多項(xiàng)式練習(xí)題參考答案

1、多項(xiàng)式練習(xí)題參考答案一、填空題1. f(x) =x4 _4x3 I,g(x) = x2 _3X_1.則 f (x)被 g (x)除所得的商式為 x2 x 2 , 余式為 7x 3 .2 . f (x) , g(x), u(x) ,v(x) w Px,若 u (x) f (x) + v(x) g (x) = 2,貝 U ( f (x), g (x)=旦 (u(x),v(x) =1 -3. f (x) =an xn + +ax +a° W Px且 a0, f (x) | g (x), (f (x), g (x)=上 f (x).an4. x2 +2, (x 1)(x + 3),0,2x

2、十 4,x3 -1 中是本原多項(xiàng)式的為 x2 + 2, ( x 一1) (x + 3), x3 1 .5. 多項(xiàng)式 f (x) = 4(5 x -4) 2000 x2 -2x -1 2001 (8 x 3 -1 1 x 2 + 2) 2002 的所有系數(shù)之和= L (取x=1得到)，常數(shù)項(xiàng)=22002 (取x=0得至U).6. 能被任一多項(xiàng)式整除的式項(xiàng)式是零多項(xiàng)式；能整除任意多項(xiàng)式的多項(xiàng)式一 定是零次多項(xiàng)式 .7. 多項(xiàng)式f (x)除以a x -b (a。0)的余式為f (°).8. 設(shè) 2x3-x2+3x-5=a(x-2)3+b(x-2)2+c(x-2)+d，貝U a,b,c,d

3、的值為 2 , 9, 23,13 .9 f (x) = x5 +4x4 + x3 -10 x2 -4x +8 在有理數(shù)上的標(biāo)準(zhǔn)分解式是 (x -1)2 (x +2)3 . x x x x x xx x .10. x2 +3x +2 x4 +mx2 px + 2 ,貝U m = -6 , p =3.二、判斷說明題(先判斷正確與錯(cuò)誤，再簡(jiǎn)述理由)1 .若 u(x) f (x) +v(x)g(x) =d (x),則 d (x)必為 f (x)與 g(x)的最大公因式.錯(cuò).如 f (x) = x 1, g (x) = x +1, u (x) = x +1, v(x) = x，貝U d (x) = x

4、-1 ,但 f (x) 與g(x)互素.2. 若 p(x) | f (x)g(x), p(x)在 P 上不可約，且 p(x) | f (x) + g (x),貝 U p(x) | f (x)且 P(x) | g (x).對(duì).由 p (x) | f (x) g (x), p(x)在 P 上不可 約可得 p(x) | f (x)或 p (x) | g (x).若 p(x) | f (x)，乂 p(x) | f (x) +g(x),因此 p(x) | f (x) +g(x) f (x),即 p(x) | g(x).3. 設(shè)p(x), f (x)為P上的多項(xiàng)式，且p(x)不可約.若p (x)為f (x

5、)的k重因式, 則p (x)必為f (x)的k +1重因式.錯(cuò).如f(x)=(x2 +2)5 +5 , x2 +2是f (x)在Q上的4重因式，但x2+2不是 f (x)的因式.4. 有理系數(shù)多項(xiàng)式f (x)在Q上可約,則f (x)有有理根.錯(cuò).如f (x) = x4 _4 =(x2 +2) (x2 2)在Q上可約，但f (x)沒有有理根.5. 若地是整系數(shù)多項(xiàng)式f (x)的根，p,q為互素的整數(shù)，貝U (p-q)f(1).p對(duì).由也是整系數(shù)多項(xiàng)式f (x)的根可得pxq為f (x)的因式，即 pf (x) = ( px -q) g (x)，且 g (x)是整系數(shù)的，取 x =1 可得(p-q

6、) f (1).6. 奇數(shù)次實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式在實(shí)數(shù)域上一定有實(shí)根，因此在實(shí)數(shù)域上一定可約.錯(cuò).一次實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式有實(shí)根但不可約.7. 若 f (x) h(x)且 g(x) h(x)，則 f (x)g(x) h(x).錯(cuò).缺f (x),g(x)互素.8. 若 g (x) | f (x)則(f (x), g (x) ) = 1 .錯(cuò).如 x2 -1 |x3 -1 ,但(x2 -1, x3 -1) =x -19. 數(shù)域P上的任意一個(gè)不可約多項(xiàng)式p(x)在復(fù)數(shù)域內(nèi)沒有重根. 正確.10. 多項(xiàng)式f (x)有重根當(dāng)且僅當(dāng)f (x)有重因式.與所考慮的范圍有關(guān)，在復(fù)數(shù)域上正確，在其它數(shù)域上有重因式未必有重根.三

7、、計(jì)算題1. 設(shè) f(x) = x" _x，_x2 +2x_l,g(x) = x，_2x+l,求(f (x), g (x)以及 u (x), v(x),使 u(x) f (x) v(x)g (x) = ( f (x), g (x).解：利用輾轉(zhuǎn)相除法得f (x) = g(x)qi (x) Ti(x) = g (x)( x 一1) x2 x, g(x) = ri(x)q2(x)(x) = (x2 - x)( x 1) -x 1,rjx) =2(x)q3(x) =( x 1)( x).因此(f (x), g(x) =x -1. 乂2(x) = g(x) r(x)q2(x) = g (x)

