定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用.PPT

1、1四、四、 旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積 (補(bǔ)充補(bǔ)充)二、體積二、體積第二節(jié)第二節(jié)一、一、 平面圖形的面積平面圖形的面積三、三、 平面曲線的弧長(zhǎng)平面曲線的弧長(zhǎng) 定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用 第六六章 2xyo)(xfy abxyo)(1xfy )(2xfy ab曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積 badxxfA)(曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積 badxxfxfA)()(121.直角坐標(biāo)系情形直角坐標(biāo)系情形xxxdx xdx 一、一、 平面圖形的面積平面圖形的面積3例例 1 1 計(jì)計(jì)算算由由兩兩條條拋拋物物線線xy 2和和2xy 所所圍圍成成的的圖圖形形的的面面積積.解解兩曲線的交點(diǎn)兩曲線的交點(diǎn))1 , 1

2、()0 , 0(面積元素面積元素dxxxdA)(2 選選 為積分變量為積分變量x1 , 0 xdxxxA)(210 10333223 xx.31 2xy 2yx 4解解兩曲線的交點(diǎn)兩曲線的交點(diǎn)).9 , 3(),4 , 2(),0 , 0( 236xyxxy選選 為積分變量為積分變量x3, 2 x,0, 2)1( xdxxxxdA)6(231 ,3 , 0)2( xdxxxxdA)6(322 2xy xxy63 5于是所求面積于是所求面積21AAA dxxxxA)6(2023 dxxxx)6(3230 .12253 說(shuō)明：注意各積分區(qū)間上被積函數(shù)的形式說(shuō)明：注意各積分區(qū)間上被積函數(shù)的形式問(wèn)題：

3、問(wèn)題：積分變量只能選積分變量只能選 嗎？嗎？x6解解兩曲線的交點(diǎn)兩曲線的交點(diǎn)).4 , 8(),2, 2( 422xyxy選選 為積分變量為積分變量y4, 2 ydyyydA 242.1842 dAAxy22 4 xy7如果曲邊梯形的曲邊為參數(shù)方程如果曲邊梯形的曲邊為參數(shù)方程 )()(tytx 曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積.)()(21 ttdtttA （其其中中1t和和2t對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)曲曲線線起起點(diǎn)點(diǎn)與與終終點(diǎn)點(diǎn)的的參參數(shù)數(shù)值值）在在1t,2t（或或2t,1t）上上)(tx 具具有有連連續(xù)續(xù)導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，)(ty 連連續(xù)續(xù).8abxoyx例例3. 3. 求橢圓求橢圓12222byax解解: : 利用

4、對(duì)稱性 , xyAdd所圍圖形的面積所圍圖形的面積 . 有axyA0d4利用橢圓的參數(shù)方程)20(sincosttbytax應(yīng)用定積分換元法得024Atbsinttad)sin(202dsin4ttbaba4212ba當(dāng) a = b 時(shí)得圓面積公式xxd9例例4.4. 求由擺線求由擺線)cos1 (, )sin(tayttax)0( a的一拱與的一拱與 x 軸所圍平面圖形的面積軸所圍平面圖形的面積 .)cos1 (tadA解解: :ttad)cos1 ( ttad)cos1 (2022ttad2sin42042)2(tu 令uuadsin8042uuadsin162042216a4321223

5、 a20Axyoa2102. 極坐標(biāo)情形( ),( )0 ,C 設(shè)求由曲線( ) 及, 射線圍成的曲邊扇形的面積 .( ) x d在區(qū)間,上任取小區(qū)間d,則對(duì)應(yīng)該小區(qū)間上曲邊扇形面積的近似值為d)(21d2A所求曲邊扇形的面積為d)(212A 11對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng) 從從 0 變變例例5 5. 計(jì)算阿基米德螺線計(jì)算阿基米德螺線解解: :(0)aaxa 2o dd)(212a20A22a331022334a點(diǎn)擊圖片任意處點(diǎn)擊圖片任意處播放開(kāi)始或暫停播放開(kāi)始或暫停到到2 所圍圖形面積所圍圖形面積 . 12解解由對(duì)稱性知總面積由對(duì)稱性知總面積=4倍第倍第一象限部分面積一象限部分面積14AA daA2cos21

