2020年東營市中考數(shù)學壓軸題型講練——圓的證明與計算

1、2020 年東營市中考數(shù)學壓軸題型講練圓的證明與計算【題型導引】題型一：與圓的性質(zhì)有關(guān)的證明與計算（1）與圓內(nèi)三角形、四邊形為背景研究形狀及其線段、周長面積等問題；（ 2）圓內(nèi)多邊形關(guān)于角的問題；（3）已知圓內(nèi)特殊三角形背景下線段的長度計算等。題型二：與圓的切線有關(guān)的證明與計算（1）已知圓的切線與特殊三角形的關(guān)系，計算半徑、線段等問題；（2）已知圓與特殊三角形相關(guān)條件判定圓的切線及其線段計算等問題；（ 3）已知圓與特殊四邊形相關(guān)條件判定圓的切線及其線段計算等問題。題型三：與扇形、弧長等有關(guān)的計算（1）根據(jù)圓的性質(zhì)及其相關(guān)條件進行計算弧長、扇形面積等問題；（2）根據(jù)圓的性質(zhì)及其相關(guān)條件進行計算圓

2、錐等問題；【典例解析】類型一：與圓的性質(zhì)有關(guān)的證明與計算例題 1： （2019?湖北省荊門市 ?10 分）已知銳角 abc 的外接圓圓心為o，半徑為r（1）求證：2r；（2）若 abc中a45， b60，ac ，求 bc的長及 sinc 的值【解答】解： （1）如圖 1，連接 ao并延長交o于 d，連接 cd ，則cd 90， abc adc ，sin abc sin adc =2r；（2）2r，同理可得：-=2r，2r 2，bc 2r?sina2sin45 ，如圖 2，過 c作 ce ab于 e，be bc?cosb cos60，ae ac?cos45 ，ab ae+be ，ab ar?si

3、nc ，sinc技法歸納：圓的性質(zhì)綜合運用題中，經(jīng)常用到的重要性質(zhì)及技法：運用圓是軸對稱圖形也是中心對稱圖形可以對相關(guān)結(jié)論作合理的猜測；利用垂徑定理，通過在由半弦、半徑、弦心距組成的直角三角形，運用勾股定理或銳角三角函數(shù)進行計算；在同圓或等圓中，圓心角、弧、弦、弦心距等量對等量關(guān)系，可以轉(zhuǎn)化相等關(guān)系；由直徑所對的圓周角是直角構(gòu)造直角三角形；相似三角形、銳角三角函數(shù)、勾股定理是計算線段長度及其線段數(shù)量關(guān)系的重要手段類型二：與圓的位置關(guān)系有關(guān)的證明與計算例題 2：(2018婁底中考) 如圖， c，d是以 ab為直徑的o上的點， acbc，弦 cd交 ab于點 e. (1) 當 pb是o 的切線時，

4、求證： pbd dab ；(2) 求證： bc2ce2ce de ；(3) 已知 oa 4，e是半徑 oa的中點，求線段de的長【解析】(1) ab是o 的直徑，adb 90， bad abd 90.pb是o 的切線，abp 90， pbd abd 90，bad pbd.(2) adcb ，aed ceb ，ade cbe ，debeaece，即 de ce ae be.如圖，連接oc. 設(shè)圓的半徑為r ，則 oa ob oc r ，則 de ce ae be (oaoe)(ob oe)r2oe2. acbc，aoc boc 90，ce2oe2oc2oe2r2，bc2bo2 co22r2，則

5、bc2ce22r2 (oe2r2) r2oe2，bc2ce2de ce.(3) oa 4，ob oc oa 4，bc ob2oc242. 又e 是半徑 oa的中點，ae oe 2，則 ce oc2 oe2422225. bc2ce2de ce ，(42)2(25)2de 25，解得 de 655. 技法歸納：與切線有關(guān)的證明與計算，最常用的輔助線是連接經(jīng)過切點的半徑，利用直徑構(gòu)造直角三角形，利用圓周角相等轉(zhuǎn)移角的位置等運用三角形全等、三角形相似、勾股定理、銳角三角函數(shù)等知識進行證明與計算類型三：與扇形面積有關(guān)的證明與計算例題 3： （2019?湖北武漢? 8 分）已知ab是 o的直徑， am和

6、 bn是 o的兩條切線， dc與 o相切于點e，分別交am 、bn于 d.c 兩點（1）如圖 1，求證： ab2 4ad ?bc ；（2）如圖 2，連接 oe并延長交 am于點 f，連接 cf 若 ade 2ofc ，ad 1，求圖中陰影部分的面積【解答】（ 1）證明：連接oc.od ，如圖 1 所示：am和 bn是它的兩條切線，am ab ，bn ab，am bn ， ade+ bce 180dc切 o于 e， ode ade ， oce bce ， ode+ oce 90， doc 90， aod+ cob 90， aod+ ado 90， aod ocb ， oad obc 90， ao

