飛行器結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)_第2章

1、第2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)第第2 2章章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 2.1 2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng) 2.2 2.2 單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng) 2.3 2.3 單自由度系統(tǒng)的工程應(yīng)用單自由度系統(tǒng)的工程應(yīng)用 2.4 2.4 阻尼理論阻尼理論 第2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)第第2 2章章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 2.1 2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng) 第2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)第2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)振動(dòng)系統(tǒng)振動(dòng)系統(tǒng) 連續(xù)模型：連續(xù)模型：無(wú)限個(gè)自由度無(wú)限

2、個(gè)自由度 離散模型：離散模型：有限個(gè)自由度有限個(gè)自由度離散模型的基本元素離散模型的基本元素彈性元件彈性元件阻尼元件阻尼元件慣性元件慣性元件單自由度線性系統(tǒng)單自由度線性系統(tǒng)最簡(jiǎn)單的離散模型最簡(jiǎn)單的離散模型作為較復(fù)雜系統(tǒng)的初步近似作為較復(fù)雜系統(tǒng)的初步近似第2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 構(gòu)成離散模型的元素構(gòu)成離散模型的元素2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng) 彈性元件彈性元件彈簧彈簧 最典型的彈性元件，假定無(wú)質(zhì)量最典型的彈性元件，假定無(wú)質(zhì)量 線性彈簧線性彈簧: x2-x1 較小時(shí)，較小時(shí)，F(xiàn)sk(x2-x1) k:彈簧常數(shù)彈簧常數(shù)或或彈簧剛度彈簧剛度，單位（，單位（N/m） 第2章 單自

3、由度系統(tǒng)的振動(dòng)通常稱為通常稱為阻尼器（阻尼器（damper），一般假設(shè)無(wú)質(zhì)量。，一般假設(shè)無(wú)質(zhì)量。 常見(jiàn)的阻尼模型常見(jiàn)的阻尼模型 阻尼元件阻尼元件粘性阻尼（粘性阻尼（viscous damping）：導(dǎo)致物體在粘性流體中運(yùn)）：導(dǎo)致物體在粘性流體中運(yùn)動(dòng)時(shí)受到的阻力。動(dòng)時(shí)受到的阻力。最常見(jiàn)、線性最常見(jiàn)、線性干摩擦阻尼（干摩擦阻尼（Coulomb damping） ：相鄰構(gòu)件間發(fā)生相對(duì)：相鄰構(gòu)件間發(fā)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)所致。運(yùn)動(dòng)所致。非線性非線性結(jié)構(gòu)阻尼（結(jié)構(gòu)阻尼（structural damping）：）：材料變形時(shí)材料內(nèi)部各材料變形時(shí)材料內(nèi)部各平面間產(chǎn)生相對(duì)滑移或滑動(dòng)引起內(nèi)摩擦所致的滯后阻尼。平面間產(chǎn)生相對(duì)

4、滑移或滑動(dòng)引起內(nèi)摩擦所致的滯后阻尼。復(fù)雜復(fù)雜2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)第2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 如無(wú)特別說(shuō)明，本課程所說(shuō)的阻尼均指如無(wú)特別說(shuō)明，本課程所說(shuō)的阻尼均指粘性阻尼粘性阻尼 阻尼力阻尼力 粘性阻尼系數(shù)：粘性阻尼系數(shù)：比例系數(shù)比例系數(shù) c ，單位（，單位（N-s/m） 阻尼器阻尼器通常用通常用c 表示。表示。 線性模型線性模型2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng) (a) (b) c 0 斜率 c dF 1x 2x dF 12xx dF 21()dFc xx第2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 慣性元件慣性元件2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的自

5、由振動(dòng)離散系統(tǒng)的離散系統(tǒng)的質(zhì)量元件質(zhì)量元件，慣性力慣性力質(zhì)量質(zhì)量m：比例系數(shù)，單位（比例系數(shù)，單位（kg）。）。 ( )mFmx t第2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 彈性元件的組合彈性元件的組合2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)等效剛度等效剛度 （2-2）串聯(lián)串聯(lián)1neqiikk（2-3）并聯(lián)并聯(lián)消掉消掉x0)(12xxkFeqs12111kkkeq（2-4）（2-5）111neqiikk1212122121 ()() ()ssseqFFFk xxkxxkxx（2-1）（2-6）等效剛度等效剛度101220()()sFk xxkxx第2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)2.1 單自由度系統(tǒng)的自

6、由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)2.1.1 單自由度系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程單自由度系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程 單自由度彈簧單自由度彈簧-阻尼器阻尼器-質(zhì)量（質(zhì)量（SDM）系統(tǒng)（無(wú)摩擦）系統(tǒng)（無(wú)摩擦） 牛頓法牛頓法( )( )( )( )sdF tF tF tmx t（2-7） )()(tkxtFs)()(txctFd( )( )( )( )mx tcx tkx tF t代入代入（2-8） 二階常系數(shù)常微分方程二階常系數(shù)常微分方程。 常數(shù)常數(shù) m ，c， k是描述系統(tǒng)的是描述系統(tǒng)的系統(tǒng)參數(shù)系統(tǒng)參數(shù)。 第2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)系統(tǒng)的無(wú)阻尼自然角頻率系統(tǒng)的無(wú)阻尼自然角頻

7、率( rad/s)2( )( )0nx tx tnkm （2-9）12( )cossinnnx tAtAt（2-10）2.1.2 無(wú)阻尼自由振動(dòng)無(wú)阻尼自由振動(dòng) F (t) =0 ，c = 0 運(yùn)動(dòng)方程運(yùn)動(dòng)方程（2-9）式的通解）式的通解理想狀態(tài)，實(shí)際上阻尼或多或少存在理想狀態(tài)，實(shí)際上阻尼或多或少存在 令令 ，0(0)xx)0(0 xv00( )cossinnnnvx txtt（2-11）第2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)( )cosnx tAt（2-12）（2-10）還可寫(xiě)成）還可寫(xiě)成2212AAA121tanAA （2-13）幅值幅值初相位初相位1

8、00tannvx2200nvAx由（由（2-11）和（）和（2-13）可得）可得第2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng) 系統(tǒng)以固有頻率系統(tǒng)以固有頻率n 作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，稱為作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，稱為簡(jiǎn)諧振蕩器簡(jiǎn)諧振蕩器 相位角：位移從初始值達(dá)到最大值的時(shí)間。相位角：位移從初始值達(dá)到最大值的時(shí)間。 無(wú)能量損耗，運(yùn)動(dòng)會(huì)持續(xù)下去（保守系統(tǒng)）無(wú)能量損耗，運(yùn)動(dòng)會(huì)持續(xù)下去（保守系統(tǒng)）響應(yīng)曲線響應(yīng)曲線( )cosnx tAt第2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 例例2-1 半徑為半徑為R的半圓形薄殼，在粗糙的表面上的半圓形薄殼，在粗糙的表面上滾動(dòng)，試推導(dǎo)此殼體在小幅運(yùn)動(dòng)下的運(yùn)動(dòng)微分方程，滾動(dòng)