6、4402 .2a xy 2cos22a 1A13解解 dadA22)cos1(21 利用對(duì)稱性知利用對(duì)稱性知.232a d d2)cos1( 02212aA d)coscos21(2 02a 2sin41sin2232a 014oxya心形線(外擺線的一種外擺線的一種)2222yxaxayx即)cos1 ( ar點(diǎn)擊圖中任意點(diǎn)動(dòng)畫開(kāi)始或暫停 尖點(diǎn):)0,0( 面積:223a 弧長(zhǎng):a8參數(shù)的幾何意義152coscos21)2cos1 (21aa2oxyd)cos1 (2122a例. 計(jì)算心形線計(jì)算心形線與圓所圍圖形的面積 . 解解: 利用對(duì)稱性 ,)0()cos1 (aar2221aA2222

7、1aad)2cos21cos223(所求面積)243(2122aa22245aa ar 216 旋轉(zhuǎn)體旋轉(zhuǎn)體就是由一個(gè)平面圖形饒這平面內(nèi)就是由一個(gè)平面圖形饒這平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體這直線叫做一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體這直線叫做旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)軸圓柱圓柱圓錐圓錐圓臺(tái)圓臺(tái)二、體積二、體積1.旋轉(zhuǎn)體的體積旋轉(zhuǎn)體的體積17一一般般地地，如如果果旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體是是由由連連續(xù)續(xù)曲曲線線)(xfy 、直直線線ax 、bx 及及x軸軸所所圍圍成成的的曲曲邊邊梯梯形形繞繞x軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)一一周周而而成成的的立立體體，體體積積為為多多少少？取取積積分分變變量量為為x，,bax 在在,ba上任取小區(qū)上任取小區(qū)間間,

8、dxxx ，取取以以dx為為底底的的窄窄邊邊梯梯形形繞繞x軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)而而成成的的薄薄片片的的體體積積為為體體積積元元素素，dxxfdV2)( xdxx xyo旋轉(zhuǎn)體的體積為旋轉(zhuǎn)體的體積為dxxfVba2)( )(xfy 18yr解解hPxhry 取取積積分分變變量量為為x，, 0hx 在在, 0h上任取小區(qū)間上任取小區(qū)間,dxxx ，xo直線直線 方程為方程為OP19以以dx為底的窄邊梯形繞為底的窄邊梯形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的薄片的軸旋轉(zhuǎn)而成的薄片的體積為體積為dxxhrdV2 圓錐體的體積圓錐體的體積dxxhrVh20 hxhr03223 .32hr yrhPxo20ayxb例. 計(jì)算由橢圓計(jì)算

9、由橢圓12222byax所圍圖形繞 x 軸旋轉(zhuǎn)而轉(zhuǎn)而成的橢球體的體積. 解解: 方法方法1 利用直角坐標(biāo)方程)(22axaxaaby則xxaabad)(220222(利用對(duì)稱性)3222312xxaab0a234aboaV02xy d2x21方法2 利用橢圓參數(shù)方程利用橢圓參數(shù)方程tbytaxsincos則xyVad202ttabdsin23222 ab32234ab1 02特別當(dāng)b = a 時(shí), 就得半徑為a 的球體的體積.343a22a aoyx解解,323232xay 332322 xay,aax 旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體的的體體積積dxxaVaa33232 .105323a 23星形線taytax

10、33sin,cosa星形線是內(nèi)擺線的一種.t點(diǎn)擊圖片任意處點(diǎn)擊圖片任意處播放開(kāi)始或暫停播放開(kāi)始或暫停大圓半徑 Ra小圓半徑4ar 參數(shù)的幾何意義(當(dāng)小圓在圓內(nèi)沿圓周滾動(dòng)時(shí), 小圓上的定點(diǎn)的軌跡為是內(nèi)擺線)24xyo)(yx cddyy2)( dcV25解解繞繞x軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)的的旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體體體積積dxxyVax)(220 2022)cos1()cos1(dttata 20323)coscos3cos31(dtttta.532a a 2a )(xy26繞繞y軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)的的旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體體體積積可看作平面圖可看作平面圖OABC與與OBC分別繞分別繞y軸旋轉(zhuǎn)構(gòu)成旋轉(zhuǎn)體的體積之差軸旋轉(zhuǎn)構(gòu)成旋轉(zhuǎn)體的體積

