信號與系統(tǒng)筆記

1、信號與系統(tǒng)第一章1.1 連續(xù)時間與離散時間信號確知信號可以表示成一個或幾個自變量的函數(shù)連續(xù)時間信號在t1,t2區(qū)間的能量定義為：連續(xù)時間信號在t1,t2區(qū)間的平均功率定義為：離散時間信號在n1,n2區(qū)間的能量定義為離散時間信號在n1,n2區(qū)間的平均功率為在無限區(qū)間上也可以定義信號的總能量：連續(xù)時間情況下:離散時間情況下:在無限區(qū)間內(nèi)的平均功率可定義為：能量信號信號具有有限的總能量，即：功率信號信號有無限的總能量，但平均功率有限。即：信號的總能量和平均功率都是無限的。即：如果信號是周期信號，則 或 這種信號也稱為功率信號，通常用它的平均功率來表征或 或 如果信號是非周期的，且能量有限則稱為能量信

2、號。1.2 自變量的變換1.時移變換 當(dāng)時，信號向右平移 時，信號向左平移 當(dāng)時，信號向右平移時，信號向左平移2. 反轉(zhuǎn)變換 信號以t=0為軸呈鏡像對稱。 與連續(xù)時間的情況相同。3. 尺度變換 時,是將在時間上壓縮a倍，時,是將在時間上擴(kuò)展1/a倍。由于離散時間信號的自變量只能取整數(shù)值，因而尺度變換只對連續(xù)時間信號而言。周期信號與非周期信號:周期信號： 滿足此關(guān)系的正實數(shù)（正整數(shù)）中最小的一個，稱為信號的基波周期（ ）?？梢暈橹芷谛盘枺幕ㄖ芷跊]有確定的定義?？梢砸暈橹芷谛盘?，其基波周期。奇信號與偶信號:對實信號而言：如果有 和則稱該信號是偶信號。（鏡像偶對稱）如果有和則稱該信號為奇信號

3、.（鏡像奇對稱）對復(fù)信號而言： 如果有和則稱該信號為共軛偶信號。如果有和則稱為共軛奇信號。任何信號都能分解成一個偶信號與一個奇信號之和。對實信號有：其中 其中 對復(fù)信號有：其中： 其中： 1.3 復(fù)指數(shù)信號與正弦信號一. 連續(xù)時間復(fù)指數(shù)信號與正弦信號 其中 C, a 為復(fù)數(shù)1. 實指數(shù)信號： C，a 為實數(shù)呈單調(diào)指數(shù)上升呈單調(diào)指數(shù)下降。 是常數(shù)。2. 周期性復(fù)指數(shù)信號與正弦信號:取,顯然是周期的，其基波周期為：其基波周期為 基波頻率為 當(dāng)時,通常稱為直流信號。對來說, 它在一個周期內(nèi)的能量為它的平均功率為：成諧波關(guān)系的復(fù)指數(shù)信號集:該信號集中的每個信號都是周期的，它們的頻率分別為 k，都是的整

4、數(shù)倍，因而稱它們是成諧波關(guān)系的信號集中信號的基波頻率為，基波周期為，各次諧波的周期分別為Tk=2/kw0，它們的公共周期是T0=2/w0。當(dāng)k取任何整數(shù)時，該信號集中的每個信號都是彼此獨立的。只有該信號集中的所有信號才能構(gòu)成一個完備的正交函數(shù)集。一般復(fù)指數(shù)信號:令,則該信號可看成是振幅按實指數(shù)信號規(guī)律變化的周期性復(fù)指數(shù)信號。它的實部與虛部都是振幅呈實指數(shù)規(guī)律變化的正弦振蕩。r>0時，是指數(shù)增長的正弦振蕩。r<0時，是指數(shù)衰減的正弦振蕩。r=0時，是等幅的正弦振蕩。 r>0 r<0 r=0二.離散時間復(fù)指數(shù)信號與正弦信號 一般為復(fù)數(shù)1. 實指數(shù)信號：均為實數(shù)時，呈單調(diào)指數(shù)