9、，試推導(dǎo)此殼體在小幅運(yùn)動(dòng)下的運(yùn)動(dòng)微分方程，并證明此殼體的運(yùn)動(dòng)象簡(jiǎn)諧振子，計(jì)算振子的自然振并證明此殼體的運(yùn)動(dòng)象簡(jiǎn)諧振子，計(jì)算振子的自然振動(dòng)頻率。動(dòng)頻率。 2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)第2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)ccIM（a） 運(yùn)用理論力學(xué)中平面運(yùn)動(dòng)的理論建立運(yùn)動(dòng)方程。運(yùn)用理論力學(xué)中平面運(yùn)動(dòng)的理論建立運(yùn)動(dòng)方程。 殼體傾斜角殼體傾斜角，c為殼體與表面接觸點(diǎn)為殼體與表面接觸點(diǎn) 在無(wú)滑動(dòng)情況下，殼體瞬時(shí)繞在無(wú)滑動(dòng)情況下，殼體瞬時(shí)繞c 點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng) 對(duì)對(duì)c 點(diǎn)取矩，可得系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程。點(diǎn)取矩，可得系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程。 解：解：I

10、c：繞c點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Mc：重力作用下的恢復(fù)力矩第2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)2222222sinsincos2sincMRdwgRdgRgR （b）2222322sin(1 cos )21 cos2(2cos )cIRRdmRdR（c）殼體對(duì)殼體對(duì)C 點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為: dw：給定角給定角位置的微元體重量位置的微元體重量 ：殼體單位面積的質(zhì)量。殼體單位面積的質(zhì)量。 第2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 小幅振動(dòng)小幅振動(dòng)（很小），很小），sin，cos1 ，將（將（b）、（）、（c）代入（）代入（a），得到），得到:32222RgR （d）02g

11、R（e）2ngR（f）整理可得整理可得: 當(dāng)當(dāng)很小時(shí)，系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的確象很小時(shí)，系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的確象簡(jiǎn)諧振子簡(jiǎn)諧振子，其，其自然頻率自然頻率為為: ccIM （a）2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)第2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng) 對(duì)于復(fù)雜系統(tǒng)，是簡(jiǎn)便的固有頻率求解方法對(duì)于復(fù)雜系統(tǒng)，是簡(jiǎn)便的固有頻率求解方法 任選兩個(gè)時(shí)刻，系統(tǒng)機(jī)械能總和相等任選兩個(gè)時(shí)刻，系統(tǒng)機(jī)械能總和相等 狀態(tài)狀態(tài)1 1：m m通過(guò)靜平衡位置時(shí)刻通過(guò)靜平衡位置時(shí)刻此點(diǎn)為勢(shì)能參考點(diǎn)，此點(diǎn)為勢(shì)能參考點(diǎn)，U U1 10 0，動(dòng)能最大，動(dòng)能最大T T1 1T Tmaxmax 狀態(tài)狀

12、態(tài)2 2：到達(dá)最大位移處的時(shí)刻：到達(dá)最大位移處的時(shí)刻勢(shì)能最大勢(shì)能最大U U2U Umaxmax，動(dòng)能最小，動(dòng)能最小T T2 20 0TU常數(shù)d(T+U)0dt11max22maxTUTTUU 能量法能量法 無(wú)阻尼質(zhì)量無(wú)阻尼質(zhì)量- -彈簧系統(tǒng)，運(yùn)動(dòng)中機(jī)械能不變，維持等幅振蕩彈簧系統(tǒng)，運(yùn)動(dòng)中機(jī)械能不變，維持等幅振蕩 或mk1k2omaxmaxTU（瑞雷法Rayleigh）第2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)( )cosnx tAt22max2max12maxmax1212nTmAUkkATU系統(tǒng)作簡(jiǎn)諧振動(dòng)令12eqnkkkmm那么 采用瑞雷法時(shí)，假定振動(dòng)形

13、式越接近實(shí)際情況，結(jié)果越準(zhǔn)確（彈簧并聯(lián)）第2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)( )stx tAe（2-19）2220nnss(2-20)2.1.3 有阻尼自由振動(dòng)有阻尼自由振動(dòng) 粘性阻尼因子：粘性阻尼因子：nmc2/將（將（2-19）代入（）代入（2-18b） 有阻尼自由振動(dòng)方程有阻尼自由振動(dòng)方程 ( )( )( )0mx tcx tkx t（2-18a）2( )2( )( )0nnx tx tx t（2-18b） 寫(xiě)成寫(xiě)成: 系統(tǒng)特征方程系統(tǒng)特征方程( )stx tAe系統(tǒng)的通解系統(tǒng)的通解第2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)單自由

14、度系統(tǒng)的自由振動(dòng) 阻尼因子阻尼因子對(duì)響應(yīng)的影響。對(duì)響應(yīng)的影響。2220nnss(2-20)1221ssn =0：兩個(gè)復(fù)根：兩個(gè)復(fù)根in ，此時(shí)系統(tǒng)為簡(jiǎn)，此時(shí)系統(tǒng)為簡(jiǎn)諧振子。諧振子。 01：一對(duì)復(fù)共軛根，對(duì)稱地位于實(shí)復(fù)共軛根，對(duì)稱地位于實(shí)軸兩側(cè)，并位于半徑為軸兩側(cè)，并位于半徑為 n的圓上。的圓上。 =1： s1 、s2均為均為n ，落在實(shí)軸上。，落在實(shí)軸上。 1：特征方程的根始終在實(shí)軸上特征方程的根始終在實(shí)軸上,且且 ， s10、s2第2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)系統(tǒng)的系統(tǒng)的通解通解 : :tnnnntstsnetAtAtAtAeAeAtx)1exp()1exp(1exp1exp)(22212221

15、2121（2-22）( )stx tAe（2-19）1221ssn （2-21） 系統(tǒng)的通解系統(tǒng)的通解2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng) 的影響第2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 過(guò)阻尼過(guò)阻尼( 1)tnnnntstsnetAtAtAtAeAeAtx)1exp()1exp(1exp1exp)(222122212121（2-22）2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)第2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng) 1 非振蕩非振蕩，且隨時(shí)間，且隨時(shí)間按指按指數(shù)規(guī)律衰減數(shù)規(guī)律衰減0 x(t)的形狀取決于的形狀取決于A1和和A2，也即取決于，也

