立體幾何中的軌跡問題探索

1、試卷第 1 頁，總 8 頁立體幾何中的軌跡問題探索一、單選題1如圖為正方體1111abcda b c d，動點m從1b點出發(fā)，在正方體表面沿逆時針方向運動一周后，再回到1b的運動過程中，點m與平面11a dc的距離保持不變，運動的路程x與11lmamcmd之間滿足函數(shù)關系lfx，則此函數(shù)圖象大致是( ) abcd2已知異面直線a、b成 60角，其公垂線段為ef，|2ef，長為 4 的線段ab的兩端點分別在直線a、b上運動，則ab中點的軌跡為（）a橢圓b雙曲線c圓d以上都不是3 如圖所示，在棱長為a的正方體1111abcda b c d中，e是棱1dd的中點，f是側面11cdd c上的動點，且1

2、/ /b f面1a be，則f在側面11cdd c上的軌跡的長度是()aab2ac2ad22a4已知直線a平行于平面，且它們的距離為2d，我們把到直線a與到平面的距離都相等的點構成的集合定義為集合a，那么集合a中同屬于某個平面的點構成的圖形不可能是（）a橢圓b兩條平行直線c一條直線d拋物線5在正方體1111abcda b c d的側面11abb a內(nèi)有一動點p到直線11a b與直線bc的距離相等， 則動點p所在的曲線的形狀為（）試卷第 2 頁，總 8 頁abcd6給定正三棱錐pabc，點m為底面正abc內(nèi)( 含邊界 ) 一點，且m到三個側面pab,pbc pca的距離依次成等差數(shù)列，則點m的軌

3、跡為 ( ) a橢圓的一部分b一條線段c雙曲線的一部分d拋物線的一部分7設點m是長方體1111abcda b c d的棱ad的中點，14aaad，5ab，點p在面11bcc b上，若平面1d pm分別與平面abcd和平面11bcc b所成的銳二面角相等，則p點的軌跡為（）a橢圓的一部分b拋物線的一部分c一條線段d一段圓弧8如圖為正方體abcd-a1b1c1d1，動點 m從 b1點出發(fā)，在正方體表面沿逆時針方向運動一周后，再回到b1的運動過程中，點 m與平面 a1dc1的距離保持不變，運動的路程x 與 l=ma1+mc1+md 之間滿足函數(shù)關系l=f （x） ，則此函數(shù)圖象大致是（）ab試卷第

4、3 頁，總 8 頁cd9如圖，在正方體1111abcda b c d中，點p在側面11add a及邊界上運動，并且保持1bpac，則動點p的軌跡是（）a線段1a db線段1adcad的中點與11a d的中點連成的線段d1aa的中點與1dd的中點連成的線段10美學四大構件是: 史詩、音樂、造型、建筑等，繪畫和數(shù)學素描是學習繪畫的必要一步，它包括了明暗素描和結構素描而學習幾何體結構素描是學習素描最重要的一步，某同學在畫“切面圓柱體”( 用與圓柱底面不平行的平面去截圓柱，底面與截面之間的部分叫做切面圓柱體) 的過程中，發(fā)現(xiàn)“切面”是一個橢圓，若“切面所在平面與底面成 60角，則該橢圓的離心率為()

5、a12b22c32d1311已知正方體1111abcda b c d的棱長為2，p是底面abcd上的動點 ,1papc，則滿足條件的點p構成的圖形的面積等于（）a12b4c44d7212長方體中，是對角線上一點，是底面上一點，若，則的最小值為（）abcd13已知正方體1111abcda b c d的棱長為1，e是棱11d c的中點，點f在正方體內(nèi)部或正方體的表面上，且試卷第 4 頁，總 8 頁/ /ef平面11a bc，則動點f的軌跡所形成的區(qū)域面積是（）a98b32c3 34d214已知正方體1111abcda b c d的棱長為a，定點m在棱ab上( 不在端點,a b上) ，點p是平面ab

6、cd內(nèi)的動點，且點p到直線11a d的距離與點p到點m的距離的平方差為2a，則點p的軌跡所在的曲線為a圓b橢圓c雙曲線d拋物線15給定正三棱錐pabc，m點為底面正三角形abc內(nèi)（含邊界）一點，且m到三個側面pab、pbc、pac的距離依次成等差數(shù)列，則點m的軌跡為（）a雙曲線的一部分b圓的一部分c一條線段d拋物線的一部分16如圖，ab是平面的斜線段，a為斜足，點c滿足sinsin(0)cabcba，且在平面內(nèi)運動，則（）a當1時，點c的軌跡是拋物線b當1時，點c的軌跡是一條直線c當2時，點c的軌跡是橢圓d當2時，點c的軌跡是雙曲線拋物線17 如圖，直二面角ab，p，c，d， 且a da b，

7、bcab，5ad，10bc，6ab，apdcpb，則點p在平面內(nèi)的軌跡是（）a圓的一部分b橢圓的一部分c一條直線d兩條直線18已知點p是單位正方體1111abcda b c d的對角面11bb d d上的一動點，過點p作垂直于平面11bb d d的直線，與正方體的側面相交于m、n兩點，則bmn的面積的最大值為（）試卷第 5 頁，總 8 頁a64b12c32d6219歷史上，許多人研究過圓錐的截口曲線如圖，在圓錐中，母線與旋轉軸夾角為30，現(xiàn)有一截面與圓錐的一條母線垂直，與旋轉軸的交點o到圓錐頂點m的距離為1，對于所得截口曲線給出如下命題：曲線形狀為橢圓；點o為該曲線上任意兩點最長距離的三等分點

