課件第3章復(fù)變函數(shù)積分

1、1第第3章章 復(fù)變函數(shù)的積分復(fù)變函數(shù)的積分第一節(jié)第一節(jié) 復(fù)變函數(shù)積分的概念性質(zhì)及計算復(fù)變函數(shù)積分的概念性質(zhì)及計算 1.1 積分的定義 1.2 積分存在的條件及其計算方法 1.3 積分的基本性質(zhì)2第二節(jié)第二節(jié) 柯西古薩定理及其推廣柯西古薩定理及其推廣2.1柯西古薩基本定理2.2基本定理的推廣復(fù)合閉路定理3第三節(jié)第三節(jié) 原函數(shù)與不定積分原函數(shù)與不定積分第四節(jié)第四節(jié) 柯西積分公式與高階導(dǎo)數(shù)公式柯西積分公式與高階導(dǎo)數(shù)公式4.1 柯西積分公式4.2 高階導(dǎo)數(shù)公式與解析的無限可微性第五節(jié)第五節(jié) 解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系41.1 積分的定義積分的定義1.有向曲線有向曲線: 設(shè)設(shè)C為平

2、面上給定的一條光滑為平面上給定的一條光滑( (或按段光滑或按段光滑) )曲線曲線, , 如果選定如果選定C的兩個可能方向中的一個作的兩個可能方向中的一個作為正方向為正方向( (或正向或正向), ), 那么我們就把那么我們就把C理解為帶理解為帶有方向的曲線有方向的曲線, , 稱為稱為有向曲線有向曲線. .xyoAB如果如果A到到B作為曲線作為曲線C的正向的正向,那么那么B到到A就是曲線就是曲線C的負(fù)向的負(fù)向, . C記為記為5簡單閉曲線正向的定義簡單閉曲線正向的定義: 簡單閉曲線簡單閉曲線C的正向的正向是指當(dāng)曲線上的點(diǎn)是指當(dāng)曲線上的點(diǎn)P順此方順此方向前進(jìn)時向前進(jìn)時, , 鄰近鄰近P點(diǎn)的曲線點(diǎn)的曲

3、線的內(nèi)部始終位于的內(nèi)部始終位于P點(diǎn)的左方點(diǎn)的左方. xyoPPPP與之相反的方向就是曲線的負(fù)方向與之相反的方向就是曲線的負(fù)方向.關(guān)于曲線方向的說明關(guān)于曲線方向的說明: 在今后的討論中在今后的討論中,常把兩個端點(diǎn)中的一個作常把兩個端點(diǎn)中的一個作為起點(diǎn)為起點(diǎn), 另一個作為終點(diǎn)另一個作為終點(diǎn), 除特殊聲明外除特殊聲明外, 正方正方向總是指從起點(diǎn)到終點(diǎn)的方向向總是指從起點(diǎn)到終點(diǎn)的方向.62.積分的定義積分的定義:, , , , )( 110BzzzzzAnCBADCDzfwnkk 設(shè)分點(diǎn)為設(shè)分點(diǎn)為個弧段個弧段任意分成任意分成把曲線把曲線的一條光滑的有向曲線的一條光滑的有向曲線終點(diǎn)為終點(diǎn)為內(nèi)起點(diǎn)為內(nèi)起點(diǎn)

4、為為區(qū)域為區(qū)域內(nèi)內(nèi)定義在區(qū)域定義在區(qū)域設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)oxyAB1 nzkz1 kz2z1zk C1 2 , ), 2 , 1( 1kkknkzz 上任意取一點(diǎn)上任意取一點(diǎn)在每個弧段在每個弧段 7,)()()( 111knkknkkkknzfzzfS 作和式作和式oxyAB1 nzkz1 kz2z1zk C1 2 ,max 1knks 記記 , , 11的長度的長度這里這里kkkkkkzzszzz ( , 0 時時無限增加且無限增加且當(dāng)當(dāng) n , )( , , 記為記為的積分的積分沿曲線沿曲線函數(shù)函數(shù)那么稱這極限值為那么稱這極限值為一極限一極限有唯有唯的取法如何的取法如何的分法及的分法及如果不論對

5、如果不論對CzfSCnk .)(limd)(1knkknCzfzzf 8關(guān)于定義的說明關(guān)于定義的說明: .d)( , )1( CzzfC記為記為那么沿此閉曲線的積分那么沿此閉曲線的積分是閉曲線是閉曲線如果如果 . ),( )( , )2(定定積積分分的的定定義義實實變變函函數(shù)數(shù)這這個個積積分分定定義義就就是是一一元元而而軸軸上上的的區(qū)區(qū)間間是是如如果果xuzfbxaxC 91.2積分存在的條件及其計算法積分存在的條件及其計算法1. 存在的條件存在的條件.d)( , )(一定存在一定存在積分積分是光滑曲線時是光滑曲線時是連續(xù)函數(shù)而是連續(xù)函數(shù)而如果如果 CzzfCzf10 : ddd )(相乘后求

6、積分得到相乘后求積分得到與與yixzivuzf Czzfd)( Cyixivu)dd)( Cyvyiuxivxudddd.dddd CCyuxviyvxu Czzfd)( Cyvxudd Cyuxvdd i 在形式上可以看成是在形式上可以看成是公式公式112. 積分的計算法積分的計算法. d)( 積積分分來來計計算算函函數(shù)數(shù)的的線線可可以以通通過過兩兩個個二二元元實實變變 Czzf ttytytxutxtytxvittytytxvtxtytxuzzfCd)()(),()()(),(d)()(),()()(),(d)( tty itxtytxivtytxud)()()(),()(),(.d)()

7、( ttztzf12 ttztzfzzfCd)()(d)(則則光光滑滑曲曲線線相相互互連連接接所所組組成成的的按按段段等等光光滑滑曲曲線線依依次次是是由由如如果果 , , 21nCCCC Czzfd)(.d)(d)(d)(21 nCCCzzfzzfzzf在今后討論的積分中在今后討論的積分中, 總假定被積函數(shù)是連續(xù)的總假定被積函數(shù)是連續(xù)的, 曲線曲線 C 是按段光滑的是按段光滑的.13復(fù)變函數(shù)積分的計算步驟復(fù)變函數(shù)積分的計算步驟 t tiytxtzz C ，的參數(shù)方程的參數(shù)方程寫出曲線寫出曲線. 1 ttztzfzzf zzf ttzz tzz CCd)()(d)(,d)(d)(d. 2得得代入