11、之差.dtyxVay)(2202 dtyxa)(2201 oyxa 2ABCa2)(2yxx )(1yxx 222sin)sin(tdtatta 022sin)sin(tdtatta 2023sin)sin(tdttta.633a 27分部積分對(duì)稱關(guān)于2注202dsin)sin(tttt20322d)sinsin2sin(tttttt)( tu令uuusin)2(22uu2sin)(2uu dsin3(利用“偶倍奇零”)0dsin4uuu02dsin4uu24uudsin82022218422628補(bǔ)充補(bǔ)充 如果旋轉(zhuǎn)體是由連續(xù)曲線如果旋轉(zhuǎn)體是由連續(xù)曲線)(xfy 、直線直線ax 、bx 及及x

12、軸所圍成的曲邊梯形繞軸所圍成的曲邊梯形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體，體積為軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體，體積為dxxfxVbay| )(|2 利用這個(gè)公式，可知上例中利用這個(gè)公式，可知上例中dxxfxVay| )(|220 20)sin()cos1()sin(2ttadtatta 2023)cos1)(sin(2dtttta.633a 29ox1 2yBC3A例 求曲線求曲線132xy與 x 軸圍成的封閉圖形繞直線 y3 旋轉(zhuǎn)得的旋轉(zhuǎn)體體積.(94 考研)解解: 利用對(duì)稱性 ,y10 x,22x21 x,42x故旋轉(zhuǎn)體體積為V432xxd)2(321022xxd)1 (2361022xxd) 1(2212

13、2xxd) 1(2202215448在第一象限 xxd)4(32212230軸所圍圖及表示xtxxfytV)0(, )()(例 設(shè)設(shè))(xfy 在 x0 時(shí)為連續(xù)的非負(fù)函數(shù), 且 ,0)0(f形繞直線 xt 旋轉(zhuǎn)一周所成旋轉(zhuǎn)體體積 , 證明:. )(2)(tftV 證證:x)(xfxoytxxd利用柱殼法xxfxtVd)()(2d則xxfxttVtd)()(2)(0 xxfttd)(20 xxfxtd)(20 xxftVtd)(2)(0)(2tft)(2tft)(2)(tftV 故31解解取取積積分分變變量量為為y,4 , 0 y體積元素為體積元素為dyQMPMdV22 dyyy)43()43

14、(22 ,412dyy dyyV 40412.64 3dyPQM322、已知平行截面面積函數(shù)的立體體積設(shè)定軸為設(shè)定軸為x軸，軸，所給立體垂直于所給立體垂直于x 軸的截面面積為軸的截面面積為A(x), ,)(baxA在則對(duì)應(yīng)于小區(qū)間則對(duì)應(yīng)于小區(qū)間d,xxx的體積元素為的體積元素為xxAVd)(d因此所求立體體積為因此所求立體體積為xxAVbad)(xabxxxd)(xA上連續(xù)上連續(xù), , 如果一個(gè)立體不是旋轉(zhuǎn)體，但卻知道該立體上如果一個(gè)立體不是旋轉(zhuǎn)體，但卻知道該立體上垂直于一定軸的各個(gè)截面面積，那么，這個(gè)立體的垂直于一定軸的各個(gè)截面面積，那么，這個(gè)立體的體積也可用定積分來(lái)計(jì)算體積也可用定積分來(lái)計(jì)

15、算.33RR xyo解解 取坐標(biāo)系如圖取坐標(biāo)系如圖底圓方程為底圓方程為222Ryx 垂垂直直于于x軸軸的的截截面面為為直直角角三三角角形形x截面面積截面面積,tan)(21)(22 xRxA 立體體積立體體積dxxRVRR tan)(2122 .tan323 R 34解解取坐標(biāo)系如圖取坐標(biāo)系如圖底圓方程為底圓方程為,222Ryx xyoRx垂垂直直于于x軸軸的的截截面面為為等等腰腰三三角角形形截面面積截面面積22)(xRhyhxA 立體體積立體體積dxxRhVRR 22.212hR 35xoy0MA nMB 1M2M1 nM設(shè)設(shè)A、B是是曲曲線線弧弧上上的的兩兩個(gè)個(gè)端端點(diǎn)點(diǎn)，在在弧弧上上插插入

