數(shù)列復(fù)習(xí)(數(shù)列基礎(chǔ)知識(shí)-求通項(xiàng)-求前n項(xiàng)和)與兩份復(fù)習(xí)題

1、數(shù)列復(fù)習(xí)一. 等差數(shù)列的性質(zhì)總結(jié)1.等差數(shù)列的定義：（d為常數(shù)）（）；2等差數(shù)列通項(xiàng)公式： ， 首項(xiàng):，公差:d，末項(xiàng): 推廣： 從而；3等差中項(xiàng)（1）如果，成等差數(shù)列，那么叫做與的等差中項(xiàng)即：或（2）等差中項(xiàng)：數(shù)列是等差數(shù)列4等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：（其中A、B是常數(shù)，所以當(dāng)d0時(shí)，Sn是關(guān)于n的二次式且常數(shù)項(xiàng)為0）特別地，當(dāng)項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)時(shí)，是項(xiàng)數(shù)為2n+1的等差數(shù)列的中間項(xiàng)（項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列的各項(xiàng)和等于項(xiàng)數(shù)乘以中間項(xiàng)）5等差數(shù)列的判定方法 （1） 定義法：若或(常數(shù)) 是等差數(shù)列 （2） 等差中項(xiàng)：數(shù)列是等差數(shù)列 數(shù)列是等差數(shù)列（其中是常數(shù)）。（4）數(shù)列是等差數(shù)列,（其中A、B是常數(shù)）。

2、6等差數(shù)列證明方法定義法：若或(常數(shù))是等差數(shù)列.7.提醒：（1）等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前和公式中，涉及到5個(gè)元素：、及，其中、稱作為基本元素。只要已知這5個(gè)元素中的任意3個(gè)，便可求出其余2個(gè)，即知3求2。（2）設(shè)項(xiàng)技巧：一般可設(shè)通項(xiàng)奇數(shù)個(gè)數(shù)成等差，可設(shè)為，（公差為）；偶數(shù)個(gè)數(shù)成等差，可設(shè)為，,（注意；公差為2）8.等差數(shù)列的性質(zhì)：（1）當(dāng)公差時(shí)，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是關(guān)于的一次函數(shù)，且斜率為公差；前和是關(guān)于的二次函數(shù)且常數(shù)項(xiàng)為0.（2）若公差，則為遞增等差數(shù)列，若公差，則為遞減等差數(shù)列，若公差，則為常數(shù)列。（3）當(dāng)時(shí),則有，特別地，當(dāng)時(shí)，則有.注：，（4）若、為等差數(shù)列，則都為等差數(shù)列。(5)

3、若是等差數(shù)列，則 ，也成等差數(shù)列。 （6）數(shù)列為等差數(shù)列,每隔k(k)項(xiàng)取出一項(xiàng)()仍為等差數(shù)列（7）設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列，d為公差，是奇數(shù)項(xiàng)的和，是偶數(shù)項(xiàng)項(xiàng)的和，是前n項(xiàng)的和1.當(dāng)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)時(shí)，2、當(dāng)項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)時(shí)，則（其中是項(xiàng)數(shù)為2n+1的等差數(shù)列的中間項(xiàng)）（8）、的前和分別為、，且，則.（9）等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，前m項(xiàng)和，則前m+n項(xiàng)和(10)求的最值法一：因等差數(shù)列前項(xiàng)和是關(guān)于的二次函數(shù)，故可轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值，但要注意數(shù)列的特殊性。法二：（1）“首正”的遞減等差數(shù)列中，前項(xiàng)和的最大值是所有非負(fù)項(xiàng)之和即當(dāng) 由可得達(dá)到最大值時(shí)的值 （2） “首負(fù)”的遞增等差數(shù)列中，前項(xiàng)和的最小值是所有非正

4、項(xiàng)之和。即 當(dāng) 由可得達(dá)到最小值時(shí)的值或求中正負(fù)分界項(xiàng)法三：直接利用二次函數(shù)的對(duì)稱性：由于等差數(shù)列前n項(xiàng)和的圖像是過(guò)原點(diǎn)的二次函數(shù)，故n取離二次函數(shù)對(duì)稱軸最近的整數(shù)時(shí)，取最大值（或最小值）。若S p = S q則其對(duì)稱軸為注意：解決等差數(shù)列問(wèn)題時(shí)，通常考慮兩類方法：基本量法：即運(yùn)用條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于和的方程；巧妙運(yùn)用等差數(shù)列的性質(zhì)，一般地運(yùn)用性質(zhì)可以化繁為簡(jiǎn)，減少運(yùn)算量二. 等比數(shù)列的性質(zhì)總結(jié)1、等比數(shù)列的定義： 注意（1）、由定義可知，等比數(shù)列的任意一項(xiàng)都不為0，因而公比q也不為0. （2）、要證明一個(gè)數(shù)列是等比數(shù)列，必須對(duì)任意nN，an1÷an=q，或an÷an1=q（n2

