特殊一元二次方程解法—知識(shí)講解

1、一元二次方程及其解法(一)特殊的一元二次方程的解法一知識(shí)講解(提高)【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1. 理解一元二次方稈的概念和一元二次方稈根的意義，會(huì)把一元二次方稈化為一般形式;2. 掌握直接開平方法和因式分解法解方程，會(huì)應(yīng)用此判定方法解決有關(guān)問(wèn)題；3. 理解解法中的降次思想，直接開平方法和因式分解法中的分類討論與換元思想.【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、一元二次方程的有關(guān)概念1. 一元二次方程的概念:通過(guò)化簡(jiǎn)后，只含有一個(gè)未知數(shù)(一元)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2(二次)的整式方程，叫做一元 二次方程.要點(diǎn)詮釋：識(shí)別一元二次方程必須抓住三個(gè)條件：(1)整式方程；(2)含有一個(gè)未知數(shù)；(3)未知數(shù)的最高次 數(shù)是2.不滿足其

2、屮任何一個(gè)條件的方程都不是一元二次方程，缺一不可.2. 一元二次方程的一般形式：一般地，任何一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程，都能化成形如«a+ta+c-0(tf0),這種形式叫做 一元二次方程的一般形式.其中才是二次項(xiàng)，。是二次項(xiàng)系數(shù)；bx是一次項(xiàng)，b是一次項(xiàng)系數(shù)；c是常 數(shù)項(xiàng).要點(diǎn)詮釋：(1) 只有當(dāng) 0時(shí)，方程* “卄卍=0才是一元二次方程；(2) 在求各項(xiàng)系數(shù)時(shí)，應(yīng)把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各項(xiàng)系數(shù)時(shí)注意不要漏 掉前面的性質(zhì)符號(hào).3. 一元二次方程的解：使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.4. 一元二次方程根的重要結(jié)論

3、(1) 若a+b+c=o,則一元二次方程«a+icr+a -0)必有一根x=l；反之也成立，即若x=l 是一元二次方程的一個(gè)根，則a.+b+c=0.(2) 若a-b+c二0,則一元二次方程ajt1 +ax+c - 0(« z 0)必有一根x二-1；反之也成立，即若x=-l是一元二次方程一的一個(gè)根，則a-b+c二0.(3) 若一元二次方程tfx1有一個(gè)根x=0,則c二0；反之也成立，若c二0,則一元二次方程& 4-ax4-c 一 0(tf zo)必有一根為0.要點(diǎn)二、特殊的一元二次方程的解法1. 直接開方法解一元二次方程：（1）直接開方法解一元二次方程：利用平方根的定

4、義直接開平方求一元二次方程的解的方法稱為直接開平方法.（2）直接開平方法的理論依據(jù)：平方根的定義.（3）能用直接開平方法解一元二次方程的類型有兩類： 形如關(guān)于x的一元二次方程” =a，可直接開平方求解.若4a0,則豪=樂(lè)；表示為斗賦 五,有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根；若1 = 0,則x=o；表示為| =0,有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；若a 0.則方程無(wú)實(shí)數(shù)根. 形如關(guān)于x的一元二次方程（«+»/ =m（d曲3 0），可直接開平方求解，兩根是要點(diǎn)詮釋：用直接開平方法解一元二次方程的理論依據(jù)是平方根的定義，應(yīng)用時(shí)應(yīng)把方程化成左邊是含未知數(shù) 的完全平方式，右邊是非負(fù)數(shù)的形式，就可以直接開平方求這個(gè)方

5、程的根.2. 因式分解法解一元二次方程（1）用因式分解法解一元二次方程的步驟 將方程右邊化為0； 將方程左邊分解為兩個(gè)一次式的積； 令這兩個(gè)一次式分別為0,得到兩個(gè)一元一次方程； 解這兩個(gè)一元一次方程，它們的解就是原方程的解.（2）常用的因式分解法提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.要點(diǎn)詮釋：（1）能用分解因式法來(lái)解一元二次方程的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)：方程的一邊是0,另一邊可以分解成兩個(gè)一次 因式的積；（2）用分解因式法解一元二次方程的理論依據(jù)：兩個(gè)因式的積為0,那么這兩個(gè)因式屮至少有一個(gè) 等于0；（3）用分解因式法解一元二次方程的注意點(diǎn)：必須將方程的右邊化為0；方稈兩邊不能同

6、吋除 以含有未知數(shù)的代數(shù)式.【典型例題】類型一、關(guān)于一元二次方程的判定1.判定下列方程是否關(guān)于x的一元二次方程:【答案與解析】(1)經(jīng)整理，得它的一般形式(a2+2) x2+ (a-3) x-a (a+l)=o,其中，由于對(duì)任何實(shí)數(shù)q都有20,于是都有+2>0,由此可知(+2h0,所以可以判定: 對(duì)任何實(shí)數(shù)/它都是一個(gè)一元二次方程.(2)經(jīng)整理，得它的一般形式(m2-l) x2+ (2-2m) x+ (m3+1)=0,其中，當(dāng)mhl且mht時(shí)，有m2-10,它是一個(gè)一元二次方程；當(dāng)m二1時(shí)方程不存在， 當(dāng)滬-1時(shí)，方程化為4x=0,它們都不是一元二次方程.【總結(jié)升華】對(duì)于含有參數(shù)的一元二