7、d bco ，, oa2ad ?bc ，（ab ）2ad ?bc，ab24ad ?bc ；（2）解：連接od ，oc ，如圖 2 所示： ade 2ofc ， ado ofc ， ado boc ， boc foc ， ofc foc ，cfoc ，cd垂直平分of ，od df，在 cod 和 cfd中， cod cfd （ sss ） ， cdo cdf ， oda+ cdo+ cdf 180， oda 60 boc ， boe 120，在 rtdao ，ad oa ，rtboc中， bc ob ，ad ：bc 1：3，ad 1，bc 3， ob ，圖中陰影部分的面積2sobcs扇形 ob

8、e23 3技法歸納：求與圓有關(guān)的陰影部分的面積時，常常是通過把不規(guī)則圖形的面積，用扇形的面積和三角形的面積的和差來解決特別地，對于旋轉(zhuǎn)圖形，要利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，確定旋轉(zhuǎn)的中心( 扇形的圓心 ) 和旋轉(zhuǎn)半徑 ( 相應(yīng)的線段 ) 的位置的變化，常常運用三角形全等進行面積的割補【變式訓練】1. 如圖所示，在 abc 中， abac ，其內(nèi)切圓o與邊 bc ，ac，ab分別切于點d，e，f. (1) 求證： bf ce ；(2) 若acb 30， ce 2 3，求 ac的長【解析】： (1) 證明：連結(jié)ao并延長， ab ac ，ao的延長線交bc于切點 d，則 bd cd. 又由切線長定理，得bfbd

9、 ， cd ce ，bfce. (2) ce 2 3， cd 2 3. 又ad bc ， adc 90. 又 acb 30，ac cdcosacb2 3cos302 332 4. 2. （2019?黑龍江省齊齊哈爾市?8 分）如圖，以 abc的邊 bc為直徑作 o ，點 a在 o上，點 d在線段 bc的延長線上， ad ab ， d 30（1）求證：直線ad是 o的切線；（2）若直徑bc 4，求圖中陰影部分的面積【解答】（ 1）證明：連接oa ，則 coa 2b，ad ab ， b d 30， coa 60， oad 180 60 30 90，oa ad ，即 cd是 o的切線；（2）解： b

10、c 4，oa oc 2，在 rtoad 中， oa 2， d30，od 2oa 4，ad2，所以 soadoa ?ad 222，因為 coa 60，所以 s扇形 coa，所以 s陰影soads扇形 coa23. （2018 遼寧撫順）如圖，rtabc中， abc=90 ，以ab為直徑作 o ，點 d為 o上一點，且cd=cb 、連接 do并延長交cb的延長線于點e（1）判斷直線cd與 o的位置關(guān)系，并說明理由；（2）若 be=4 ，de=8 ，求 ac的長【解答】（ 1）證明：連接oc cb=cd ， co=co， ob=od ， ocb ocd ， odc= obc=90 ，od dc ，d

11、c是 o的切線（2）解：設(shè) o的半徑為r 在 rtobe中， oe2=eb2+ob2，（ 8r ）2=r2+42，r=3，tan e=，=，cd=bc=6 ，在 rtabc中， ac= = =64. （2019?甘肅慶陽 ?8 分）已知：在 abc 中， abac （1）求作： abc 的外接圓（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）（2）若 abc的外接圓的圓心o到 bc邊的距離為4，bc 6，則 so【解答】解： （1）如圖o即為所求（2）設(shè)線段bc的垂直平分線交bc于點 e由題意 oe 4，be ec3，在 rtobe中， ob 5，s圓 o?5225故答案為255. （2018 云南

12、昆明）如圖，ab是 o的直徑， ed切 o于點 c，ad交 o于點 f， ac平分 bad ，連接 bf（1）求證： ad ed ；（2）若 cd=4 ，af=2 ，求 o的半徑【解答】（ 1）證明：連接oc ，如圖，ac平分 bad ， 1=2，oa=oc ， 1=3， 2=3，oc ad ，ed切 o于點 c，oc de ，ad ed ；（2）解： oc交 bf于 h，如圖，ab為直徑，afb=90 ，易得四邊形cdfh為矩形，fh=cd=4 ，chf=90 ，oh bf，bh=fh=4 ，bf=8，在 rtabf中， ab= = =2， o的半徑為6. （2019?四川省涼山州? 8 分

13、）如圖，點d是以 ab為直徑的 o上一點，過點b作 o的切線，交ad的延長線于點 c， e是 bc的中點，連接de并延長與ab的延長線交于點f（1）求證： df是 o的切線；（2）若 ob bf，ef 4，求 ad的長【解答】解： （1）如圖，連接od ，bd ，ab為 o的直徑， adb bdc 90，在 rtbdc中， be ec ，de ec be ， 1 3，bc是 o的切線， 3+490， 1+490，又 2 4， 1+290，df為 o的切線；（2） ob bf，of 2od ， f30， fbe 90，be ef 2，de be 2，df6， f30， odf 90， fod 6

