2020-2021學(xué)年上海市楊浦區(qū)高考數(shù)學(xué)二模試卷(理科)及答案解析

1、上海市高考數(shù)學(xué)二模試卷（理科）一、填空題1函數(shù)的定義域是.K 1 1 - 1 - 3?2 已知線性方程組的增廣矩陣為，若該線性方程組的解為冷34 Ja=7T一，3.計(jì)算、土亠！ n-強(qiáng) n il4. 若向量i|.滿足|" .- '且 *與的夾角為5. 若復(fù)數(shù)Zi=3+4i, Z2=1 - 2i,其中i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)6.在的展開式中，常數(shù)項(xiàng)是.（用數(shù)字作答）7.已知 ABC的內(nèi)角A、B、C所對(duì)應(yīng)邊的長度分別為 a、b、c,_b，則角C的大小是&已知等比數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，且滿足：aia7=4，則數(shù)列l(wèi)ogza.的前7項(xiàng)之和為9. 在極坐標(biāo)系中曲線 C: p=2c

2、osB上的點(diǎn)到（1, n）距離的最大值為 .10. 袋中有5只大小相同的乒乓球，編號(hào)為1至5，從袋中隨機(jī)抽取 3只，若以E表示取到球中的最大號(hào)碼，則 E的數(shù)學(xué)期望是 .11. 已知雙曲線的右焦點(diǎn)為F,過點(diǎn)F且平行于雙曲線的一條漸近線的直線與雙曲線艮q丄一一 IW交于點(diǎn)P, M在直線PF上，且滿足OM *PF = 0,則卞=.|PF | 12. 現(xiàn)有5位教師要帶三個(gè)班級(jí)外出參加志愿者服務(wù)，要求每個(gè)班級(jí)至多兩位老師帶隊(duì)，且教師甲、乙不能單獨(dú)帶隊(duì)，則不同的帶隊(duì)方案有 .（用數(shù)字作答）5114113. 若關(guān)于x的方程（4x+了）- |5x-j|=m在（0, +）內(nèi)恰有三個(gè)相異實(shí)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為

3、.14課本中介紹了應(yīng)用祖 暅原理推導(dǎo)棱錐體積公式的做法. 祖暅原理也可用來求旋轉(zhuǎn)體的體積.現(xiàn)介紹祖暅原理求球體體積公式的做法：可構(gòu)造一個(gè)底面半徑和高都與球半徑相等的圓柱，然后在圓柱內(nèi)挖去一個(gè)以圓柱下底面圓心為頂點(diǎn)，圓柱上底面為底面的圓錐，用這樣一個(gè)幾何體與半球 應(yīng)用祖暅原理（圖1），即可求得球的體積公式.請(qǐng)研究和理解球的體積公式求法的基礎(chǔ)上，解答以下問題：已知橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 £十£二1，將此橢圓繞y軸旋轉(zhuǎn)一周后，得一橄欖狀的幾425何體（圖2），其體積等于、選擇題15.下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)，又在區(qū)間（0, +8）上遞增的是（）113D.y=x+A. y=2|x| B.

4、y=lnxC.16已知直線I的傾斜角為a斜率為k,則 它V”是 X品 的（A.充分非必要條件B.必要非充分條件C.充要條件 D.既非充分也非必要條件17. 設(shè)x, y, z是互不相等的正數(shù)，則下列等式中不恒成立的是（）a. /總沁十b.C.'丁二 - D. |x - y|w|x- Z|+|y- z|18. 已知命題：若a, b為異面直線，平面 a過直線a且與直線b平行，則直線b與平面a的距離等于異面直線a, b之間的距離”為真命題.根據(jù)上述命題，若a, b為異面直線，且它們之間的距離為d,則空間中與a, b均異面且距離也均為d的直線c的條數(shù)為（）A. 0條B. 1條C.多于1條，但為有

