1. 三角變換時,要注意角與角的關系,會“執(zhí)果索因”. 2. 靈活運用兩角和(差)公式進行簡單的三角函數(shù)式的化簡、求值和證明.第4課時兩角和與差的正切(1) 教學過程一、 問題情境回顧“兩角和與差的余弦”例1中求tan15°的過程,我們是先分別求出sin15°, cos15°,再由同角三角函數(shù)關系求出tan15°,那么能否由tan45&

29、#176;和tan30°直接求出tan15°呢?1二、 數(shù)學建構問題1對于一般的角, ,當, , +的正切值存在時,能由tan, tan直接表示tan(+)嗎?tan(+)=.問題2上述公式對于任意角, 都成立嗎?當, , +均不等于k+,kZ時,式子才成立,這就是兩角和的正切公式,記為T(+).問題3如何由tan, tan直接表示tan(-)?解法一tan(-)=.解法二用-代換,就可以得到tan(-)=.公式理解 1. 結構特征:公式右邊分子上的符號與左邊的符號一致,而分母的符號與分子的符號相反;分子是兩角正切值的和與差,分母含有兩角正切值的積. 2. 公式中的, ,

30、+, -的正切值都存在時,公式才能成立.三、 數(shù)學運用【例1】(1) 已知tan=, tan=,則tan(+)=; (2) (根據(jù)教材第115頁練習第1(1)題改編)已知tan=3,則tan=.(見學生用書P67) 答案(1) 1;(2) -.處理建議本題是公式的直接運用,可讓學生自己求解.變式1已知, 均為銳角,且tan=, tan=,則+=. 處理建議引導學生思考:(1) 要求角的大小,先要求什么?(角的某個三角函數(shù)值和角的范圍)(2) 本題中用哪個三角函數(shù)?為什么?(本題中用正切.一是因為題中涉及角的正切;二是因為+(0, ),且在此范圍內(nèi)一個正切值對應一個

31、角)規(guī)范板書解tan(+)=1.又因為, 均為銳角,所以+(0, ),所以+=.題后反思求角的大小,先求角的某一三角函數(shù)值和角的范圍.變式2(教材第115頁例3)如圖,三個相同的正方形相接,求證:+=.(變式2)處理建議引導學生選擇適當?shù)娜呛瘮?shù)求解.規(guī)范板書解法一由題可知tan=, tan=,所以tan(+)=1.又因為, 均為銳角,所以+(0, ),所以+=.解法二由題可知cos=, sin=, cos=, sin=,所以cos(+)=coscos-sinsin=×-×=.又因為, 均為銳角,所以+(0, ),所以+=.【例2】已知=4+,求tan的值.(見學生用書P6

32、8)處理建議先由學生自己分析解題思路,可能會有兩種:一是由已知求出tan的值,然后由兩角差的正切公式求出tan;二是由=tan直接得到答案.引導學生觀察條件和結論之間的關系,學會用整體思想去分析問題.規(guī)范板書解法一由=4+,解出tan=-,所以tan=4+.解法二tan=4+.變式1求值:.規(guī)范板書解原式=tan(45°-15°)=.變式2求值:.規(guī)范板書解原式=tan(60°-15°)=1.【例3】已知tan與tan是方程x2-3x-3=0的兩個根,求tan(+)的值.(見學生用書P68)處理建議本題可以先直接求出tan, tan,然后利用公式求tan

33、(+);也可以用韋達定理先求tan+tan, tantan,然后利用公式求tan(+).再讓學生比較這兩種方法的繁易程度.規(guī)范板書解法一因為方程x2-3x-3=0的兩個根為,所以tan+tan=3, tantan=-3,所以tan(+)=.解法二由題可知=(-3)2-4×(-3)=12>0,所以tan+tan=3, tantan=-3,所以tan(+)=.變式已知tan與tan是方程x2-3x-3=0的兩個根,求sin2(+)-3sin(+)cos(+)-3cos2(+)的值.規(guī)范板書解由題可知=(-3)2-4×(-3)=12>0,所以tan+tan=3, ta

34、ntan=-3,所以tan(+)=.故sin2(+)-3sin(+)cos(+)-3cos2(+)=-3.(例4)*【例4】如圖,在平面直角坐標系xOy中,以Ox軸為始邊作兩個銳角, ,它們的終邊分別與單位圓相交于A, B兩點,已知A, B的橫坐標分別為, .(1) 求tan(+)的值;(2) 求+2的值.處理建議引導學生根據(jù)三角函數(shù)的定義,求出tan, tan,從而求出tan(+)和tan(+2),并通過+2的范圍確定+2的大小.規(guī)范板書解由題意知cos=, cos=,又, 為銳角,sin=, sin=.因此tan=7, tan=.(1) tan(+)=-3.(2) tan(+2)=tan=