8、；該曲線上任意兩點間的最長距離為32，最短距離為233；該曲線的離心率為33其中正確命題的序號為（）abcd20如圖，矩形abcd中，e為邊ab的中點，將ade沿直線de翻轉為1a de若m為線段1ac的中點，則在ade翻轉過程中，有下列命題：bm是定值；點m在圓上運動；一定存在某個位置，使1deac；若1a平面bedc，則mb平面1a de其中正確的個數(shù)為（）a1b2c3d421已知正方體1111abcd -ab c d，空間一動點p滿足11a pab，且11apbadb，則點 p的軌跡為試卷第 6 頁，總 8 頁a直線b圓c橢圓d拋物線22正方體1111abcda b c d的棱長為1，點

9、m在棱ab上，且1am3，點p在平面abcd上，且動點p到直線11a d的距離的平方與點p到點m的距離的平方的差為1，在以ab、ad為坐標軸的平面直角坐標系中，動點p的軌跡是（）a圓b拋物線c雙曲線d直線23 已知正方體1111abcda b c d中，2ab，e為ad的中點，p為正方形1111dcba內(nèi)的一個動點 （含邊界），且5pe，則111papbpc的最小值為（）a171b173c17d17124在長方體1111abcda b c d中，11addd，3ab，,e f g分別是棱1,ab bc cc的中點，p是底面abcd內(nèi)一動點，若直線1d p與平面efg沒有公共點，則三角形1pbb

10、面積的最小值為（）a32b1c34d12二、填空題25已知正方體1111abcda b c d的棱長為2，e是棱11d c的中點，點f在正方體內(nèi)部或正方體的表面上，且/ /ef平面11a bc，則動點f的軌跡所形成的區(qū)域面積是_. 26如圖，在圓柱的軸截面abcd中，4ab，2bc，1o，2o分別為圓柱上下底面的中心，m為12o o的中點，動點p在圓柱下底面內(nèi)（包括圓周）. 若ammp，則點p形成的軌跡的長度為_. 27點m為棱長是2 2的正方體1111abcda b c d的內(nèi)切球o的球面上的動點，點n為11b c的中點，若滿足dmbn，則動點m的軌跡的長度為_ 28在長方體1111abcd

11、a b c d中，已知底面abcd為正方形，p為11a d的中點，1ad，13aa，點q為正方形abcd所在平面內(nèi)的一個動點，且滿足2qcqp，則線段bq的長度的最大值為 _. 29 如圖， 在棱長為 2 的正方體1111abcda b c d中，點m是ad中點，動點p在底面abcd內(nèi)（不包括邊界） ，試卷第 7 頁，總 8 頁使四面體1a bmp體積為23，則1c p的最小值是 _30如圖，在棱長為 1 的正方體1111abcda b c d中，點m是ad的中點，動點p在底面abcd內(nèi)（不包括邊界） ，若1/ /b p平面1a bm，則1c p的最小值是 _31 如圖，在邊長為 2 正方體1

12、111abcda b c d中，e為bc的中點，點p在正方體表面上移動， 且滿足11b pd e，則點1b和滿足條件的所有點p構成的圖形的面積是_. 32在長方體1111abcda b c d中，已知底面abcd為正方形，p為11a d的中點，1ad，13aa，點q為正方形abcd所在平面內(nèi)的一個動點，且滿足2qcqp，則線段bq的長度的最大值是_. 33已知正方體1111abcda b c d的棱長為1，動點p在正方體1111abcda b c d的表面上運動，且(03)parr，記點p的軌跡的長度為( )f r ，則12f_. 34已知正方體棱長為 2，點是上底面內(nèi)一動點， 若三棱錐的外接

13、球表面積恰為，則此時點構成的圖形面積為_. 35在棱長為1的透明密閉的正方形容器1111abcda b c d中，裝有容器總體積一半的水（不計容器壁的厚度），試卷第 8 頁，總 8 頁將該正方體容器繞1bd旋轉， 并始終保持1bd所在直線與水平平面平行，則在旋轉過程中容器中水的水面面積的最大值為 _36在正方體1111abcda b c d中邊長 ab為 2，p為正方形a1b1c1d1四邊上的動點，o為底面正方形abcd的中心，q為正方形abcd內(nèi)一點， m ，n分別為 ab，bc上靠近 a和 c的三等分點，若線段1d q與 op相交且互相平分，則點q的軌跡與線段mn形成的封閉圖形的面積為_3

14、7已知正方體abcd-a1b1c1d1的棱長為4，e為棱cc1的中點，點m在正方形bcc1b1內(nèi)運動，且直線am平面a1de，則動點m的軌跡長度為 _38正四棱錐（底面是正方形，頂點在底面上的射影是底面中心）s-abcd的底面邊長為4，高為 4，點 e、f、g分別為 sd ，cd ， bc的中點，動點p在正四棱錐的表面上運動，并且總保持pg 平面 aef ，則動點p的軌跡的周長為_答案第 1 頁，總 30 頁參考答案1c 【解析】【分析】先由題意， 得到點m在1b ac的邊上沿逆時針方向運動，設正方體1111abcda b c d的棱長為1，取線段1b a的中點為n，根據(jù)題意確定當動點m運動到

