知識點058完全平方公式(解答)

1、1、已知 n 是正整數(shù)， 1+是一個有理式A 的平方， 那么， A=±考點 ：完全平方式。專題 ：計算題。分析： 先通分，分母 n2（n+1） 2 是完全平方的形式，然后把分子整理成完全平方式的形式，從而即可得解解答： 解： 1+ +=，分子： n 2（ n+1） 2+（ n+1） 2+n2=n2（n+1） 2+n2+2n+1+n2，22=n （ n+1） +2n（ n+1） +1，=n（ n+1） +1 2，分子分母都是完全平方的形式， A=±故答案為： ±點評：本題考查了完全平方式， 先通分，然后把分子整理成完全平方公式的形式是解題的關(guān)鍵，難度較大，靈活性較強

2、2、關(guān)于 x 的二次三項式： x2+2mx+4 m2 是一個完全平方式，求m 的值考點 ：完全平方式。專題 ：計算題。分析：這里首末兩項是x 和 m 這兩個數(shù)的平方， 那么中間一項為加上或減去x 和 m 積的 2 倍解答： 解： x2+2mx+4m2 是完全平方式，222 x +2mx+4 m =（ x±m），22 4 m =m ，即 m1= ， m2= 點評： 本題是完全平方公式的應(yīng)用；兩數(shù)的平方和，再加上或減去它們積的2 倍，就構(gòu)成了一個完全平方式注意積的2 倍的符號，避免漏解3、 x， y 都是自然數(shù)，求證：22x +y+1 和 y +4x+3 的值不能同時是完全平方考點 ：完

3、全平方式。專題 ：證明題。分析： 先假設(shè)22x +y+1和 y +4x+3 的值能同時是完全平方，那么就可寫成完全平方式，從而可求 y=2x，x=y，而 xy 是自然數(shù)，則必是無理數(shù)，那么就與已知相矛盾，故可得證解答： 解：設(shè) x2+y+1 和 y2+4x+3 的值能同時是完全平方，那么有 x2+y+1=（ x+1） 2， y2+4x+3=（y+）2 ， y=2x， 4x=2 y，即 y=2x，x= y，又 x、 y 是自然數(shù)， y 必是無理數(shù)，與已知矛盾，22故 x +y+1 和 y +4x+3 的值不能同時是完全平方點評： 本題考查了完全平方式、無理數(shù)、自然數(shù)的定義兩數(shù)的平方和，再加上或減

4、去它們積的 2 倍，就構(gòu)成了一個完全平方式4、（ 2003?黃石）若x2+2xy+y2 a（x+y） +25 是完全平方式，求a 的值考點 ：完全平方式。分析：先把前三項根據(jù)完全平方公式的逆用整理， 再根據(jù)兩平方項確定出這兩個數(shù)， 利用乘積二倍項列式求解即可22解答： 解：原式 =（ x+y） a（ x+y）+5 ， a（ x+y） =±2×5?（ x+y），解得 a=±10點評：本題考查了完全平方式， 需要二次運用完全平方式， 熟記公式結(jié)構(gòu)是求解的關(guān)鍵， 把（ x+y）看成一個整體參與運算也比較重要5、將多項式4x2+1 加上一個單項式后，使它能成為一個整式的完

5、全平方則添加單項式的方法共有多少種？請寫出所有的式子及演示過程考點 ：完全平方式。專題 ：開放型。分析： 因為整式包括單項式和多項式兩種情況，所以根據(jù)4x2 是平方項，是乘積二倍項的情況利用完全平方公式添加，以及完全平方式是單項式的平方的情況添加一個單項式消去其中的一項即可解答： 解：添加的方法有5 種，其演示的過程分別是（1 分）添加 4x，得 4x2+1+4x=（ 2x+1） 2；（ 2 分）添加 4x，得 4x2+1 4x=（ 2x 1） 2；（ 3 分）添加 4x4，得 4x2+1+4x4=（ 2x2+1） 2；（4 分）添加 4x2，得4x222+14x =1；（5 分）添加 1，得