5、增長時，呈單調(diào)指數(shù)衰減時，呈擺動指數(shù)衰減時，呈擺動指數(shù)增長2. 正弦信號：其中為實數(shù)。離散時間信號的頻率表示為，其量綱是弧度。離散時間正弦信號不一定是周期的，這是與連續(xù)時間正弦信號的重大區(qū)別。3. 一般復(fù)指數(shù)信號： 令 則其實部與虛部都是幅度按實指數(shù)規(guī)律變化的正弦序列。當(dāng)時幅度呈指數(shù)增長，時幅度呈指數(shù)衰減。 三.離散時間復(fù)指數(shù)序列的周期性離散時間復(fù)指數(shù)序列不一定是周期性的，要具有周期性，必須具備一定條件。 設(shè)周期為N,即 于是有表明只有在與2的比值是一個有理數(shù)時，才具有周期性。對，當(dāng) 時，對應(yīng)的信號振蕩頻率越來越高不會發(fā)生逆轉(zhuǎn)。當(dāng)變化時，并非所有的都是互相獨立的. 離散時間信號的有效頻率范圍只

6、有2區(qū)間.因為處都對應(yīng)最低頻率,k為整數(shù)處都對應(yīng)最高頻率。k為整數(shù)在滿足周期性要求的情況下，總能找到互為質(zhì)數(shù)的兩個正整數(shù) m, N 使得： （m與N無公因子）此時 即為該信號的周期, 也稱為基波周期,因此該信號的基波頻率為離散時間周期性復(fù)指數(shù)信號也可以構(gòu)成一個成諧波關(guān)系的信號集。 該信號集中的每一個信號都是以N為周期的, N是它們的基波周期。稱為直流分量. 稱為基波分量.稱為二次諧波分量等等,每個諧波分量的頻率都是的整數(shù)倍。特別值得指出的是：該信號集中的所有信號并不是全部獨立的。顯然有：這表明：該信號集中只有N個信號是獨立的。即當(dāng)k 取相連的N個整數(shù)時所對應(yīng)的各個諧波才是彼此獨立的。因此，由N

7、個獨立的諧波分量就能構(gòu)成一個完備的正交函數(shù)集。 信號和的比較vv 1. 不同，信號不同v 2. 對任何信號都是周期的v 3. 基波頻率v 4. 基波周期：T0v :1. 頻差的整數(shù)倍時，信號相同2. 僅當(dāng)時，信號是周期的3. 基波頻率4. 基波周期：N1.4 單位沖激與單位階躍一. 離散時間單位脈沖與單位階躍1. 單位脈沖序列 , ; ,2. 單位階躍序列, ,與之間的關(guān)系:,一次差分具有提取信號中某一點的樣值的作用。二. 連續(xù)時間單位階躍與單位沖激1. 單位階躍 , ,2. 單位沖激 定義的不嚴(yán)密性，由于在不連續(xù)，因而在該處不可導(dǎo)?？梢暈橐粋€面積始終為1的矩形，當(dāng)其寬度趨于零時的極限。矩形面

8、積稱為沖激強(qiáng)度。 也具有提取連續(xù)時間信號樣本的作用。 用階躍表示矩形脈沖 1.5 連續(xù)時間與離散時間系統(tǒng)一. 系統(tǒng)連續(xù)時間系統(tǒng)：輸入信號與輸出響應(yīng)都是連續(xù)時間信號的系統(tǒng)。 離散時間系統(tǒng)：輸入信號與輸出響應(yīng)都是離散時間信號的系統(tǒng)。 系統(tǒng)分析的基本思想：1. 根據(jù)工程實際應(yīng)用，對系統(tǒng)建立數(shù)學(xué)模型。通常表現(xiàn)為描述輸入輸出關(guān)系的方程。2. 建立求解這些數(shù)學(xué)模型的方法。二. 系統(tǒng)的互聯(lián)可以通過對簡單系統(tǒng)（子系統(tǒng)）的分析并通過子系統(tǒng)互聯(lián)而達(dá)到分析復(fù)雜系統(tǒng)的目的也可以通過將若干個簡單子系統(tǒng)互聯(lián)起來而實現(xiàn)一個相對復(fù)雜的系統(tǒng)這一思想對系統(tǒng)分析和系統(tǒng)綜合都是十分重要的。1. 級聯(lián) 2. 并聯(lián)工程實際中也經(jīng)常將級聯(lián)