15、點n時，111nabclnancndlll，同理得到動點m運動到線段ac或1cb的中點時，也符合上式，根據(jù)變化情況，結合選項，即可得出結果. 【詳解】由題意可知：點m在1b ac的邊上沿逆時針方向運動，設正方體1111abcda b c d的棱長為1，取線段1b a的中點為n，則當動點m運動到點n時，11126232nabclnancndlll，同理，當動點m運動到線段ac或1cb的中點時，計算得11126232abclmamcmdlll. 符合 c選項的圖像特征. 故選： c 【點睛】本題主要考查空間幾何體中的軌跡問題，熟記空間幾何體的結構特征即可，屬于常考題型. 2a 【解析】【分析】根據(jù)

16、條件畫出合適的示意圖，確定,ab ef的中點,o p所在的平面，建立合適坐標系，先根據(jù)余弦定理求出本卷由系統(tǒng)自動生成，請仔細校對后使用，答案僅供參考。答案第 2 頁，總 30 頁,om on之間的關系，然后利用p的坐標形式表示出,omon之間的關系，由此得到對應的軌跡形狀. 【詳解】如圖所示：設ef的中點為o，過o作ef的垂面，則ab的中點p必在平面內(nèi)，設,a b在平面內(nèi)的射影點為,m n，因為2apbp，1ambn，所以2 3mn，以mon的角平分線為x軸，o為坐標原點建立平面直角坐標系如圖所示：設omm，onn，由余弦定理可知：2220122cos60mnmnmn，所以2212mnmn，又

17、因為30moxnox，設,p x y，所以322122xmnymn，所以2 3232 323mxynxy，將上述結果代入等式2212mnmn中化簡可得：2219xy，故軌跡是橢圓. 故選： a. 【點睛】本題考查立體幾何中的軌跡問題，難度較難. 處理立體幾何中的軌跡問題的方法：首先根據(jù)空間中的點線面位置關系確定出線段的長度，然后將問題統(tǒng)一到一個平面中并在該平面中建立合適的平面直角坐標系，借用坐標表示線段間的長度關系，進而化簡可得軌跡方程即可判斷軌跡形狀. 答案第 3 頁，總 30 頁3d 【解析】【分析】設h，i分別為1cc、11c d邊上的中點，由面面平行的性質可得f落在線段hi上，再求hi

18、的長度即可 . 【詳解】解：設g，h，i分別為cd、1cc、11c d邊上的中點，則 abeg 四點共面，且平面1/ /a bge平面1b hi，又1/ /b f面1a be，f落在線段hi上，正方體1111abcda b c d中的棱長為a，11222hicda ，即f在側面11cdd c上的軌跡的長度是22a故選：d【點睛】本題考查了面面平行的性質及動點的軌跡問題，屬中檔題. 4a 【解析】【分析】把問題放在正方體abcd-efgh中去，建立空間直角坐標系，找出關于, ,x y z的方程，通過方程判斷可能的圖形【詳解】如圖在棱長為2d正方體abcd-efgh中，將面abcd當作平面，將直線

19、eh當作直線a， 其距離為正方體的棱長2d，如圖，建立空間直角坐標系，本卷由系統(tǒng)自動生成，請仔細校對后使用，答案僅供參考。答案第 4 頁，總 30 頁設點m ( , , )x y z，則點m到平面的距離為z，(2 ,0,2),(0,0,2eddhd），(2 ,0,0),( , ,2hedhmx y zd），2222| cos,|2(2 )dxhe hmhe hmhe hmdxyzd則2222222222(2 )sin,1()2(2 )(2 )dxyzdhe hmdxyzdxyzd點m到直線a的距離為：2222222222(2 )sin,(2 )(2 )(2 )yzdmhhe hmxyzdyzd

20、xyzd，22(2 )zyzd，整理得：22440yddz當zd時，20y，即0y，一條直線，c有可能；當zd時，24 ()yd zd，即4 ()yd zd，兩條平行線，b有可能；當 z 不取常數(shù)，為一個變量時，22440yddz是一個拋物線的方程，d有可能；方程22440yddz任何時候都不可能是橢圓的方程，故a不可能故選： a【點睛】答案第 5 頁，總 30 頁本題考查利用空間直角坐標解決空間圖形的軌跡問題，是一道難題5b 【解析】【分析】由 bc 平面11abb a可知p到直線bc的距離即為p到點b的距離，從而可得其軌跡為拋物線的一部分且過點a，依次判斷各個選項即可. 【詳解】bc平面1

21、1abb a，pb平面11abb apbbcp到直線bc的距離為pb，即p點到點b的距離p點軌跡是以b為焦點，11a b所在直線為準線的拋物線的一部分又p在平面11abb a上，1abaap點軌跡過點a,a c中軌跡不是拋物線，則,a c錯誤；d中軌跡不過a，則d錯誤 . 故選：b【點睛】本題考查立體幾何中點的軌跡的求解，關鍵是能夠通過線面垂直關系確定動點軌跡為拋物線的一部分. 6b 【解析】【分析】根據(jù)m到三個側面pab,pbc pca的距離依次成等差數(shù)列可設距離分別為,da d da, 根據(jù)等體積法可求得d為常數(shù)。 作平面/ /平面pbc, 且平面與平面pbc的距離為d, 則平面與平面ab