35、-1. , 為銳角, 0<+2<, +2=.(變式)變式如圖, A, B是單位圓O上的點,且A點坐標為, B在第二象限, C是圓O與x軸正半軸的交點,AOB為正三角形,求tanBOC的值.規(guī)范板書解由題可知tanAOC=, tanBOC=tan(AOC+60°)=-.四、 課堂練習 1. 已知tan=-2, tan=5,則tan(-)=. 2. 計算:=-.提示原式=tan(45°+75°)=-. 3. 已知為銳角, cos=,則tan=-3.提示由cos=, 為銳角,得sin=,則tan=2,所以tan=-3. 4. 已知0<<, 0&l

36、t;<,且tan, tan是方程3x2+4x-1=0的兩根,求+的值.解因為方程3x2+4x-1=0的兩根為,所以tan+tan=-, tan·tan=-,則tan(+)=-1.又0<<, 0<<,所以+(0, ), 故+=.五、 課堂小結 1. 運用兩角和與差的正弦、余弦公式推導兩角和與差的正切公式. 2. 兩角和與差的正切公式的結構特征和角的限制. 3. 求角的步驟:先求出某個三角函數(shù)值,再根據(jù)角的范圍求解.第5課時兩角和與差的正切(2) 教學過程一、 問題情境已知tan=2,則tan=. 二、 數(shù)學建構活動解決問題情境中的問題.解tan=

37、2,解得tan=.問題1本題條件中的角與結論中的角分別是什么?條件中的角是+,結論中的角是.問題2在即時體驗2中,我們是如何求cos的?先用條件中的角表示結論中的角,即=-,再用兩角差的余弦公式求解.問題3本題還有其他解法嗎?tan=tan+-=.三、 數(shù)學運用【例1】已知tan=2, tan=3,求tan(+)的值.(見學生用書P69)處理建議先由學生自己分析解題思路,可能的思路有兩個:一是由tan=2求出tan,由tan=3求出tan,然后再求tan(+);二是由-=+,先求出tan,而后再求tan(+).再引導學生比較兩種方法的繁簡程度.規(guī)范板書解 tan+=tan+-=, tan(+)

38、=tan=.題后反思在三角函數(shù)“給式求值”問題中,要注意已知角與所求角之間的關系.【例2】證明:tanx-tan=.(見學生用書P69)處理建議用問題:“本題中涉及幾個角?它們有什么關系?”引導學生尋找角與角之間的關系.規(guī)范板書證明右邊=tan-tan=左邊.變式已知sin(2+)=5sin,求證:3tan=2tan(+).規(guī)范板書證明由題可知sin(+)+=5sin,則sin(+)cos+cos(+)sin=5,化簡得4sin(+)cos=6cos(+)sin,兩邊同除以cos cos(+)得3tan=2tan(+).【例3】求tan23°+tan37°+tan23

39、76;tan37°的值.(見學生用書P70)處理建議引導學生由式中含有兩角正切值的和與積,聯(lián)想到兩角和差的正切公式.規(guī)范板書解原式=tan(23°+37°)(1-tan23°tan37°)+tan23°tan37°=.題后反思 當題中出現(xiàn)兩角正切值的和(差)與積時,要聯(lián)想到兩角和(差)的正切公式的變形:tan+tan=tan(+)(1-tantan), tan-tan=tan(-)(1+tantan).變式(教材第116頁例4)在斜三角形ABC中,求證:tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC.處理建議引導學生

40、分析式子的結構,發(fā)現(xiàn)式子中含正切值的和與積.規(guī)范板書證明在斜三角形ABC中,有A+B+C=,即A+B=-C,且A, B, A+B,所以左邊=tan(A+B)(1-tanAtanB)+tanC=tan(-C)(1-tanAtanB)+tanC=tanAtanBtanC=右邊.題后反思一般地,當角A, B, C滿足什么條件時,能使等式tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC成立?(一般地,當A+B+C=k, kZ時,此結論成立)【例4】(教材第116頁例5)如圖(1),兩座建筑物AB, CD的高度分別為9m和15m,從建筑物 AB的頂部A看建筑物 CD的張角CAD=45°,

41、求建筑物AB與CD的底部之間的距離BD.(見學生用書P70)(例4(1)(例4(2)處理建議引導學生通過作 CD的垂線 AE,將中涉及到的量轉(zhuǎn)移到兩個直角三角形中.規(guī)范板書解如圖(2),作AECD于E.因為ABCD, AB=9, CD=15,所以DE=9, EC=6.設AE=x, CAE=.因為CAD=45°,所以DAE=45°-.在RtAEC和RtAED中,有tan=,tan(45°-)=.因為tan(45°-)=,所以=,解得x=18, x=-3(舍去).答:建筑物 AB與 CD的底部之間的距離 BD為18m.四、 課堂練習 1. 已知tan(-)=