5、）都成立. 2、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式:由a2=a1q，a3=a2q=a1q2，a4=a3q=a1q3，歸納出an=a1qn1.此式對(duì)n=1也成立. 3、等比中項(xiàng) 如果在a與b中間插入一個(gè)數(shù)G，使a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項(xiàng) 4、等比數(shù)列的判定方法（1）、an=an1·q（n2），q是不為零的常數(shù)，an10an是等比數(shù)列.（2）、an2=an1·an1（n2, an1,an,an10）an是等比數(shù)列.（3）、an=c·qn（c，q均是不為零的常數(shù)）an是等比數(shù)列.5、等比數(shù)列的性質(zhì) 設(shè)an為等比數(shù)列，首項(xiàng)為a1，公比為q.（1）、當(dāng)q>1，a

6、1>0或0<q<1，a1<0時(shí)，an是遞增數(shù)列；當(dāng)q>1，a1<0或0<q<1,a1>0時(shí)，an是遞減數(shù)列；當(dāng)q=1時(shí)，an是常數(shù)列；當(dāng)q<0時(shí)，an是擺動(dòng)數(shù)列.（2）、an=am·qnm（m、nN*）.（3）、當(dāng)mn=pq（m、n、q、pN*）時(shí)，有am·an=ap·aq.（4）、an是有窮數(shù)列，則與首末兩項(xiàng)等距離的兩項(xiàng)積相等，且等于首末兩項(xiàng)之積.（5）、當(dāng)數(shù)列an是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列時(shí)，數(shù)列l(wèi)gan是公差為lgq的等差數(shù)列.（6）、若m、n、p（m、n、pN*）成等差數(shù)列時(shí)，am、an、ap成等比

7、數(shù)列.6、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式q1時(shí),的前n項(xiàng)和的公式_或_.當(dāng)q=1時(shí)，Sn=na1.7、等比數(shù)列前n項(xiàng)和的一般形式一般地，如果a1,q是確定的，那么8、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的性質(zhì)（1）.在等比數(shù)列中，若項(xiàng)數(shù)為2n(nN*)，則（2）.Sn,S2nSn,S3nS2n成等比數(shù)列.三求數(shù)列通項(xiàng)公式 （一）、公式法（二）、累加法：遞推公式為解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為求解。例1 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。（三）、累乘法：遞推公式為 解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為 求解。例. 已知數(shù)列滿足，求。（四）、遞推式：，解法：只需構(gòu)造數(shù)列，消去帶來(lái)的差異例設(shè)數(shù)列：，求.（五）、遞推公式：（其中p，q均為常數(shù)，）

8、。解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為：，其中，再利用換元法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解。（六）、遞推公式：與的關(guān)系式。(或)，利用進(jìn)行求解。例. 已知數(shù)列前n項(xiàng)和.（1）求與的關(guān)系；（2）求通項(xiàng)公式.（七）、形如:遞推式，考慮函數(shù)倒數(shù)關(guān)系有令則可歸為型。(取倒數(shù)法)（八）. 數(shù)學(xué)歸納法數(shù)列求和一、公式法： 二、分組求和法：若一個(gè)數(shù)列由兩個(gè)特殊數(shù)列相加減而得到，則分別對(duì)兩個(gè)特殊數(shù)列求和之后相加減得到該數(shù)列的和。例.；三、裂項(xiàng)相消法：把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差、正負(fù)相消剩下首尾若干項(xiàng)。常見(jiàn)拆項(xiàng)公式：（1） (2) (3) （4）四、錯(cuò)位相減法：如果一個(gè)數(shù)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列相乘得到，則使用這種方法。例4. （

9、1），求。數(shù)列綜合復(fù)習(xí)題一一、選擇題(每小題5分，共30分) 1若數(shù)列an的前n項(xiàng)和Snn21，則a4等于()A7B8C9 D172數(shù)列an中，an2n229n3，則此數(shù)列最大項(xiàng)的值是()A107 B108C108 D1093(2010·青島模擬)數(shù)列an滿足：a12，an1(n2,3,4，)，則a4_；A-1B2C0.5 D-24(2009·福建高考)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且S36，a34，則公差d等于()A1B.C2 D35設(shè)an是公差為正數(shù)的等差數(shù)列，若a1a2a315，a1a2a380，則a11a12a13()A120 B105C90 D756設(shè)an是公比為