6、 4x2+11=（ 2x） 2（ 6 分）點評： 本題主要考查完全平方公式，應(yīng)充分理解整式的完全平方既可以是一個單項式的平方，也可以是一個多項式的平方，針對上述兩種情況來進行考慮，可防止漏解6、多項式2加上一個整式后是含x 的二項式的完全平方式x+1例題： x2+1+2x =（ x+1）2（ 1）按上例再寫出兩個加上一個單項式后是含 x 的二項式的完全平方式的式子（不能用已知的例題）：x2+1+ 2x=（x 1） 2；2422x +1+x=（ x +1） （ 2）按上例寫出一個加上一個多項式后是一個含x 的二項式的完全平方式x2+1+x4+x2=（ x2 +1） 2考點 ：完全平方式。專題 ：

7、閱讀型。分析： 把等式右邊根據(jù)完全平方公式展開即可求解完全平方公式（22解答： 解：例題（x+1） =x +2x+1，應(yīng)填入2x；（ 1） （ x 1） 2=x2 2x+1，應(yīng)填入 2x；222a±b） =a ± 2ab+b （x2+1） 2=x4+x2+1，應(yīng)填入x4；（ 2）（ x2+1） 2=x4+2x2+1=x4+x2+x2+1，應(yīng)填入的多項式是 x4+x2故應(yīng)填： 2x； 2x； x4； x4+x2點評： 本題考查了完全平方式的運用，兩數(shù)的平方和，再加上或減去它們積的2 倍，就構(gòu)成了一個完全平方式，熟練掌握完全平方公式并會逆用是求解的關(guān)鍵7、有一個多項式，它的中間

8、項是8ab，前后兩項被墨水污染了看不清，請你把前后兩項補充完整，使它成為完全平方式（要求寫出兩種不同方法）多項式：（）+8ab+（）考點 ：完全平方式。專題 ：開放型。分析： 根據(jù)完全平方公式，乘積二倍項為8ab，所以兩個數(shù)的積是4ab，可以分解出因式2a、2b，2、 2ab， a、 4b， 4a、 b， ab、 4，4ab、 1，選擇兩種情況填入平方項即可222（ 2ab+2）2=4a2b2+8ab+42222故本題答案為： 16a b ， 1； 4ab ， 4點評： 本題考查了完全平方式，根據(jù)完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征來進行分析，對乘積二倍項8ab的不同分解是求解的關(guān)鍵2，8、一個正整數(shù) a

9、恰好等于另一個正整數(shù)b 的平方，則稱正整數(shù)a 為完全平方數(shù)如64=8222264 就是一個完全平方數(shù)；若 a=2992 +2992 × 2993+2993求證： a 是一個完全平方數(shù)考點 ：完全平方式。專題 ：證明題。分析： 本題考查是的完全平方公式的應(yīng)用，考慮29922、 2993 2都是數(shù)值較大的數(shù)，計算起來很不方便，因此可采用換元法，設(shè)x=2992，則 2993=2992+1=x+1，然后再根據(jù)所設(shè)及題意對原式進行變形配成完全平方式解答： 證明：令2992=m ，則 2293=m+1，2222于是 a=m +m ?（ m+1） +（ m+1） ，432=m +2m +3m +2

10、m+1，=m4+2m3+2m2+m2+2m+1，2222，=（ m ）+2?m ?（ m+1）+（ m+1）=（ m2+m+1） 2，所以是 a 一個完全平方數(shù)點評：本題考查了完全平方式，在計算中巧用換元法靈活應(yīng)用公式可化繁為簡，起到簡便計算的作用9、小明和小強平時是愛思考的學(xué)生，他們在學(xué)習(xí)整式的運算這一章時，發(fā)現(xiàn)有些整式乘法結(jié)果很有特點，例如： （x 1）（ x2+x+1） =x3 1，（ 2a+b）（ 4a22ab+b2）=8a3+b3，小明說： “這些整式乘法左邊都是一個二項式跟一個三項式相乘，右邊是一個二項式”，小強說： “是??！而且右邊都可以看成是某兩項的立方的和（或差）”小明說：