42、, tan=, 則tan=.提示tan+=tan(-)+=. 2. 計算:=.提示原式=.(第3題) 3. 如圖,在矩形ABCD中,AB=a, BC=2a,在BC上取一點P,使得AB+BP=PD,求tanAPD的值.解由AB+BP=PD,得a+BP=,解得BP=a,故CP=a.設APB=, DPC=,則tan=, tan=,所以tan(+)=-18,所以tanAPD=tan(-)=-tan(+)=18.五、 課堂小結 1. 三角變換時,要注意角與角的關系,學會“執(zhí)果索因”. 2. 當條件中出現(xiàn)兩角正切值的和(差)時,會用兩角和(差)的正切公式的變形解題.第6課時二倍角的三角函數(shù)(1) 教學過程

43、一、 問題情境問題我們已經(jīng)知道函數(shù)y=sin2x與y=sinx的圖象關系,也知道+的正弦、余弦和正切可用, 的正弦、余弦和正切來表示,那么角的三角函數(shù)和角2的三角函數(shù)之間有怎樣的數(shù)量關系?1在S(+), C(+), T(+)公式中,令=,就可以得到結果:sin2=2sincos(S2);cos2=cos2-sin2(C2);tan2=(T2).二、 數(shù)學建構問題1二倍角公式中,角有限制嗎?二倍角的正弦、余弦公式中的角是任意角,但二倍角的正切公式中,2+k, +k,kZ.問題2二倍角的余弦公式中,同時出現(xiàn)了sin2, cos2,能否只保留一個?能.cos2=2cos2-1, cos2=1-2si

44、n2.三、 數(shù)學運用【例1】(教材第119頁例1)已知sin=, ,求sin2, cos2, tan2的值.2(見學生用書P71)處理建議引導學生先求出cos的值,然后正確運用二倍角公式計算.規(guī)范板書解因為sin=, ,所以cos=-.于是,sin2=2sincos=2××=-,cos2=1-2sin2=1-2×=-,tan2=×=.題后反思 (1)還有其他方法求tan2嗎?(tan=-, tan2=)(2)已知sin,求cos2時,用公式cos2=1-2sin2可以避免討論.若用sin22+cos22=1求解,則cos2=±.哪種是錯誤答案,

45、如何修正?(cos2=±是錯的.因為sin=, ,所以, 2,所以cos2=-)(3)已知角的某個三角函數(shù)值及范圍,可以縮小角的范圍.變式(教材第120頁練習第2題)已知sin=0.8, ,求sin2, cos2的值.規(guī)范板書解因為sin=0.8, ,所以cos=0.6, 所以sin2=2sincos=0.96, cos2=1-2sin2=-0.28.【例2】化簡:(1) coscos;(2) cos4-sin4;(3) .(見學生用書P71)處理建議引導學生從公式的結構出發(fā),構造與公式相同的結構,逆用公式.規(guī)范板書解(1)原式=cossin=sin=.(2) 原式=cos2-sin

46、2cos2+sin2=cos2-sin2=cos.(3) 原式=·=tan45°=.題后反思 (1)公式變形:sincos=sin2;(2)倍角公式中的倍角是相對的,如4是2的倍角,是的倍角等.變式(1) 計算:-=4;(2) (教材第122頁練習第1(5)題)化簡:-=tan2.規(guī)范板書解(1)原式=4.(2) 原式=tan2.【例3】(根據(jù)教材第120頁例2改編)求證:= .(見學生用書P72)處理建議引導學生思考:(1) 式子左右兩邊有什么差異?(從角的差異來看,左邊角是右邊角的二倍;從名稱的差異來看,題中涉及正弦、余弦和正切)(2) 三角變換時,從哪個差異入手比較簡

47、單?(從角的差異入手)規(guī)范板書證明左邊=tan2=右邊. 原式得證.題后反思 (1)三角變換時,首先要找到角與角之間的關系,如倍角關系、 =(+)-等.(2)當題中出現(xiàn)1+cos, 1-cos時,要想到用倍角公式消1.變式若270°<<360°,則=-cos.處理建議引導學生對結構“1+cos2”進行變形,同時要注意開方后“±”的選取.規(guī)范板書解因為270°<<360°,所以135°<<180°, cos>0, cos<0.原式=-cos.四、 課堂練習 1. 計算:(1) (