16、即取決于x0和和v0 第2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)指數(shù)衰減的響應(yīng)。指數(shù)衰減的響應(yīng)。有重根，有重根，s1=s2=n tnetAAtx)()(21（2-23） 由表達(dá)式由表達(dá)式 =1時(shí)，時(shí)，/2ncmkmmcncr22 臨界阻尼（臨界阻尼（ =1）2220nnss（2-20）臨界粘性阻尼臨界粘性阻尼 所以所以 c/ccr 第2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)1 臨界阻尼是臨界阻尼是1和和1的分界點(diǎn)的分界點(diǎn)， =1時(shí)，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)趨近于平時(shí)，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)趨近于平衡位置的速度最大。衡位置的速度最大。 =1也是系統(tǒng)振

17、動(dòng)與非振動(dòng)運(yùn)也是系統(tǒng)振動(dòng)與非振動(dòng)運(yùn)動(dòng)的臨界點(diǎn)。動(dòng)的臨界點(diǎn)。第2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng) =12.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)第2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)有阻尼自由振動(dòng)頻率：有阻尼自由振動(dòng)頻率：21dn由于由于 : :titetiteddtiddtiddsincossincos（2-25）221212( )exp1exp1nddntnnitittx tAitAiteAeA ee （2-24） 弱阻尼（弱阻尼（ 0 1）122211ssnni 第2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng) 方程（方

18、程（2-24）簡(jiǎn)化成）簡(jiǎn)化成)cos()(tAetxdtn（2-27） 運(yùn)動(dòng)為振動(dòng)，頻率運(yùn)動(dòng)為振動(dòng)，頻率d，相角，相角，幅值，幅值 ，以指數(shù)形式，以指數(shù)形式衰減。衰減。 常數(shù)常數(shù)A, 由初始條件決定。由初始條件決定。 稱為稱為小阻尼小阻尼或或欠阻尼欠阻尼情況。情況。 若阻尼很小，若阻尼很小，dntnAe10設(shè)設(shè)cos21AAAsin)(21AAAi（2-26）21dn第2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)0 1 時(shí)的響應(yīng)曲線時(shí)的響應(yīng)曲線2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)t，x(t)0，響應(yīng)最終，響應(yīng)最終趨于消失趨于消失tnAe是響應(yīng)曲線是響應(yīng)曲線包絡(luò)線包絡(luò)線第2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)2.

19、1 單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)計(jì)算系統(tǒng)分別在計(jì)算系統(tǒng)分別在 1， =1，0 1時(shí)，對(duì)時(shí)，對(duì) ， 的響應(yīng)。的響應(yīng)。 0)0(x0)0(vx12AA 解解: 對(duì)于對(duì)于 ，用（，用（2-22）式有）式有 ，0)0(21AAx1（a）系統(tǒng)響應(yīng)系統(tǒng)響應(yīng)teAtxntn1sinh2)(21（b）對(duì)（對(duì)（b）式求導(dǎo)，并代入初始條件）式求導(dǎo)，并代入初始條件 0(0)xvnvA12201 （c）tevtxntnn1sinh1)(220（d）第2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng) 對(duì)于對(duì)于 =1tntevtx0)(（e）初始條件初始條件x(0)=0 = /

20、2 A=v0/d tevtxdtdnsin)(021nd （f）tnetAAtx)()(21A1=0，A2=v0)cos()(tAetxdtn對(duì)于對(duì)于 0 10(0)xv第2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)2.1.4 對(duì)數(shù)衰減率對(duì)數(shù)衰減率 在欠阻尼情況下，粘性阻尼使振動(dòng)按指數(shù)規(guī)律衰減，而指數(shù)在欠阻尼情況下，粘性阻尼使振動(dòng)按指數(shù)規(guī)律衰減，而指數(shù)本身又是阻尼因子本身又是阻尼因子 的線性函數(shù)。下面來(lái)尋求通過(guò)衰減響應(yīng)確定阻的線性函數(shù)。下面來(lái)尋求通過(guò)衰減響應(yīng)確定阻尼因子尼因子 的途徑。的途徑。1時(shí)時(shí)x( (t t) )的一般規(guī)律的一般規(guī)律 設(shè)設(shè)t1 和和 t2表示兩相鄰周期中相距一個(gè)周期表示兩相鄰周期中相距一個(gè)周

21、期 T 的兩對(duì)應(yīng)點(diǎn)的時(shí)間。的兩對(duì)應(yīng)點(diǎn)的時(shí)間。2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)第2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)任意兩個(gè)時(shí)刻的響應(yīng)之比為任意兩個(gè)時(shí)刻的響應(yīng)之比為)cos()cos(212121tAetAexxdtdtnn（2-28）)cos()(tAetxdtn（2-27）)cos()cos(12ttdd 由于由于 ， 是有阻尼振動(dòng)的周期，所以是有阻尼振動(dòng)的周期，所以Ttt12dT/21112nnntTtTxeexe（2-29）這樣（這樣（2-28）式可化為）式可化為:2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)第2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 觀察（觀察（2-29）式的指數(shù)關(guān)系，

22、可以引入）式的指數(shù)關(guān)系，可以引入對(duì)數(shù)衰減對(duì)數(shù)衰減率率:22112lnTxxn（2-30） 要確定系統(tǒng)的阻尼，可以測(cè)量?jī)扇我庀噜徶芷诘囊_定系統(tǒng)的阻尼，可以測(cè)量?jī)扇我庀噜徶芷诘膶?duì)應(yīng)點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn) x1 和和 x2 ，計(jì)算對(duì)數(shù)衰減率，計(jì)算對(duì)數(shù)衰減率21lnxx222（2-31）2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)對(duì)于微小阻尼情況對(duì)于微小阻尼情況2（2-32）第2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 值得注意的是，值得注意的是， 可以通過(guò)測(cè)量相隔任意周期的兩對(duì)可以通過(guò)測(cè)量相隔任意周期的兩對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位移應(yīng)點(diǎn)的位移 ， 來(lái)確定。設(shè)來(lái)確定。設(shè) 、 為為 、 對(duì)對(duì)應(yīng)的時(shí)間，應(yīng)的時(shí)間， 為整數(shù)，則為整數(shù)，則1x1j

23、x1tjTttj111x1jxj112121231231lnln.lnln.lnjjjjjxxxx xxxjxx xxxxx（2-33）11ln1jxxj（2-34）2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)第2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 例例 實(shí)驗(yàn)觀察到一有阻尼單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)幅值在實(shí)驗(yàn)觀察到一有阻尼單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)幅值在5個(gè)完整個(gè)完整的周期后衰減了的周期后衰減了50%，設(shè)系統(tǒng)阻尼為粘性阻尼，試計(jì)算系統(tǒng)的阻尼，設(shè)系統(tǒng)阻尼為粘性阻尼，試計(jì)算系統(tǒng)的阻尼因子。因子。 解解: ，則，則5j13863. 02ln515 . 0ln51ln511161xxxx 由（由（2-31）、（）、（2-