22、c的交線即為點m的軌跡. 【詳解】根據(jù)m到三個側面pab,pbc pca的距離依次成等差數(shù)列可設距離分別為,da d da正三棱錐各個側面面積為s,體積為 v 則111333vs dasds da化簡可得vsd, 即vds為常數(shù)本卷由系統(tǒng)自動生成，請仔細校對后使用，答案僅供參考。答案第 6 頁，總 30 頁作平面/ /平面pbc, 且平面與平面pbc的距離為d, 則平面與底面abc的交線即為點m的軌跡可知 m為一條線段故選 :b 【點睛】本題考查了空間幾何體中的軌跡問題, 三棱錐等體積法的應用, 對空間想象能力要求較高, 屬于中檔題 . 7c 【解析】【分析】根據(jù)公式cosss得到11mdpc

23、pmss，計算得到p到直線11c m的距離為定值，得到答案. 【詳解】設p在平面abcd的投影為1p，平面1d pm與平面abcd所成的銳二面角為則11cosmdpd pmssm在平面11bcc b的投影為bc中點1m，平面1d pm與面11bcc b所成的銳二面角為則11coscpmd pmss故1111mdpcpmd pmd pmssss即11mdpcpmss得到11112 5,522c mh h即p到直線11c m的距離為定值，故p在與11c m平行的直線上又點p在面11bcc b上，故軌跡為一條線段. 故答案選c 【點睛】本題考查了立體幾何二面角，軌跡方程，通過cosss可以簡化運算，

24、是解題的關鍵. 8c 【解析】【分析】先找到點m的路線，把其路線分成六小段，分析從p到1b過程函數(shù)的單調(diào)性得解. 【詳解】由于點 m與平面 a1dc1的距離保持不變，所以點m在平面1b ac上，運動的路線為11bacb, 答案第 7 頁，總 30 頁設點 p為 b1c的中點，l=ma1+mc1+md中， ma1+md 是定值， pc1是定值，mc1=221pcpm，當 m從 c到1b, 運動到1pb段時，運動的路程x 慢慢變大時， pm變大， mc1變大，所以函數(shù)是增函數(shù)，所以c正確；（類似討論由1b到 a，由 a到 c的過程， l=ma1+mc1+md之間滿足函數(shù)關系l=f （x） 故選：

25、c【點睛】本題主要考查立體幾何軌跡問題，考查函數(shù)的單調(diào)性的判斷，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力 . 9a 【解析】【分析】先由111,aca b acbd得1ac平面1a db, 再判斷動點p的軌跡即可得解. 【詳解】解：連接1a d，由111,aca b acbd得1ac平面1a db, 即點p在線段1a d上運動時，總有1bpac，即動點p的軌跡是線段1a d，故選a. 本卷由系統(tǒng)自動生成，請仔細校對后使用，答案僅供參考。答案第 8 頁，總 30 頁【點睛】本題考查了線面垂直及線線垂直的判定，屬基礎題. 10c 【解析】【分析】根據(jù)幾何關系，得到橢圓的半長軸和半短軸與圓

26、柱底面圓的半徑之間的關系，然后算出c，從而得到離心率. 【詳解】設圓柱底面圓的半徑為r，與底面成60角的平面截圓柱，橢圓的半長軸長是2r，半短軸長是r，3cr32cea，故選c 【點睛】本題考查二面角轉化為平面角求線段之間的關系，求橢圓的離心率，屬于簡單題. 11a 【解析】【分析】p是底面abcd上的動點，因此只要在底面上討論即可，以,ab ad為,x y軸建立平面直角坐標系，設( ,)p x y，根據(jù)已知列出, x y滿足的關系【詳解】答案第 9 頁，總 30 頁如圖，以,ab ad為, x y軸在平面abcd內(nèi)建立平面直角坐標系，設( ,)p x y，由1papc得22222(2)(2)

27、2xyxy，整理得30 xy，設直線:30lxy與正方形abcd的邊交于點,m n，則p點在cmn內(nèi)部（含邊界） ，易知(1,2)m，(2,1)n，1cmcn，111 122cmns故選 a【點睛】本題考查空間兩點間的距離問題，解題關鍵是在底面abcd上建立平面直角坐標系，把空間問題轉化為平面問題去解決12a 【解析】【分析】將繞邊旋轉到的位置，使得平面和平面在同一平面內(nèi)，則到平面的距離即為的最小值，利用勾股定理解出即可。【詳解】將繞邊旋轉到的位置，使得平面和平面在同一平面內(nèi)，過點作平面，交于點，垂足為點，則為的最小值。，故選： a。本卷由系統(tǒng)自動生成，請仔細校對后使用，答案僅供參考。答案第