5、限條 D.無數(shù)多條三、解答題19. 如圖，底面是直角三角形的直三棱柱ABC- A1B1C1中，匕二：二，d是棱AAi上的動(dòng)點(diǎn).(1) 證明：DCBC;(2) 求三棱錐 C- BDCi的體積.20. 某菜農(nóng)有兩段總長度為 20米的籬笆PA及PB,現(xiàn)打算用它們和兩面成直角的墻OM、ON圍成一個(gè)如圖所示的四邊形菜園OAPB(假設(shè)OM、ON這兩面墻都足夠長).已知|PA|=|PB|=10(米)，Z0P=ZB0P=,z OAP=Z OBP.設(shè)/ OAP=0，四邊形 OAPB的面積為 S.(1) 將S表示為0的函數(shù)，并寫出自變量9的取值范圍；(2) 求出S的最大值，并指出此時(shí)所對(duì)應(yīng)9的值.21.已知函數(shù)f

6、 d二刖+1耳2遼玄+1)，其中a R.(1) 根據(jù)a的不同取值，討論f (x)的奇偶性，并說明理由；(2) 已知a> 0，函數(shù)f(x)的反函數(shù)為f-1(x),若函數(shù)y=f( x)+f-1(x)在區(qū)間1 , 2上的最小值為1+log23，求函數(shù)f ( x)在區(qū)間1 , 2上的最大值.2 222.已知橢圓C:耳的焦距為2越，且右焦點(diǎn)F與短軸的兩個(gè)端點(diǎn)組成一個(gè)正三角形.若直線I與橢圓C交于A（X1, yi）、B（ X2，y2）,且在橢圓C上存在點(diǎn)M,使得:（其中0為坐標(biāo)原點(diǎn)），則稱直線I具有性質(zhì)H.（1）求橢圓C的方程;（2）若直線I垂直于x軸，且具有性質(zhì) H,求直線I的方程;（3）求證：在

7、橢圓 C上不存在三個(gè)不同的點(diǎn) P、Q、R,使得直線PQ、QR、RP都具有性質(zhì)H.23.已知數(shù)列an和bn滿足：曰1二入.口日廿1二（n+1）日門十口（n+l）. 口1?，且對(duì)一切n N*,（1）求證：數(shù)列為等差數(shù)列，并求數(shù)列均有切b?呂二（近）*aj的通項(xiàng)公式;（2）若入=2,求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn；（3）設(shè) J二 _ Cnr礦），記數(shù)列cn的前n項(xiàng)和為Tn,問：是否存在正整數(shù)入，對(duì)一切nn a b _ N*，均有T4>Tn恒成立.若存在，求出所有正整數(shù)入的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.參考答案與試題解析一、填空題Tf + 91 函數(shù)- It 的定義域是 x|x>- 2且XM 1.H

8、【考點(diǎn)】函數(shù)的定義域及其求法.【分析】由題意即分母不為零、偶次根號(hào)下大于等于零，列出不等式組求解，最后要用集合或區(qū) 間的形式表示.p- 170Lk+20 '【解答】解：由題意，要使函數(shù)有意義，則 解得，XM 1且X>- 2;故函數(shù)的定義域?yàn)椋簒|x>- 2且XM 1,故答案為：X|X>- 2且XM 1.2.已知線性方程組的增廣矩陣為，若該線性方程組的解為-I1，則實(shí)數(shù)a= 22丿 【考點(diǎn)】線性方程組解的存在性，唯一性.11； - 3【分析】由已知得* ,把x=- 1，y=2,能求出a的值.1 1 -1 - 3)【解答】解：線性方程組的增廣矩陣為，該線性方程組的解為&q

9、uot;34 J12 jax+3y=4把 x=- 1, y=2，代入得-a+6=4,解得 a=2.故答案為：2.3.計(jì)算一 1+2+3+n11D強(qiáng) n 41【考點(diǎn)】數(shù)列的極限.【分析】將nCn- 1)1+2+3+n=-2的形式，在利用洛必達(dá)法則，求極限值.【解答】解：原式ntn-M)=r /1L'：'5口5limn+11*亠8-=2n '2故答案為:4若向量1,，滿足|- 且*與“的夾角為 ，則_，I | = ： ' |【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算.【分析】根據(jù)篙再需/十佗r卡2得丨禹5斗可得答案.【解答】解： I i.丨-.-：且.占，的夾角為| 呂卡b |