9、、并聯(lián)混合使用，如： 3. 反饋聯(lián)結(jié) 1.6 系統(tǒng)的基本性質(zhì)1. 記憶系統(tǒng)與無記憶系統(tǒng)在任何時刻，系統(tǒng)的輸出都只與當(dāng)前時刻的輸入有關(guān)，而與該時刻以外的輸入無關(guān)，則稱該系統(tǒng)是無記憶系統(tǒng)。否則就是記憶系統(tǒng)如果一個系統(tǒng)的輸出響應(yīng)不僅與當(dāng)時的輸入有關(guān),而且與該時刻以外的其它時刻的輸入有關(guān)，則系統(tǒng)是記憶的。在無記憶系統(tǒng)中有一種特例，即任何時刻系統(tǒng)的輸出響應(yīng)與輸入信號都相同，即或這樣的無記憶系統(tǒng)稱為恒等系統(tǒng)2. 可逆性與逆系統(tǒng) 如果一個系統(tǒng)對任何不同的輸入都能產(chǎn)生不同的輸出，即輸入與輸出是一一對應(yīng)的，則稱該系統(tǒng)是可逆系統(tǒng)如果一個系統(tǒng)對兩個或兩個以上不同的輸入信號能產(chǎn)生相同的輸出，則系統(tǒng)是不可逆的，稱為不可

10、逆系統(tǒng)如果一個可逆系統(tǒng)與另一個系統(tǒng)級聯(lián)后構(gòu)成一個恒等系統(tǒng)，則稱后者是前者的逆系統(tǒng)如:例子:是可逆系統(tǒng)，其逆系統(tǒng)是:是可逆系統(tǒng)，其逆系統(tǒng)是:是不可逆系統(tǒng)，因為有兩個不同的輸入能產(chǎn)生相同的輸出。也是不可逆系統(tǒng)。是不可逆系統(tǒng), 因為無法從還原為調(diào)制或編碼過程必須是可逆的，其逆系統(tǒng)是解調(diào)器或解碼器。3. 因果性如果一個系統(tǒng)在任何時刻的輸出都只與當(dāng)時這個時刻的輸入以及該時刻以前的輸入有關(guān)，而和該時刻以后的輸入無關(guān)就稱該系統(tǒng)是因果的。否則就是非因果的。一般說來，非因果系統(tǒng)是物理不可實現(xiàn)的。 時決定于以后時刻的輸入。是非因果系統(tǒng)。RLC電路, 都是因果系統(tǒng)。 4. 穩(wěn)定性如果一個系統(tǒng)當(dāng)輸入有界時，產(chǎn)生的輸出

11、也是有界的，則該系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)。否則，就是不穩(wěn)定系統(tǒng).單擺、RC電路都是穩(wěn)定系統(tǒng); 也是穩(wěn)定系統(tǒng)。都是不穩(wěn)定系統(tǒng)。5. 時不變性如果一個系統(tǒng)當(dāng)輸入信號有一個時移時，輸出響應(yīng)也產(chǎn)生同樣的時移。除此之外，輸出響應(yīng)無任何其它變化，則稱該系統(tǒng)是時不變的。否則就是時變的。 即：若則系統(tǒng)是時不變的。檢驗一個系統(tǒng)時不變性的步驟:1.令輸入為，根據(jù)系統(tǒng)的描述，確定此時的輸出。2. 將輸入信號變?yōu)椋俑鶕?jù)系統(tǒng)的描述確定輸出 3. 令根據(jù)自變量變換，檢驗是否等于。例子:當(dāng)時,當(dāng)時,令,則有由于系統(tǒng)是時變的6線性若 其中a,b是常數(shù)（包括復(fù)數(shù)），滿足此關(guān)系的系統(tǒng)是線性的。例如:,滿足可加性，但不滿足齊次性。當(dāng)時其實

12、部變?yōu)樘摬浚摬孔優(yōu)閷嵅?。滿足齊次性但不滿足可加性。因為，若輸入為 ,則如果一個系統(tǒng)是線性的，當(dāng)我們能夠把輸入信號分解成若干個簡單信號的線性組合時，只要能得到該系統(tǒng)對每一個簡單信號所產(chǎn)生的響應(yīng)，就可以很方便的根據(jù)線性特性，通過線性組合而得到系統(tǒng)對的輸出響應(yīng)。即若,且,則在工程實際中，有一類系統(tǒng)并不滿足線性系統(tǒng)的要求。但是這類系統(tǒng)的輸出響應(yīng)的增量與輸入信號的增量之間滿足線性特性。這類系統(tǒng)稱為增量線性系統(tǒng).如:,顯然有該系統(tǒng)既不滿足齊次性，也不滿足可加性，但當(dāng)考查輸入的增量與輸出的增量之間的關(guān)系時，有可見輸入的增量與輸出的增量之間是滿足線性關(guān)系的，它是一個增量線性系統(tǒng)。任何增量線性系統(tǒng)都可以等效為