28、10 頁，總 30 頁【點睛】本題考查空間距離的計算，將兩折線段長度和的計算轉化為同一平面上是解決最小值問題的一般思路，考查空間想象能力，屬于中等題。13c 【解析】【分析】分別取棱1cc、bc、ab、1aa、11a d的中點m、n、g、q、p，證明平面/ /emngqp平面11a bc，從而動點f的軌跡所形成的區(qū)域是平面emngqp ，再求面積得解. 【詳解】如圖，分別取棱1cc、bc、ab、1aa、11a d的中點m、n、g、q、p，則11/ / /peacgn，1/ / /ema bgq，1/ / /pqbcmn，平面/ /emngqp平面11a bc，點f在正方體內(nèi)部或正方體的表面上，

29、若/ /ef平面11a bc，動點f的軌跡所形成的區(qū)域是平面emngqp ，正方體1111abcda b c d的棱長為1，22peemmnnggqpq，2pn，e到pn的距離22226()()244d，動點f的軌跡所形成的區(qū)域面積：2263 3222244pnmess梯形故選：c【點睛】本題考查動點f的軌跡所形成的區(qū)域面積的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查推理論證能力、空間想象能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、答案第 11頁，總 30 頁數(shù)形結合思想，是中檔題14d 【解析】【分析】作pfad，11pea d，連接ef，以a為原點建立空間直角坐標系，利用勾股

30、定理和兩點間距離公式構造222pepma，整理可得結果. 【詳解】作pfad，11pea d，垂足分別為,f e以a為原點建立如下圖所示的空間直角坐標系：設0, ,0mt，, ,0p x y由正方體特點可知，pf平面11add a222peya，222pmxyt2222222pepmyaxyta，整理得：222xtytp的軌跡是拋物線本題正確選項：d【點睛】本題考查立體幾何中點的軌跡問題，關鍵是能夠通過建立空間直角坐標系，求出動點滿足的方程，從而求得軌跡. 15c 【解析】【分析】先設點m到三個側面pab、pbc、pca的距離為da，d，d+a，正三棱錐pabc中各個側面的面積為s，體積為v，

31、用等體積法可得d為常數(shù)，作平面面pbc且它們的面面距離為d，則 與面abc的交線即為點m的軌跡【詳解】設點m到三個側面pab、pbc、pca的距離為da，d，d+a正三棱錐pabc中各側面的面積為s，體積為v，本卷由系統(tǒng)自動生成，請仔細校對后使用，答案僅供參考。答案第 12 頁，總 30 頁則s（da）d（d+a）v，即sdv，所以d為常數(shù)作平面 使 面pbc且它們的距離為d，則 與面abc的交線即為點m的軌跡又m點為底面正三角形abc內(nèi)（含邊界）一點，所以m的軌跡為一條線段故選：c【點睛】本小題主要考查等差數(shù)列、體積法的應用、軌跡方程等基礎知識，考查空間想象能力思想、化歸與轉化思想熟記正四面

32、體的結構特征與體積公式是關鍵，屬于基礎題16b 【解析】【分析】當1時，bcac，故c的軌跡為線段ab的中垂面與的交線，當2時，2bcac，在平面內(nèi)建立坐標系，設( , )c x y，求出c的軌跡方程得出結論【詳解】在abc中，sinsin(0)cabcba，由正弦定理可得：bcac，當1時，bcac，過ab的中點作線段ab的垂面，則點c在與的交線上，即點c的軌跡是一條直線，當2時，2bcac，設b在平面內(nèi)的射影為d，連接bd，cd，設bdh，2ada，則22bccdh，在平面內(nèi)，以ad所在直線為x軸，以ad的中點為y軸建立平面直角坐標系，設( , )c x y，則22()caxay，22()

33、cdxay，222()cbxayh，22222()2 ()xayhxay，化簡可得2222516393ahxay. c的軌跡是圓故選： b答案第 13 頁，總 30 頁【點睛】本題考查軌跡方程的求解與判斷，分類討論思想，屬于中檔題17a 【解析】【分析】以ab所在直線為x軸，ab的中垂線為y軸，建立平面直角坐標系，寫出點a，b的坐標，根據(jù)條件得出rt apdrt cpb，設出點p的坐標，利用兩點間的距離公式及相似，即可得到軌跡方程，從而判斷其軌跡【詳解】解：以ab所在直線為x軸，ab的中垂線為y軸，建立平面直角坐標系，設點,p x y，30a,，3,0b，adab，bcab，則 ad， bc，

34、5ad，10bc，6ab，apdcpb，rt apdrt cpb，22223511023xyapadbpbcxy，即2222343xyxy，整理得：22516xy，故點p的軌跡是圓的一部分，故選a. 【點睛】本題以立體幾何為載體考查軌跡問題，綜合性強，考查了學生靈活應用知識分析解決問題的能力和知識方法的遷移能力，同時考查了運算能力，轉化能力，屬于難題18a 【解析】【分析】根據(jù)題意和正方體的特征，分析點p動的過程中，x隨著y變化情況作出軌跡圖象，數(shù)形結合能求出結果【詳解】解：由題意知，mn平面bb1d1d，其軌跡經(jīng)過b，d1和側棱aa1，cc1的中點e，f，本卷由系統(tǒng)自動生成，請仔細校對后使用