10、二 | 且 | 十 | b I 十21 豆 | I b | cos=7則 | 1 i=.“故答案為：.7、I I 亠5. 若復(fù)數(shù)zi=3+4i, Z2=1 - 2i,其中i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù).的虛部為-31H【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算.【分析】由已知利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡得答案.【解答】解： zi=3+4i, Z2=1 - 2i,匕|二卡4i |嚴(yán)/護(hù)+護(hù)二5 ,也二1+啟， 卓+77卒出 1=馮1+2口 - 3i 丨S丨一復(fù)數(shù)，.的虛部為-3.1芒故答案為：-3.6. 在（寺一Vk）6的展開式中，常數(shù)項(xiàng)是15 .（用數(shù)字作答）【考點(diǎn)】二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì).【分析】先求出二項(xiàng)式展開式的

11、通項(xiàng)公式，再令x的幕指數(shù)等于0，求得r的值，即可求得展開式中的常數(shù)項(xiàng).【解答】解：在(的展開式的通項(xiàng)公式為 Tr+尸瑞？ (- 1廠？可1令務(wù)-6=0，求得r=4，故(+一換廣的展開式中的常數(shù)項(xiàng)是 5.故答案為：15.7. 已知 ABC的內(nèi)角A、B、C所對(duì)應(yīng)邊的長度分別為兀大小是 一-.【考點(diǎn)】二階行列式的定義.【分析】由二階行列式性質(zhì)得a2+b2- c2=ab,由此利用余弦定理求出cosC寺，從而能求出角 C的大小.a、b、c,【解答】解： ABC的內(nèi)角A、B、C所對(duì)應(yīng)邊的長度分別為2 2 , 2 2,2 2 , a - c = - b +ab, 即卩 a +b - c =ab,ab 12

12、,. 2 _ 2二 cosC=2ab兀/ C是厶ABC的內(nèi)角， C .故答案為:&已知等比數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，且滿足：aia7=4，則數(shù)列l(wèi)ogzaj的前7項(xiàng)之和為7【考點(diǎn)】等比數(shù)列的性質(zhì).【分析】由等比數(shù)列的性質(zhì)可得：aia7=a2a6=a3a=4，再利用指數(shù)與對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可得出.【解答】解：由等比數(shù)列的性質(zhì)可得：aia7=a2a6=a3a5=4=4,二數(shù)列l(wèi)og2an的前 7 項(xiàng)和=log2ai+log2a2+log2a7=log2 (a?) =log227=7,故答案為：7.9. 在極坐標(biāo)系中曲線 C: p=2cosB上的點(diǎn)到（1 , n）距離的最大值為3 .【考點(diǎn)】參數(shù)

13、方程化成普通方程.【分析】把極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，求出圓心到點(diǎn)（1 , n）的距離，進(jìn)而得出最大值.【解答】解：曲線 C: p=2cos 0即p2=2pcosB,化為直角坐標(biāo)方程：x2+y2=2x,配方為：（x- 1） 2+y2=1，可得圓心C （1, 0），半徑r=1.點(diǎn)P （1 , n）化為直角坐標(biāo) P （- 1 , 0）.|CP|=2,曲線C: p=2cos 0上的點(diǎn)到（1, n）距離的最大值=2+仁3.故答案為：3.10. 袋中有5只大小相同的乒乓球，編號(hào)為 1至5，從袋中隨機(jī)抽取 3只，若以E表示取到球中 的最大號(hào)碼，則 E的數(shù)學(xué)期望是 _二-_.【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的期望與

14、方差.【分析】由已知得 E的可能取值為3, 4, 5，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出 E （ §. 【解答】解：由已知得 E的可能取值為3, 4, 5,亙1P （ 3）守旨，c| 3P （科）-羅=1。，P （曲）=尹=10， E（9 =3X金+仟備®磊冷.9故答案為：女.即有Ip? I11. 已知雙曲線二1的右焦點(diǎn)為F,過點(diǎn)F且平行于雙曲線的一條漸近線的直線與雙曲線41交于點(diǎn)P, M在直線PF上，且滿足 丫 ' !，則 ?一=問| T 【考點(diǎn)】雙曲線的簡單性質(zhì).【分析】求得雙曲線的 a，b，c，可得F（Qg，0），漸近線方程為y=2x，設(shè)過點(diǎn)F且平行于雙 曲線的一

