2019高考數(shù)學(xué)理科全國卷III真題試卷及答案解析

1、絕密啟用前2019 年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)（全國卷III ）注意事項(xiàng)：1答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名和準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12 小題，每小題5 分，共 60 分。在每小題給的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。21已知集合A 1,0,1,2， B xx2 1，則 AI BA1,0,1B0,1C1,1D0,1,22若z（1 i） 2i ，則 z=A

2、1 iB1+iC 1 iD1+i3西游記三國演義水滸傳和紅樓夢是中國古典文學(xué)瑰寶，并稱為中國古典小說四大名著. 某中學(xué)為了解本校學(xué)生閱讀四大名著的情況，隨機(jī)調(diào)查了100 學(xué)生， 其中閱讀過西游記或紅樓夢的學(xué)生共有90 位，閱讀過紅樓夢的學(xué)生共有80 位，閱讀過西游記且閱讀過紅樓夢的學(xué)生共有60 位，則該校閱讀過西游記的學(xué)生人數(shù)與該校學(xué)生總數(shù)比值的估計(jì)值為A 0.5B 0.6C 0.7D 0.84（1+2x2 ）（1+x） 4的展開式中x3的系數(shù)為A 12B 16C 20D 245已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列an的前4項(xiàng)為和為15，且a5=3a3+4a1，則a3=A16B8C4D26已知曲線y a

3、ex xln x在點(diǎn)（1， ae）處的切線方程為y=2x+b，則Aa e，b 1 Ba=e，b=1 Cae 1，b 1 Dae 1 ， b 12x37函數(shù)y 2x 在 6,6 的圖象大致為2x 2 x8如圖，點(diǎn)N 為正方形ABCD的中心，ECD為正三角形，平面ECD平面ABCD， M是線段ED的中點(diǎn)，則A BM=EN，且直線BM、 EN 是相交直線B BM EN，且直線BM， EN 是相交直線C BM=EN，且直線BM、 EN 是異面直線D BM EN，且直線BM， EN 是異面直線9執(zhí)行下邊的程序框圖，如果輸入的為 0.01 ，則輸出s的值等于A. 2142B. 2 215C. 2 216D

4、. 2127210 雙曲線C： x42y =1 的右焦點(diǎn)為F， 點(diǎn) P在 C的一條漸進(jìn)線上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若 PO = PF則PFO的面積為A324B32C 2 2D 3 211設(shè) f x 是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，且在0,單調(diào)遞減，則A f （ log 3 1 ） f4322 2 ） f （ 2 3 ）23Bf （ log 31 ） f （ 2 3） f （ 2 2 ）42232C f （ 2 2 ） f （ 2 3 ） f （ log 3 1 ）224D f22 3 ） f32 2 ） flog 3 1 ）412設(shè)函數(shù)f x =sin （ x ） （ > 0），已知 f x 在 0,2

5、有且僅有5 個(gè)零點(diǎn)，下述四個(gè)5結(jié)論： fx在（0,2）有且僅有3個(gè)極大值點(diǎn) fx在（0,2）有且僅有2個(gè)極小值點(diǎn) fx在（0,）單調(diào)遞增1012 29 的取值范圍是 12 ， 15 設(shè) F1， F2為橢圓C: x + y 1 的兩個(gè)焦點(diǎn)，M為 C上一點(diǎn)且在第一象限. 若 MF1F2為等腰 36 20 三角形，則M的坐標(biāo)為 . 16 學(xué)生到工廠勞動(dòng)實(shí)踐，利用 3D打印技術(shù)制作模型. 如圖， 該模型為長方體ABCD A1B1C1D1 挖去四棱錐O EFGH后所得幾何體，其中O為長方體的中心，E， F， G， H 分別為所在棱 的中點(diǎn)，AB= BC= 6cm, AA1 = 4cm ， 3D打印所用原

6、料密度為0.9 g/cm3，不考慮打印損 耗，制作該模型所需原料的質(zhì)量為. ）5 10其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是A B C D 4 小題，每小題5 分，共 20 分。13已知a， b 為單位向量，且a· b=0，若c 2a 5b，則 cos a,c .S1014記Sn為等差數(shù)列an的前n 項(xiàng)和，a1 0， a2 3a1，則.S570 分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第1721 題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答。第22、 23 題為選考題，考生根據(jù)要求作答。60分。17（12 分）為了解甲、乙兩種離子在小鼠體內(nèi)的殘留程度，進(jìn)行如下試驗(yàn)：將 200 只小鼠隨機(jī)分成A、B兩組，