8、代入與與將將的積分的積分計算上式右端關(guān)于計算上式右端關(guān)于 t . 314例例1 解解 . 43 : ,d 的直線段的直線段從原點(diǎn)到點(diǎn)從原點(diǎn)到點(diǎn)計算計算iCzzC 直線方程為直線方程為, 10,4,3 ttytx ,)43( , tizC 上上在在 ,d)43(dtiz d)43(d102 ttizzC d)43(102 tti .2)43(2i )dd)(d CCyixiyxzz又因為又因為15 ddddd CCCyxxyiyyxxzz這兩個積分都與路線這兩個積分都與路線C 無關(guān)無關(guān), 43 曲曲線線的的是是怎怎樣樣從從原原點(diǎn)點(diǎn)連連接接到到點(diǎn)點(diǎn)所所以以不不論論iC .2)43(d2izzC 1

9、6例例2 解解. 1 1 (3) ; 1 (2) ; 1 (1) : ,dRe 2的折線的折線再到再到軸到點(diǎn)軸到點(diǎn)從原點(diǎn)沿從原點(diǎn)沿的弧段的弧段上從原點(diǎn)到點(diǎn)上從原點(diǎn)到點(diǎn)拋物線拋物線的直線段的直線段從原點(diǎn)到點(diǎn)從原點(diǎn)到點(diǎn)為為其中其中計算計算ixixyiCzzC (1) 積分路徑的參數(shù)方程為積分路徑的參數(shù)方程為),10()( titttz,d)1(d,Re tiztz 于是于是 CzzdRe 10d)1(tit);1(21i xyoi 11iy=x17(2) 積分路徑的參數(shù)方程為積分路徑的參數(shù)方程為xyoi 11iy=x2xy ),10()(2 titttz,d)21(d,Re ttiztz 于是于是

10、 CzzdRe 10d)21(titt1032322 tit;3221i 18xyoi 11iy=x2xy (3) 積分路徑由兩段直線段構(gòu)成積分路徑由兩段直線段構(gòu)成x軸上直線段的參數(shù)方程為軸上直線段的參數(shù)方程為),10()( tttz1到到1+i直線段的參數(shù)方程為直線段的參數(shù)方程為),10(1)( tittz,dd,Re tztz 于是于是,dd, 1Re tizz 于是于是 CzzdRe 10dtt 10d1ti.21i 19例例3 解解 . 2 : ,d zCzzC圓周圓周為為其中其中計算計算積分路徑的參數(shù)方程為積分路徑的參數(shù)方程為),20(2 iez d2diiez Czzd 20d22

11、 iie)2( z因為因為 20d)sin(cos4 ii. 0 20例例4 解解. , , ,d)(1 010為整數(shù)為整數(shù)徑的正向圓周徑的正向圓周為半為半為中心為中心為以為以求求nrzCzzzCn zxyor0z 積分路徑的參數(shù)方程為積分路徑的參數(shù)方程為),20(0 irezz Cnzzzd)(110 20)1(1d ninierire,d20 inneri21zxyor0z , 0 時時當(dāng)當(dāng) n Cnzzzd)(110 20d i;2 i , 0 時時當(dāng)當(dāng) n Cnzzzd)(110 20d)sin(cos ninrin; 0 rzznzzz0d)(1 10所以所以 . 0, 0, 0,2

12、nni重要結(jié)論重要結(jié)論：積分值與路徑圓周的中心和半徑無關(guān)：積分值與路徑圓周的中心和半徑無關(guān). .221.3積分的性質(zhì)積分的性質(zhì)復(fù)積分與實變函數(shù)的定積分有類似的性質(zhì)復(fù)積分與實變函數(shù)的定積分有類似的性質(zhì).;d)(d)()1( CCzzfzzf )(;d)(d)()2(為常數(shù)為常數(shù)kzzfkzzkfCC ;d)(d)(d)()()3( CCCzzgzzfzzgzf CCMLszfzzfMzfCzfLC.d)(d)( ,)( )( , )4(那末那末上滿足上滿足在在函數(shù)函數(shù)的長度為的長度為設(shè)曲線設(shè)曲線估值不等式估值不等式23第一節(jié)小結(jié)第一節(jié)小結(jié) 本節(jié)我們學(xué)習(xí)了積分的定義、存在條件以本節(jié)我們學(xué)習(xí)了積分的

13、定義、存在條件以及計算和性質(zhì)及計算和性質(zhì). 應(yīng)注意復(fù)變函數(shù)的積分有跟微應(yīng)注意復(fù)變函數(shù)的積分有跟微積分學(xué)中的線積分完全相似的性質(zhì)積分學(xué)中的線積分完全相似的性質(zhì). 本節(jié)中重本節(jié)中重點(diǎn)掌握復(fù)積分的一般方法點(diǎn)掌握復(fù)積分的一般方法.24思考題思考題?d)( )( 函函數(shù)數(shù)定定積積分分是是否否一一致致與與一一元元的的積積分分定定義義式式復(fù)復(fù)函函數(shù)數(shù) Czzfzf25思考題答案思考題答案 , , 是實軸上區(qū)間是實軸上區(qū)間若若C,d)(d)( xxfzzfC則則,)(是實值的是實值的如果如果xf即為一元實函數(shù)的定積分即為一元實函數(shù)的定積分.d)( , , ,d)( )( ,C zzfzzfzf必須記作必須記作

14、線的限制線的限制要受積分路要受積分路因為這是一個線積分因為這是一個線積分記作記作的積分的積分的函數(shù)的函數(shù)終點(diǎn)為終點(diǎn)為一般不能把起點(diǎn)為一般不能把起點(diǎn)為 262.1柯西古薩基本定理柯西古薩基本定理1.問題的提出問題的提出觀察上節(jié)例觀察上節(jié)例1, , )( 在復(fù)平面內(nèi)處處解析在復(fù)平面內(nèi)處處解析被積函數(shù)被積函數(shù)zzf 此時積分與路線無關(guān)此時積分與路線無關(guān). 觀察上節(jié)例觀察上節(jié)例4, ,1 0 0zzn 時時為為被被積積函函數(shù)數(shù)當(dāng)當(dāng) , 0的內(nèi)部不是處處解析的的內(nèi)部不是處處解析的為中心的圓周為中心的圓周它在以它在以Cz cizzz. 02d1 0此時此時第二節(jié)第二節(jié) 柯西古薩定理及其推廣柯西古薩定理及其