16、入分分點(diǎn)點(diǎn)BMMMMMAnni ,110并并依依次次連連接接相相鄰鄰分分點(diǎn)點(diǎn)得得一一內(nèi)內(nèi)接接折折線線，當(dāng)當(dāng)分分點(diǎn)點(diǎn)的的數(shù)數(shù)目目無(wú)無(wú)限限增增加加且且每每個(gè)個(gè)小小弧弧段段都都縮縮向向一一點(diǎn)點(diǎn)時(shí)時(shí)，此此折折線線的的長(zhǎng)長(zhǎng)|11 niiiMM的的極極限限存存在在，則則稱稱此此極極限限為為曲曲線線弧弧AB的的弧弧長(zhǎng)長(zhǎng).三、平面曲線弧長(zhǎng)三、平面曲線弧長(zhǎng)定理定理: : 任意光滑曲線弧都是可求長(zhǎng)的任意光滑曲線弧都是可求長(zhǎng)的. .并稱此曲線弧為可求長(zhǎng)的并稱此曲線弧為可求長(zhǎng)的.36 設(shè)曲線弧為設(shè)曲線弧為)(xfy )(bxa ，其中，其中)(xf在在,ba上有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)上有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)xoyabxdxx 取積分變

17、量為取積分變量為x，在，在,ba上任取小區(qū)間上任取小區(qū)間,dxxx ，以對(duì)應(yīng)小切線段的長(zhǎng)代替小弧段的長(zhǎng)以對(duì)應(yīng)小切線段的長(zhǎng)代替小弧段的長(zhǎng) dy小小切切線線段段的的長(zhǎng)長(zhǎng)22)()(dydx dxy21 弧長(zhǎng)元素弧長(zhǎng)元素dxyds21 弧長(zhǎng)弧長(zhǎng).12dxysba 1、直角坐標(biāo)情形、直角坐標(biāo)情形37曲線弧為曲線弧為,)()( tytx )( t其其中中)(),(tt 在在, 上上具具有有連連續(xù)續(xù)導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù).22)()(dydxds 222)()(dttt dttt)()(22 弧長(zhǎng)弧長(zhǎng).)()(22dttts 2、參數(shù)方程情形、參數(shù)方程情形38曲線弧為曲線弧為)( ( ) ( )cos( )sinxy

18、)( 22)()(dydxds 22( )( ),d 弧長(zhǎng)弧長(zhǎng)22( )( ).sd 3.、極坐標(biāo)情形、極坐標(biāo)情形39解解,21xy dxxds2)(121 ,1dxx 所求弧長(zhǎng)為所求弧長(zhǎng)為dxxsba 1.)1()1(322323ab ab40解解 星形線的參數(shù)方程為星形線的參數(shù)方程為 taytax33sincos)20( t根據(jù)對(duì)稱性根據(jù)對(duì)稱性14ss dtyx 20224dttta 20cossin34.6a 41例例1515. 擺線擺線)cos1 ()sin(tayttax)0( a一拱一拱)20(t的弧長(zhǎng)的弧長(zhǎng) .解解:tstytxd)()(d2dd2dd )cos1 (22tata

19、22sintdttad)cos1 (2ttad2sin2ttasd2sin2202cos22ta02a8xyoa242解解, ar 22( )( )sd .)412ln(412222 a 20 daa222 20a d12 43證證設(shè)正弦線的弧長(zhǎng)等于設(shè)正弦線的弧長(zhǎng)等于1sdxys 20211dxxa 2022cos1設(shè)橢圓的周長(zhǎng)為設(shè)橢圓的周長(zhǎng)為2s,cos12022dxxa 44 ,20222dtyxs 根據(jù)橢圓的對(duì)稱性知根據(jù)橢圓的對(duì)稱性知 dttats 02222cos1sin2dxxa 022cos12,1s 故原結(jié)論成立故原結(jié)論成立.dtta 022cos1245)0( a解解 drrs