24、32）式分別得到：）式分別得到：022058. 013863. 0213863. 0 2 222231022064. 0213863. 02322.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)第2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)2.1.5 2.1.5 彈簧的等效質(zhì)量彈簧的等效質(zhì)量設(shè)彈簧設(shè)彈簧k具有質(zhì)量，其單位長(zhǎng)度的質(zhì)量為具有質(zhì)量，其單位長(zhǎng)度的質(zhì)量為 ，那么彈簧質(zhì)，那么彈簧質(zhì)量對(duì)系統(tǒng)的振動(dòng)有多大影響？量對(duì)系統(tǒng)的振動(dòng)有多大影響？彈簧等效質(zhì)量系統(tǒng)彈簧等效質(zhì)量系統(tǒng) 設(shè)質(zhì)量設(shè)質(zhì)量 的位移用的位移用 表示，彈簧的長(zhǎng)度為表示，彈簧的長(zhǎng)度為 ，那么距，那么距左端為

25、左端為 的質(zhì)量為的質(zhì)量為 的微單元的位移則可的微單元的位移則可假設(shè)假設(shè)為為 ，設(shè)，設(shè) 為常數(shù)。為常數(shù)。 txLd txL/m第2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng) )()3(213)(21)(2121212023222202txLmLtxtxmdtxLtxmTLL（2-35）)(212tkxV （2-36） 根據(jù)能量守恒原理根據(jù)能量守恒原理0dtVTddtdE（2-37）則系統(tǒng)的動(dòng)能和勢(shì)能可分別表示為則系統(tǒng)的動(dòng)能和勢(shì)能可分別表示為2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)第2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)可見(jiàn)彈簧的質(zhì)量將會(huì)使系統(tǒng)的自然頻率降低到可見(jiàn)彈簧的質(zhì)量將會(huì)使系統(tǒng)的自然頻率降低到彈簧將自身質(zhì)量的三分

26、之一貢獻(xiàn)給系統(tǒng)的等效質(zhì)量（假設(shè)彈簧將自身質(zhì)量的三分之一貢獻(xiàn)給系統(tǒng)的等效質(zhì)量（假設(shè)彈簧按彈簧按 規(guī)律變形）。如果假設(shè)其它類型的變形規(guī)律變形）。如果假設(shè)其它類型的變形模式，影響效果則有可能不同。模式，影響效果則有可能不同。 可得可得0)()(tkxtxmeff （2-38） 此處此處 稱為稱為等效質(zhì)量等效質(zhì)量。3Lmmeff3Lmkn（2-39）)(/txL2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)第2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)第第2 2章章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 2.2 2.2 單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng) 第2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)2.2 單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)

27、迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng) 系統(tǒng)對(duì)外部激勵(lì)的響應(yīng)稱為系統(tǒng)對(duì)外部激勵(lì)的響應(yīng)稱為強(qiáng)迫振動(dòng)強(qiáng)迫振動(dòng)。 對(duì)于線性系統(tǒng)，根據(jù)對(duì)于線性系統(tǒng)，根據(jù)疊加原理疊加原理，可以分別求系統(tǒng)，可以分別求系統(tǒng)對(duì)于對(duì)于初始條件的響應(yīng)初始條件的響應(yīng)和對(duì)于和對(duì)于外部激勵(lì)的響應(yīng)外部激勵(lì)的響應(yīng)，然后再，然后再合成為系統(tǒng)的總響應(yīng)。合成為系統(tǒng)的總響應(yīng)。 自由振動(dòng)依靠系統(tǒng)自身彈性恢復(fù)力維持。自由振動(dòng)依靠系統(tǒng)自身彈性恢復(fù)力維持。 強(qiáng)迫振動(dòng)是由外部持續(xù)激勵(lì)引起的。強(qiáng)迫振動(dòng)是由外部持續(xù)激勵(lì)引起的。 強(qiáng)迫振動(dòng)從外界或得能量來(lái)補(bǔ)充阻尼的消耗，以維強(qiáng)迫振動(dòng)從外界或得能量來(lái)補(bǔ)充阻尼的消耗，以維持等幅振動(dòng)持等幅振動(dòng)持續(xù)激振力持續(xù)支承運(yùn)動(dòng)第2章 單自由

28、度系統(tǒng)的振動(dòng)（2-41）2.2.12.2.1 系統(tǒng)對(duì)于簡(jiǎn)諧激勵(lì)的響應(yīng)系統(tǒng)對(duì)于簡(jiǎn)諧激勵(lì)的響應(yīng) )()()()(tFtkxtxctxm （2-40）簡(jiǎn)諧激勵(lì)簡(jiǎn)諧激勵(lì)tkAtkftFcos)()( 運(yùn)動(dòng)方程運(yùn)動(dòng)方程2.2 單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng) 第2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)（2-42）（2-41）tkAtkftFcos)()(將（將（2-41）代入（）代入（2-40），兩邊同除以），兩邊同除以m 有有 tAtfmktxtxtxnnncos)()()(2)(22 瞬態(tài)響應(yīng)：瞬態(tài)響應(yīng)：當(dāng)當(dāng)A 為零時(shí)，系統(tǒng)為齊次方程，其解就是系統(tǒng)的為零時(shí)，系統(tǒng)為齊次方程，其解就是系統(tǒng)的自由振動(dòng)響應(yīng)，自

29、由振動(dòng)響應(yīng)隨時(shí)間衰減，最后消失，所自由振動(dòng)響應(yīng)，自由振動(dòng)響應(yīng)隨時(shí)間衰減，最后消失，所以自由振動(dòng)響應(yīng)也叫以自由振動(dòng)響應(yīng)也叫瞬態(tài)響應(yīng)瞬態(tài)響應(yīng)。式（式（2-42）的特解是強(qiáng)迫振動(dòng)響應(yīng)。它不隨時(shí)間衰減，所以）的特解是強(qiáng)迫振動(dòng)響應(yīng)。它不隨時(shí)間衰減，所以稱為稱為穩(wěn)態(tài)響應(yīng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。2.2 單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng) 第2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)2.2 單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng) )cos()(tXtx（2-43）tAttXnnncos)sin(2)cos(222（2-44）利用三角函數(shù)關(guān)系利用三角函數(shù)關(guān)系 sincoscossinsinsinsincoscoscostttt