48、sin15°+cos15°)2=.(2) sin22°30'cos22°30'=.(3) -=.(4) sin2-cos2=-. 2. 求證:=tan(+x).證明=tan.五、 課堂小結 1. 運用兩角和的正弦、余弦、正切公式推導出二倍角公式. 2. 注意二倍角正切公式中角的限制. 3. 三角變換技巧:變名;變角;變結構.第7課時二倍角的三角函數(shù)(2) 教學過程一、 數(shù)學運用【例1】已知sin+cos=,求sin·cos, sin2, cos2, sin, cos的值.(見學生用書P73)處理建議先由學生自己分析解題思路,可能

49、是“聯(lián)立方程sin+cos=與sin2+cos2=1求解”.再引導學生思考:(1)能否不通過sin, cos,直接求出sin cos,sin2, cos2?(2) 結論中的sin cos在條件中并沒有出現(xiàn),如何才能出現(xiàn)?(只需將sin+cos=平方即可)規(guī)范板書解法一由sin+cos=,得sin=-cos,將其代入恒等式sin2+cos2=1,得+cos2=1,化簡得50cos2-10cos-24=0,解得cos=-或cos=.又因為,所以cos=-,則sin=-cos=,于是sin·cos=-, sin2=-, cos2=1-2sin2=1-2×=-.綜上所述, sin&

50、#183;cos=-, sin2=-, cos2=-, sin=, cos=-.解法二由題意知(sin+cos)2=1+2sincos=,所以sincos=-, sin2=-.又因為,所以2, 故cos2=-.(cos-sin)2=1-2sincos=,又因為,所以cos-sin=-,與sin+cos=聯(lián)立,解得sin=, cos=-.綜上所述, sin·cos=-, sin2=-, cos2=-, sin=, cos=-.題后反思(1)三角變換時要會“執(zhí)果索因”,即用已知條件構造結果中的結構.(2)sin+cos, sin·cos, sin-cos三者之間可以互相轉(zhuǎn)化.變

51、式將例1中 “”改為“(0, )”.處理建議在解題過程中,引導學生根據(jù)結果適當縮小角的范圍.規(guī)范板書解法一 由sin+cos=,得sin=-cos,將其代入恒等式sin2+cos2=1,得+cos2=1,化簡得50cos2-10cos-24=0,解得cos=-或cos=,代入sin=-cos,所以或又因為(0, ),所以以下同例1的解法一.解法二由題可知(sin+cos)2=1+2sincos=,所以sincos=-, sin2=-.又因為(0, ),所以.又因為sin+cos=>0,所以,即2, 故cos2=-.以下同例1題的解法二.題后反思 三角函數(shù)問題常需根據(jù)條件縮小角的范圍,以避

52、免討論.【例2】已知sin=,0<<,求cos2, cos的值.(見學生用書P73)處理建議引導學生尋找條件中的角與結論中角的關系.關系有兩種:一是將條件中的-轉(zhuǎn)化成求解;二是條件中角的兩倍與結論中的2的和是,即2+2=.規(guī)范板書解法一因為0<<,所以-.又因為sin=,所以cos=,所以sin=sin-=cos-sin-=, cos=.于是,cos2=1-2sin2=, cos=(cos-sin)=.解法二因為0<<,所以-.又因為sin=,所以cos-=,所以sin-2=2sin-cos-=2××=,即cos2=,cos+=cos-=

53、sin-=.題后反思三角變換時,要注意題中角與角的關系:如是否可以用一(兩)個角表示其他角;±, ±2是否特殊角等.變式設sin=,則sin2=-.處理建議引導學生思考:題中的角+與結論中的角2之間有什么關系?2+-2=規(guī)范板書解cos=cos2+=1-2sin2+=,所以sin2=-cos=-.【例3】(教材第121頁例3)化簡:sin2-+sin2+-sin2.(見學生用書P74)處理建議引導學生分析式中角的關系與結構特征.規(guī)范板書解法一原式=+-sin2=sin2+cos2-sin2=.解法二由倍角公式cos2=1-2sin2,得sin2=,于是,原式=+-=-=-=

54、.題后反思(1)二倍角余弦公式的變形(降冪公式):sin2=, cos2=.(2) 三角變換也可從“變結構”入手,常見的結構有1+cos, 1-cos等.變式求證:cos8-sin8=cos2(1-sin22).處理建議引導學生思考:(1)式子的左右兩邊有什么差異?(結構上的差異:三角函數(shù)的次方不同;角上的差異:角與角2有倍角關系)(2)本題從什么差異入手比較簡單?(從結構入手,將左邊的次數(shù)降低)規(guī)范板書證明左邊=(cos4-sin4)(cos4+sin4)=(cos2-sin2)(cos2+sin2)(cos4+sin4)=cos2·(cos2+sin2)2-2sin2cos2=cos2·