10、正數(shù)的等比數(shù)列，若a11，a516，則數(shù)列an前7項(xiàng)的和為()A63 B64C127 D1287設(shè)等比數(shù)列an的公比q2，前n項(xiàng)和為Sn，則()A2 B4C. D.8已知an是等比數(shù)列，a22，a5，則a1a2a2a3anan1()A16(14n) B16(12n)C.(14n) D.(12n)二、填空題(每小題5分，共20分)9(2009·全國(guó)卷)設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn.若a55a3，則_.10(2009·浙江高考)設(shè)等比數(shù)列an的公比q，前n項(xiàng)和為Sn，則_.11設(shè)數(shù)列an為公比q>1的等比數(shù)列，若a2004和a2005是方程4x28x30的兩根，則a20

11、062007_.12已知數(shù)列an滿足(nN*)，且a11，則an_.三、解答題13、求的值。14、已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且a35，S15225；數(shù)列bn是等比數(shù)列，b3a2a3，b2b5128.求數(shù)列an的通項(xiàng)an及數(shù)列bn的前8項(xiàng)和T8；15、設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，已知a34，a4a5a6212.(1)求首項(xiàng)a1和公比q的值；(2)若Sn2101，求n的值16、求數(shù)列的前項(xiàng)和17、數(shù)列an的前n項(xiàng)和Snn213n1，求數(shù)列的通項(xiàng)及|an|的前20項(xiàng)的和T20.18(15分)已知an是等差數(shù)列，a25，a514，(1)求an的通項(xiàng)公式；(2)當(dāng)an的前n項(xiàng)和Sn155

12、，求n的值19. 已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為 求它的前n項(xiàng)的和.數(shù)列綜合復(fù)習(xí)題二1an是首項(xiàng)a11，公差為d3的等差數(shù)列，如果an2 005，則序號(hào)n等于( )A667B668C669D6702在各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列an中，首項(xiàng)a13，前三項(xiàng)和為21，則a3a4a5( )A33B72C84D1893如果a1，a2，a8為各項(xiàng)都大于零的等差數(shù)列，公差d0，則( ) Aa1a8a4a5Ba1a8a4a5Ca1a8a4a5Da1a8a4a54方程(x22xm)(x22xn)0的四個(gè)根組成一個(gè)首項(xiàng)為的等差數(shù)列，則mn等于( )A1BCD 5等比數(shù)列an中，a29，a5243，則an的前4項(xiàng)和為( ).A8

13、1 B120 C168 D1926若數(shù)列an是等差數(shù)列，首項(xiàng)a10，a2 003a2 0040，a2 003·a2 0040，則使前n項(xiàng)和Sn0成立的最大自然數(shù)n是( )A4 005B4 006C4 007D4 008 7已知等差數(shù)列an的公差為2，若a1，a3，a4成等比數(shù)列, 則a2( )A4B6C8D 108設(shè)Sn是等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若，則( )A1B1C2D9已知數(shù)列1，a1，a2，4成等差數(shù)列，1，b1，b2，b3，4成等比數(shù)列，則的值是( )ABC或D10在等差數(shù)列an中，an0，an1an10(n2)，若S2n138，則n( )A38B20C10D9二、填空題11

14、設(shè)f(x)，利用課本中推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的方法，可求得f(5)f(4)f(0)f(5)f(6)的值為 .12已知等比數(shù)列an中，(1)若a3·a4·a58，則a2·a3·a4·a5·a6 (2)若a1a2324，a3a436，則a5a6 (3)若S42，S86，則a17a18a19a20 .13在和之間插入三個(gè)數(shù)，使這五個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，則插入的三個(gè)數(shù)的乘積為 14在等差數(shù)列an中，3(a3a5)2(a7a10a13)24，則此數(shù)列前13項(xiàng)之和為 .15在等差數(shù)列an中，a53，a62，則a4a5a10 .16設(shè)平面內(nèi)有n條直線(

15、n3)，其中有且僅有兩條直線互相平行，任意三條直線不過(guò)同一點(diǎn)若用f(n)表示這n條直線交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，則f(4) ；當(dāng)n4時(shí)，f(n) 三、解答題17(1)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn3n22n，求證數(shù)列an成等差數(shù)列.(2)已知，成等差數(shù)列，求證，也成等差數(shù)列.18設(shè)an是公比為 q 的等比數(shù)列，且a1，a3，a2成等差數(shù)列(1)求q的值；(2)設(shè)bn是以2為首項(xiàng)，q為公差的等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，當(dāng)n2時(shí)，比較Sn與bn的大小，并說(shuō)明理由19數(shù)列an的前n項(xiàng)和記為Sn，已知a11，an1Sn(n1，2，3)求證：數(shù)列是等比數(shù)列20已知數(shù)列an是首項(xiàng)為a且公比不等于1的等比數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)

