題目圓的方程

1、題目： 圓的方程高考要求： 1.掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程。 2.了解參數(shù)方程的概念 理解圓的參數(shù)方程。3.掌握圓的方程的兩種形式并會(huì)根據(jù)具體情況選擇其中的一種解題;4.掌握圓系方程并會(huì)運(yùn)用它解決有關(guān)問題;5.靈活運(yùn)用圓的幾何性質(zhì)解決問題。知識要點(diǎn)：1圓的定義平面內(nèi)與定點(diǎn)距離等于定長的點(diǎn)的集合(軌跡)叫圓2.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程圓心為（a，b），半徑為r的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為方程中有三個(gè)參量a、b、r，因此三個(gè)獨(dú)立條件可以確定一個(gè)圓3.圓的一般方程二次方程x2+y2+dx+ey+f=0（*）配方得（x+）2+（y+）2=把方程其中，半徑是，圓心坐標(biāo)是叫做圓的一般方程。（1）圓的一般方程體現(xiàn)了圓方程的代數(shù)特點(diǎn)

2、：x2、y2項(xiàng)系數(shù)相等且不為零 沒有xy項(xiàng)。（2）當(dāng)d2+e24f=0時(shí)，方程（*）表示點(diǎn)（，）；當(dāng)d2+e24f0時(shí)，方程（*）不表示任何圖形（3）根據(jù)條件列出關(guān)于d、e、f的三元一次方程組，可確定圓的一般方程。4.二元二次方程ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0表示圓的充要條件若二元二次方程ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0表示圓，則有a=c0，b=0，這僅是二元二次方程表示圓的必要條件，不充分。在a=c0，b=0時(shí)，二元二次方程化為x2+y2+x+y+=0，僅當(dāng)d2+e24af0時(shí)表示圓。故ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0表示圓的充要條件是：a=c0，b=0，d2

3、+e24af05.線段ab為直徑的圓的方程： 若，則以線段ab為直徑的圓的方程是6.經(jīng)過兩個(gè)圓交點(diǎn)的圓系方程：經(jīng)過，的交點(diǎn)的圓系方程是：在過兩圓公共點(diǎn)的圖象方程中，若=1，可得兩圓公共弦所在的直線方程。 7.經(jīng)過直線與圓交點(diǎn)的圓系方程： 經(jīng)過直線與圓的交點(diǎn)的圓系方程是：8.確定圓需三個(gè)獨(dú)立的條件（1）標(biāo)準(zhǔn)方程： ， （2）一般方程：，（ 題型講解：例1.與點(diǎn)a(-1,0)和點(diǎn)b(1,0)連成直線的斜率之積為-1的動(dòng)點(diǎn)p的軌跡為 a.x2+y2=1 b.x2-y2=1(x±1) c.x2+y2=1 (y0) d.y=例2(1)求經(jīng)過點(diǎn)a(5,2),b(3,2),圓心在直線2xy3=0上

4、的圓的方程;(2)求以o(0,0),a(2,0),b(0,4)為頂點(diǎn)的三角形oab外接圓的方程解：(1)設(shè)圓心p(x0,y0),則有解得 x0=4, y0=5, 半徑r=, 所求圓的方程為(x4)2+(y5)2=10(2)采用一般式,設(shè)圓的方程為x2+y2+dx+ey+f=0,將三個(gè)已知點(diǎn)的坐標(biāo)代入列方程組解得：d=2, e=4, f=0點(diǎn)評：第(1),(2)兩小題根據(jù)情況選擇了不同形式例3. 求與軸x軸相切，圓心在直線3xy=0上，且被直線x-y=0截下的弦長2的圓的方程分析： 利用圓的性質(zhì)：半弦、半徑和弦心距構(gòu)成的直角三角形解：法一：設(shè)所求圓點(diǎn)方程是(x-a)2+(y-b)2=r2，則圓心

5、(a,b)到直線xy=0的距離為，即2r2=(a-b)2+14 由于所求圓與x軸相切，r2=b2 又所求圓心在直線3x-y=0上，3a-b=0 聯(lián)立解得 a=1,b=3,r3=9，或a=-1,b=-3,r2=9，故所求圓方程為(x-1)2+(y-3)2=9或(x+1)2+(y+3)2=9法二：設(shè)所求圓點(diǎn)方程為x2+y2+dx+ey+f=0圓心為半徑為令y=0，得x2+dx+f=0，由圓與x軸相切，得=0，即d2=4f 又圓心到直線x-y=0的距離為。由已知得，即(d-e)2+56=2(d2+e2-4f) 又圓心在直線3x-y=0上，3d-e=0 聯(lián)立得d=-2,e=-6,f=1或d=2,e=6

6、,f=1故所求圓方程為x2+y2-2x-6y+1=0，或x2+y2+2x+6y+1=0點(diǎn)評：在解決求圓的方程這類問題時(shí)，應(yīng)當(dāng)注意以下幾點(diǎn)：（1）確定圓方程首先明確是標(biāo)準(zhǔn)方程還是一般方程；（2）根據(jù)幾何關(guān)系（如本例的相切、弦長等）建立方程求得a、b、r或d、e、f；（3）待定系數(shù)法的應(yīng)用，解答中要盡量減少未知量的個(gè)數(shù)例4. 求過直線2x+y+4=0和圓x2+y2+2x4y+1=0的交點(diǎn),且面積最小的圓的方程解：因?yàn)橥ㄟ^兩個(gè)交點(diǎn)的動(dòng)圓中，面積最小的是以此二交點(diǎn)為直徑端點(diǎn)的圓，于是解方程組得交點(diǎn)a(11/5,2/5), b(3,2),利用圓的直徑式方程得:(x+11/5)(x+3) +(y2/5)(

7、y2)=0,化簡整理得 (x+13/5)2+(y6/5)2=4/5例5. 設(shè)方程，若該方程表示一個(gè)圓，求m的取值范圍及這時(shí)圓心的軌跡方程。解：配方得： 該方程表示圓，則有，得，此時(shí)圓心的軌跡方程為，消去m，得，由得x=m+3，所求的軌跡方程是，點(diǎn)評：方程表示圓的充要條件，求軌跡方程時(shí)，一定要討論變量的取值范圍，如題中例6.已知點(diǎn)p(x,y)為圓 x2+y2=4上的動(dòng)點(diǎn)，則 x+y 的最大值為_小結(jié)：1不論圓的標(biāo)準(zhǔn)方程還是一般方程，都有三個(gè)字母（a、b、r或d、e、f）的值需要確定，因此需要三個(gè)獨(dú)立的條件利用待定系數(shù)法得到關(guān)于a、b、r（或d、e、f）的三個(gè)方程組成的方程組，解之得到待定字母系數(shù)的值2求圓的方程的一般步驟：（1）選用圓的方程兩種形式中的一種（若知圓上三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，通常選用一般方程；若給出圓心的特殊位置或圓心與兩坐標(biāo)間的關(guān)系，通常選