35、，答案僅供參考。答案第 14 頁，總 30 頁如圖，設正方體中心為o1, 當 p點在線段bo1上運動時， mn隨 bp的增大而線性增大，所以bmn的面積表達式應是開口向上的二次函數(shù)圖像遞增的一部分; 當 p點在線段d1o1上運動時 , mn 隨 d1p的增大而線性減小，所以bmn的面積表達式應是開口向下的二次函數(shù)圖像遞減的一部分. 所以當mn與ef重合時，bmn的面積取最大值，此時，bmbn，mn，sbmn故選：a【點睛】本題考查了函數(shù)圖象的變化，根據(jù)幾何體的特征和條件進行分析兩個變量的變化情況，再用圖象表示出來，考查了作圖和讀圖能力、運算求解能力，考查數(shù)形結合思想，是中檔題19a 【解析】【

36、分析】畫出軸截面的圖像.根據(jù)選項可判斷出正確. 解直角三角形計算出ao的長以及長軸ab的長，由此可判斷出正確，排除 d選項 . 由于曲線是連續(xù)不斷的，故任意兩點間沒有最短距離，故錯誤，排除b,c 選項 .由此得出正確結論. 【詳解】根據(jù)選項可知正確，即曲線形狀為橢圓. 畫出軸截面的圖像如下圖所示，由于30 ,1amobmomaab mo， 所以1122aomo,30ombobm， 即1b omo，所以12aobo，而曲線上任意兩點最長距離為ab，故點o為該曲線上任意兩點最長距離的三等分點，由此可判斷出正確， 排除 d選項 .由于曲線是連續(xù)不斷的，故任意兩點間沒有最短距離，故錯誤， 排除 b,c

37、 選項 . 綜上所述，本小題選a. 答案第 15 頁，總 30 頁【點睛】本小題主要考查圓錐的截面問題，考查空間想象能力和邏輯推理能力，屬于中檔題. 20c 【解析】【分析】取cd中點n，連接mn，bn，由余弦定理可得2222mbmnnbmnnb cosmnb，所以mb是定值，可得正確；m是在以b為圓心，mb為半徑的圓上，可得正確；由射影定理可判斷；由平面mbn平面1a de，可判斷【詳解】取cd中點n，連接nm，bn，由1a demnb，112mna d定值，nbde定值，由余弦定理可得2222mbmnnbmnnb cos mnb，所以mb是定值，故正確；b是定點，m是在以b為圓心，mb為半

38、徑的圓上，故正確，a1c在平面abcd中的射影為ac，ac與de不垂直，不存在某個位置,使dea1c，故不正確 . 由1mnda，bnde，平面mbn平面1a de，mb平面1a de，故正確故選：c【點睛】本卷由系統(tǒng)自動生成，請仔細校對后使用，答案僅供參考。答案第 16 頁，總 30 頁本題考查線線、線面、面面平行與垂直的判定和性質定理，考查轉化思想和推理能力. 21b 【解析】【分析】通過11a pab得到點p在平面11a bcd上；再利用11adbapb且po為1ab的中垂線， 可解得po為定值，由此可得p在球面上；通過平面與球面相交得到軌跡為圓. 【詳解】由11a pab及1ab平面1

39、1a bcd可知：點p在平面11a bcd上設正方體棱長為1，則1ad，12ab，13b d又ad平面11abb a，可知1adab113cos3adadbb d即13cos3apb取連接1a b交1ab于點o，則o為1ab中點，連接po1ab平面11a bcd，po平面11a bcd1abpo又o為1ab中點，所以po為1ab中垂線1appb，令apx則2223232xxx2332x222133123222poxb o由此可得：p點在以o為球心，po長為半徑的球面上p點軌跡即為平面11abcd與球面的交線上可知軌跡為圓 . 本題正確選項：b答案第 17 頁，總 30 頁【點睛】本題考查空間中

40、動點的軌跡問題，關鍵在于能夠確定動點分別滿足球面的特點且在平面11abcd上，由此可確定軌跡為平面截球面所形成的的交線，進而得到軌跡為圓的結論. 22b 【解析】【分析】結合正方體的圖像，作pqad，q為垂足，過點q作11qrd a，求出點p到直線11a d的距離，以及p到點m的距離，即可得出結果. 【詳解】如圖所示： 正方體1111abcda b c d中，作pqad， q為垂足， 則pq面11add a，過點q作11qrd a，則11d a面pqr，pr即為點p到直線11a d的距離，由題意可得222prpqrq1又已知22prpm1，pmpq，即p到點m的距離等于p到ad的距離， 根據(jù)拋

41、物線的定義可得，點p的軌跡是拋物線，故選： b【點睛】本題主要考查立體幾何中的軌跡問題，熟記圓錐曲線的定義即可，屬于常考題型. 23b 【解析】【分析】設11a d的中點為f，則p是以f為圓心，以1 為半徑的圓面（位于正方形1111a b c d內(nèi)） ，建立平面直角坐標系，把問題轉化為224323xy，結合圓的幾何性質得到結果. 【詳解】設11a d的中點為f，連接ef、pf，則在efp中，effp，222epeffp，21fp. p是以f為圓心，以1為半徑的圓面（位于正方形1111a b c d內(nèi)） . 以1a為原點建系如圖所示，則10,0a，12,0b，12,2 ,f 0,1c，設p的坐標