11、“還有，我發(fā)現(xiàn)左邊那個二項式和最后的結(jié)果有點像”小強說： “對啊，我也發(fā)現(xiàn)左邊那個三項式好像是個完全平方式，不對，又好像不是，中間不是兩項積的2 倍 ”小明說： “二項式中間的符號、三項式中間項的符號和右邊結(jié)果中間的符號也有點聯(lián)系”親愛的同學(xué)們，你能參與到他們的討論中并找到相應(yīng)的規(guī)律嗎？（ 1）能否用字母表示你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律？（ 2）你能利用上面的規(guī)律來計算（ x 2y）（ x2 2xy+4y2）嗎？考點 ：完全平方式。專題 ：閱讀型。分析：左邊為一個二項式與一個三項式相乘，左邊二項式中間加減號與三項式前兩項加減號正好相反，二項式兩項為三項式第一第三項的一次項解答： 解：（ 1）（ a+b）（

12、a ab+b ） =a +b；（ a b）（ a2+ab+b2） =a3 b3；22xy+4y2） =（ x）3333（ 2）（ x 2y）（ x+（ 2y） = x 8y點評： 本題考查了完全平方式，是信息題， 兩數(shù)的和乘以這兩個數(shù)的平方和減去它們的差，等于這兩個數(shù)的立方和 （或兩數(shù)的差乘以這兩個數(shù)的平方和加上它們的和，等于這兩個數(shù)的立方差），讀懂題目信息是求解的關(guān)鍵10、閱讀下列材料：一個自然數(shù) a 恰好等于另一個自然數(shù)b 的平方，則稱自然數(shù)a 為完全平方數(shù)2222已知 a=2004 +2004× 2005+2005 ，試說明 a 是一個完全平方數(shù)考點 ：完全平方式。專題 ：閱讀

13、型。分析： 本題考查是的完全平方公式的應(yīng)用，考慮2004 2、 2005 2都是數(shù)值較大的數(shù)，計算起來很不方便， 因此可采用換元法，設(shè) x=2004，則 2005=2004+1=x+1，然后再根據(jù)所設(shè)及題意對原式進行變形配成完全平方式解答： 解：設(shè) x=2004，則 2005=2004+1=x+1，故有：a=x2 +x2（ x+1）2 +（ x+1） 2，2222，=x 2x（x+1） +（x+1） +2x（x+1） +x （ x+1）=x（ x+1） 222，+2x（ x+1）+x （ x+1）=1+2x（ x+1） +x2（x+1） 2，=1+x（x+1） 2，=1+x+x22，=（ 1+

14、2004+20042） 2，=40180212 a 是一個完全平方數(shù)點評：本題考查了完全平方式，在計算中巧用換元法靈活應(yīng)用公式可化繁為簡，起到簡便計算的作用2211、已知 a 4a+4+9b +6b+1=0，求 a、 b 的值考點 ：完全平方式；非負數(shù)的性質(zhì)：偶次方。分析： 本題考查完全平方公式的應(yīng)用，可逆向應(yīng)用完全平方公式和平方數(shù)非負數(shù)的性質(zhì)2222，解答： 解： a 4a+4+9b +6b+1=（ a 2）+（ 3b+1） =0而（ a 2） 20，（3b+1） 20， a 2=0， 3b+1=0，解得 a=2， b= 點評： 本題考查了兩個知識點：完全平方公式的逆用；平方數(shù)非負數(shù)的性質(zhì)1

15、2、試求出所有整數(shù)n，使得代數(shù)式2n2+n 29 的值是某兩個連續(xù)自然數(shù)的平方和考點 ：完全平方式。專題 ：計算題；配方法。分析： 先設(shè)兩個連續(xù)自然數(shù)是x、 x+1，然后根據(jù)題意列出方程，然后解以x 為未知數(shù)的一元二次方程，然后利用多次方程有整數(shù)根的條件來解解答： 解：設(shè)兩個連續(xù)自然數(shù)是x、 x+1，則根據(jù)題意知2222n +n29=x +（ x+1） ，化簡為 2x2+2x+30 2n2 n=0 x=因為 x 是自然數(shù)，所以4n2+2n 59 必為某個整數(shù)的平方（完全平方數(shù)），22因此設(shè) 4n +2n 59=k n=因為 n 是整數(shù)，所以2必為某個整數(shù)的平方（完全平方數(shù)），4k +237設(shè)