15、推廣27. , 0域域但但此此區(qū)區(qū)域域已已不不是是單單連連通通的的內(nèi)內(nèi)部部函函數(shù)數(shù)處處處處解解析析的的雖雖然然在在除除去去Cz 由以上討論可知由以上討論可知, 積分是否與路線有關(guān)積分是否與路線有關(guān), 可可能決定于能決定于被積函數(shù)的解析性被積函數(shù)的解析性及及區(qū)域的連通性區(qū)域的連通性.28B2. 柯西古薩基本定理柯西古薩基本定理. 0d)( : )( , )( czzfCBzfBzf的積分為零的積分為零內(nèi)的任何一條封閉曲線內(nèi)的任何一條封閉曲線沿沿那末函數(shù)那末函數(shù)內(nèi)處處解析內(nèi)處處解析在單連通域在單連通域如果函數(shù)如果函數(shù)C定理中的定理中的 C 可以不是簡可以不是簡單曲線單曲線.此定理也稱為此定理也稱為

16、柯西積分定柯西積分定理理.29關(guān)于定理的說明關(guān)于定理的說明:(1) 如果曲線如果曲線 C 是區(qū)域是區(qū)域 B 的邊界的邊界, )( 在在函數(shù)函數(shù)zf , 上解析上解析即在閉區(qū)域即在閉區(qū)域CBB , 上解析上解析內(nèi)與內(nèi)與CB czzf. 0d)( 那末那末(2) 如果曲線如果曲線 C 是區(qū)域是區(qū)域 B 的邊界的邊界, )( 在在函數(shù)函數(shù)zf那末那末上連續(xù)上連續(xù)在閉區(qū)域在閉區(qū)域 , CBB , 內(nèi)解析內(nèi)解析B定理仍成立定理仍成立.30例例5 5解解 1.d321 zzz計算積分計算積分 , 1 321 內(nèi)解析內(nèi)解析在在函數(shù)函數(shù) zz根據(jù)柯西古薩定理根據(jù)柯西古薩定理, 有有 1. 0d321zzz31

17、例例6 6. ),1(0d)( 任意閉曲線任意閉曲線是是其中其中證明證明Cnzzcn 證證 , )1(為正整數(shù)時為正整數(shù)時當(dāng)當(dāng)n , )(平面上解析平面上解析在在 zzn 由柯西古薩定理由柯西古薩定理, . 0d)( cnzz , 1 )2(時時為負(fù)整數(shù)但不等于為負(fù)整數(shù)但不等于當(dāng)當(dāng) n , )(平面上解析平面上解析的整個的整個在除點(diǎn)在除點(diǎn)zzn , :點(diǎn)點(diǎn)不包圍不包圍若若情況一情況一 C32由柯西古薩定理由柯西古薩定理, ; 0d)( cnzz , :點(diǎn)點(diǎn)包圍包圍若若情況二情況二 C由上節(jié)例由上節(jié)例4可知可知, . 0d)( cnzz , )(圍成的區(qū)域內(nèi)解析圍成的區(qū)域內(nèi)解析在在 Czn 33

18、例例7 7.d)1(1 212 izzzz計算積分計算積分解解,11211)1(12 izizzzz , 21 1 1 上解析上解析都在都在和和因為因為 izizz根據(jù)柯西古薩定理得根據(jù)柯西古薩定理得 212d)1(1izzzz 21d1211211izzizizz34 212121d121d121d1izizizzizzizzz0 21d121izzizi 221. i 352.1小結(jié)小結(jié) 重點(diǎn)掌握柯西古薩基本定理重點(diǎn)掌握柯西古薩基本定理:. 0d)( : )( , )( czzfCBzfBzf的的積積分分為為零零內(nèi)內(nèi)的的任任何何一一條條封封閉閉曲曲線線沿沿那那末末函函數(shù)數(shù)內(nèi)內(nèi)處處處處解解析

19、析在在單單連連通通域域如如果果函函數(shù)數(shù)并注意定理成立的條件并注意定理成立的條件.36思考題思考題應(yīng)用柯西應(yīng)用柯西古薩定理應(yīng)注意什么古薩定理應(yīng)注意什么?37思考題答案思考題答案(1) 注意定理的條件注意定理的條件“單連通域單連通域”.(2) 注意定理的不能反過來用注意定理的不能反過來用. . )( , 0d)( 內(nèi)處處解析內(nèi)處處解析在在而說而說即不能由即不能由CzfzzfC ;2321 1)( :內(nèi)內(nèi)在圓環(huán)域在圓環(huán)域反例反例 zzzf . 11)( :2內(nèi)內(nèi)在在反例反例 zzzf381.問題的提出問題的提出 2.d11 , zzz計算計算實例實例 , 1 2 在內(nèi)的閉曲線在內(nèi)的閉曲線是包含是包含

20、因為因為 zz根據(jù)本章第一節(jié)例根據(jù)本章第一節(jié)例4可知可知, 2.2d11 zizz由此希望將基本定理推廣到多連域中由此希望將基本定理推廣到多連域中.2.2 基本定理的推廣復(fù)合閉路定理基本定理的推廣復(fù)合閉路定理39 , )( 在多連通域內(nèi)解析在多連通域內(nèi)解析設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)zf ),( 1正向為逆時針方向正向為逆時針方向單閉曲線單閉曲線內(nèi)的任意兩條簡內(nèi)的任意兩條簡為為及及DCC. 11DDCC全含于全含于為邊界的區(qū)域為邊界的區(qū)域及及DC1C1DAA BB , BBAA 和和作兩段不相交的弧段作兩段不相交的弧段2.閉路變形原理閉路變形原理40DC1C1DAA BB EE FF , AAEBAEB 顯然

21、曲線顯然曲線 BFABFAA , , , , ,FFEE 添加字符添加字符為了討論方便為了討論方便 . 均為封閉曲線均為封閉曲線 , D因為它們的內(nèi)部全含于因為它們的內(nèi)部全含于, 0d)( AAEBAEBzzf故故. 0d)( BFABFAAzzf,AAAEBBBAEBAAEBAEB ,BFABBBFAAABFABFAA 41 AAEBAEBzzfd)( 由由, 0d)( BFABFAAzzf得得DC1C1DAA BB EE FF Czzfd)( 1d)(Czzf AAzzfd)( AAzzfd)(, 0d)( BBzzf BBzzfd)(, 0d)(d)( 1 CCzzfzzf即即.d)(d