15、條漸近線為 y=2 （x5），代入雙曲線的方程可得 P的坐標(biāo)，由兩直線垂直的條件可得直線OM的方程，聯(lián)立直線 y=2 （x-Vs），求得M的坐標(biāo)，由向量共線的坐標(biāo)表示，計(jì)算即可得到所求值.2 ,【解答】解：雙曲線.j.的a=1，b=2，c= . j '=.， 可得F （伍，0），漸近線方程為y=±：x，設(shè)過點(diǎn)F且平行于雙曲線的一條漸近線為y=2 （x-H），代入雙曲線的方程，可得 X丄5可得P（ ，-】），M（；，由直線OM： y=-£x和直線y=2 （x-J），可得故答案為:12. 現(xiàn)有5位教師要帶三個(gè)班級(jí)外出參加志愿者服務(wù)，要求每個(gè)班級(jí)至多兩位老師帶隊(duì)，且教師甲

16、、乙不能單獨(dú)帶隊(duì)，則不同的帶隊(duì)方案有54 （用數(shù)字作答）【考點(diǎn)】排列、組合的實(shí)際應(yīng)用.【分析】根據(jù)題意，采用分類原理，對(duì)甲，乙老師分當(dāng)甲，乙?guī)Р煌嗪彤?dāng)甲，乙?guī)嗤鄷r(shí)分別求解，最后求和即可.【解答】解：當(dāng)甲，乙?guī)Р煌鄷r(shí)：喝* 3=36種；當(dāng)甲，乙?guī)嗤鄷r(shí), 劇謂跖8種;故共有54中，故答案為：54.5413. 若關(guān)于x的方程（4x+）- |5x|=m在（0, +）內(nèi)恰有二個(gè)相異實(shí)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（6,【考點(diǎn)】函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系.【分析】分類討論以去掉絕對(duì)值號(hào)，從而利用基本不等式確定各自方程的根的個(gè)數(shù)，從而解得.【解答】解：當(dāng)XA時(shí)，5x-5方程(4x)- |5x -( 4x

17、+ 5x-)=m，即一x=m;5x -方程(4X+;)|5x-54( 4x+) + (5x- .) =m,即 9x+±=m; y1 9x 6 ；當(dāng)mv 6時(shí)，方程9x+ =m無解;當(dāng)m=6時(shí)，方程9x+=m有且只有一個(gè)解；當(dāng)6v mv 10時(shí)，方程9x+±=m在（0, 1）上有兩個(gè)解;當(dāng)m=10時(shí)，方程9x+±=m的解為1,丄綜上所述，實(shí)數(shù) m的取值范圍為（6, -二 7）.故答案為：（6,-：）.14課本中介紹了應(yīng)用祖 暅原理推導(dǎo)棱錐體積公式的做法. 祖暅原理也可用來求旋轉(zhuǎn)體的體積.現(xiàn)然后在介紹祖暅原理求球體體積公式的做法：可構(gòu)造一個(gè)底面半徑和高都與球半徑相等的

18、圓柱,圓柱內(nèi)挖去一個(gè)以圓柱下底面圓心為頂點(diǎn)，圓柱上底面為底面的圓錐，用這樣一個(gè)幾何體與半球應(yīng)用祖暅原理（圖1），即可求得球的體積公式.請(qǐng)研究和理解球的體積公式求法的基礎(chǔ)上，解答以下問題：已知橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為2，將此橢圓繞y軸旋轉(zhuǎn)一周后，得一橄欖狀的幾何體（圖2）,其體積等于80【考點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺(tái)）；棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積.【分析】構(gòu)造一個(gè)底面半徑為 2，高為5的圓柱，從中挖去一個(gè)圓錐，則由祖 暅原理可得：橢球 的體積為幾何體體積的 2倍.【解答】解：橢圓的長半軸為5,短半軸為2,現(xiàn)構(gòu)造一個(gè)底面半徑為 2,高為5的圓柱，然后在圓柱內(nèi)挖去一個(gè)以圓柱下底面圓心為頂點(diǎn)，圓柱上底面為底面的