14、0，od oa ， a ado bod 30， a f，ad df67. （2019?山東省德州市?12 分）如圖， bpd 120，點a.c 分別在射線pb.pd上， pac 30，ac 2（1）用尺規(guī)在圖中作一段劣弧，使得它在a.c 兩點分別與射線pb和 pd相切 要求： 寫出作法， 并保留作圖痕跡；（2）根據(jù)（ 1）的作法，結(jié)合已有條件，請寫出已知和求證，并證明；（3）求所得的劣弧與線段pa.pc圍成的封閉圖形的面積【解答】解： （1）如圖，（2）已知：如圖， bpd 120，點a.c 分別在射線pb.pd上， pac 30， ac 2過 a.c 分別作 pb.pd的垂線，它們相交于o

15、，以 oa為半徑作 o ，oa pb ，求證： pb.pc為o 的切線；證明： bpd 120，pac 30，pca 30，pa pc ，連接 op ，oa pa ，pc oc ，pao pco 90，op op ，rtpao rtpco （ hl）oa oc ，pb.pc為o 的切線；（3） oap ocp 903060，oac為等邊三角形，oa ac 2，aoc 60，op平分 apc ，apo 60，ap 22，劣弧ac 與線段pa.pc 圍成的封閉圖形的面積s四邊形apcos形 aoc222428. （2019 湖北省鄂州市） （10 分）如圖， pa是o 的切線，切點為a，ac是o

16、的直徑，連接op交o 于 e過 a點作 ab po于點 d，交o 于 b，連接 bc ，pb （1）求證： pb是o 的切線；（2）求證： e為pab的內(nèi)心；（3）若 cospab ，bc1，求 po的長【解答】（ 1）證明：連結(jié)ob ，ac為o 的直徑，abc 90，ab po ，po bcaop c，pob obc ，ob oc ，obc c，aop pob ，在aop和bop中，aop bop （ sas ） ，obp oap ，pa為o 的切線，oap 90，obp 90，pb是o 的切線；（2）證明：連結(jié)ae ，pa為o 的切線，pae+ oae 90，ad ed ，ead+ aed

17、 90，oe oa ，oae aed ，pae dae ，即ea平分 pad ，pa 、 pd為o 的切線，pd平分 apbe 為pab的內(nèi)心；（3）解： pab+ bac 90， c+ bac 90，pab c，cosccospab ，在 rtabc中，cosc，ac ， ao ，pao abc ，po 59. 已知 abc的內(nèi)切圓 o與 ab 、bc 、ac分別相切于點d、e、f，若=，如圖 1， （1）判斷 abc的形狀，并證明你的結(jié)論；（2）設(shè) ae與 df相交于點m ，如圖 2，af=2fc=4 ，求 am的長【解答】解： （1） abc為等腰三角形， abc的內(nèi)切圓 o與 ab 、

18、bc 、ac分別相切于點d、 e、f， cfe= cef= bdo= beo=90 ，四邊形內(nèi)角和為360， eof+ c=180 ， doe+ b=180 ，=， eof= doe ， b=c，ab=ac ， abc為等腰三角形；（2）連接 ob 、oc 、od 、of ，如圖，等腰三角形abc中， ae bc ，e是 bc中點， be=ce ，在 rtaof和 rtaod中，rtaof rtaod ，af=ad ，同理 rtcof rtcoe ，cf=ce=2 ，rtbod rtboe ，bd=be ，ad=af ， bd=cf ，dfbc ，=，ae=4，am=4=10. （2019?山

19、東威海? 12 分） （1）方法選擇如圖，四邊形abcd 是 o的內(nèi)接四邊形，連接ac ，bd，ab bc ac 求證： bd ad+cd 小穎認為可用截長法證明：在db上截取 dm ad ，連接 am 小軍認為可用補短法證明：延長cd至點 n，使得 dn ad請你選擇一種方法證明（2）類比探究【探究 1】如圖，四邊形abcd 是 o的內(nèi)接四邊形，連接ac ，bd，bc是 o的直徑， ab ac 試用等式表示線段ad ，bd ，cd之間的數(shù)量關(guān)系，井證明你的結(jié)論【探究 2】如圖，四邊形abcd 是 o的內(nèi)接四邊形，連接ac ， bd 若 bc是 o的直徑， abc 30，則線段ad ，bd ，cd之間的等量關(guān)系式是（3）拓展猜想如圖，四邊形abcd 是 o的內(nèi)接四邊形，連接ac ，bd 若 bc是 o的直徑， bc ：ac ：ab a：b：c，則線段 ad ，bd ，cd之間的等量關(guān)系式是【解答】解： （1）方法選擇：abbc