22、)( 1 CCzzfzzf或或42DC1C1DAA BB EE FF , 1 成一條復(fù)合閉路成一條復(fù)合閉路看看及及閉曲線閉曲線如果我們把這兩條簡單如果我們把這兩條簡單CC : 的正方向為的正方向為 , 按逆時針進(jìn)行按逆時針進(jìn)行外面的閉曲線外面的閉曲線 C , 1按順時針進(jìn)行按順時針進(jìn)行內(nèi)部的閉曲線內(nèi)部的閉曲線 C ), , (的左手邊的左手邊內(nèi)部總在內(nèi)部總在的的的正向進(jìn)行時的正向進(jìn)行時即沿即沿 . 0)( dzzf那末那末 解析函數(shù)沿閉曲線的積分解析函數(shù)沿閉曲線的積分, , 不因閉曲線在不因閉曲線在區(qū)域內(nèi)作連續(xù)變形而改變它的值區(qū)域內(nèi)作連續(xù)變形而改變它的值. .閉路變形原理閉路變形原理說明說明:

23、 : 在變形過程中曲線不經(jīng)在變形過程中曲線不經(jīng)過函數(shù)過函數(shù) f(z) 的不解析的點(diǎn)的不解析的點(diǎn). .433. 復(fù)合閉路定理復(fù)合閉路定理 , , , , , , , , , , , 2121DCCCCCCCCDCnn為邊界的區(qū)域全含于為邊界的區(qū)域全含于并且以并且以互不包含也互不相交互不包含也互不相交它們它們內(nèi)部的簡單閉曲線內(nèi)部的簡單閉曲線是在是在內(nèi)的一條簡單閉曲線內(nèi)的一條簡單閉曲線多連通域多連通域為為設(shè)設(shè) , )( 內(nèi)解析內(nèi)解析在在如果如果DzfDC1C2C3C那末那末,d)(d)()1(1 nkCCkzzfzzf ; 均取正方向均取正方向及及其中其中kCC44DC1C2C3C. 0d)()2(

24、 zzf). , , , , :( , , , , 2121順時針進(jìn)行順時針進(jìn)行按按按逆時針進(jìn)行按逆時針進(jìn)行其方向是其方向是組成的復(fù)合閉路組成的復(fù)合閉路為由為由這里這里nnCCCCCCCC 45例例8 8解解 . 1 ,d12 2曲線曲線在內(nèi)的任何正向簡單閉在內(nèi)的任何正向簡單閉為包含圓周為包含圓周計算積分計算積分 zzzzz, 1 0 12 2 zzzzz和和內(nèi)有兩個奇點(diǎn)內(nèi)有兩個奇點(diǎn)在復(fù)平面在復(fù)平面因為函數(shù)因為函數(shù)依題意知依題意知, xyo 1 也包含這兩個奇點(diǎn)，也包含這兩個奇點(diǎn)， 46, 21CC 和和不相交的正向圓周不相交的正向圓周內(nèi)作兩個互不包含也互內(nèi)作兩個互不包含也互在在 xyo 1

25、, 0 1 zC 只包含奇點(diǎn)只包含奇點(diǎn) , 1 2 zC 只包含奇點(diǎn)只包含奇點(diǎn)1C2C根據(jù)復(fù)合閉路定理根據(jù)復(fù)合閉路定理, zzzzd122 21d12d1222CCzzzzzzzz 2211d1d11d1d11CCCCzzzzzzzz0220 ii.4 i 47例例9 9 . 1 2 ,d 所組成所組成向圓周向圓周和負(fù)和負(fù)為正向圓周為正向圓周計算積分計算積分 zzzzezxyo121C2C解解 , 21圍成一個圓環(huán)域圍成一個圓環(huán)域和和CC, 上處處解析上處處解析在此圓環(huán)域和其邊界在此圓環(huán)域和其邊界函數(shù)函數(shù)zez圓環(huán)域的邊界構(gòu)成一條復(fù)合閉路圓環(huán)域的邊界構(gòu)成一條復(fù)合閉路,根據(jù)閉路復(fù)合定理根據(jù)閉路復(fù)

26、合定理,. 0d zzez48例例1010. , ,d)(1 1為整數(shù)為整數(shù)的任一簡單閉路的任一簡單閉路為含為含求求nazazn 解解 , 內(nèi)部內(nèi)部在曲線在曲線因為因為 a a , 故可取很小的正數(shù)故可取很小的正數(shù) , : 1內(nèi)部內(nèi)部含在含在使使 az1 , )(111內(nèi)處處解析內(nèi)處處解析為邊界的復(fù)連通域為邊界的復(fù)連通域在以在以 naz49由復(fù)合閉路定理由復(fù)合閉路定理, 1d)(1d)(111zazzaznn a 1 ,20 ieaz令令 1d)(11zazn 201d)( niieie 20d ninie . 0, 00,2d)(1 1nnizazn故故 此結(jié)論非常重要此結(jié)論非常重要, 用起

27、來很方用起來很方便便, 因為因為不必是圓不必是圓, a也不必也不必是圓的圓心是圓的圓心, 只要只要a在簡單閉曲在簡單閉曲線線內(nèi)即可內(nèi)即可.50例例1111. , ,d)(121 00為自然數(shù)為自然數(shù)閉曲線閉曲線的任意正向的任意正向為含為含求求nzzzzin 解解由上例可知由上例可知 , 0, 00,2d)(1 1nnizazn , 0za 此處不妨設(shè)此處不妨設(shè) . 1, 01, 1d)(121 0nnzzzin則有則有512.2小結(jié)小結(jié) 本課所講述的復(fù)合閉路定理與閉路變形原本課所講述的復(fù)合閉路定理與閉路變形原理是復(fù)積分中的重要定理理是復(fù)積分中的重要定理, 掌握并能靈活應(yīng)用它掌握并能靈活應(yīng)用它是

28、本章的難點(diǎn)是本章的難點(diǎn).常用結(jié)論常用結(jié)論: . 0, 00,2d)(1 1nnizazn52思考題思考題 復(fù)合閉路定理在積分計算中有什么用復(fù)合閉路定理在積分計算中有什么用? 要要注意什么問題注意什么問題?53思考題答案思考題答案 利用復(fù)合閉路定理是計算沿閉曲線積分的利用復(fù)合閉路定理是計算沿閉曲線積分的最主要方法最主要方法.使用復(fù)合閉路定理時使用復(fù)合閉路定理時, 要注意曲線的方向要注意曲線的方向.54定理一定理一 . d)( , )( 無無關(guān)關(guān)線線與與連連結(jié)結(jié)起起點(diǎn)點(diǎn)及及終終點(diǎn)點(diǎn)的的路路那那末末積積分分內(nèi)內(nèi)處處處處解解析析在在單單連連通通域域如如果果函函數(shù)數(shù)CzzfBzfC 由定理一可知由定理一