42、為, x y，則本卷由系統(tǒng)自動生成，請仔細校對后使用，答案僅供參考。答案第 18 頁，總 30 頁111,2,2,2paxypbxypcxy,11143 ,23ypapbpcx. 2222111424323333papbpcxyxy. 設q點的坐標為4 2,3 3，則111331papbpcpqqf173. 故選： b 【點睛】本題考查平面向量模長的最值問題，考查空間問題平面化的思想，考查利用代數(shù)方法處理平面問題的策略，屬于中檔題 . 24c 【解析】【分析】由直線與平面沒有公共點可知線面平行，補全所給截面后，易得兩個平行截面，從而確定點p所在線段，得解【詳解】補全截面efg為截面efghqr

43、如圖，其中 h、q 、r分別為1111c da d、1aa的中點，易證平面acd1平面efghqr，直線d1p與平面efg不存在公共點，d1p面acd1，d1p面acd1，答案第 19 頁，總 30 頁pac，過 p作 ac的垂線，垂足為k，則 bk=13322, 此時bp最短，pbb1的面積最小，三角形1pbb面積的最小值為1331224，故選：c【點睛】本題考查了截面問題，涉及線面平行， 面面平行的定義的應用，考查了空間想象能力與邏輯思維能力，屬于中檔題253 3【解析】【分析】分別取1111,ccbc ab aaa d的中點,g h m n k, 并連同e點順次連接 , 六邊形eghmn

44、k就是所求的動點f的軌跡 , 求出面積即可. 【詳解】如下圖所示：分別取1111,ccbc ab aa a d的中點,g h mn k, 并連同e點順次連接，因為eg是三角形11cc d的中位線 , 所以1111/ / /,/ /egcd cda bega b1a b平面11a bc,eg平面111/ /eagbcab, 同理,gh hm mn nk ke都平行平面11a bc, 所以eghmnk就是所求的動點f的軌跡 , 該正六邊形的邊長為2212222, 所以正六邊形的面積為：1622 sin 603 32. 故答案為：3 3【點睛】本卷由系統(tǒng)自動生成，請仔細校對后使用，答案僅供參考。答案

45、第 20 頁，總 30 頁本題考查了直線與平面平行的判定定理的應用, 考查了數(shù)學運算能力、空間想象能力. 2615【解析】【分析】由題意，以2o為坐標原點，以2o b方向為y軸，以底面內(nèi)垂直于2o b的直線為x軸，以21o o方向為z軸，建立空間直角坐標系，設( , ,0)p x y，用向量的方法，確定點p形成的軌跡是底面的一條弦，根據(jù)圓的弦長公式，即可求出結果 . 【詳解】以2o為坐標原點，以2o b方向為y軸，以底面內(nèi)垂直于2o b的直線為x軸，以21o o方向為z 軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，因為4ab，2bc，所以(0,2,0)a，(0,0,1)m，設( , ,0)p x y，所

46、以(0,2,1)am，( , , 1)mpx y，又ammp，所以210ammpyuuur uuu r，所以12y，即點p形成的軌跡是，底面上與x軸平行，且過2o b靠近點2o的四等分點的線段（也是底面圓的一條弦）；所以形成的軌跡長度為222122 415244abo b. 故答案為15【點睛】本題主要考查立體幾何中的軌跡問題，靈活運用空間向量的方法求解即可，屬于?？碱}型. 274 105【解析】【分析】答案第 21 頁，總 30 頁取1bb的中點h，連接ch，可證得nb平面dch，由題意，點m的軌跡是內(nèi)切球o的球面與平面dch相交得到的小圓，利用垂徑定理即可得出結論【詳解】正方體1111ab

47、cda b c d的內(nèi)切球o的半徑2r，由題意，取1bb的中點h，連接ch，則chnb，dcnb，nb平面dch，動點m的軌跡就是平面dch與內(nèi)切球o的球面相交得到的小圓，正方體1111abcda b c d的棱長是2 2，o到平面dch的距離為25d，截面圓的半徑222 25rrd，所以動點m的軌跡的長度為截面圓的周長4 1025r. 故答案為4 105【點睛】本題考查了學生的空間想象力，求出點m的軌跡是關鍵，屬于中檔題286 【解析】【分析】先以d點為坐標原點，分別以da，dc，1dd所在方向為x軸，y軸， z 軸正方向，建立空間直角坐標系，由題意得到(0,2,0)c，1,0,3p，(2,

48、2,0)b，設(,0)q x y，由2qcqp，得到22(2)(2)4xy，再由圓上的點與定點距離的問題，即可求出結果. 【詳解】以d點為坐標原點，分別以da，dc，1dd所在方向為x軸，y軸， z 軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，因為在長方體1111abcda b c d中，已知底面abcd為正方形，p為11a d的中點，2ad，13aa，本卷由系統(tǒng)自動生成，請仔細校對后使用，答案僅供參考。答案第 22 頁，總 30 頁所以(0,2,0)c，1,0,3p，(2,2,0)b，因為點q為正方形abcd所在平面內(nèi)的一個動點，設( ,0)q x y，因為2qcqp，所以2222(2)213x