7、次方程，要十分注意二次項(xiàng)系數(shù)的収值范圍，在作為一元二次方程 進(jìn)行 研究討論時(shí)，必須確定對(duì)參數(shù)的限制條件.如在第(2)題，對(duì)參數(shù)麻的限定條件是m±l.例如，一個(gè)關(guān)于x的方程，若整理為(m-4)x2+mx-3=0的形式，僅當(dāng)即mh4時(shí)，才是一元 二次方程(顯然，當(dāng)m二4時(shí)，它只是一個(gè)一元一次方程4x-3=0).又如，當(dāng)我們說(shuō)：“關(guān)于x的一元二次 方程(a-l)x2+(2a+l)x+a2-l=0”時(shí)，實(shí)際上就給出了條件“a-lho”,也就是存在一個(gè)條件“ahl”.由 于這個(gè)條件沒(méi)有直接注明，而是隱含在其他的條件之中，所以稱它為“隱含條件”.值范圍.類型二、一元二次方程的一般形式、各項(xiàng)系數(shù)的

8、確定 己知關(guān)于y的一元二次方程m2(y2+m)-3my=y (8y-l) +1,求出它各項(xiàng)的系數(shù)，并指出參數(shù)m的収【答案與解析】將原方程整理為一般形式，得(m2-8)y2-(3m-l)y+m:1-l=0,由于已知條件已指出它是一個(gè)一元二次方程，所以存在一個(gè)隱含條件m2-80,即川工土2無(wú)可知它的各項(xiàng)系數(shù)分別是a=m2-8 (mh 土 2返)， b=-(3m-l), c=m-l.參數(shù)m的取值范圍是不等于土 22的一切實(shí)數(shù).【總結(jié)升華】在含參數(shù)的方程屮，要認(rèn)定哪個(gè)字母表示未知數(shù)，哪個(gè)字母是參數(shù)，才能正確處理有關(guān)的 問(wèn)題.舉一反三：【變式】關(guān)于x的方程+=l的一次項(xiàng)系數(shù)是1,則"【答案】原

9、方程化簡(jiǎn)為x2-ax+l=0,則-a=-l, a二1.類型三、一元二次方程的解(根)已知 m, n 是方程 x2-2x-1 = 0 的兩根，且(7m2-14m+a) (3n2-6n-7) =8,則 a 的值等于()a. -5 b. 5 c. -9 d. 9【答案】c；【解析】根據(jù)方程根的定義,m, n是方程x2-2x-1 = 0的兩根，：m2-2m-l=0, n2-2n-l=0.變形可得：7m2-14m=7, 3n2-6n = 3.將變形后的式子代入已知等式中可得：(7+a) (3-7) =8, 解得a=-9.【總結(jié)升華】當(dāng)看到式子很復(fù)雜，別著急，注意與已知條件聯(lián)系，運(yùn)用根的定義，注意觀察已知

10、等式的 特點(diǎn)，將7m2-14m與36n看作整體，運(yùn)用整體代入法求解.舉一反三：【變式】(1)x=l是用監(jiān)+7 = 0的根，則a=.(2)已知關(guān)于x的一元二次方程(加一 1)/ + 2兀+加2_1 =()有一個(gè)根是0,求m的值.【答案】(1)當(dāng)x二1吋，la+7=0,解得a二&(2)由題意得 2所以丄“所以1尸一1-1 = 0 =±1類型四、用直接開平方法解一元二次方程4. 解方程(x-3)'=49.【答案與解析】把x-3看作一個(gè)整體，直接開平方，得x-3=7 或 x-3二-7.由 x-3=7,得 x=10.由 x-3=-7,得 x=-4.所以原方程的根為x=10或x=

11、-4.【總結(jié)升華】應(yīng)當(dāng)注意，如果把x+m看作一個(gè)整體，那么形如(x+ni)=n(n&0)的方程就可看作形如xk 的方程，也就是可用直接開平方法求解的方程；這就是說(shuō)，一個(gè)方程如果可以變形為這個(gè)形式，就 nj用直接開平方法求出這個(gè)方程的根.所以，(x+m)n可成為任何一元二次方程變形的目標(biāo).舉一反三:【變式】解方程： !(3x+l)7；(2) 9x2-24x+16=11.【答案】解：(3x+1)2=7x -(3x+l)2二573x+l二土虧(注意不要丟解)原方程的解為xl 土蟲，x2二土更.33(2)解：9x2-24x+16=11(3x-4)2=11.*.3x-4=±3原方程的解

12、為也，x2二土1應(yīng)33類型五、因式分解法解一元二次方程5. 解方程：(x+1)2-2 (x+1) (2-x) + (2-x)2 = 0【答案與解析】設(shè)x+l=m, 2-x = n,則原方程可變形為：nr 一 2mn + 斥=0 .i (m-n)" = 0,：m=n,即 x+1 =2-x. x兀。【總結(jié)升華】若把各項(xiàng)展開，整理為一元二次方程的一般形式，過(guò)程太煩瑣.觀察題目結(jié)構(gòu)，可將x+1 看作m,將(2-x)看作n,則原方程左端恰好為完全平方式，于是此方程利用分解因式法可解.舉一反三：【變式】方程(x-1) (x+2)=2(x+2)的根是【答案】將(x+2)看作一個(gè)整體，右邊的2(x+2)移到方程的左邊也可用提取公因式法因式分解.即(x-1) (x+2)-2 (x+2) =0, (x+2) (x-l)-2=0./.(x+2) (x-3) =0, /.x+2 = 0 或 x3 = 0.xi=-2x2=3.紗6.如果(x2 + y2)(x2 + /-2) = 3,請(qǐng)你求出x2 + /的值.【答案與解析】® x2 + y2 = z ,z(z-2) =3.整理得：z2-2z-3 = 0,(z-3) (z+l)=o.zi = 3, z2=-l.z = x2 + y2 > o ,z = -1(不合題意，舍去)z 3.即f+y2的值