29、可知: 解析函數(shù)在單連通域內(nèi)的積分只與起點(diǎn)解析函數(shù)在單連通域內(nèi)的積分只與起點(diǎn)和終點(diǎn)有關(guān)和終點(diǎn)有關(guān), (如下頁圖如下頁圖)1. 兩個主要定理兩個主要定理:第三節(jié)第三節(jié) 原函數(shù)和不定積分原函數(shù)和不定積分55BB 0z1z 0z1z 1C2C1C2C , , 10zz終點(diǎn)為終點(diǎn)為如果起點(diǎn)為如果起點(diǎn)為 21d)(d)(CCzzfzzf 10d)(zzzzf , , , 110zzBzz 并令并令內(nèi)變動內(nèi)變動在在讓讓如果固定如果固定 .d)()( 0 zzfzFB 內(nèi)內(nèi)的的一一個個單單值值函函數(shù)數(shù)便便可可確確定定56 . )()( , d)()( , )( 0zfzFBfzFBzfzz 并且并且析函數(shù)析

30、函數(shù)內(nèi)的一個解內(nèi)的一個解必為必為那末函數(shù)那末函數(shù)內(nèi)處處解析內(nèi)處處解析在單連通域在單連通域如果函數(shù)如果函數(shù) 定理二定理二B zK 此定理與微積分學(xué)中此定理與微積分學(xué)中的對變上限積分的求導(dǎo)定的對變上限積分的求導(dǎo)定理完全類似理完全類似.572. 原函數(shù)的定義原函數(shù)的定義:. )( )( , )()( , )( )( 的的原原函函數(shù)數(shù)內(nèi)內(nèi)在在區(qū)區(qū)域域為為那那末末稱稱即即內(nèi)內(nèi)的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)為為在在區(qū)區(qū)域域如如果果函函數(shù)數(shù)BzfzzfzzfBz .)( d)()( 0的一個原函數(shù)的一個原函數(shù)是是顯然顯然zffzFzz 原函數(shù)之間的關(guān)系原函數(shù)之間的關(guān)系: : . )(一個常數(shù)一個常數(shù)的任何兩個原函數(shù)相差的任何

31、兩個原函數(shù)相差zf58 , )( )( zFBzf內(nèi)有一個原函數(shù)內(nèi)有一個原函數(shù)在區(qū)域在區(qū)域如果如果那末它就有無窮多個原函數(shù)那末它就有無窮多個原函數(shù), . )()(為任意常數(shù)為任意常數(shù)一般表達(dá)式為一般表達(dá)式為cczF 593. 不定積分的定義不定積分的定義: .)(d)( , )( )( )( )( czFzzfzfcczFzf 記記作作的的不不定定積積分分為為為為任任意意常常數(shù)數(shù)的的原原函函數(shù)數(shù)的的一一般般表表達(dá)達(dá)式式稱稱定理三定理三. , )()(d )( , )( )( , )( 100110內(nèi)的兩點(diǎn)內(nèi)的兩點(diǎn)為域為域這里這里那末那末的一個原函數(shù)的一個原函數(shù)為為內(nèi)處處解析內(nèi)處處解析在單連通域

32、在單連通域如果函數(shù)如果函數(shù)BzzzGzGzzfzfzGBzfzz ( (類似于牛頓類似于牛頓- -萊布尼茲公式萊布尼茲公式) )60例例1212. dcos 02的值的值求求 izzz解解 izzz02dcos izz022dcos21iz 02sin21)sin(212 .sin212 (使用了微積分學(xué)中的使用了微積分學(xué)中的“湊微分湊微分”法法)說明說明: : 有了以上定理有了以上定理, 復(fù)變函數(shù)的積分就可以用復(fù)變函數(shù)的積分就可以用跟微積分學(xué)中類似的方法去計算跟微積分學(xué)中類似的方法去計算.61例例1313. dcos 0的值的值求求 izzz解解 , cos 是解析函數(shù)是解析函數(shù)因為因為zz

33、 ,cossin zzz 它的一個原函數(shù)是它的一個原函數(shù)是由牛頓由牛頓-萊布尼茲公式知萊布尼茲公式知, izzz0dcosizzz0cossin 1cossin iii12211 eeieei. 11 e62例例1313. dcos 0的值的值求求 izzz izzz0dcos izz0)(sind iizzzz00dsinsin另解另解izzz0cossin . 11 e此方法使用了微積分中此方法使用了微積分中“分部積分法分部積分法”63例例1414. d 11的值的值求求 izzze解解利用分部積分法可得利用分部積分法可得 ,)1( zzezze 的一個原函數(shù)為的一個原函數(shù)為 izzze1

34、1dizez 11)1(iie 1).1sin1(cosiie 課堂練習(xí)課堂練習(xí). dsin 10的值的值求求 zzz答案答案. 1cos1sindsin10 zzz64例例1515).cos1(),sin(:20 . d)182( 2 ayaxaCzzzC的擺線的擺線到到是連接是連接其中其中的值的值求求解解 , 182 2在復(fù)平面內(nèi)處處解析在復(fù)平面內(nèi)處處解析因為函數(shù)因為函數(shù) zz所以積分與路線無關(guān)所以積分與路線無關(guān), 根據(jù)牛根據(jù)牛萊公式萊公式: Czzzd)182(2 azzz202d)182(azzz 2023432.2163162233aaa 65第三節(jié)小結(jié)第三節(jié)小結(jié) 原函數(shù)、不定積分的

35、定義以及牛頓原函數(shù)、不定積分的定義以及牛頓萊布尼萊布尼茲公式茲公式. 在學(xué)習(xí)中應(yīng)注意與在學(xué)習(xí)中應(yīng)注意與高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)中相關(guān)內(nèi)容中相關(guān)內(nèi)容相結(jié)合相結(jié)合, 更好的理解本課內(nèi)容更好的理解本課內(nèi)容. d)()( 0 zzfzF )(d)(czFzzf )()(d )(0110zGzGzzfzz 66思考題思考題 解析函數(shù)在單連通域內(nèi)積分的牛頓解析函數(shù)在單連通域內(nèi)積分的牛頓萊布尼萊布尼茲公式與實函數(shù)定積分的牛頓茲公式與實函數(shù)定積分的牛頓萊布尼茲公式有萊布尼茲公式有何異同何異同?67思考題答案思考題答案兩者的提法和結(jié)果是類似的兩者的提法和結(jié)果是類似的.; , , , )( 0都都是是復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)因因而而且且