49、yxy，整理得：22(2)(2)4xy即點q可看作圓22(2)(2)4xy上的點，又22(2)(2)bqxy，所以bq表示圓22(2)(2)4xy上的點與定點(2, 2)之間的距離，因此22max(22)( 22)426bqr（其中r表示圓22(2)(2)4xy的半徑 . ）故答案為6 【點睛】本題主要考查立體幾何中的最值問題，通常可用建系的方法求解，靈活運用轉化與化歸的思想即可，屬于?？碱}型. 292305【解析】【分析】由已知可得p到bm的距離，再利用勾股定理知要使1c p取得最小值，則需cp取得最小值，此時利用點到直線的距離可得解 . 【詳解】答案第 23 頁，總 30 頁由已知得四面體

50、1a bmp體積1122,33ambpmbpvs所以1,mbps設p到bm的距離為h，則151,2mbpsh解得2 5,5h所以p在底面abcd內(nèi)（不包括邊界）與bm平行且距離為2 55的線段l上，要使1c p的最小，則此時p是過c作bm的垂線的垂足 . 點c到bm的距離為4 5,5所以2 5,5cp此時221min2 52 302.55c p故答案為2 305. 【點睛】本題考查立體幾何的動點最值問題，將空間立體問題轉化為平面問題是解題的關鍵，屬于難度題. 30305【解析】【分析】由面面平行找到點p在底面abcd內(nèi)的軌跡為線段dn，再找出點p的位置，使1c p取得最小值，即1c p垂直dn

51、于點o，最后利用勾股定理求出最小值. 【詳解】取bc中點n，連結11,b d b n dn，作codn，連1c o，因為面1/ /b dn面面1a bm，所以動點p在底面abcd內(nèi)的軌跡為線段dn，當點p與點o重合時，1c p取得最小值，本卷由系統(tǒng)自動生成，請仔細校對后使用，答案僅供參考。答案第 24 頁，總 30 頁因為1115222552dn codc ncco，所以221min11130()155c pc ococc. 【點睛】本題考查面面平行及最值問題，求解的關鍵在于確定點p的位置，再通過解三角形的知識求最值. 3192. 【解析】【分析】點p滿足11b pd e，且在正方體的表面上，

52、所以點p只能在面abcd、面11bcc b、面11cc d d、面11abb a內(nèi)?！驹斀狻咳?cc，cd的中點分別為,n m，連結11,am mn b n ab，由于1/ /abmn，所以1ab nm四點共面，且四邊形1ab nm為梯形，因為11,d emn d eam mnamm，所以1d e面1ab nm，因為點p在正方體表面上移動，所以點p的運動軌跡為梯形1ab nm，如圖所示：因為正方體1111abcda b c d的邊長為2，所以112,2 2,5nmabamb n，所以梯形1ab nm為等腰梯形，所以11()2smnab199( 22 2)222h?！军c睛】本題以動點問題為背景，

53、考查空間中線面、 線線位置關系、 面積的求解運算， 解題的關鍵在于確定點p的運動軌跡。326【解析】答案第 25 頁，總 30 頁【分析】在正方形abcd所在平面內(nèi)建立平面直角坐標系，設( ,)q x y，由2qcqp，可得22(2)4xy，進而可得出結果 . 【詳解】在正方形abcd所在平面內(nèi)建立平面直角坐標系，設( ,)q x y，則有2223(1)pqxy，222(2)(2)qcxy，因為2qcqp，所以2222(2)(2)622(1)xyxy，整理得22(2)4xy，所以點q的軌跡是以( 2,0)為圓心，以2為半徑的圓，所以線段bq長度的最大值為2226. 故答案為6 【點睛】本題主要

54、考查點線面間的距離計算，以及立體幾何中的軌跡問題，常用坐標系的方法處理，屬于?？碱}型. 3334【解析】【分析】根據(jù)題意12pa時，球與正方體的三個面有交點，點p在正方體三個面上的軌跡都是以a為圓心，12為半徑的14圓周，從而可得結果. 【詳解】根據(jù)題意，可以把( )f r 看成以a為球心，半徑為r的球與正方體的表面的交線的長度，由于球的任何截面都是圓，所以在正方體的各表面上的軌跡均是一段圓弧，當12pa時，球與正方體的三個面有交點，點p在正方體三個面上的軌跡都是以a為圓心，12為半徑的14圓周 .所以1113322424f，故答案為34. 本卷由系統(tǒng)自動生成，請仔細校對后使用，答案僅供參考。

55、答案第 26 頁，總 30 頁【點睛】本題主要考查正方體的性質、球的性質，考查空間點的軌跡問題，意在考查空間想象能力以及靈活應用所學知識解答問題，屬于中檔題. 34. 【解析】【分析】設三棱錐的外接球為球，分別取、的中點、，先確定球心在線段和中點的連線上，先求出球的半徑的值，然后利用勾股定理求出的值，于是得出， 再利用勾股定理求出點在上底面軌跡圓的半徑長，最后利用圓的面積公式可求出答案【詳解】如圖所示，設三棱錐的外接球為球，分別取、的中點、，則點在線段上，由于正方體的棱長為2，則的外接圓的半徑為，設球的半徑為，則，解得. 所以，則而點在上底面所形成的軌跡是以為圓心的圓，由于，所以，因此，點所構成的圖形的面積為. 【點睛】本題考查三棱錐的外接球的相關問題，根據(jù)立體幾何中的線段關系求動點的軌跡，屬于中檔題. 352【解析】【分析】設點e在11a b上，點f在cd上，滿足1a ecf，則原問題等價于求解四邊形1bfd