19、圓錐，根據(jù)祖暅原理得出橢球的體積 V=2 （V圓柱-V圓錐）=2 （ n>225 - ''）創(chuàng)兀故答案為：二、選擇題15. 下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)，又在區(qū)間（0，+8）上遞增的是（）A. y=2|x| B. y=lnxC.百 D. 十一【考點(diǎn)】奇偶性與單調(diào)性的綜合.【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的定義和性質(zhì)進(jìn)行判斷即可.【解答】解：A.函數(shù)y=2|x|為偶函數(shù)，不滿足條件.B. 函數(shù)的定義域?yàn)椋?, +R）,函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，不滿足條件.1C. -是奇函數(shù)，在（0, +R）上遞增，滿足條件.尸XDm-丄是奇函數(shù)，當(dāng)0v xv 1時(shí)函數(shù)為減函數(shù)，當(dāng) x 1時(shí)函數(shù)為增函數(shù)，

20、不滿足條件.故選：C16. 已知直線I的傾斜角為a斜率為k,則”是 X岡 的（ ）A.充分非必要條件B.必要非充分條件C.充要條件 D.既非充分也非必要條件【考點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷.?！痉治觥俊?J-一” 可得 0w tanav反之不成立，a可能為鈍角.?！窘獯稹拷猓喝?? 0 tan av需? !並”;反之不成立，a可能為鈍角.”是“一；”的充分不必要條件.故選：A.17. 設(shè)x, y, z是互不相等的正數(shù)，則下列等式中不恒成立的是（）a.b.小換C.I y ”:D. |x- y|w|x z|+|y z|【考點(diǎn)】基本不等式.【分析】A. x, y,是互不相等的正數(shù)，令t=

21、x+丄 2,可得:只 （厘+） =t2 t 2=（ t 2）（t+1 ） 0，即可判斷出真假;2戈b： ：.>- =m；，即可判斷出真假C.取x=1, y=2，即可判斷出真假;D. |x - y|=| (x z) + (z y) |w |x - z|+|y- z|,即可判斷出真假.【解答】解：A.v x, y,是互不相等的正數(shù)，令t=x注> 2, /(工十)=-t 2= (t2) (t+1)> 0,正確; 2B.t 龍&rhl >U工+2(“工+3 - “x+l) -甘2 -町)寸對(duì)$+#工+=1 1=0V 2,因此不正確;:；-0,.：，！-; T w 占叮-

22、7 U ，正確.C.取 x=1, y=2，則 |x y|+.爲(wèi)D. |x y|=| (x z) + (z y) |< |x z|+|y z|,正確.故選：C.18. 已知命題： 若a, b為異面直線，平面 a過直線a且與直線b平行，則直線b與平面a的距離等于異面直線a, b之間的距離”為真命題根據(jù)上述命題，若 a, b為異面直線，且它們之間的距離為d,則空間中與a, b均異面且距離也均為 d的直線c的條數(shù)為（ ）A. 0條B. 1條C.多于1條，但為有限條 D.無數(shù)多條【考點(diǎn)】點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算.【分析】如圖所示，給出一個(gè)平行六面體 ABCD- A1B1C1D1 .取AD=a, AB

23、1=b,假設(shè)平行平面 ABCD 與A1B1GD1之間的距離為d.若平面BCCB, a,平面CDDG/ b，且滿足它們之間的距離等于 d, 其交線CC滿足條件.把滿足平面BCCB/ a,平面CDDG/ b,且它們之間的距離等于 d的兩個(gè) 平面旋轉(zhuǎn)，則所有的交線 CC都滿足條件，即可判斷出結(jié)論.【解答】解：如圖所示，給出一個(gè)平行六面體ABCD- A1B1C1D1.取AD=a, A1B1=b,假設(shè)平行平面 ABCD與A1B1C1D之間的距離為d.平面BCGB1/ a,平面CDDG / b,且滿足它們之間的距離等于d,其交線CG滿足與a, b均異面且距離也均為d的直線c.把滿足平面BCGBi/ a,平