7、每組100 只，其中A組小鼠給服甲離子溶液，B組小鼠給服乙離子溶液，每組小鼠給服的溶液體積相同、摩爾濃度相同經(jīng)過一段時(shí)間后用某種科學(xué)方法測算出殘留在小鼠體內(nèi)離子的百分比. 根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)分別得到如下直方圖：記 C為事件：“乙離子殘留在體內(nèi)的百分比不低于 5.5”，根據(jù)直方圖得到P（C）的估計(jì)值為 0.70 （ 1）求乙離子殘留百分比直方圖中a，b 的值；（ 2）分別估計(jì)甲、乙離子殘留百分比的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）18（12 分）ACABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，已知asinbsinA2（ 1）求B；（ 2）若ABC為銳角三角形，且c=1，求ABC面積的取

8、值范圍19（12 分）圖 1 是由矩形ADEB、 Rt ABC和菱形BFGC組成的一個(gè)平面圖形，其中AB=1， BE=BF=，2FBC=60°，將其沿AB， BC折起使得BE與 BF重合，連結(jié)DG，如圖2.（ 1）證明：圖2 中的A， C， G， D 四點(diǎn)共面，且平面ABC平面BCG；E（ 2）求圖2 中的二面角B-CG-A的大小.20（12 分）已知函數(shù)f （x） 2x3 ax2 b .（ 1）討論 f （x） 的單調(diào)性；（ 2）是否存在a,b， 使得 f（x） 在區(qū)間 0,1的最小值為1且最大值為1？若存在，求出 a,b的所有值；若不存在，說明理由.x2121已知曲線C： y=

9、x ， D為直線 y= 1 上的動(dòng)點(diǎn)，過D作C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A， B.221）證明：直線AB 過定點(diǎn)：52)若以E(0， 25 )為圓心的圓與直線AB相切，且切點(diǎn)為線段AB的中點(diǎn)，求四邊形ADBE.(二)選考題：共10 分。請(qǐng)考生在第22、 23 題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計(jì)分。22 選修 4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程( 10分)如圖，在極坐標(biāo)系Ox中，A(2,0) ， B( 2, 4)， C( 2, 4 )， D(2, )，弧 ?AB ， ?BC ， C?D 所在圓的圓心分別是(1,0)， (1, )， (1, ) ，曲線 M1 是弧?AB，曲線M2是弧?BC ，曲線M

10、3是弧 C?D .( 1)分別寫出M 1 ， M 2 ， M 3 的極坐標(biāo)方程；( 2)曲線M 由 M1 ， M2， M3構(gòu)成，若點(diǎn)P 在 M上，且 |OP |3，求 P的極坐標(biāo).23 選修 4-5：不等式選講( 10分)設(shè) x, y, z R ，且 x y z 1 .(1)求(x1)2(y1)2(z1)2的最小值；1(2)若(x2)(y1)(za)成立，證明：a 3或 a 1 .32019 年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)(全國卷III )答案及解析1. A解答： B x|x2 1 x| 1 x 1 ，所以 A B 1,0,1 .2. D解答： z(1 i) 2i , z 2i 2i(

11、1 i) i(1 i) 1 i .1 i (1 i)(1 i )3. C解答： 90 80 60 0.7 1004. A3332133解答：由題意可知含x 的項(xiàng)為 1 C4 1 x 2x C4 1 x 12x ，所以系數(shù)為125. C解答：設(shè)該等比數(shù)列的首項(xiàng)a1 ，公比q ，由已知得，a1q43a1q2 4a1 ，因?yàn)?a1 0且 q 0，則可解得q 2，又因?yàn)閍1(1 q q2 q3) 15 ，即可解得a1 1 ，則a3 a1q2 4 .6. D解析：令f (x) aex xln x，則 f (x)1ae ln x 1 ， f (1) ae 1 2 ，得 aef (1) 7. B 解析：ae