20、 )()(22313cos3sin32 ar,3cos3sin2 a.23a daa242623cos3sin3sin 30 d23sin 30a 0()3 46例例. 求連續(xù)曲線段求連續(xù)曲線段ttyxdcos2解解:,0cosx22xxysd1222的弧長(zhǎng)的弧長(zhǎng).xxd)cos(12202xxd2cos22200sin22222x447解解nnxny1sin ,sinnx dxysba 21dxnxn 0sin1ntx ndtt 0sin1dtttttn 0222cos2sin22cos2sindtttn 02cos2sin.4n 48)ch(cxccxccsh1例. 兩根電線桿之間的電線兩

21、根電線桿之間的電線, 由于其本身的重量由于其本身的重量,)(chbxbcxcy成懸鏈線 .求這一段弧長(zhǎng) . 解解:xysd1d2xcxdsh12xcxdchbxcxs0dch2cxc sh20bcbcsh22chxxeex )(chx2shxxeex )(sh xxshxchcxbboy下垂懸鏈線方程為49xyoab四、旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積 (補(bǔ)充)設(shè)平面光滑曲線, ,)(1baCxfy求上的圓臺(tái)的側(cè)面積位于d,xxxsySd2d積分后得旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積xxfxfSbad)(1)(22,0)(xf且它繞 x 軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)曲面的側(cè)面積 .取側(cè)面積元素:)(2xfxxfd)(12xyoab)(x

22、fy abx50 xyo)(xfy abxsySd2d側(cè)面積元素 xyd2sdxdxyd2因?yàn)榈木€性主部 .若光滑曲線由參數(shù)方程)()()(ttytx給出, 則它繞 x 軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的不是薄片側(cè)面積S 的 )(2ttttd)()(22S注意:側(cè)面積為51xRyo例. 計(jì)算圓計(jì)算圓上繞在,21222RRxxxRyxx 軸旋轉(zhuǎn)一周所得的球臺(tái)的側(cè)面積 S .解解: 對(duì)曲線弧,2122xxxxRy應(yīng)用公式得212xxS22xR 2 122xRxxd21d2xxxR)(212xxR當(dāng)球臺(tái)高 h2R 時(shí), 得球的表面積公式24RS1x2xozyx52例. 求由星形線求由星形線一周所得的旋轉(zhuǎn)體的表面

23、積 S .解解: 利用對(duì)稱性2022Sta3sin22 ttasincos32td2042dcossin12tttata52sin5112022512attacossin32繞 x 軸旋轉(zhuǎn) taytax33sin,cos531. 平面圖形的面積邊界方程參數(shù)方程極坐標(biāo)方程2. 平面曲線的弧長(zhǎng)曲線方程參數(shù)方程方程極坐標(biāo)方程22)(d)(ddyxs弧微分:d)()(d22rrs直角坐標(biāo)方程上下限按順時(shí)針?lè)较虼_定直角坐標(biāo)方程注意注意: 求弧長(zhǎng)時(shí)積分上下限必須上大下小21d)()(tttttAd)(212A五、小結(jié)五、小結(jié)543. 已知平行截面面面積函數(shù)的立體體積已知平行截面面面積函數(shù)的立體體積baxx

24、AVd)(旋轉(zhuǎn)體的體積2)(yxA繞 x 軸 :4. 旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積sySd2d側(cè)面積元素為(注意在不同坐標(biāo)系下 ds 的表達(dá)式)yxxA2)(繞 y 軸 :(柱殼法)(xyy ,)(軸旋轉(zhuǎn)繞xxyy 55思考題思考題1 設(shè)設(shè)曲曲線線)(xfy 過(guò)過(guò)原原點(diǎn)點(diǎn)及及點(diǎn)點(diǎn))3 , 2(，且且)(xf為為單單調(diào)調(diào)函函數(shù)數(shù)，并并具具有有連連續(xù)續(xù)導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，今今在在曲曲線線上上任任取取一一點(diǎn)點(diǎn)作作兩兩坐坐標(biāo)標(biāo)軸軸的的平平行行線線，其其中中一一條條平平行行線線與與x軸軸和和曲曲線線)(xfy 圍圍成成的的面面積積是是另另一一條條平平行行線線與與y軸軸和和曲曲線線)(xfy 圍圍成成的的面面積積的的兩兩倍倍，求

