三階幻方的講解

1、三階幻方的講解在3X 3 （三行三列）的正方形方格中，既不重復又不遺漏地填上19這9個連續(xù)的自然數(shù)，使每行、每列、每條對角線上的三個自然數(shù)的和均相等，通常 這樣的圖形叫做三階幻方。如果是在 4X 4（四行四列）的方格中進行填數(shù)，就要不重不漏地在 4X 4方 格中填上 16 個連續(xù)的自然數(shù)，并且使方格的每行、每列及每條對角線上的四個 自然數(shù)之和均相等，這樣填出的圖形就叫做四階幻方。幻方實際上就是一種填數(shù)游戲，它不僅限于三階、四階，還有五階，六 階， ，直到任意階。一般地，在 nX n（n 行 n 列）的方格里，既不重復也不遺漏地填上 nXn 個 連續(xù)的自然數(shù)（注意，這 nXn 個連續(xù)自然數(shù)不一定

2、非要從 1 開始），每個數(shù)占 1 格，并使排在每一行、每一列以及每條對角線上的 n 個自然數(shù)的和都相等，我 們把這個相等的和叫做幻和，n叫做階，這樣排成的數(shù)的圖形叫做 n階幻方。這里我們主要學習三階幻方。例1 用 19這九個數(shù)編排一個三階幻方分析與解先求幻和再添數(shù)！雪帆提示：先求總和，看看有幾個幻和，常把中間數(shù)填入中間先用a，b, c,，i分別填入圖1的九個空格內(nèi)，以代表應(yīng)填的數(shù)，如圖 2。（1）審題首先我們應(yīng)知道幻和是多少才好進行填數(shù)。同時我們可以看到圖2 中 e 是一個很關(guān)鍵的數(shù)，因為它分別要與第二行、第二列以及兩條對角線上的 另外兩個數(shù)進行求和運算，結(jié)果都等于幻和；其次是三階幻方中四個角

3、上的數(shù)： a， c， g， i ，它們各自都要參加一行、一列及一條對角線的求和運算。如果 e 以及四個角上的數(shù)被確定之后，其他的數(shù)字便可以根據(jù)幻和是多少填寫出來了。（ 2）求幻和幻和=（1+2+3+ 4+ 5+6+ 7+ 8+ 9）十 3=15(3) 選擇解題突破口突破口顯然是e,在圖2中，因為 ae+i=beh=ceg=def=15 ，所以(a+ e+ i) + (b+e+h) + ( c + e+g) + ( d+e+ f)=15+151515=60，也就是：(a+ b+c+d+ e+f+g + h + i ) + 3x e=60。因為 a+b+c+d+e+f+ g+ h+i=45，所以

4、45+3X e=60所以 3Xe=60-45e=5也就是說，圖1中的中心方格中應(yīng)填5,請注意，這個數(shù)正好是19這九 個數(shù)中正中間的數(shù)。(4) 四個角上的數(shù) a， c， g， i 的特點先從a開始討論：a是奇數(shù)還是偶數(shù)。如果a為奇數(shù)，因為a+ i=10，所以i也是奇數(shù)。因為a+ d + g=15,所以d 與g同是奇數(shù)或同是偶數(shù)。分兩種情況： 當 d、g 都是奇數(shù)時，因為 d+ e+ f=15 ， g+ h+ i=15 ，其中 e， i 都是奇 數(shù)，所以 f ， h 也只能是奇數(shù)。這樣在圖 1 中應(yīng)填的數(shù)有 a， d， e， f， g， h， i 這七個奇數(shù)，而19這九個數(shù)中只有五個奇數(shù)，矛盾。說

5、明d，g不可能為奇數(shù)。 當d，g為偶數(shù)時，因為d + f=10，g+ h+ i=15，c + g=10,因為i為奇數(shù)， 所以f，h，c只能是偶數(shù)，這樣就有c，d，f，g，h五個偶數(shù)，而19這九個 數(shù)中只有四個偶數(shù)，矛盾。說明d，g都是偶數(shù)也不行。所以 a 不能是奇數(shù)，那么只能是偶數(shù)，于是由 a+i=10 知， i 也是偶數(shù)。用同樣的方法可以得到c，g也只能是偶數(shù)。也就是說，圖1中四個角上的 數(shù)都應(yīng)填偶數(shù)。（5）試驗填數(shù)排出幻方因為 e=5，a，c，g，i 是偶數(shù)，所以 a 的范圍有 2， 4， 6，8 四個數(shù)，根據(jù) 幻和等于 15 進行試驗：當 a=2 時，i=8 , c 可填 4, 6。若