12、 2 b ，可得b1. 故選 D.2x32(f(x) 2x 2x， f( x) 2x3 x)2x2x32x 2 xf (x) ， f (x) 為奇函數(shù)，排除選項(xiàng)C. 又f (4)2 432 432 42 48 ，根據(jù)圖像進(jìn)行判斷，可知選項(xiàng)B 符合題意.24 2 4248. B解析：因?yàn)橹本€， 都是平面內(nèi)的直線，且不平行，即直線， 是相交直線，設(shè)正方形的邊長為 ，則由題意可得：，根據(jù)余弦定理可得：，所以9. C解析：，故選 B.第一次循環(huán)：第二次循環(huán)：第三次循環(huán)：第四次循環(huán)：第七次循環(huán)：此時(shí)循環(huán)結(jié)束，可得. 故選 C.10. A 解析：0可得一條漸近線方程為2yx2PFO 中 |PO | |PF

13、 |過點(diǎn)P做 PH直 OF 因?yàn)?tanPOF= 2 PO 3 S2 得到2 ; 所以PFO32; 故選 A;11. C解析 :(0,依據(jù)題意函數(shù)為偶函數(shù)且函數(shù)在1f(log3 ) f( log34) f(log34)4；)單 調(diào) 遞 減 ，則函數(shù)在30 22 2又因?yàn)?0) 上 單 調(diào) 遞 增 ； 因1 log34；321f(2 2)f(2 3) f(log3 )4 ；故選 C.12.D根據(jù)題意，畫出草圖，由圖可知2x1, x2 ，所以 245x1x229512x1x229102452954 對(duì)；125 . 填空題x1, x2 ，29，10310 f (x) 在 11250 ，圖像中y 軸右

14、側(cè)第一個(gè)最值點(diǎn)為最大值點(diǎn)，故0,21013.有 2 個(gè)或3 個(gè)極小值點(diǎn)，故2 錯(cuò)；495100，故3 對(duì) .2解析：r2 cr2a22ar5br9 ，r4a3，cos a, c23rr14.解析：設(shè)該等差數(shù)列的公差為d ， a2 3a1 ，a1d 3a1 ，故d 2a1a10,d 0 ，10 a1 a10S10S55 a1 a52 2a1 9d2a1 4d2 10d5d4.215.(3, 15)解析：2 x C：362 y201 可知， a 6 ，c 4 ，由M 為 C 上一點(diǎn)且在第一象限，故等腰三角形MF1F2MF1F1F28， MF2 2aMF14 , sinF1F2M82 228154y

15、MMF2sinF1F2M15 ，代入2C： 362 y201 可得xM3. 故 M 的坐標(biāo)為(3, 15) .16.118.8解答：S四邊形EFGH 4m V 0.9三解答題17.解析解答:1321232118.8g.12cm2， V 66412 3 132 cm3.1）依題意得a 0.2 0.150.70.350.05 b 0.150.15 0.2 a 1b0.10.2 50.3 64.05, ，乙離子殘留百分比的平均值為（ 2）0.15 2 0.2 3 0.3 40.05 3 0.1 4 0.15 5得到甲離子殘留百分比的平均值為18.0.1 6 0.05 7 4.050.2 7 0.15

16、 8 5.75.7.20.（1）3（ 2）見解析解析：(1) 因B cos2sin Asin sin Bsin A 為2sin Asin 結(jié)合正弦定理sin Bsin A,得BB B1Bsin B 2sin cos sin, B22 , 即 22 ；得到263 ；0A(2) 因asin AACbsin BsinC1 acsin2B1C 2,02 sin Ccsin A2所C 2, 又133sin A若 A越大 sin A越大， 則 C越小 sinC 越?。籹in C ; 又因?yàn)?sin AssiinnCA (21,2)sin Asin C 越大 ） ； 所以 sin C(12,2)23 , A

17、,C 為銳角，19.解析：證明： （ 1）由題意知，又，平面，又平面，平面平面.（2） 分別取， 的中點(diǎn)為， ，連結(jié)， ，則，四邊形為棱形，且60 ，又平面，即平面，以點(diǎn) 為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為 軸， 軸， 軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)平面的一個(gè)法向量為,，令，則得到，平面的一個(gè)法向量為，, 故二面角的大小為.答案：見解析解析：21) f '(x) 6x2 2ax 6x(x a)3當(dāng) a 0時(shí)， f '(x) 6x2 0，此時(shí) f(x) 在 (,)單調(diào)遞增 .a0 ，解得 0 x .3a當(dāng) a 0時(shí)，令 f '(x) 0 ，解得 x a 或 x 0，令 f '(x)3

