高中立體幾何解題方法探究

1、    高中立體幾何解題方法探究    陳玥汝【摘 要】立體幾何是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的難點(diǎn)，不僅考察學(xué)生對公式的記憶和使用情況，還需要學(xué)生具備較強(qiáng)的邏輯思維能力和空間想象能力，因而成為了很多學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)。筆者在本文中對學(xué)生如何看待立體幾何的學(xué)習(xí)、立體幾何的解題方法都有哪些，并且提出立體幾何的解題建議，希望對高中學(xué)生學(xué)習(xí)起到積極的促進(jìn)作用?！娟P(guān)鍵詞】高中;立體幾何;解題方法引言隨著課程改革的進(jìn)行，新課標(biāo)對高中立體幾何的教學(xué)目標(biāo)提出了新的要求。立體幾何的解題過程就是對學(xué)習(xí)的方法不斷鞏固的過程。筆者認(rèn)為在學(xué)習(xí)的過程中學(xué)生要學(xué)會分析問題、解決問題，通過學(xué)習(xí)立體幾何

2、的解題方式去培養(yǎng)自己的空間想象能力和思維能力，提高自己的學(xué)習(xí)成績。1.從學(xué)生角度看立體幾何學(xué)習(xí)1.1學(xué)習(xí)手段單一，影響學(xué)習(xí)效果當(dāng)前高中教學(xué)中的教學(xué)方法比較單一，尤其是一些年齡比較大的老師在教學(xué)時仍然習(xí)慣使用手寫的方式，不能將現(xiàn)代化的教學(xué)方式應(yīng)用到實(shí)際的教學(xué)過程中。這樣的教學(xué)方式無法滿足學(xué)生對于新鮮事物的要求，學(xué)生的學(xué)習(xí)效果也不理解。因而，很多學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中逐漸失去了對立體幾何以及數(shù)學(xué)中其他模塊內(nèi)容的學(xué)習(xí)興趣。很多學(xué)生認(rèn)為單一的學(xué)習(xí)方式是影響學(xué)習(xí)成績的重要原因，無法克服空間想象能力差的弊端，從而導(dǎo)致上課的時候注意力不能有效集中，學(xué)習(xí)成績也會下降。1.2空間想象能力不足與平面圖形相比，立體幾何

3、要求更多的是學(xué)生的想象能力。最簡單的立體幾何的選擇題就是根據(jù)所給圖形選擇下列哪個不屬于該圖形的截面圖，很多學(xué)生缺乏空間想象能力，遇見這種題的時候往往會做錯。但是從老師的角度來看，這種題又是最簡單的幾何題型。因而，很多學(xué)生反映不能真正的理解真實(shí)圖形和立體幾何之間的不同，是導(dǎo)致其不能準(zhǔn)確解答立體幾何問題的關(guān)鍵所在。在解答立體幾何的時候往往需要做輔助線，空間想象能力好的學(xué)生能夠一眼看出需要輔助線的地方從而很簡單的掌握該題的分?jǐn)?shù)，但是一些想象力不好的學(xué)生則會感到很苦惱，想象不到應(yīng)該如何去做，從而導(dǎo)致學(xué)習(xí)更加困難。1.3立體幾何概念的理解能力較差立體幾何中涉及到很多概念，只有準(zhǔn)確記憶并了解其中的含義才能

4、真正的運(yùn)用到解題的過程中，為今后的幾何學(xué)習(xí)提高基礎(chǔ)知識的保障。但是一些高中生本身的想象能力差，在學(xué)習(xí)相關(guān)的基礎(chǔ)知識時只能通過死記硬背的方式來了解相關(guān)概念。這就導(dǎo)致在幾何解題的過程中遇到種種問題，只會生搬硬套公式，不能融會貫通地解決問題，最后反而起不到應(yīng)有的效果，幾何成績也不能從根本上得到提升。2.高中立體幾何解題常用方法分析2.1數(shù)形結(jié)合法數(shù)形結(jié)合法是實(shí)際學(xué)習(xí)中使用最多的情形，通過將數(shù)字和幾何圖像進(jìn)行轉(zhuǎn)化的方式，能夠直觀地解決實(shí)際中遇到的問題。將抽象的問題具體化，既能夠讓學(xué)生理解起來更加簡單，同時在一些考試中也能節(jié)省做題的時間。該方法的基本思路就是根據(jù)題干中已經(jīng)給定的數(shù)字結(jié)構(gòu)，構(gòu)建相應(yīng)的幾何圖