6、c=4,則有 g=6, b=9, d=7, f=3 , h=1 ;若 c=6，則有g(shù)=4, b=7, d=9, f=1 , h=3,這樣填出兩個三階幻方。當 a=4，6， 8 時，請同學們自己用上面的方法進行試驗填數(shù)，作為練習。用19這九個數(shù)編排的三階幻方有八個，如圖3所示。說明：在上面圖形中給出的用19這九個數(shù)編排的八個三階幻方中的任何 一個，都可以對它上面的數(shù)字進行適當?shù)膶φ{(diào)與旋轉(zhuǎn)，從而得到其余七個圖形。 因此，我們把這八個圖形給出的八個幻方算作是同一種三階幻方。例2如下圖的3X 3的陣列中填入了 19的自然數(shù)，構(gòu)成了大家熟知的三階幻 方。現(xiàn)在另有一個3X3的陣列，請選擇九個不同的自然數(shù)填

7、入九個方格中，使 得其中最大者為 20，最小者大于 5，且每一橫行、 每一豎行及每條對角線上三個 數(shù)的和都相等。分析與解 所給的三階幻方中填入的是 19 這九個不同的自然數(shù)， 其中最大的為 9，最小的為 1，要使新編制的幻方中最大數(shù)為 20，而 911=20，因此，如果在 所給幻方中各數(shù)都增加 11，就能構(gòu)成一個新幻方，并且滿足最大數(shù)為 20，最小 數(shù)大于 5。例 3 請編出一個三階幻方，使其幻和為 24。分析與解 根據(jù)題意，要使三階幻方的幻和為 24,所以中心數(shù)必為24十3=8。那 么與 8 在一條直線上的各個組的其余兩個數(shù)的和為 16。1+15=16 2+14=16 3+13=16 4+1

8、2=16 5+11=16 6+10=16 7+9=16按上述條件填出并調(diào)整可得到一個三階幻方，其幻和為24（如圖 7）例4在圖8中的A, B, C, D處填上適當?shù)臄?shù)，使其成為一個三階幻方。分析與解 從第一行和對角線可得，A7D=A1067D=16D=9這樣幻和 =9156=30從第一行中可求出A=30-（79）=14；從第二行中可求出 B=30-（1015）=5；從第三行中可求出 C=30-（11+6）=13。例5在3X 3的陣列中，第一行第三列的位置上填 5,第二行第一列的位置上填6,如圖 9。請你在其他方格中填上適當?shù)臄?shù),使方陣橫、縱、斜三個方向的三 個數(shù)之和均為 36。分析與解 為了敘

9、述方便,我們將其余格內(nèi)的數(shù)用字母表示,如圖 10。因為幻和為 36,所以可求出中心數(shù)為：36 - 3=12,即 C=12從第二行中可求出 D=36- （6+ 12）= 18;從對角線中可求出 E= 36- （5+ 12） =19;從第一列中可求出 A=36-（619） =11；從第一行中可求出B=36- (11 + 5) =20;從第二列中可求出F=36- (20+12)= 4;從第三列中可求出G=36- (5+ 18) =13。得到的三階幻方如圖11從上面的例題我們不難看出：要填出一個三階幻方，中心數(shù)起著至關(guān)重要的作 用。利用幻和=中心數(shù)x 3這個關(guān)系式，在已知幻和的情況下，可先求出中心數(shù)； 在已知中心數(shù)的情況下，可求出幻和，以便其他數(shù)的求出。三階幻方，幻和為15是最簡單的幻方 由123,4,5,6,7,8,9九個數(shù)字組成的一個 三行三列的 矩陣其對角線橫行縱向的數(shù)字的和都為為15想：1+9=10，2+8=10，3+7=10，4+6=10。這每對數(shù)的和再加上 5都等于15,可確定中心格應(yīng)填5,這四組數(shù)應(yīng)分別填在橫、豎和對角線的位置上。先填四個角，若填兩對奇數(shù)，那么因三個奇數(shù)的和才可能得奇數(shù)，四邊上的格里已不可再填奇數(shù)，不行。若四個角分別填一對偶數(shù)，一對奇數(shù)，也行不通。因此，判定四個角上必須填兩對偶數(shù)。對角線上的數(shù)填好