30、tt（2-44）等式兩邊）等式兩邊 和和 項(xiàng)的系數(shù)應(yīng)相等項(xiàng)的系數(shù)應(yīng)相等tcostsin22222cos2sinsin2cos0nnnnnXAX （2-45）穩(wěn)態(tài)響應(yīng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng) 穩(wěn)態(tài)響應(yīng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)22( )2( )( )cosnnnx tx tx tAt等于激勵(lì)頻率第2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)2.2 單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng) 2221(2)AX（2-46）122tan1（2-47）（2-45）式的解）式的解 n頻率比第2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)典型的激勵(lì)與響應(yīng)關(guān)系曲線典型的激勵(lì)與響應(yīng)關(guān)系曲線 將將 f(t)用復(fù)數(shù)形式表示用復(fù)數(shù)形式表示: 簡(jiǎn)諧激勵(lì)簡(jiǎn)諧激勵(lì)f(t) 與響應(yīng)與響應(yīng) x(t

31、)曲線曲線 tiAetf)(（2-48） f(t)的這種表示只是一種數(shù)學(xué)上的處理，是為了求解方便，不言的這種表示只是一種數(shù)學(xué)上的處理，是為了求解方便，不言而喻地隱含著激振力僅由而喻地隱含著激振力僅由 f(t)的實(shí)部表示，當(dāng)然，響應(yīng)也應(yīng)由的實(shí)部表示，當(dāng)然，響應(yīng)也應(yīng)由x(t) 的實(shí)部表示。的實(shí)部表示。A 一般為復(fù)數(shù)。一般為復(fù)數(shù)。 2.2 單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng) 第2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)2.2 單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng) 系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng) 2222( )ReRe212i ti tnnnAeAex tii（2-50）穩(wěn)態(tài)響應(yīng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng) x(t)與激振

32、力與激振力f(t) 成正比，比例因子為成正比，比例因子為2( )1( )( )12x tHf ti（2-51）這稱為這稱為復(fù)頻響應(yīng)復(fù)頻響應(yīng).在復(fù)數(shù)表示情況下，系統(tǒng)響應(yīng)和激勵(lì)滿足關(guān)系在復(fù)數(shù)表示情況下，系統(tǒng)響應(yīng)和激勵(lì)滿足關(guān)系tinnnnAetftxtxtx222)()()(2)( （2-49）n 第2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 由（由（2-51）式，可見(jiàn)）式，可見(jiàn) 的模的模 等于響應(yīng)幅值和等于響應(yīng)幅值和激勵(lì)幅值激勵(lì)幅值 的無(wú)量綱比，即的無(wú)量綱比，即 )(H)(HA2221( )12H稱為稱為幅值因子幅值因子或或振幅放大因子振幅放大因子。 （2-53）( )( )( )( )( )( )( )sF tx

33、 tkx tHf tF tF t響應(yīng)激勵(lì)（2-52） 這表明復(fù)頻響應(yīng)是彈簧力與實(shí)際的外激勵(lì)這表明復(fù)頻響應(yīng)是彈簧力與實(shí)際的外激勵(lì) 的無(wú)的無(wú)量綱比。這里量綱比。這里 中的中的 是由靜平衡位置算起的。是由靜平衡位置算起的。 )(tF)(tF)(tx由（由（2-50）、（）、（2-51）式）式 2.2 單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng) n 第2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)2.2 單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng) 幅頻響應(yīng)幅頻響應(yīng)曲線曲線 阻尼使系統(tǒng)的振幅值減小，阻尼使系統(tǒng)的振幅值減小， 阻尼使峰值相對(duì)于阻尼使峰值相對(duì)于 /n=1 的位置左移。的位置左移。 對(duì)對(duì)(2-53)求導(dǎo)，并令其

34、等于零求導(dǎo)，并令其等于零，得到幅值最大點(diǎn)的，得到幅值最大點(diǎn)的 21 2n（2-54）=0時(shí)時(shí),系統(tǒng)就是系統(tǒng)就是簡(jiǎn)諧振子簡(jiǎn)諧振子。當(dāng)驅(qū)動(dòng)頻率當(dāng)驅(qū)動(dòng)頻率=n時(shí)時(shí)共振共振。/n1，|H()|0。 =c/2mn=c/ccr,系統(tǒng)實(shí)際阻尼與臨界阻尼之比。共振區(qū)附近阻尼作用顯著，遠(yuǎn)離共振區(qū)，作用很小。第2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)2.2 單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng) 12Q（2-55） 品質(zhì)因子品質(zhì)因子Q：共振時(shí)的放大因子共振時(shí)的放大因子 幅頻曲線上，/n=1兩側(cè)的曲線可近似看成是對(duì)稱的。 在兩側(cè)取放大因子為 的兩個(gè)點(diǎn)1/n和2/n為半功率點(diǎn)。半功率點(diǎn)。 帶寬：半功率點(diǎn)所對(duì)應(yīng)頻率之差。 若 很

35、小，帶寬2Q/212n（2-56）2112nnQ2220.707122(1)(2)Q222122(1 2)2112 半功率點(diǎn)關(guān)于1對(duì)稱，所以1+2=2n22212122()4nn第2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)2.2 單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng) 阻尼大，帶寬就寬；過(guò)共振點(diǎn)時(shí)振幅變化平緩，振幅較小。 阻尼小，帶寬就窄；過(guò)共振點(diǎn)時(shí)振幅變化陡，振幅較大。 Q反映了系統(tǒng)阻尼的大小，及共振峰的陡峭程度。 機(jī)械系統(tǒng)中，為平穩(wěn)通過(guò)共振，希望Q值小些（阻尼大些）。12nQ第2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)2.2 單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng) ieHH)()(（2-58）這里這里122tan

36、1（2-59）titie)(HARee )(AHRe)t ( x（2-60） 相角相角21( )12Hin 2( )Re12itAex ti前面得到前面得到第2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)2.2 單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng) /n=1處通過(guò)共同點(diǎn)處通過(guò)共同點(diǎn)=/2，與阻尼大小無(wú)關(guān)（共振時(shí)的共同特征）。 =0, 隨隨/n變化變化, 曲線在曲線在/n=1處間處間斷。斷。從 /n1的的= 0 跳到跳到/n1時(shí)的時(shí)的= 。 /n1, /n減小，相角趨于零減小，相角趨于零 /n1，/n增大，相角趨于增大，相角趨于 簡(jiǎn)諧激勵(lì)的相頻曲線簡(jiǎn)諧激勵(lì)的相頻曲線 即即/n1時(shí)響應(yīng)時(shí)響應(yīng)同相同相，/n1時(shí)響

37、應(yīng)時(shí)響應(yīng)反相反相。第2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)對(duì)于簡(jiǎn)諧振動(dòng)，當(dāng)對(duì)于簡(jiǎn)諧振動(dòng)，當(dāng)n時(shí)，時(shí)，x。21( )Re1i tnx tAe （2-61）2.2 單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng) 無(wú)阻尼第2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)2.2 單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)sgn( )0dmxfxkx(0) (0)mxkxmgxmxkxmgx 2222(0) (0)nnDnnDxxxxxxxx 考慮摩擦阻尼的考慮摩擦阻尼的SDOF自由振動(dòng)自由振動(dòng) 常見(jiàn)，非線性mkxmvfsfdfskxfd mg （與運(yùn)動(dòng)方向相反）令2|dDnfgxk第2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)2.2 單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)單