36、積積分分路路線線是是曲曲線線為為單單連連域域中中的的解解析析函函數(shù)數(shù)但但在在復(fù)復(fù)積積分分中中要要求求zzCzf. , , , )( 都是實數(shù)都是實數(shù)數(shù)數(shù)上的連續(xù)實函上的連續(xù)實函為區(qū)間為區(qū)間在實積分中要求在實積分中要求xabaxf兩者對函數(shù)的要求差異很大兩者對函數(shù)的要求差異很大.681.問題的提出問題的提出 . , 0中一點(diǎn)中一點(diǎn)為為為一單連通域為一單連通域設(shè)設(shè)BzB ,d)( 0 Czzzzf一般不為零一般不為零所以所以 .)( , )( 00不解析不解析在在那末那末內(nèi)解析內(nèi)解析在在如果如果zzzzfBzf 根據(jù)閉路變形原理知根據(jù)閉路變形原理知, 該積分值不隨閉曲線該積分值不隨閉曲線 C 的變

37、化而改變的變化而改變, 求這個值求這個值. .0的閉曲線的閉曲線內(nèi)圍繞內(nèi)圍繞為為zBC第四節(jié)第四節(jié) 柯西積分公式柯西積分公式4.1柯西積分公式柯西積分公式69, , 00 zzzC的正向圓周的正向圓周半徑為很小的半徑為很小的為中心為中心取作以取作以積分曲線積分曲線 , )( 的連續(xù)性的連續(xù)性由由zf , )( 0處的值處的值接近于它在圓心接近于它在圓心的縮小而逐漸的縮小而逐漸的值將隨著的值將隨著上函數(shù)上函數(shù)在在zzfC )(.d)( d)(000縮小縮小將接近于將接近于 CCzzzzfzzzzf Czzzzfd)(00).(2d1)(000zifzzzzfC 702.柯西積分公式柯西積分公式定

38、理定理 CzzzzfizfCzDDCDzf.d)(21)( , , , , )( 000那那末末內(nèi)內(nèi)任任一一點(diǎn)點(diǎn)為為于于它它的的內(nèi)內(nèi)部部完完全全含含閉閉曲曲線線內(nèi)內(nèi)的的任任何何一一條條正正向向簡簡單單為為內(nèi)內(nèi)處處處處解解析析在在區(qū)區(qū)域域如如果果函函數(shù)數(shù)D 0zC證證 , )( 0連續(xù)連續(xù)在在因為因為zzf, 0 則則, 0)( 71D 0zCK , 0時時當(dāng)當(dāng) zz . )()(0 zfzf, :)( , 00的內(nèi)部的內(nèi)部全在全在的正向圓周的正向圓周半徑為半徑為為中心為中心設(shè)以設(shè)以CRzzKRRz R Czzzzfd)( 0則則 Kzzzzfd)(0 KKzzzzfzfzzzzfd)()(d)

39、(0000 Kzzzzfzfzifd)()()(200072 Kszzzfzfd)()(00.2d KsR上不等式表明上不等式表明, 只要只要 R 足夠小足夠小, 左端積分的模就左端積分的模就可以任意小可以任意小,根據(jù)閉路變形原理知根據(jù)閉路變形原理知, 左端積分的值與左端積分的值與 R 無關(guān)無關(guān), 所以只有在對所有的所以只有在對所有的 R 積分值為零時才有可能積分值為零時才有可能.證畢證畢 Czzzzfizfd)(21)(00柯西積分公式柯西積分公式 Kzzzzfzfd)()(0073關(guān)于柯西積分公式的說明關(guān)于柯西積分公式的說明: :(1) 把函數(shù)在把函數(shù)在C內(nèi)部任一點(diǎn)的值用它在邊界上的內(nèi)部任

40、一點(diǎn)的值用它在邊界上的值表示值表示. (這是解析函數(shù)的又一特征這是解析函數(shù)的又一特征)(2) 公式不但提供了計算某些復(fù)變函數(shù)沿閉路積公式不但提供了計算某些復(fù)變函數(shù)沿閉路積分的一種方法分的一種方法, 而且給出了解析函數(shù)的一個積分而且給出了解析函數(shù)的一個積分表達(dá)式表達(dá)式.(這是研究解析函數(shù)的有力工具這是研究解析函數(shù)的有力工具)(3) 一個解析函數(shù)在圓心處的值等于它在圓周上一個解析函數(shù)在圓心處的值等于它在圓周上的平均值的平均值., 0 ieRzzC 是圓周是圓周如果如果.d)(21)(2000 ieRzfzf74例例1616解解 44.d3211)2(;dsin21(1) zzzzzzzzi求下列積

41、分求下列積分 4dsin21(1)zzzzi , sin)( 在復(fù)平面內(nèi)解析在復(fù)平面內(nèi)解析因為因為zzf , 4 0內(nèi)內(nèi)位于位于 zz75 4.d3211)2(zzzz 44d32d11zzzzzz2212 ii.6 i 4dsin21zzzzi; 0 由柯西積分公式由柯西積分公式0sin221 zzii76例例1717 2.d1 zzzze計算積分計算積分解解 , )( 在復(fù)平面內(nèi)解析在復(fù)平面內(nèi)解析因為因為zezf , 2 1內(nèi)內(nèi)位于位于 zz由柯西積分公式由柯西積分公式122d1 zzzzeizze.2ie 77例例1818.d)1(1 212 izzzz計算積分計算積分解解 )1(12z

42、z)(1izizz izizz )(1)(zf , 21 )( 內(nèi)解析內(nèi)解析在在因為因為 izzf,0iz 由柯西積分公式由柯西積分公式 212d)1(1izzzz 21d)(1izzizizzizizzi )(122212ii . i 78例例1919：;211 (1): ,d14sin 2 zCzzzC其中其中計算積分計算積分解解 2112d14sin)1(zzzz 211d114sinzzzzz114sin2 zzzi;22i 79;211 (2): ,d14sin 2 zCzzzC其中其中計算積分計算積分 2112d14sin)2(zzzz 211d114sinzzzzz114sin2

43、 zzzi;22i 解解例例1919：80例例2020解解).1( ,d173)( , 3 222ifzzfyxCC 求求表示正向圓周表示正向圓周設(shè)設(shè) 根據(jù)柯西積分公式知根據(jù)柯西積分公式知, , 內(nèi)時內(nèi)時在在當(dāng)當(dāng)Czzizf )173(2)(2),173(22 zzi),76(2)( zizf故故 , 1 內(nèi)內(nèi)在在而而Ci ).136(2)1( iif 所以所以81例例2121.d)cos(sin ,d0cos1 ezzezz并證明并證明求積分求積分解解根據(jù)柯西積分公式知根據(jù)柯西積分公式知, 1dzzzze02 zzei;2 i )( , irez令令, 1 rz 1dzzzze diirei