13、一個線性系統(tǒng)再加上一部分與輸入無關(guān)的響應(yīng)。當(dāng)增量線性系統(tǒng)的時，。此時系統(tǒng)的輸出響應(yīng)完全由 決定。此時系統(tǒng)處于零初始狀態(tài)，故將稱為系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。根據(jù)線性系統(tǒng)的齊次性，可得出：線性系統(tǒng)當(dāng)輸入為零（即根本沒有輸入）時，系統(tǒng)的輸出響應(yīng)為零（即沒有輸出響應(yīng)）。這就是所謂線性系統(tǒng)的零輸入零輸出特性。增量線性系統(tǒng)當(dāng)時，有，因此將稱為系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)。可見，增量線性系統(tǒng)的響應(yīng)包括零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)兩部分。第二章2.1 離散時間LTI系統(tǒng)：卷積和一. 用單位脈沖表示離散時間信號離散時間信號中,最簡單的是 ,我們已經(jīng)看到可以由它的線性組合構(gòu)成即對任何離散時間信號,如果每次從其中取出一個點，就可以將信號拆開

14、來，每次取出的一個點都可以表示為不同加權(quán)、不同位置的單位脈沖。 于是有：表明：任何信號都可以被分解成移位加權(quán)的單位脈沖信號的線性組合。二. 卷積和如果一個線性系統(tǒng)對的響應(yīng)是，由線性特性就有系統(tǒng)對任何輸入 的響應(yīng)為：若系統(tǒng)具有時不變性，即：若 ，則因此，只要得到了LTI系統(tǒng)對的響應(yīng)-單位脈沖響應(yīng), 就可以得到LTI系統(tǒng)對任何輸入信號的響應(yīng)：這表明：一個LTI系統(tǒng)可以完全由它的單位脈沖響應(yīng)來表征。這種求得系統(tǒng)響應(yīng)的運算關(guān)系稱為卷積和.三. 卷積和的計算計算方法：有圖解法、列表法、解析法（包括數(shù)值解法）.運算過程：一個信號不動，另一個信號經(jīng)反轉(zhuǎn)后成為,再隨參變量移位。在每個值的情況下，將與對應(yīng)點相乘

15、，再把乘積的各點值累加，即得到時刻的。例1： 例2： 時， 時， 時， 時， 時，例3. 列表法分析卷積和的過程，可以發(fā)現(xiàn)有如下特點： 與的所有各點都要遍乘一次； 在遍乘后，各點相加時，根據(jù)，參與相加的各點都具有與的宗量之和為的特點。優(yōu)點：計算非常簡單。缺點：只適用于兩個有限長序列的卷積和； 一般情況下，無法寫出的封閉表達(dá)式.2.2 連續(xù)時間LTI系統(tǒng)：卷積積分一. 用沖激信號表示連續(xù)時間信號連續(xù)時間信號應(yīng)該可以分解成一系列移位加權(quán)的單位沖激信號的線性組合。至少單位階躍與單位沖激之間有這種關(guān)系：對一般信號，可以將其分成很多寬度的區(qū)段，用一個階梯信號近似表示。當(dāng)時，有引用，即：則有：第個矩形可表

16、示為： 這些矩形疊加起來就成為階梯形信號，即：當(dāng)時， 于是：表明：任何連續(xù)時間信號都可以被分解成移位加權(quán)的單位沖激信號的線性組合。 二. 卷積積分如果一個線性系統(tǒng)對的響應(yīng)為，則該系統(tǒng)對的響應(yīng)可表示為：若系統(tǒng)是時不變的，即：若(t)h(t)，則有: 于是系統(tǒng)對任意輸入 的響應(yīng)可表示為：(式子n換成t,k換成)表明:LTI系統(tǒng)可以完全由它的單位沖激響應(yīng)來表征。這種求得系統(tǒng)響應(yīng)的運算關(guān)系稱為卷積積分三. 卷積積分的計算卷積積分的計算與卷積和很類似，也有圖解法、解析法和數(shù)值解法。運算過程的實質(zhì)也是：參與卷積的兩個信號中，一個不動，另一個反轉(zhuǎn)后隨參變量移動。對每一個的值，將和對應(yīng)相乘，再計算相乘后曲線所