16、和，a1，2a7，3a4成等差數(shù)列，求證：12S3，S6，S12S6成等比數(shù)列.數(shù)列綜合復(fù)習(xí)題一答案一、選擇題(每小題5分，共30分) 1若數(shù)列an的前n項(xiàng)和Snn21，則a4等于()A7B8C9 D17解析：Snn21，a4S4S3161(91)7.答案：A2數(shù)列an中，an2n229n3，則此數(shù)列最大項(xiàng)的值是()A107 B108C108 D109解析：an2n229n32(n2n)32(n)23.當(dāng)n7時(shí)，an最大且等于108. 來(lái)源：高考%資源網(wǎng) KS%5U答案：B3(2010·青島模擬)數(shù)列an滿足：a12，an1(n2,3,4，)，則a4_；解析：數(shù)列an滿足a12，an

17、1，a21，a3121，a4112；4(2009·福建高考)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且S36，a34，則公差d等于()A1B.C2 D3解析：S36，而a34，a10，d2.答案：C5設(shè)an是公差為正數(shù)的等差數(shù)列，若a1a2a315，a1a2a380，則a11a12a13()A120 B105C90 D75解析：設(shè)公差為d且d>0.由已知，得.解得a12，d3(d>0)a11a12a133a123(a111d)105.答案：B6設(shè)an是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，若a11，a516，則數(shù)列an前7項(xiàng)的和為()A63 B64C127 D128解析：公比q416，且q>

18、0，q2，S7127，故選C.答案：C7設(shè)等比數(shù)列an的公比q2，前n項(xiàng)和為Sn，則()A2 B4C. D.解析：本題主要考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和的公式來(lái)源：高考%資源網(wǎng) KS%5U設(shè)等比數(shù)列an的首項(xiàng)為a1，則S415a1，a22a1，故選C.答案：C8已知an是等比數(shù)列，a22，a5，則a1a2a2a3anan1()A16(14n) B16(12n)C.(14n) D.(12n)解析：q3，q，a14，數(shù)列an·an1是以8為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，不難得出答案為C.答案：C二、填空題(每小題5分，共20分)9(2009·全國(guó)卷)設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn.

19、若a55a3，則_.解析：·×59.答案：910(2009·浙江高考)設(shè)等比數(shù)列an的公比q，前n項(xiàng)和為Sn，則_.解析：由S4，a4a1·q3，則15.答案：1511設(shè)數(shù)列an為公比q>1的等比數(shù)列，若a2004和a2005是方程4x28x30的兩根，則a20062007_.解析：解方程4x28x30，得x或.又q>1，a2004，a2005.q3.a2006a2007(a2004a2005)·q22×3218.答案：1812已知數(shù)列an滿足(nN*)，且a11，則an_.解析：本題考查利用遞推公式確定數(shù)列通項(xiàng)公式據(jù)已知

20、有：n2時(shí)利用累乘法得：ana1····1······，又驗(yàn)證知a11也適合，故an.答案：三、解答題13、求的值。14、已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且a35，S15225；數(shù)列bn是等比數(shù)列，b3a2a3，b2b5128.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)an及數(shù)列bn的前8項(xiàng)和T8；15、設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，已知a34，a4a5a6212.(1)求首項(xiàng)a1和公比q的值；(2)若Sn2101，求n的值解：(1)設(shè)等比數(shù)列an的公比為q(q>0)，則由題設(shè)有a4a5a6a212a

21、52416，q24q2，代入a3a1q24，解得a11.(2)由Sn2101，得Sn2n12101，2n210，n10.16、求數(shù)列的前項(xiàng)和17、數(shù)列an的前n項(xiàng)和Snn213n1，求數(shù)列的通項(xiàng)及|an|的前20項(xiàng)的和T20.解：可求an，令2n140，得n7.an中，由a1至a6是負(fù)值，a70，而a8及以后各項(xiàng)為正值S77213×7143，S2020213×201139，數(shù)列|an|的前20項(xiàng)的和T20S202S71392×(43)225.18. 求數(shù)列a,2a2,3a3,4a4,nan, (a為常數(shù))的前n項(xiàng)和。19(15分)已知an是等差數(shù)列，a25，a51