16、4k2+237=a2則有 a2 4k2=237，即（ a+2k）（ a2k ）=237，所以有或，解之得或由 式得 4k222，+237=119 或 41代入 式得 n1=10， n2= 30，符合條件的整數(shù)n 是 10 或 30點評： 本題主要考查了利用完全平方式的應(yīng)用兩數(shù)的平方和，再加上或減去它們積的2 倍，就構(gòu)成了一個完全平方式2213、試說明：（ a +3a）（ a +3a+2） +1 是一個完全平方式考點 ：完全平方式。專題 ：證明題。分析： 把 a2+3a 看成整體， 先利用單項式和多項式的乘法法則展開，再寫成完全平方公式的形式即可22解答： 證明：（ a +3a）（a +3a+2

17、） +1，22，=（ a +3a+1）22是一個完全平方式（ a +3a）（a +3a+2） +1把 a2+3a 看成整體是點評： 本題主要考查了完全平方公式的運用，整體思想使求解更加簡便，關(guān)鍵22214、已知 a=2002， b=2003 ， c=2004，求 a +b +c ab ac bc 的值考點 ：完全平方式。分析：題中出現(xiàn)兩個數(shù)的平方和及兩個數(shù)積時，考慮把它們組合整理為完全平方的形式，以簡便運算解答： 解： 2（ a2+b2+c2 ab ac bc），=a2+b2 2ab+a2+c22ac+b2+c2 2bc，222=（ a b）+（ a c） +（ bc） ，222=（ 2002

18、 2003） +（ 2002 2004） +（2003 2004） =1+4+1，=6， a2+b2+c2 ab ac bc=3點評： 本題考查了完全平方式，對原式擴大2倍求解是解答本題的關(guān)鍵，也滲透了分組和配方法的思想15、一個單項式加上多項式9（ x1）2 2x5 后等于一個整式的平方，試求所有這樣的單項式考點 ：完全平方式。專題 ：綜合題。9x2 20x+4，由于一個單項式加上多項式9（x 1）2 2x 5 后等于分析： 先化簡原式，得到一個整式的平方， 故這個單項式可能是常數(shù)項，可能是一次項， 可能是二次項， 分三種情況討論即可解答： 解： 9（ x 1） 2 2x 5=9x2 20x

19、+4，2又個單項式加上9（ x 1） 2x 5 后等于一個整式的平方， 9x220x+4+ =（ 3x） 2，故此單項式是； 9x220x+4+8x=（3x 2） 2，故此單項式是 8x； 9x2 20x+4+32x=（3x+2） 2，故此單項式是 32x； 9x220x+4+16x2=（5x2） 2，故此單項式是 16x2；故答案是、 8x、 32x、16x2點評： 本題是完全平方公式的應(yīng)用；兩數(shù)的平方和，再加上或減去它們積的2 倍，就構(gòu)成了一個完全平方式注意積的2倍的符號，避免漏解16、是否存在一個三位數(shù)（ a， b， c 取從 1 到 9 的自然數(shù)），使得為完全平方數(shù)？考點 ：完全平方式

20、。專題 ：推理填空題。分析：假設(shè)存在，那么三數(shù)之和可寫成 111（a+b+c），由于 111（ a+b+c）完全平方數(shù)， 而 111=3×37，且 3、 37 是質(zhì)數(shù)，故可知 a+b+c 中必有因數(shù) 3 和 37，又 0a+b+c27，說明 a+b+c 中不含因數(shù)37，從而不是完全平方數(shù)，這樣的三位數(shù)不存在解答： 解：假設(shè)存在，根據(jù)題意得=100a+10b+c+100b+10c+a+100c+10a+b=111（ a+b+c）， 111=3×37，而 3、 37 是質(zhì)數(shù)， a+b+c 的和中必有因數(shù)3和 37，又 a，b， c 取從 1 到 9 的自然數(shù)， 0a+b+c27