38、自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)2222(0) (0)nnDnnDxxxxxxxx 1=nt 解：設(shè)初始位移足夠大，彈簧恢復(fù)力超過(guò)靜摩擦力，開(kāi)始運(yùn)動(dòng)。1）x(0)=x0, v(0)=0. 運(yùn)動(dòng)從右向左。v 0求解0( )()sinnDnx txxt 220 (0)(0), (0)0nnDxxxxxxx10( )(2)Dx txx 0( )()cosDnDx txxtx平均響應(yīng)xD加上簡(jiǎn)諧振動(dòng)（I）是滿足速度為零（將變號(hào)）的最小時(shí)間此時(shí)第2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)2.2 單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)0( )(3)cosDnDx txxtx20( )4Dx txx2) 若x(t1)足夠大，彈簧恢

39、復(fù)力大于大于靜摩擦力，則從左向右運(yùn)動(dòng)22101-( )(2), ( )0nnDDxxxx txxx t (0)0 x求解初始條件平均響應(yīng)-xD，（II）比（I）的幅值減小了2xD（II）t=t22/n，速度再次為零，（II）式成立的時(shí)間：t1tt2只要彈簧恢復(fù)力大于大于靜摩擦力，則上述過(guò)程不斷重復(fù)第2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)2.2 單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng) 運(yùn)動(dòng)模式運(yùn)動(dòng)模式 系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)頻率為n的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)定常分量（解的平均值） 每半個(gè)周期，解的平均值在-xD到xD之間交替變化 每半個(gè)周期，解的幅值減小2xD2 mg/k 對(duì)于摩擦阻尼，振幅衰減是線性的，而粘性阻尼，衰減是指數(shù)形式。

40、 位移不足以產(chǎn)生足夠的恢復(fù)力時(shí)，運(yùn)動(dòng)停止 令n等于運(yùn)動(dòng)停止前的那半個(gè)周期，那么n是滿足下式的最小整數(shù)解： x0(2n-1)xD (1+s /) xD s：靜摩擦系數(shù)4xDxDxD第2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)2.2 單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng) 特解特解ttAtxnnsin2)(（2-63） 幅值隨時(shí)間線性增加的振蕩響應(yīng)，隱含了隨著時(shí)間的增大，解將幅值隨時(shí)間線性增加的振蕩響應(yīng)，隱含了隨著時(shí)間的增大，解將趨于無(wú)窮。在工程上，共振是很危險(xiǎn)的狀態(tài)，一定要避免。趨于無(wú)窮。在工程上，共振是很危險(xiǎn)的狀態(tài)，一定要避免。簡(jiǎn)諧振子的共振響應(yīng)簡(jiǎn)諧振子的共振響應(yīng) 有阻尼單自由度系統(tǒng)的總響應(yīng)自由響應(yīng)強(qiáng)迫響

41、應(yīng)。有阻尼單自由度系統(tǒng)的總響應(yīng)自由響應(yīng)強(qiáng)迫響應(yīng)。 簡(jiǎn)諧振子的共振響應(yīng)簡(jiǎn)諧振子的共振響應(yīng)tAtxtxnnncos)()(22 （2-62）運(yùn)動(dòng)方程運(yùn)動(dòng)方程第2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 例例 有兩個(gè)帶有偏心的質(zhì)量有兩個(gè)帶有偏心的質(zhì)量m/2反向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角速度為常數(shù)反向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角速度為常數(shù)，不平衡質(zhì)量的垂直位移為，不平衡質(zhì)量的垂直位移為x+lsint，x由靜平衡算起。求由靜平衡算起。求x(t)。 解解:系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程:2222(sin)()0d xdxltdxMmmckxdtdtdt簡(jiǎn)化為簡(jiǎn)化為:tiemltmltkxtxctxM22Imsin)()()( 2.2 單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振

42、動(dòng)單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng) 22( )Im( )( ) sin()itnnmmx tlHelHtMM2nk m響應(yīng)響應(yīng)第2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)2.2 單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng) 相角相角由（由（2-38）式給出）式給出)sin()(tXtx響應(yīng)幅值響應(yīng)幅值)(2HMmlXn無(wú)量綱比無(wú)量綱比)(2HmlMXnMxml 激振力幅值可變，與轉(zhuǎn)速平方成正比 1,Mx/ml1 振動(dòng)振幅與初始條件無(wú)關(guān)初始條件至影響瞬態(tài)響應(yīng)第2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)2.2 單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng) 基礎(chǔ)激振基礎(chǔ)激振 解解:運(yùn)動(dòng)微分方程運(yùn)動(dòng)微分方程 : :基礎(chǔ)振動(dòng)基礎(chǔ)振動(dòng)0mxc xyk

43、 xy簡(jiǎn)化為簡(jiǎn)化為:yyxxxnnnn2222 設(shè)基礎(chǔ)作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)設(shè)基礎(chǔ)作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng):tiAetyRe)(系統(tǒng)響應(yīng)系統(tǒng)響應(yīng)212( )Re12i tix tAein 基礎(chǔ)運(yùn)動(dòng)相當(dāng)于系統(tǒng)上施加了基礎(chǔ)運(yùn)動(dòng)相當(dāng)于系統(tǒng)上施加了兩個(gè)兩個(gè)激振力激振力 兩者相位不同兩者相位不同第2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)將將 寫(xiě)成寫(xiě)成)(tx1cos)(tXtx那么那么222221212( )12XAAH311222tan12振幅放大因子振幅放大因子212( )XHA2.2 單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng) 第2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)2.2 單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)XA ， X/A=1 sqrt(

44、2), 振幅小于基礎(chǔ)運(yùn)動(dòng)振幅，阻尼大的系統(tǒng)振幅反而大 支承運(yùn)動(dòng)還可以用速度或加速度表達(dá)。2第2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)2.2.2 系統(tǒng)對(duì)周期激勵(lì)的響應(yīng) 在工程振動(dòng)中，也遇到大量其他類型的非簡(jiǎn)諧周在工程振動(dòng)中，也遇到大量其他類型的非簡(jiǎn)諧周期激勵(lì)。期激勵(lì)。F(t)=F(t+kT), k=1,2,3.，可以寫(xiě)成可以寫(xiě)成0001( )( )cossin2pppaF tkf tkaptbptT20（2-722-72）2022022022( )2( )cos0,1, 22( )sin1, 2,3TTTTpTTpaf t dtTaf tptdtpTbf tptdtpT（2-732-73）2.2 單自由度系統(tǒng)的