8、 一( f (x) 一 g(x)q(x)q2(x) =q2(x)f (x) - (1 - q(x)q2(x).(f (x), g(x) - -2(x) =q2(x) f (x) -(1 q(x)q2(x) g(x).所以 u (x) =q2(x) = x，1,v(x) - -1 -q1(x)q2(x) - -1 - (x -1)(x，1) - -x2.2 .設(shè) f (x) = x，x3 +4x2 3x +2(1) 判斷f (x)在R上有無重因式&口果有，求出所有的重因式及重?cái)?shù)；(2) 求f (x)在R上的標(biāo)準(zhǔn)分解式.解:(1) f '(x) =5x4 -3x2 +8x-3.運(yùn)用

9、輾轉(zhuǎn)相除法可得：(f (x), f '(x) =x2 -x + 1.x2 -x+1為f (x)在R上二重因式.(2)由(1)可得f (x)在R上的標(biāo)準(zhǔn)分解式為f (x) =(x2 x 1)2(x 2).解法2： f(x)的可能有理根為±1, ±2，經(jīng)檢驗(yàn)-2為f (x)的有理根，由綜合除法可得-210-14-32-24-64-21-23-210因此有f (x)=(艾一2叉+ 3x -2x+ 1 )(<+2于 2x( x +2 1 )x(t x2 2)x +1 為f(x)在R上二重因式.f (x)在R上的標(biāo)準(zhǔn)分解式為f (x) =(x2 _x 1) 一 f

10、9;(x) = (x -1)( x 5) (p 5).(x 2).3. 已知f (x) =x當(dāng) p =4 時(shí)，f (x) =(x +2)3 , -2 為 f (x)的 3 重根；當(dāng) p = -5 時(shí)，(f (x), f '(x)= x1 ,1 為 f (x)的 2 重根，此時(shí) f (x) =(x1)2(x+8) ,-8 為單根.4. 已知1 -i是多項(xiàng)式x4 -4x3 +5x2 -2x-2的一個(gè)根，求其所有的根.解:由實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式虛根成對(duì)性，1+i也是x4 -4x3 +5x2 -2x-2的根. +6x2 +3 px +8，試確定p的值，使f (x)有重根，并求其根.角牟:若 f (x)

11、有重根，貝U f(x) = (xa)2(xb) = x3(2a+b)x2 +(a2 +2ab)x a2b. 因此有f 2a +b = -6,'a = 2,' a =1,v a2 +2ab =3p,解得b = -2,或 b = -8,a2b = 8.p = 4. p = 5.當(dāng)p =4時(shí)-2為f (x)的3重根；當(dāng)p = -5時(shí)1為f (x)的2重根,-8為單根.解法2：若f (x)有重根，則(f (x), f '(x),1.f '(x) = 3x2 12x 3 p = 3(x2 4x p).1f (x) = f '(x)(x 2) (2 p 8)x (8

12、 2p)3= (x2 4x p)(x 2)(2 p -8)(x -1),xf (x) = _ f '(x) - (3 ax - b)44。 4b 4b(x -a) f (x) (x -b)g(x) =(x4b貝U x2 +c f (x) ,x2 +c g (x).f '(x) = (3 ax - b)( x2 _x ) - 4a _3a 9a227 a327 a3當(dāng) b3 =27a4 時(shí),(f (x), f '(x) =x +；，：為 f (x)的二重根.顯然 a = b = 0 也滿足b3 =27a4.因此當(dāng)b3 =27a4時(shí)f (x)有重根.四、證明題1 .設(shè)k芝2

13、為正整數(shù)，證明：f (x) | g (x)仁f k (x) | gk (x).證明：當(dāng) f (x) | g (x)時(shí)，有 g (x) = f (x)q(x),因此 g k ( x) = fk ( x)(x即有kkf (x ) |g x .)反之設(shè)f (x) = pri(x)pr2(x)prs(x)g(x) = pmi(x)pm2(x)pms(x)其中p(x), p(x),，p (x建互不相同的不可約多項(xiàng)式，r/0, m/0(i =1,2，s).由f k(x) | gk(x)可 得 k ri Mkmji = 1 ,2 s,即 S (i = 1,2，s).因 此 有f ( x) |g (x2. 設(shè)

14、f (x)是整系數(shù)多項(xiàng)式,a為整數(shù)，證明：(5 a) | f (5)U (5 -a) | f (a).證明若(5 a) | f (5)，令f (x) =(x a)q(x) +r ,其中q(x)為整系數(shù)多項(xiàng)式，r為整數(shù).f (5) =(5 a)q(5) +r .由(5 a) | f (5)可得 r = 0 .因此有f (x) =(x -a)q(x). f (a) =0, (5 -a) | f (a).類似可證當(dāng)(5 -a) | f (a)(5 -a) | f (5).x a)f(x) (x b)g(x)=(xc)h(x)c)h(x)3. 已知 f (x), g (x), h ( x)是數(shù)域 P

15、上的多項(xiàng)式，a,b,cWp,a=b,a#0, c#0,且 證明:兩式相加得：2x( f (x) + g (x) =2( x2 +c)g (x).由 c 尹 0 得(x, x2 +c) = 1 .因此有2，、，、x +c f (x) +g (x).兩式相減有 2a f( x) 2b ©( x,)因此有x2+烤a(f+)x 2b.(抽)xx2 +c f(x) +g(x)及 x2 +c2af(x)+2bg(x)可得 x2 + c(2a-2b) f (x). 乂 a#b，因 此有 x2 +c f (x).類似有 x2 +c g (x).4. 設(shè)c #0，證明：若f (x) = f (x _c)，則f (x)只能是常數(shù).證明：反證法證明.假設(shè)f (x)不是常數(shù).Q(f(x)=n.在復(fù)數(shù)域上考慮，f (x)至少有一個(gè)復(fù)根a .由f (x) = f (x c)可得0 = f (：.) = f (:. _c) = f (: -c) - c) =, = f (:. _ kc) = , k N .即a,