44、rereei diee i 82 dsincosie i cos0cosd)sin(sind)cos(sin2 eei diee i ,2d 1izzezz 因為因為 cos0cosd)sin(sind)cos(sin2 eei 1dzzzze比較兩式得比較兩式得.d)cos(sin0cos e83課堂練習(xí)課堂練習(xí).d)1( 32 zzzzze計算積分計算積分答案答案1, 1, 0 zzz有三個奇點(diǎn)有三個奇點(diǎn)).2(d)1( 132 eeizzzezz844.1小結(jié)小結(jié) 柯西積分公式是復(fù)積分計算中的重要公式柯西積分公式是復(fù)積分計算中的重要公式, 它的證明基于柯西它的證明基于柯西古薩基本定理古薩

45、基本定理, 它的重要性它的重要性在于在于: 一個解析函數(shù)在區(qū)域內(nèi)部的值可以用它在一個解析函數(shù)在區(qū)域內(nèi)部的值可以用它在邊界上的值通過積分表示邊界上的值通過積分表示, 所以它是研究解析函所以它是研究解析函數(shù)的重要工具數(shù)的重要工具. Czzzzfizf.d)(21)(00柯西積分公式柯西積分公式:85思考題思考題 柯西積分公式是對有界區(qū)域而言的柯西積分公式是對有界區(qū)域而言的, 能否推能否推廣到無界區(qū)域中廣到無界區(qū)域中?86思考題答案思考題答案可以可以. , )( 要做一些限制要做一些限制但對函數(shù)但對函數(shù)zf , )( 上解析上解析及邊界及邊界在在設(shè)設(shè)CGzf )(, 0, 0( )( , zfRzR

46、zfz時時使當(dāng)使當(dāng)即即一致趨于零一致趨于零時時并且當(dāng)并且當(dāng) , 內(nèi)任意一點(diǎn)內(nèi)任意一點(diǎn)則對則對G ,d)(21)( Czzzfif 有有其中積分方向應(yīng)是順時針方向其中積分方向應(yīng)是順時針方向.放映結(jié)束，按放映結(jié)束，按EscEsc退出退出. .871.問題的提出問題的提出問題問題: :(1) 解析函數(shù)是否有高階導(dǎo)數(shù)解析函數(shù)是否有高階導(dǎo)數(shù)? (2) 若有高階導(dǎo)數(shù)若有高階導(dǎo)數(shù), 其定義和求法是否與實變函其定義和求法是否與實變函數(shù)相同數(shù)相同?回答回答: :(1) 解析函數(shù)有各高階導(dǎo)數(shù)解析函數(shù)有各高階導(dǎo)數(shù). (2) 高階導(dǎo)數(shù)的值可以用函數(shù)在邊界上的值通高階導(dǎo)數(shù)的值可以用函數(shù)在邊界上的值通過積分來表示過積分來

47、表示, 這與實變函數(shù)完全不同這與實變函數(shù)完全不同.解析函數(shù)高階導(dǎo)數(shù)的定義是什么解析函數(shù)高階導(dǎo)數(shù)的定義是什么?4.2 高階導(dǎo)數(shù)公式與解析函數(shù)的無限可微性高階導(dǎo)數(shù)公式與解析函數(shù)的無限可微性882.主要定理主要定理. , )( ), 2 , 1(d)()(2!)( : , )( 0100)(DzDzfCnzzzzfinzfnzfCnn而且它的內(nèi)部全含于而且它的內(nèi)部全含于線線任何一條正向簡單閉曲任何一條正向簡單閉曲的的內(nèi)圍繞內(nèi)圍繞的解析區(qū)域的解析區(qū)域為在函數(shù)為在函數(shù)其中其中導(dǎo)數(shù)為導(dǎo)數(shù)為階階它的它的的導(dǎo)數(shù)仍為解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍為解析函數(shù)解析函數(shù)解析函數(shù) 不在于通過積分來求導(dǎo)不在于通過積分來求導(dǎo), , 而在

48、于通過求導(dǎo)而在于通過求導(dǎo)來求積分來求積分. .89例例2222解解 CzCzzezzzrzC.d)1()2(;d)1(cos)1( . 1 : ,225為正向圓周為正向圓周其中其中計算下列積分計算下列積分 , 1 )1(cos )1(5處不解析處不解析內(nèi)內(nèi)在在函數(shù)函數(shù) zCzz , cos 內(nèi)處處解析內(nèi)處處解析在在但但Cz Cnnzzzzfinzfd)()(2!)( 100)(根據(jù)公式根據(jù)公式90 Czzzd)1(cos51)4()(cos)!15(2 zzi;125i , )1( )2(22處不解析處不解析內(nèi)的內(nèi)的在在函數(shù)函數(shù)izCzez 1C2Cxyo iCi , 1CiC為為中中心心作作

49、一一個個正正向向圓圓周周內(nèi)內(nèi)以以在在 , 2Ci 為為中中心心作作一一個個正正向向圓圓周周以以 , , )1( 2122圍成的區(qū)域內(nèi)解析圍成的區(qū)域內(nèi)解析在由在由則函數(shù)則函數(shù)CCCzez 911C2Cxyo iCi 根據(jù)復(fù)合閉路定理根據(jù)復(fù)合閉路定理 Czzzed)1(22 21d)1(d)1(2222CzCzzzezze 1d)1(22Czzze 1d)()(22Czzizizeizzizei 2)()!12(2,2)1( iei921C2Cxyo iCi 2d)1( 22Czzze同理可得同理可得,2)1( iei Czzzed)1( 22于是于是 2)1(iei 2)1(iei)(1(2ii

50、ieei )1sin1(cos)1(22 i.41sin2 i93例例2323.dcos)2(;d)1(1(1) 12243 zzzzzzezzz求積分求積分解解 , 1 )1(3在復(fù)平面內(nèi)解析在復(fù)平面內(nèi)解析函數(shù)函數(shù) z , 2 10內(nèi)內(nèi)在在 zz, 3 n 243d)1(1zzzz131! 32 zzi;2 i Cnnzzzzfinzfd)()(2!)( 100)(根據(jù)公式根據(jù)公式94 12dcos)2(zzzzze , cos 在復(fù)平面內(nèi)解析在復(fù)平面內(nèi)解析函數(shù)函數(shù)zez , 1 00內(nèi)內(nèi)在在 zz, 1 n 12dcoszzzzze0)cos(! 12 zzzei0sincos2 zzzz