24、面CDDG b，且它們之間的距離等于 d的兩個(gè)平面旋轉(zhuǎn)，則所有的交線CC都滿足與a，b均異面且距離也均為 d的直線c.因此滿足條件的直線有無數(shù)條.故選：D.Dfci三、解答題19. 如圖，底面是直角三角形的直三棱柱動(dòng)點(diǎn).ABC- A1B1G 中，1 二.-二:.'二,D 是棱 AAi 上的(1) 證明：DCi± BC;(2) 求三棱錐 C- BDG的體積.【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積；直線與平面垂直的性質(zhì).【分析】(1)由棱錐是直棱錐可得側(cè)面與底面垂直，由面面垂直的性質(zhì)可得BC丄平面ACC",進(jìn)一步得到BC丄DCi；(2)利用等積法，把三棱錐 C- BDG的體積轉(zhuǎn)

25、化為三棱錐 B- CDC的體積求解.【解答】(1)證明：如圖，直三棱柱 ABC- A1B1C1中，CG丄平面ABC, CG丄底面 ABC,又 CG?面 ACCAi,面ACCAi丄底面 ABC,而面 ACCAi 0底面ABC=AC由厶ABC為RtA，且 AC=BC 得BC丄AC, BC丄平面ACCAi, BC 丄 DCi；(2)解：由(1)知，BC丄平面ACCA ,. 丁才二?。?= AAi=2,則飪DC詁心1 甜 cVe-CDC1叫J20. 某菜農(nóng)有兩段總長度為 20米的籬笆PA及PB,現(xiàn)打算用它們和兩面成直角的墻OM、ON圍成一個(gè)如圖所示的四邊形菜園OAPB(假設(shè)OM、ON這兩面墻都足夠長)

26、.已知|PA|=|PB|=i0(米)，Z/kOP=ZBOP-,Z OAP=Z OBP.設(shè)/ OAP=0，四邊形 OAPB的面積為 S.(i)將S表示為0的函數(shù)，并寫出自變量 9的取值范圍；(2)求出S的最大值，并指出此時(shí)所對(duì)應(yīng)9的值.【考點(diǎn)】正弦定理；余弦定理.0E10【分析】(1)在三角POB中，由正弦定理，得：晉-9)'7T雖叮，得 OB=10(cos 0+sin 0).再利用三角形面積計(jì)算公式即可得出(2)由(1)禾U用倍角公式與和差公式、三角函數(shù)的單調(diào)性最值即可得出0B10【解答】解：(1)在三角POB中，由正弦定理，得a -1 ，得 OB=10畀口( 4(cos 0+s in

27、 0).所以，S=2X*XiQX10(83 9)si 門 8=100 ( sin 0cos0+si n20), 0 0,u (n 3KT(2) S=100 (sin 0cos 0+sin2 0) =50 (2sin 0cos 0+2sin2 0)=50 (sin2 0 - cos2 0+1) =50返“口2。-.:十50 ,所以S的最大值為：50. *50, 0十21. 已知函數(shù) f(x)=aK+log2 f2x+l)，其中 a R.(1) 根據(jù)a的不同取值，討論f (x)的奇偶性，并說明理由；-1 - 1(2) 已知a> 0，函數(shù)f (x)的反函數(shù)為f (x),若函數(shù)y=f ( x)

28、+f (x)在區(qū)間1 , 2上的最小值為1+log23，求函數(shù)f ( x)在區(qū)間1 , 2上的最大值.【考點(diǎn)】函數(shù)的最值及其幾何意義；反函數(shù).【分析】(1)由 f(x)=aK+log2 2X+1)得 f (- x) =- ax+log2 (2x+1)- x,從而可得當(dāng) a=-寺時(shí)函數(shù)為偶函數(shù)；(2)可判斷 f(K)=as+log2 C2S+1)與 f-1 (x)都是增函數(shù)，從而可得 f( 1) +f-1 (1) =1+log23,從而解出a.【解答】解：(1)t “ ； 【呻I :"-',x/ f ( x) = ax+log2 (2 +1)=-ax+log2 (2x+1)-