45、強(qiáng)迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng) 第2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程2200012cossin2nnnpppaxxxaptbpt a0是常力，只影響系統(tǒng)的靜平衡位置，只要坐標(biāo)原點(diǎn)取在靜平衡位置，該項(xiàng)就不會(huì)出現(xiàn)。 系統(tǒng)響應(yīng)分為：齊次解/瞬態(tài)解，非齊次解/穩(wěn)態(tài)解 穩(wěn)態(tài)響應(yīng)2.2 單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng) 002221cos()sin()( )1(2)pppppppaptbptx t122tan1ppp0pnp 當(dāng)某個(gè)p0接近系統(tǒng)的自然頻率n時(shí)，響應(yīng)中此簡(jiǎn)諧分量將占主導(dǎo)地位。 當(dāng)p0=n時(shí)，發(fā)生共振，即周期激勵(lì)也可激起系統(tǒng)共振。第2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)2.2 單自

46、由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng) 若若 較小，可近似看成無(wú)阻尼較小，可近似看成無(wú)阻尼 0021cossin( )1ppppaptbptx t0p例：某儀器質(zhì)量500kg，用4個(gè)剛度為323.4N/cm的彈簧支撐，若地基運(yùn)動(dòng)為兩個(gè)垂直正弦波的合成，振幅均為1微米，頻率分別為f1=3Hz, f2=15Hz，設(shè)儀器允許的振動(dòng)速度為v=0.05mm/s，求設(shè)備最大振動(dòng)速度，是否滿足要求。 解 4 32340 50016.1 /nk mrad s12= 23=18.84 /= 215=94.2 /rad srad s11n22n= =1.17= =5.86 第2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)2.2 單自

47、由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng) 激勵(lì)為正弦波，響應(yīng)也為正弦函數(shù) 0p12122212( )sinsin11bbx ttt無(wú)阻尼 11221222126622( )coscos111018.841094.2 cos6cos30|1 1.17 |1 5.86 | 50.92cos62.828cos30 ( m/s)bbx tttttttmax50.922.82853.75 ( m/s) =0.054 (mm/s) x許可值必須調(diào)整彈簧剛度，降低固有頻率，增加1,2, 減小maxx 第2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)2.2.3 非周期激勵(lì)的響應(yīng) 在非周期激勵(lì)的情況下，響應(yīng)將不再是在非周期激勵(lì)的情況

48、下，響應(yīng)將不再是“穩(wěn)態(tài)穩(wěn)態(tài)”的，而是的，而是“非穩(wěn)態(tài)非穩(wěn)態(tài)”的。的。 求解系統(tǒng)在非周期激勵(lì)下瞬態(tài)響應(yīng)的方法有多種求解系統(tǒng)在非周期激勵(lì)下瞬態(tài)響應(yīng)的方法有多種 將激勵(lì)描述成一系列脈沖，通過(guò)求各個(gè)脈沖的響應(yīng)，然后將激勵(lì)描述成一系列脈沖，通過(guò)求各個(gè)脈沖的響應(yīng)，然后疊加來(lái)求解系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)是常見(jiàn)的方法之一。疊加來(lái)求解系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)是常見(jiàn)的方法之一。 單位脈沖函數(shù)單位脈沖函數(shù)0 at當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí) at 1)(dtat（2-822-82）2.2 單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng) 第2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng) t=a 時(shí)刻作用的一個(gè)任意幅值時(shí)刻作用的一個(gè)任意幅值 的脈沖力為的脈沖力為 F)()(atF

49、tF（2-832-83） 單位脈沖響應(yīng)單位脈沖響應(yīng)：系統(tǒng)在零初始條件下，對(duì)于：系統(tǒng)在零初始條件下，對(duì)于t=0時(shí)的單位脈沖力時(shí)的單位脈沖力的響應(yīng)，用的響應(yīng)，用h(t) 表示。表示。 系統(tǒng)對(duì)于系統(tǒng)對(duì)于 t =a 時(shí)刻單位脈沖力的響應(yīng)則為時(shí)刻單位脈沖力的響應(yīng)則為 h(t a)。 有阻尼單自由度系統(tǒng)對(duì)于脈沖力有阻尼單自由度系統(tǒng)對(duì)于脈沖力 的響應(yīng)的響應(yīng))()(tFtF)()()()(tFtkxtxctxm （2-842-84） 脈沖作用時(shí)間脈沖作用時(shí)間極短，極短， 即即0 ，對(duì)，對(duì)（2-842-84）兩邊在區(qū)間兩邊在區(qū)間 積分積分 設(shè)初始條件設(shè)初始條件 0)0()0( xx0000limlim( )mx

50、cxkx dxFt dtF（2-852-85）2.2 單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng) 第2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)（2-862-86） 表示在表示在 區(qū)間內(nèi)系統(tǒng)速度的變化。區(qū)間內(nèi)系統(tǒng)速度的變化。 由于脈沖作用時(shí)間極短，系統(tǒng)在瞬間不可能獲得位移增由于脈沖作用時(shí)間極短，系統(tǒng)在瞬間不可能獲得位移增量，即量，即 。)0(x t0)(xmFx)0(（2-872-87）2.2 單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng) 00000limlimlim00cxdtcxc xx00lim0kxdt00000limlimlim( )(0)(0 )mxdtmxm xxmx第2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)2.

51、2 單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng) 0sin1)(temthdtdn 作用于作用于t=0時(shí)的脈沖力，使系統(tǒng)產(chǎn)生瞬間速度增量。這樣時(shí)的脈沖力，使系統(tǒng)產(chǎn)生瞬間速度增量。這樣就可以將這一脈沖作用等價(jià)為系統(tǒng)具有初速度就可以將這一脈沖作用等價(jià)為系統(tǒng)具有初速度0vFm0sin)(temFtxdtdn00tt（2-882-88）21 dn 單位脈沖響應(yīng)，令單位脈沖響應(yīng)，令 ，則有，則有 1F00tt（2-892-89） 系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)第2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)（2-922-92）2.2 單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng) 任意激勵(lì)函數(shù)任意激勵(lì)函數(shù)F(t) 可看成由一系列

52、變幅值的脈沖組成可看成由一系列變幅值的脈沖組成 任意時(shí)刻任意時(shí)刻t=t ，對(duì)應(yīng)時(shí)間增量，對(duì)應(yīng)時(shí)間增量t ，相應(yīng)的微沖量，相應(yīng)的微沖量F(t)t )()(ttttthFtx（2-902-90） 總響應(yīng)總響應(yīng)(包含穩(wěn)態(tài)和瞬態(tài)振動(dòng)包含穩(wěn)態(tài)和瞬態(tài)振動(dòng))( )( )x tFh tttt（2-912-91） 令令0ttdthFtx0)()()(tttF(t)dl=F(t t)dt t)()(ttttF 脈沖脈沖卷積卷積/杜哈默杜哈默(Duhamel)積分積分第2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)ttttdteFmtxdttdn)(sin)(1)(0)(（2-932-93） 初始條件靜止下的響應(yīng)。初始條件靜止下的響應(yīng)。