5、形，再利用圖形的特點(diǎn)進(jìn)行解答問題，方便快捷。例如：圖1所示：在一個長寬高均為5的房間中，一只螞蟻如果要從a爬行到c點(diǎn)，螞蟻?zhàn)疃绦枰佬械木嚯x是多少？其實(shí)這是最常見的求最短距離的問題，最簡單的方式就是數(shù)形結(jié)合，將立體幾何轉(zhuǎn)化成平面進(jìn)行計(jì)算，通過這種方式能夠準(zhǔn)確的計(jì)算出螞蟻需要爬行的最短距離。2.2添加輔助線的方式高中立體幾何的解題中應(yīng)用最多也最便利的解題方法就是添加輔助線，通過對圖形進(jìn)行構(gòu)造，從而能夠?qū)D形進(jìn)行更好的觀察，快速找到解題的辦法。添加輔助線就是將復(fù)雜的幾何問題簡單化，如圖2所示：四邊形abcd是一個矩形，pd垂直于ad，ab的長度為1，bc、pc的長度為2。將圖2左折疊后得到圖形2右

6、。此時ef與dc平行，ef分別為中點(diǎn)，將ef進(jìn)行折疊，折點(diǎn)為p，將其在ad上的點(diǎn)標(biāo)記為m，此時mf垂直于cf。第一，證明cf垂直平面fdm;第二，求三棱錐m-cde的體積。第一題通過已知的垂直條件可以得到md與cf垂直，加之mf與cf垂直，從而得到線與線之間的垂直，因而得以證明。第二題則是通過構(gòu)建輔助圖形的方式來完成的，通過條件可以得到md的長度以及三角形cdb的面積，從而能夠得到三菱錐m-cde的體積。添加輔助線或者構(gòu)建特殊圖形的方式是解決幾何問題的最重要的方式，是高中生在學(xué)習(xí)立體幾何時必須要掌握的，通過將原命題進(jìn)行特殊化處理，不僅能夠?qū)⒔忸}的過程簡單化，還能迅速的完成解題，提高了學(xué)生的空間

7、想象能力，將復(fù)雜問題簡單化。2.3割補(bǔ)法割補(bǔ)法即通過將圖形進(jìn)行分割或者填補(bǔ)使其更容易觀察，從而找到解決問題的辦法，其中蘊(yùn)含著辯證統(tǒng)一的哲理、割補(bǔ)法主要包括兩種方法：第一，補(bǔ)行法，通過將題干中的圖形補(bǔ)充稱一個完整的新的圖形，使圖形更容易觀察從而找到解題的辦法：第二，分割法，即將圖形分為規(guī)則比較鮮明的兩部分，通過分別計(jì)算的方式計(jì)算出圖形的體積或者面積，最后相加，是比較簡單的解決問題的辦法。在高中數(shù)學(xué)中運(yùn)用該種方法解決問題，能夠拓寬學(xué)生的思維能力。比如：在下圖3所示的圖形中，左面圖形的側(cè)面最長線是6，最短線是3，地面的半徑是3，通過將其補(bǔ)足為右面完整的圓柱體的形式，能夠準(zhǔn)確快捷的計(jì)算出圓柱體的體積，

8、將復(fù)雜的問題簡單化，這就是割補(bǔ)法的意義所在。3.立體幾何解題建議3.1建立空間觀念，提升自身的空間想象能力對于很多高中生來說，從認(rèn)識平面圖形到立體圖形是一個慢慢的遞進(jìn)的過程，為了保障這個過程的順利進(jìn)行，一些同學(xué)比較喜歡自己構(gòu)建相關(guān)模型的方式進(jìn)行觀察和學(xué)習(xí)，而一些同學(xué)則通過不斷的翻閱書本，從書本中的立體圖形和題型的講解中找到其中的解題辦法，通過不同的角線面之間的聯(lián)系，通過添加輔助線的方式完成解題過程。筆者認(rèn)為無論采取哪種方式，只要能最終完成解題過程就可以，學(xué)生要從自身的實(shí)際情況出發(fā)，考慮自己的空間想象能力，選擇適合自己的學(xué)習(xí)方式，同時在學(xué)習(xí)的過程中逐步建立空間觀念，提高自己的空間想象力，為提高幾