21、， a+b+c 中不含因數(shù) 37，不是完全平方數(shù)故這樣的三位數(shù)不存在點評： 本題考查的是完全平方數(shù)、質(zhì)數(shù)、不等式的有關(guān)知識17、已知，求值：（ 1）（ 2）考點 ：完全平方式。222分析：（1）利用完全平方和公式（解答；a+b）=a +2ab+b（ 2）利用（ 2）的結(jié)果和完全平方差公式（222解答a b） =a 2ab+b解答： 解：（ 1） x+ 3=0， x+=3， =（x+ ） 2 2=9 2=7，即=7；（ 2）由（ 1）知，=7，（ x ） 2= 2=7 2=5， x =± 點評： 此題是完全平方公式的應(yīng)用；兩數(shù)的平方和，再加上或減去它們積的2 倍，就構(gòu)成了一個完全平方式

22、注意積的2 倍的符號，避免漏解18、（ 1）當(dāng) a=2， b=1 時，求兩個代數(shù)式（a+b）2 與 a2+2ab+b2 的值；（ 2）當(dāng) a= 2，b=3 時，再求以上兩個代數(shù)式的值；222（ 3）你能從上面的計算結(jié)果中，發(fā)現(xiàn)上面有什么結(jié)論結(jié)論是：；（ a+b） =a +2ab+b（ 4）利用你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，求：1965 22 的值+1965× 70+35考點 ：完全平方式；代數(shù)式求值。分析：（1）、（ 2）將 a、 b 的值分別代入以上兩個代數(shù)式求值即可；（ 3）根據(jù)（ 1）、（ 2）的計算結(jié)果推導(dǎo)出完全平方和公式；（ 4）利用完全平方和公式計算222（2解答： 解：（ 1）當(dāng) a=

23、2，b=1 時，（ a+b） =1， a +2ab+b =1分）222分）（ 2）當(dāng) a= 2，b=3 時，（a+b） =25， a +2ab+b =25（ 4（ 3）（ a+b） 2=a2+2ab+b2（6 分）故答案是：（ a+b）2=a2+2ab+b222（ 4）原式 =1965 +2× 1965× 35+35=（ 1965+35 ）2=4000000（ 10 分）點評： 本題是完全平方公式的應(yīng)用；兩數(shù)的平方和，再加上或減去它們積的2倍，就構(gòu)成了一個完全平方式注意積的2 倍的符號，避免錯解19、如果 x2+2（ m2） x+9 是完全平方式，那么m 的值等于m1=5，

24、 m2= 1考點 ：完全平方式。專題 ：計算題。分析： 根據(jù)完全平方公式，中間一項為±6，依此可求出m 的值2解答： 解： x +2（ m 2）x+9 是一個完全平方式， 2（ m 2） =±6，解得 m=5 或 1，故答案為 m1=5， m2= 1點評： 本題是完全平方公式的應(yīng)用，兩數(shù)的平方和，再加上或減去它們積的2 倍，就構(gòu)成了一個完全平方式注意積的2 倍的符號，避免漏解，難度適中20、當(dāng) a=2， b= 3 時，求下列各代數(shù)式的值（ 1） a2+2ab+b2（ 2）（ a+b） 2考點 ：完全平方式；代數(shù)式求值。專題 ：計算題。分析：（1）代數(shù)式滿足完全平方的形式，先

25、用完全平方公式化成完全平方的形式，再把a， b的值代入求出代數(shù)式的值；（ 2）直接把 a， b 的值代入代數(shù)式求出代數(shù)式的值解答： 解：（ 1） a2+2ab+b2=（ a+b） 2=（ 2 3）2=122（ 2）（ a+b） =（ 23 ） =1點評： 本題考查的是代數(shù)式求值， （ 1）先化成完全平方的形式，再把a， b 的值代入代數(shù)式求出代數(shù)式的值 （2）代數(shù)式是一個完全平方的形式，把a， b 的值代入可以求出代數(shù)式的值2+1，添上一項，使它成為一個完全平方式，你有哪幾種方法？21、已知多項式 4x考點 ：完全平方式。專題 ：計算題。分析： 這里可以認為首末兩項是2x 和 1 這兩個數(shù)的平方，那么中間一項為加上或減去2x 和 1積的 2 倍；也可以認為首項是2x 的