29、log22x =-ax+log2 (2x+1)- x, f (- x) =f ( x),即-ax- x=ax,故a= -丄；此時(shí)函數(shù)為偶函數(shù)，若az -函數(shù)為非奇非偶函數(shù)；(2)v a>0, f(X)二曲+1口呂2單調(diào)遞增, 又函數(shù)f (x)的反函數(shù)為 1 ( x), f-1 (x)單調(diào)遞增; f (1) +f-1 (1) =1+log23,_ 1即 a+log23+f (1) =1+log23,故 f-1 (1) =1 - a,即 a (1 - a) +log2 (2a1+1) =1,解得，a=1;故 f (2) =2+log25.22. 已知橢圓c：務(wù)的焦距為古兀，且右焦點(diǎn)F與短軸的

30、兩個(gè)端點(diǎn)組成一 呂 b個(gè)正三角形.若直線l與橢圓C交于A (X1, yj、B ( X2, y£,且在橢圓C上存在點(diǎn)M,使得：其中0為坐標(biāo)原點(diǎn))，則稱直線l具有性質(zhì)H.(1) 求橢圓C的方程；(2) 若直線I垂直于x軸，且具有性質(zhì) H,求直線l的方程；(3) 求證：在橢圓 C上不存在三個(gè)不同的點(diǎn) P、Q、R,使得直線PQ、QR、RP都具有性質(zhì)H.【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的綜合問題；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.73/$亍.-；,右焦點(diǎn)F與短軸的兩個(gè)端點(diǎn)組成一個(gè)正三角形，求出a, b,【分析】(1 )由橢圓的焦距為 由此能求出橢圓C的方程.(2)設(shè)直線 l：x=t,( - 2v tv 2)，則 A( t

31、,yi) ,B( t,2),設(shè) M(Xm,ym)，求出 =-當(dāng)Fi，由點(diǎn)M在橢圓C上，能求出直線l的方程.51(3)假設(shè)在橢圓C上存在三個(gè)不同的點(diǎn)P(xi,yi),Q(X2,y£,R(X3 ,ya),使得直線PQ、QR、RP都具有性質(zhì)H ,利用反證法推導(dǎo)出相互矛盾結(jié)論，從而能證明在橢圓C上不存在三個(gè)不同的點(diǎn)P、Q、R,使得直線 PQ QR、RP都具有性質(zhì) H.2 2【解答】解：(1)：橢圓C：產(chǎn)1呂>b>0)的焦距為2d , c5 ,a 右焦點(diǎn)F與短軸的兩個(gè)端點(diǎn)組成一個(gè)正三角形， c=.，解得b=1 , a2=b2+c2=4 ,橢圓C的方程為 手+護(hù)二.(2)設(shè)直線 l:

32、 x=t , (- 2vtv 2),則 A (t , yi) , B (t , y2),其中y1 , y2滿足:y1+y2=0 ,設(shè) M ( Xm, ym),-(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))，點(diǎn)M在橢圓C上，- 49t2+4 - t2=100 , t= . :, 直線l的方程為x=.或 x=-.證明：(3)假設(shè)在橢圓C上存在三個(gè)不同的點(diǎn)P(X1 ,yj ,Q(X2,y2),R (X3 ,y3),使得直線PQ、QR、RP都具有性質(zhì)H ,直線pq具有性質(zhì)h，在橢圓c上存在點(diǎn)m ,使得：設(shè) M ( Xm,點(diǎn)M在橢圓上，.又2 引24-1同理:4y2（詁號(hào)2）2=1,y?=l=0,=0,1）若Xi, X2, X3中至少一個(gè)為0,不妨設(shè)Xi=0,貝y yi 0,由得y2=y3=0,即Q, R為長軸的兩個(gè)端點(diǎn)，則 不成立，矛盾.2 2 22）若xi, X2, X3均不為0,則由得* 1 ' 2 ' 了 = % 務(wù)z'y, >0，矛盾.64在橢圓C上不存在三個(gè)不同的點(diǎn) P