25、求曲曲線線方方程程.56思考題思考題1解答解答1S2Sxyo)(xfy ),(yx122SS xdxxfS02)( xdxxfxySxyS021)()( 2)(00 xxdxxfxydxxf,2)(30 xydxxfx 兩邊同時(shí)對(duì)兩邊同時(shí)對(duì) 求導(dǎo)求導(dǎo)x57yxyxf 22)(3yyx 2積分得積分得,2cxy 因因?yàn)闉榍€線)(xfy 過(guò)過(guò)點(diǎn)點(diǎn))3 ,2(29 c,292xy 因因?yàn)闉?(xf為為單單調(diào)調(diào)函函數(shù)數(shù)所以所求曲線為所以所求曲線為.223xy 58思考題思考題2 求求曲曲線線4 xy，1 y，0 x所所圍圍成成的的圖圖形形繞繞y軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)構(gòu)構(gòu)成成旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體的的體體積積.解答解答

26、xyo 14yxy交點(diǎn)交點(diǎn)),1 , 4(立體體積立體體積dyxVy 12dyy 1216 116y.16 1 y59思考題思考題3 閉閉區(qū)區(qū)間間,ba上上的的連連續(xù)續(xù)曲曲線線)(xfy 是是否否一一定定可可求求長(zhǎng)長(zhǎng)？不一定僅僅有曲線連續(xù)還不夠，必須保證不一定僅僅有曲線連續(xù)還不夠，必須保證曲線光滑才可求長(zhǎng)曲線光滑才可求長(zhǎng)解答解答60思考與練習(xí)1.用定積分表示圖中陰影部分的面積 A 及邊界長(zhǎng) s .提示提示: 交點(diǎn)為, )3,9( , ) 1, 1 (yAd 312xy 032 yxyxo13y)32(y2y332yd 31241yyd 31221弧線段部分直線段部分)52ln()376ln(4

27、155373s以 x 為積分變量 , 則要分兩段積分, 故以 y 為積分變量. 612. 試用定積分求圓試用定積分求圓)()(222bRRbyx繞 x 軸oxyRbR上上半圓為22xRby y22xRx下下222)(xRb222)(xRbRV02xdbR222求體積 :提示提示:方法方法1 利用對(duì)稱性旋轉(zhuǎn)而成的環(huán)體體積 V 及表面積 S .62方法2 用柱殼法用柱殼法RbRVdy2x2ydRbRbV4oxyybyRyd)(22ybR222說(shuō)明說(shuō)明: 上式可變形為2RVb2d2bR 20上上半圓為,22xRby下下 y22xRx此式反映了環(huán)體微元的另一種取法(如圖所示). dd2bRV63求側(cè)面

28、積 :oxyRbRR02)(222xRbxyd12R02)(222xRbxyd12相同二者2yRb08xyd12bR24利用對(duì)稱性RS2b2S上式也可寫成d2bR20上上半圓為,22xRby下下 y22xRx它也反映了環(huán)面微元的另一種取法. 64一、一、 填空題：填空題：1 1、 由曲線由曲線eyeyx ,及及y軸所圍成平面區(qū)域的面積軸所圍成平面區(qū)域的面積是是_ . .2 2、 由曲線由曲線23xy 及直線及直線xy2 所圍成平面區(qū)域的所圍成平面區(qū)域的面積是面積是_ ._ .3 3、 由曲線由曲線 1,1,1,12 xxyxxy所圍成所圍成平面區(qū)域的面積是平面區(qū)域的面積是_ ._ .4 4、

29、計(jì)算計(jì)算xy22 與與4 xy所圍的區(qū)域面積時(shí)，選用所圍的區(qū)域面積時(shí)，選用_作變量較為簡(jiǎn)捷作變量較為簡(jiǎn)捷 . .5 5、 由曲線由曲線xxeyey ,與直線與直線1 x所圍成平面區(qū)所圍成平面區(qū)域的面積是域的面積是_ _ . .練練 習(xí)習(xí) 題題165二、二、 求由下列各曲線所圍成的圖形的面積：求由下列各曲線所圍成的圖形的面積：1 1、xy1 與直線與直線xy 及及2 x；2 2、 y2x與直線與直線xy 及及xy2 ；3 3、 )cos2(2 ar；4 4、擺線、擺線)cos1(,)sin(tayttax )20( t及及x軸；軸；5 5、 cos3 r及及 cos1 r的公共部分；的公共部分；