9、何成績和數(shù)學(xué)成績奠定基礎(chǔ)。在進(jìn)行具體的操作時，可以通過先創(chuàng)建簡單的模型，比如：正方體、長方體的方式進(jìn)行觀察來尋找之間存在的不同點(diǎn)，進(jìn)而提升自己的解題能力。此外，通過熟練的觀察進(jìn)而掌握更多的提醒線、面之間的不同，為尋找正確的解題方法提供思路，使學(xué)生的思維能力得到更好的鍛煉，從而更加深對數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)以及對數(shù)學(xué)的喜愛。3.2加強(qiáng)自身綜合分析和邏輯論證的能力立體幾何的學(xué)習(xí)可以借助生活中的一些實(shí)際經(jīng)驗(yàn)或者模型構(gòu)建來豐富自己的構(gòu)思，同時，學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中還應(yīng)該注意的一點(diǎn)，是對于提出的命題或者方案不應(yīng)該急于肯定或者否定，而是要通過分析多種案例進(jìn)行檢驗(yàn)，在明確命題的性質(zhì)后找出最恰當(dāng)?shù)慕鉀Q辦法。立體幾何的解題過

10、程其實(shí)就是一個從低到高，從局部到整體的過程，鍛煉的是學(xué)生的綜合分析能力以及邏輯論證能力，因而學(xué)生在日常的學(xué)習(xí)中也應(yīng)該加強(qiáng)這方面的鍛煉。通過從多角度進(jìn)行分析和判斷必然能夠提高自身的邏輯思維能力，同時數(shù)學(xué)成績也能得到穩(wěn)步提升。3.3發(fā)散思維，綜合運(yùn)用多種解題技巧立體幾何的解題方法并不應(yīng)局限在幾何知識方面，數(shù)學(xué)中的很多方法都是通用的，因而學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中要學(xué)會融會貫通，將其它地方的知識點(diǎn)運(yùn)用到幾何知識的解題過程中。比如說：數(shù)學(xué)中的函數(shù)法、向量法、化曲為直等方法都可以應(yīng)用到立體幾何的解題過程中。任何一個學(xué)科中的知識點(diǎn)都是互通的，要想學(xué)好立體幾何就要具備發(fā)散性思維，綜合運(yùn)用多種解題技巧。當(dāng)然要想能夠熟

11、練運(yùn)用多種方式，首先做掌握每種解題技巧的具體適用，此時就需要學(xué)生進(jìn)行大量的練習(xí)。俗話說熟能生巧，當(dāng)練習(xí)的數(shù)學(xué)題足夠多的時候，學(xué)生就會自然而然的想到解題的辦法，熟能生巧，數(shù)學(xué)成績也就得到了提高。3.4創(chuàng)設(shè)情境，引發(fā)學(xué)生積極思考在提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，完成基礎(chǔ)的鋪墊工作后，后面的課程講授方法同樣十分重要。根據(jù)調(diào)查可以發(fā)現(xiàn)，學(xué)生的學(xué)習(xí)動機(jī)很多時候是在情境模擬中出現(xiàn)的，因?yàn)闉榱颂岣哒n堂解題效率，學(xué)生在學(xué)習(xí)解題技巧過程中可以通過創(chuàng)設(shè)情境的方式滿足自己的學(xué)習(xí)欲望。比如：如果一條直線垂直一個平面，那么直線所在的平面也垂直該平面。首先要對立體結(jié)構(gòu)進(jìn)行想象，一條直線垂直一個平面，所以這條直線垂直該平面內(nèi)的所有直線，并且該直線又在另一平面內(nèi)，所以2個平面相互垂直。結(jié)語縱觀高中數(shù)學(xué)的各個模塊的學(xué)習(xí)，筆者認(rèn)為立體幾何是其中最難分的部分，尤其是對一些缺乏空間想象能力的學(xué)生來說，掌握這部分的知識十分困難。因而要想提高立體幾何的學(xué)習(xí)能力，不僅需要熟練地掌握立體幾何的解題方法，同時還要轉(zhuǎn)變學(xué)生對立體幾何的態(tài)