22、4，(1)求an的通項(xiàng)公式；(2)當(dāng)an的前n項(xiàng)和Sn155，求n的值解：(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，首項(xiàng)為a1.則a1d5，a14d14，解得a12，d3.所以數(shù)列an的通項(xiàng)為ana1(n1)d3n1.(2)數(shù)列an的前n項(xiàng)和Snn2n.由n2n155，化簡(jiǎn)得3n2n3100.即(3n31)(n10)0；所以n10.20. 已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為 求它的前n項(xiàng)的和.21在數(shù)列an中，a11，an12an2n.(1)設(shè)bn，證明數(shù)列bn是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn.解：(1)證明：an12an2n，1，bn1bn1，又b1a11，因此bn是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列(2)由(

23、1)知n，即ann·2n1，Sn1·202·21(n1)·2n2n·2n1，2Sn1·212·22(n1)·2n1n·2n.兩式相減，得Snn·2n20212n1n·2n2n1(n1)2n1. 7等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，已知S1,2S2,3S3成等差數(shù)列，則an的公比為_(kāi)解析：由題意知4S2S13S3.當(dāng)q1時(shí)，4×2a1a13×3a1，即8a110a1，a10，不符合題意，所以q1.當(dāng)q1時(shí)，應(yīng)有4×a13×，化簡(jiǎn)得3q2q0，得q或0(

24、舍去)答案：復(fù)習(xí)題2參考答案一、選擇題1C解析：由題設(shè)，代入通項(xiàng)公式ana1(n1)d，即2 00513(n1)，n6992C解析：本題考查等比數(shù)列的相關(guān)概念，及其有關(guān)計(jì)算能力設(shè)等比數(shù)列an的公比為q(q0)，由題意得a1a2a321，即a1(1qq2)21，又a13，1qq27解得q2或q3(不合題意，舍去)，a3a4a5a1q2(1qq2)3×22×7843B解析：由a1a8a4a5，排除C又a1·a8a1(a17d)a127a1d，a4·a5(a13d)(a14d)a127a1d 12d2a1·a84C解析：解法1：設(shè)a1，a2d，a32

25、d，a43d，而方程x22xm0中兩根之和為2，x22xn0中兩根之和也為2，a1a2a3a416d4，d，a1，a4是一個(gè)方程的兩個(gè)根，a1，a3是另一個(gè)方程的兩個(gè)根，分別為m或n，mn，故選C解法2：設(shè)方程的四個(gè)根為x1，x2，x3，x4，且x1x2x3x42，x1·x2m，x3·x4n由等差數(shù)列的性質(zhì)：若gspq，則agasapaq，若設(shè)x1為第一項(xiàng)，x2必為第四項(xiàng)，則x2，于是可得等差數(shù)列為，m，n，mn5B解析：a29，a5243，q327， q3，a1q9，a13， S41206B解析：解法1：由a2 003a2 0040，a2 003·a2 0040

26、，知a2 003和a2 004兩項(xiàng)中有一正數(shù)一負(fù)數(shù)，又a10，則公差為負(fù)數(shù)，否則各項(xiàng)總為正數(shù)，故a2 003a2 004，即a2 0030，a2 0040.S4 0060，S4 007·(a1a4 007)·2a2 0040，故4 006為Sn0的最大自然數(shù). 選B(第6題)解法2：由a10，a2 003a2 0040，a2 003·a2 0040，同解法1的分析得a2 0030，a2 0040，S2 003為Sn中的最大值Sn是關(guān)于n的二次函數(shù)，如草圖所示，2 003到對(duì)稱軸的距離比2 004到對(duì)稱軸的距離小，在對(duì)稱軸的右側(cè)根據(jù)已知條件及圖象的對(duì)稱性可得4 00

27、6在圖象中右側(cè)零點(diǎn)B的左側(cè)，4 007，4 008都在其右側(cè)，Sn0的最大自然數(shù)是4 0067B解析：an是等差數(shù)列，a3a14，a4a16，又由a1，a3，a4成等比數(shù)列，(a14)2a1(a16)，解得a18，a28268A解析：·1，選A9A解析：設(shè)d和q分別為公差和公比，則413d且4(1)q4，d1，q22，10C解析：an為等差數(shù)列，an1an1，2an，又an0，an2，an為常數(shù)數(shù)列，而an，即2n119，n10二、填空題11解析：f(x)，f(1x)，f(x)f(1x)設(shè)Sf(5)f(4)f(0)f(5)f(6)，則Sf(6)f(5)f(0)f(4)f(5)，2Sf(6)f(5)f(5)f(4)f(5)f(6)6，Sf(5)f(4)f(0)f(5)f(6)312（1）32；（2）4；（3）32解析：（1）由