53、 根據(jù)卷積的性質(zhì)，可寫(xiě)成另一種形式根據(jù)卷積的性質(zhì)，可寫(xiě)成另一種形式 ttttttdhtFdthFtxtt00)()(（2-942-94）2.2 單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng) tdthFtx0)()()(tttsin 0( ) 0 0ntddetth tmt杜哈默積分杜哈默積分單位脈沖響應(yīng)單位脈沖響應(yīng)（2-922-92）第2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)2.2 單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng) 階躍響應(yīng)階躍響應(yīng)單位階躍函數(shù)單位階躍函數(shù)0 ()1 tau tata （2-952-95） 函數(shù)在函數(shù)在t=a處不連續(xù)，在此點(diǎn)處，函數(shù)值由處不連續(xù)，在此點(diǎn)處，函數(shù)值由0變?yōu)? 。 如果

54、不連續(xù)點(diǎn)在如果不連續(xù)點(diǎn)在t=0 ，則單位階躍函數(shù)用，則單位階躍函數(shù)用u(t)表示。表示。 單位階躍函數(shù)與單位脈沖函數(shù)有密切關(guān)系單位階躍函數(shù)與單位脈沖函數(shù)有密切關(guān)系tdatatu)()( （2-962-96） 反過(guò)來(lái)有反過(guò)來(lái)有 tu1a0dtatduat)()(（2-972-97）第2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 單位階躍響應(yīng)單位階躍響應(yīng)g(t):系統(tǒng)對(duì)系統(tǒng)對(duì)t=0時(shí)的單位階躍力的響應(yīng)時(shí)的單位階躍力的響應(yīng). 將將F(t)=u(t) 和和h(t-t)代入卷積公式，可得單位階躍響應(yīng)代入卷積公式，可得單位階躍響應(yīng)ttttttdtemdthutgdttdtn)(sin1)()()(00（2-982-98）經(jīng)積

55、分可得經(jīng)積分可得 )(sincos11)(tuttektgddndtn （2-992-99）此處此處 的作用是使的作用是使（2-992-99）式在式在 時(shí)，時(shí)， 。 )(tu0t0)(tg 系統(tǒng)響應(yīng)的求法還有系統(tǒng)響應(yīng)的求法還有Fourier積分法積分法，Laplace變換法變換法。 2.2 單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng) 第2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 杜哈默積分法是時(shí)域法求解一般激勵(lì)的響應(yīng)。 Fourier變換法頻域法。 2.2 單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng) Fourier變換法變換法 周期激勵(lì)：將激振力用傅立葉級(jí)數(shù)展開(kāi)，分別對(duì)各階諧波進(jìn)行響應(yīng)分析，然后線性疊加。

56、一般激勵(lì)：采用傅立葉變換，將一般激振力作付氏變換。( )( )i tFf t edt付氏正變換時(shí)域頻域付氏逆變換1( )( )2i tf tFed頻域時(shí)域付氏變換對(duì)( )( )( )FAiB()( ) |( )|iFFe 22|( )|( )( )FAB1( )( )tan( )BA 頻譜圖是連續(xù)曲線譜函數(shù)第2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)性性 質(zhì)質(zhì)原函數(shù)原函數(shù)付氏變換付氏變換線線 性性時(shí)時(shí) 移移頻頻 移移時(shí)時(shí) 導(dǎo)導(dǎo)頻頻 導(dǎo)導(dǎo)卷卷 積積 付氏變換的性質(zhì)2.2 單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng) 12( )( )f tf t12( )( )FF( )i tef t()F()f tt( )i t

57、eF( )( )nft()( )niF1212( )( )()( )f tf tf tfdttt12( )( )FF( )( )nitf t( )( )nndFd第2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)f(t)F( ) 基本公式2.2 單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng) 0cost00 ()() 0ite0sint00 ()()i 02() 0( )itu t e01()i0( )cosu tt220()i0( )sinu tt0220()()()itu tett()i tei1 0( )0 0tu tt注第2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)2.2 單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng) Fourie

58、r變換法求解一般激勵(lì)的響應(yīng)。 將一般激振力作付氏變換。( )( )i tFf t edt那么響應(yīng)1( )( )2i tf tFed線性系統(tǒng)，將各頻率分量的響應(yīng)疊加( )H( )mxcxkxf t頻響函數(shù) 激振力( )i tFe( )i tXe21( )( )( ) ( )XFHFkmic1( )( )21 ( ) ( )2i ti tx tXedHFed 響應(yīng)的付氏變換等于系統(tǒng)頻響函數(shù)乘以激振力的付氏變換。第2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)2.2 單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng) 例：無(wú)阻尼單自由度系統(tǒng)在矩形沖擊載荷作用下振動(dòng)，求響應(yīng)及其頻譜圖。 激振力的付氏變換。0002( )sinTi

59、 ti Ti TTFFFF edteeTi( )mxkxf t 位移響應(yīng)21( )Hkm022( )( ) ( )2sin (1)nXHFFTk-TTf(t)F0t0F -T5以后，h 曲線幾乎水平。因此， 的取值在2.55之間已足夠當(dāng) ，增加阻尼 并不能增加h為更直接說(shuō)明隔振效果，可用隔振效率 表示隔振裝置隔離掉的振動(dòng)的百分率: =(1-h )100222第2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)2.3 單自由度系統(tǒng)的工程應(yīng)用單自由度系統(tǒng)的工程應(yīng)用例：某精密儀器用8個(gè)彈簧（每邊四個(gè)并聯(lián)）作為隔振裝置，彈簧放在對(duì)稱位置。已知地板以xs0.1sin10 t (mm)振動(dòng)，儀器質(zhì)量800kg，每個(gè)彈簧的剛度系數(shù)13426N/m，忽略阻尼影響，求隔振系數(shù)。解：彈簧并聯(lián)，keq8k8 1342611.6 rad/s800eqnkm地板振動(dòng)頻率1031.4 rad/s31.42.71211.6n無(wú)阻尼，0222221(2)10.158(1)(2)|1|pBah第2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)2.4 阻尼理論阻尼理論 實(shí)際工程中，存在多種阻尼，其機(jī)理比較復(fù)雜，如何處理？實(shí)際工程中，存在多種阻尼，其機(jī)理比較復(fù)雜，如何處理？ 有阻尼系統(tǒng)，為維持振幅，必須施加能量 激振力作的功阻尼力消耗的能量證明：0sinFFt響應(yīng)sin()xBt激勵(lì)