18、此時(shí) f (x) 在 (,0),( a ,) 單調(diào)遞增，在(0, a)單調(diào)遞減.33a0 ，解得x 0 .3a當(dāng) a 0時(shí)，令 f '(x) 0 ，解得 x 0或 x a ，令 f '(x)3此時(shí) f (x) 在 (, a),(0,) 單調(diào)遞增，在(a ,0) 單調(diào)遞減.33綜上可得，當(dāng)a 0時(shí)， f (x) 在 (,)單調(diào)遞增.aa0時(shí)，f(x) 在 (,0),( a ,3a0 時(shí)，f (x) 在 (, a),(0,32)由(1)中結(jié)論可知，當(dāng)a) 單調(diào)遞增，在(0, a) 單調(diào)遞減.a) 單調(diào)遞增，在( ,0) 單調(diào)遞減.30時(shí)， f (x) 在 0,1 單調(diào)遞增，此時(shí) f

19、 (x)min f(0) b 1,f (x)max f (1) 2 a b 1， a 0,b1 ，滿足題意a當(dāng) a 0時(shí)，若1 ，即 a 3，則 f (x) 在 0,1 單調(diào)遞減，3此時(shí) f (x)min f(1) 2 a b 1, f(x)maxf(0) b 1， a 4,b 1，滿足題意若 a 1 ，即 0 a 3，則 f(x) 在 0, a 單調(diào)遞減，在a ,1單調(diào)遞增.333323aaaa此時(shí) f (x)min f ( ) 2 a bb 1327927f (0) b, f (1) b 2 a當(dāng) 0 a 2 時(shí)，f (x)maxf (1) b 2 a 1 ，由 可得 a 3 3, b 3

20、 3 1 ，與 0 a 2矛盾，故不成立.當(dāng) 2 a 3時(shí)， f(x)max f(0) b 1 ，由 可得 a 33 2, b 1 ，與 2 a 3矛盾，故不成立.綜上可知，a 0,b1 或 a 4,b 1 滿足題意.21. 答案：見解析；解答：11( 1)當(dāng)點(diǎn) D 在 (0,) 時(shí)，設(shè)過D 的直線方程為y k0x，與曲線C 聯(lián)立化簡得2222x2 2k0x 1 0 ，由于直線與曲線相切，則有4k02 4 0，解得k01 ，111并求得 A, B 坐標(biāo)分別為( 1, ),(1, )，所以 直線 AB 的方程為y ；222當(dāng)點(diǎn) D 橫坐標(biāo)不為0 時(shí)，設(shè)直線AB 的方程為y kx m ( k 0)

21、 ，由已知可得直線y kx mAB 不過坐標(biāo)原點(diǎn)即m0 ，聯(lián)立直線AB 方程與曲線C 的方程可得，x2 ，y2消 y 并化簡得x2 2kx2m 0，有兩個(gè)交點(diǎn)24k2 8m 0，設(shè) A(x1, y1 ) ， B(x2 , y2 ) ，根據(jù)韋達(dá)定理有，x1 x2 2k ， x1x22m ，x2由已知可得曲線C 為拋物線等價(jià)于函數(shù)f (x) x 的圖像，則有 f (x) x ，則拋物線在A(x1 , y1) 上的切線方程為y y1 x1 (x x1) ，同理，拋物線在B(x2, y2)上的切線方程為y y2 x2(x x2) ，聯(lián)立，并消去x 可得 yy1x1yy2x2x2x1 ，1y 上，則有2

22、221x121 x22化簡得，22x122x2x2x1 ，(x1x2 1)( x2 x1)2x1x2x2x1 ，k 0， x1x1x2 12m 11即 1 21 ，即為1 ，解得m ，經(jīng)檢驗(yàn)2x1x24m2x2 ，1m 滿足條件，211所以直線AB 的方程為y kx 1 過定點(diǎn) (0, 1 ) ，221綜上所述，直線AB 過定點(diǎn) (0, 1 ) 得證 .21( 2)由(1)得直線AB 的方程為y kx ，211當(dāng) k 0時(shí)，即直線AB 方程為 y ，此時(shí)點(diǎn)D 的坐標(biāo)為(0,)，2251以 E(0, ) 為圓心的圓與直線AB 相切于 F (0, ) 恰為 AB 中點(diǎn)，2211此時(shí)SADBEAB ED 2 3 3；22k 0 時(shí)，直線AB 方程與曲線方程聯(lián)立化簡得x2 2kx 1 0 ，2x1 x2 2k ， x1x21 ， y1 y