51、ezei.2 i 95例例2424解解) (.d 1為整數(shù)為整數(shù)求積分求積分nzzeznz , 0)1( n , 1 上解析上解析在在 zzenz由柯西古薩基本定理得由柯西古薩基本定理得 1; 0dznzzze, 1)2( n由柯西積分公式得由柯西積分公式得 1dznzzze0)(2 zzei;2 i 96, 1)3( n Cnnzzzzfinzfd)()(2!)( 100)(根據(jù)公式根據(jù)公式 1dznzzze0)1()()!1(2 znzeni.)!1(2 ni97課堂練習(xí)課堂練習(xí) CzzzzzzgzC.d)()( , 302400求求的簡單閉曲線的簡單閉曲線是不通過是不通過設(shè)設(shè)答案答案 ;

52、 0)( , 00 zgCz外外在在 . )16(2)( , 2000izzgCz 內(nèi)內(nèi)在在98練習(xí)練習(xí)解解. 31)2(; 23)1(:.d)2(1 32 zzCzzzC其中其中求積分求積分 , 0 2 )2(1 32 zzzz和和有兩個奇點(diǎn)有兩個奇點(diǎn)函數(shù)函數(shù), 23)1( z 2, z僅包含奇點(diǎn)僅包含奇點(diǎn),1)( 3zzf 取取 Czzzd)2(1 32 Czzzd)2(1 23231! 12 zzi;83 i 9931)2( z , 0 2 內(nèi)內(nèi)都含在都含在和和兩個奇點(diǎn)兩個奇點(diǎn)Czz 2, 0 21和和分別包含分別包含和和作簡單閉曲線作簡單閉曲線CC , 21互不包含且互不相交互不包含且

53、互不相交和和CC根據(jù)復(fù)合閉路定理和高階導(dǎo)數(shù)公式根據(jù)復(fù)合閉路定理和高階導(dǎo)數(shù)公式, Czzzd)2(1 32 21d)2(1d)2(1 3232CCzzzzzz100 21d)2(1d)2(1 2332CCzzzzzz23021! 12)2(1 ! 22 zzzizi8383ii . 0 1014.2小結(jié)小結(jié) 高階導(dǎo)數(shù)公式是復(fù)積分的重要公式高階導(dǎo)數(shù)公式是復(fù)積分的重要公式. 它表明它表明了了解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍然是解析函數(shù)解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍然是解析函數(shù)這一異常重這一異常重要的結(jié)論要的結(jié)論, 同時表明了解析函數(shù)與實變函數(shù)的本同時表明了解析函數(shù)與實變函數(shù)的本質(zhì)區(qū)別質(zhì)區(qū)別. Cnnzzzzfinzfd)()(2

54、!)(100)(高階導(dǎo)數(shù)公式高階導(dǎo)數(shù)公式102思考題思考題 解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)公式說明解析函數(shù)的導(dǎo)解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)公式說明解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與實函數(shù)的導(dǎo)數(shù)有何不同數(shù)與實函數(shù)的導(dǎo)數(shù)有何不同?103思考題答案思考題答案. , , )( ,上上的的解解析析函函數(shù)數(shù)階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)均均為為閉閉區(qū)區(qū)域域并并且且它它的的各各它它就就一一定定無無限限次次可可微微中中處處處處可可微微只只要要在在閉閉區(qū)區(qū)域域函函數(shù)數(shù)高高階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)公公式式說說明明GGzf這一點(diǎn)與實變量函數(shù)有本質(zhì)的區(qū)別這一點(diǎn)與實變量函數(shù)有本質(zhì)的區(qū)別. .1041.調(diào)和函數(shù)的定義調(diào)和函數(shù)的定義. ),( 0, , ),( 2222內(nèi)的調(diào)和函數(shù)內(nèi)的調(diào)和函

55、數(shù)為區(qū)域為區(qū)域那末稱那末稱并且滿足拉普拉斯方程并且滿足拉普拉斯方程有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)內(nèi)具內(nèi)具在區(qū)域在區(qū)域如果二元實變函數(shù)如果二元實變函數(shù)DyxyxDyx 調(diào)和函數(shù)在流體力學(xué)和電磁場理論等實際調(diào)和函數(shù)在流體力學(xué)和電磁場理論等實際問題中有很重要的應(yīng)用問題中有很重要的應(yīng)用.第五節(jié)第五節(jié) 解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系1052.解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系1. 兩者的關(guān)系兩者的關(guān)系定理定理 任何在區(qū)域任何在區(qū)域 D 內(nèi)解析的函數(shù)內(nèi)解析的函數(shù), ,它的實部它的實部和虛部都是和虛部都是 D 內(nèi)的調(diào)和函數(shù)內(nèi)的調(diào)和函數(shù).證證 ,)( 內(nèi)的一個解析函數(shù)內(nèi)的一個

56、解析函數(shù)為為設(shè)設(shè)Divuzfw . , xvyuyvxu 那末那末. , 222222yxvyuxyvxu 從而從而106根據(jù)解析函數(shù)高階導(dǎo)數(shù)定理根據(jù)解析函數(shù)高階導(dǎo)數(shù)定理, , 數(shù)數(shù)具有任意階的連續(xù)偏導(dǎo)具有任意階的連續(xù)偏導(dǎo)與與vu, 22yxvxyv , 0 2222 yuxu從而從而, 0 2222 yvxv同理同理 . 都是調(diào)和函數(shù)都是調(diào)和函數(shù)與與因此因此vu證畢證畢107. , , ,的共軛調(diào)和函數(shù)的共軛調(diào)和函數(shù)稱為稱為兩個調(diào)和函數(shù)中兩個調(diào)和函數(shù)中的的內(nèi)滿足方程內(nèi)滿足方程在在換句話說換句話說uvxvyuyvxuD 2. 共軛調(diào)和函數(shù)的定義共軛調(diào)和函數(shù)的定義. ),( ),( , ),( 的的共共軛軛調(diào)調(diào)和和函函數(shù)數(shù)稱稱為為函函數(shù)數(shù)內(nèi)內(nèi)構(gòu)構(gòu)成成解解析析函函數(shù)數(shù)的的調(diào)調(diào)和和在在們們把把使使我我內(nèi)內(nèi)給給定定的的調(diào)調(diào)和和函函數(shù)數(shù)為為區(qū)區(qū)域域設(shè)設(shè)yxuyxvDivuDyxu 區(qū)域區(qū)域D內(nèi)的解析函數(shù)的虛部為實部的共軛調(diào)內(nèi)的解析函數(shù)的虛部為實部的共軛調(diào)和函數(shù)和函數(shù).