30、6 6、笛卡爾葉形線、笛卡爾葉形線axyyx333 . .66三、三、 求拋物線求拋物線342 xxy及其在點(diǎn)及其在點(diǎn))3,0( 和和)0,3(處的切線所圍成的圖形的面積處的切線所圍成的圖形的面積 . .四、四、 求位于曲線求位于曲線xey 下方，該曲線過(guò)原點(diǎn)的切線的下方，該曲線過(guò)原點(diǎn)的切線的左方以左方以軸軸及及 x上方之間的圖形的面積上方之間的圖形的面積 . .五、五、 求由拋物線求由拋物線axy42 與過(guò)焦點(diǎn)的弦所圍成的圖形與過(guò)焦點(diǎn)的弦所圍成的圖形面積的最小值面積的最小值 . .67一一、1 1、1 1； 2 2、332； 3 3、2 2； 4 4、y； 5 5、21 ee； 6 6、21

31、. .二二、1 1、2ln23 ； 2 2、67； 3 3、2a ； 4 4、23 a ； 5 5、 45； 6 6、223a. .三三、49. . 四四、2e. . 五五、238a. .練習(xí)題練習(xí)題1答案答案68一、一、 填空題：填空題：1 1、 連續(xù)曲線連續(xù)曲線,)(xfy 直線直線ax ，bx 軸軸及及 x所所圍圖形圍圖形軸軸繞繞 x旋 轉(zhuǎn) 一周 而成的 立體的體 積旋 轉(zhuǎn) 一周 而成的 立體的體 積 v_，軸軸繞繞 y旋轉(zhuǎn)一周而成的立體的旋轉(zhuǎn)一周而成的立體的體體 v積積_；2 2、 badxxfv)(常用來(lái)表示常用來(lái)表示_立立體的體積；體的體積；3 3、 拋物線拋物線axy42 及直線

32、及直線)0(00 xxx所圍成的圖所圍成的圖形形軸軸繞繞 x旋轉(zhuǎn)而成的立體的體積旋轉(zhuǎn)而成的立體的體積_；4 4、 0, 0,cosh yaxxaxay所圍成的圖所圍成的圖x形形繞繞軸旋轉(zhuǎn)而成的立體的軸旋轉(zhuǎn)而成的立體的 v體積體積_；練練 習(xí)習(xí) 題題269二二、 有有一一鐵鐵鑄鑄件件，它它是是由由拋拋物物線線、2101xy 11012 xy與與直直線線10 y圍圍成成的的圖圖形形，軸軸繞繞 y旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)而而成成的的旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體，算算出出它它的的質(zhì)質(zhì)量量（長(zhǎng)長(zhǎng)度度單單位位是是厘厘米米，鐵鐵的的密密度度是是38 . 7厘厘米米克克）. .三三、 把把星星形形線線323232ayx 軸軸繞繞 x旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)

33、，計(jì)計(jì)算算所所得得旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體的的體體積積 . .四、四、 求擺線求擺線)sin(ttax ，)cos1(tay 的一拱，的一拱，0 y，繞直線，繞直線ay2 旋轉(zhuǎn)所成旋轉(zhuǎn)體的體積旋轉(zhuǎn)所成旋轉(zhuǎn)體的體積. .7071一、一、1 1、 badxxf)(2, , badxxxf)(2；2 2、已知平行截面面積的；、已知平行截面面積的； 3 3、202 ax ；4 4、2243sha . .二、二、 ( (克克) . ) . 三、三、310532a . . 四、四、327a . .五、五、ba222 . . 六、六、)(261bAaBABabh . .七、七、Aba ,0. .練習(xí)題練習(xí)題2答案答案72一、一、 填空題：填空題：1 1、 曲線曲線xyln 上相應(yīng)于上相應(yīng)于83 x的一段弧長(zhǎng)為的一段弧長(zhǎng)為_(kāi)；2 2、 漸伸線漸伸線)sin(costttax ，)cos(sintttay 上相應(yīng)于上相應(yīng)于變變