17、包圍的面積。通過圖形幫助確定積分區(qū)間和積分上下限是很有用的。例1: 例2 : 當(dāng)時， 當(dāng)時, 當(dāng)時, 當(dāng)時, 當(dāng)時,2.3 線性時不變系統(tǒng)的性質(zhì)一. 卷積積分與卷積和的性質(zhì)1. 交換律：結(jié)論：一個單位沖激響應(yīng)是的LTI系統(tǒng)對輸入信號所產(chǎn)生的響應(yīng)，與一個單位沖激響應(yīng)是的LTI系統(tǒng)對輸入信號所產(chǎn)生的響應(yīng)相同。2. 分配律：結(jié)論：兩個LTI系統(tǒng)并聯(lián)，其總的單位脈沖(沖激)響應(yīng)等于各子系統(tǒng)單位脈沖(沖激)響應(yīng)之和。3.結(jié)合律:結(jié)論： 兩個LTI系統(tǒng)級聯(lián)時，系統(tǒng)總的單位沖激(脈沖)響應(yīng)等于各子系統(tǒng)單位沖激(脈沖)響應(yīng)的卷積。 由于卷積運算滿足交換律，因此，系統(tǒng)級聯(lián)的先后次序可以調(diào)換。 產(chǎn)生以上結(jié)論的前提

18、條件： 系統(tǒng)必須是LTI系統(tǒng)； 所有涉及到的卷積運算必須收斂。若交換級聯(lián)次序，即成為：顯然與原來是不等價的。因為系統(tǒng)不是LTI系統(tǒng)。 又如：若，雖然系統(tǒng)都是LTI系統(tǒng)。當(dāng)時，如果交換級聯(lián)次序，則由于不收斂，因而也是不允許的。4. 卷積運算還有如下性質(zhì)：卷積積分滿足微分、積分及時移特性：卷積和滿足差分、求和及時移特性：例如：2.2 中的例2 根據(jù)微分特性有:利用積分特性即可得:二.LTI系統(tǒng)的性質(zhì) LTI 系統(tǒng)可以由它的單位沖激/脈沖響應(yīng)來表征，因而其特性（記憶性、可逆性、因果性、穩(wěn)定性）都應(yīng)在其單位沖激/脈沖響應(yīng)中有所體現(xiàn)。1. 記憶性： 如果LTI系統(tǒng)的單位沖激/脈沖響應(yīng)不滿足上述要求，則系

19、統(tǒng)是記憶的。2. 可逆性：如果LTI系統(tǒng)是可逆的，一定存在一個逆系統(tǒng)，且逆系統(tǒng)也是LTI系統(tǒng)，它們級聯(lián)起來構(gòu)成一個恒等系統(tǒng)。但差分器是不可逆的。微分器也是不可逆的。3. 因果性：4. 穩(wěn)定性：這是LTI系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件。5. LTI系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)：LTI系統(tǒng)的特性也可以用它的單位階躍響應(yīng)來描述。 2.4 用微分和差分方程描述的因果LTI系統(tǒng)一. 線性常系數(shù)微分方程1. 分析這類LTI系統(tǒng)，就是要求解線性常系數(shù)微分方程或差分方程。2.3.4.5.也就是要求確定待定系數(shù)所需的一組附加條件的值必須全部為零，因此， LCCDE具有一組零附加條件時，才能描述線性系統(tǒng)。 可以證明：當(dāng)這組零附加條件在信號加入的時刻給出時，LCCDE描述的系統(tǒng)不僅是線性的，也是因果的和時不變的。在信號加入的時刻給出的零附加條件稱為零初始條件。6. 結(jié)論：LCCDE具有一組全部為零的初始條件可以描述一個因果的LTI系統(tǒng)。這組條件是：如果一個因果的LTI系統(tǒng)由LCCDE描述，且方程具有零初始條件