初等幾何研究試題答案(6)李長明版

1、6、 關(guān)于共線點(diǎn)與共點(diǎn)線1、證明四邊形兩雙對邊中點(diǎn)連線的交點(diǎn)與兩對角線之中點(diǎn)共線證明：連接EF.FG.GH.HE.HJ.OJ.OI(如圖) E.H分別是AB.AD的中點(diǎn)， F,G分別是BC.CD的中點(diǎn)EH=BD FG=BD EH FG 四邊形EFGH是平行四邊形 OH=OF H.J分別是AD.AC的中點(diǎn)，F(xiàn).I分別是BG.BD的中點(diǎn) HJ=CD IF=CD HJIF JHO=FIO JHO=FIO , HJ=FI,HO=FOJHOIFO HOJ=FOII.O.J三點(diǎn)共線 四邊形兩雙對邊中點(diǎn)連線的交點(diǎn)，與兩對角線之中點(diǎn)共線2.已知：E，F(xiàn)分別在正方形ABCD的兩邊BC,CD上，是EAF=45&#

2、176;，但AC不是EAF的角平分線，自E,F作AC的垂線，垂足分別是P,Q求證：BPQ的外心與B，C共線證明： FQACABE=AQF又EAF=45°BAE=QAFABEAQF可得同理可得，AEPAFD即=利用切割線定理之逆定理，因BPQ的外心在BC上，等價(jià)于AB,APQ是切，割線BPQ的外心在BC上3.在RtAB為斜邊，CH為斜邊上 的高，以AC為半徑作A，過B作A的任一割線交A于D、E，交CH于F(D在B、F之間),又作ABG=ABD，G在A上，G與D在AB異側(cè)。 求證：（1）A、H、D共圓。 （2）E、H、G共線。 （3）FD、FE、BD、BE四線段成比例證明：如圖所示：連結(jié)

3、AE、AD（1）BC2=BH·BA(攝影定理） BC2=BD·BE(割線定理） BD·BE=BH·BA A、H、D、E四點(diǎn)共圓 (2）ABD=ABG GBH=DBH(對稱性） 又A、H、D、E四點(diǎn)共圓HH FEA=DHB(對角等于內(nèi)對角） AHE=EDA（同弧所對的角） 又AE=AD AEF=ADF AEF=DHB=GHB=ADE=AHE GHB=AHE（對頂角） E、H、G三點(diǎn)共線(3)ABD=ABG 由對稱知:HB平分DHG(GHB=DHB) 又 CH垂直AB E、H、G三點(diǎn)共線 HC平分DHE HC、HB是DHE的內(nèi)外角平分線 =4.設(shè)P是正方形A

4、BCD內(nèi)的一點(diǎn)，使PA:PB:PC=1:2:3,將BP繞B點(diǎn)朝著BC旋轉(zhuǎn)90BP至Q.求證：A、P、 Q 共線.證明：連接CQ,PA:PB:PC= 1:2:3設(shè)AP=1 則 BP=2 CP=3 BP繞B點(diǎn)朝著BC旋轉(zhuǎn)90°PBQ=90°BP=BQ=2 BPQ=BQP=45° PQ=BP2+BQ2=22 又四邊形ABCD是正方形AB=BC ABC=PBQ= 90°即ABP+PBC=CBQ +PBC=90°ABP=CBQ ABPCBQ(由可得到)PA=QC=1又PQ2+QC2=(22)2+12=32=PC2PQC=90°,BQC=PQC+

5、BQP=90+45°=135°又APB=180°-45°=135°BQC=APB=135°即A、P、Q共線（APB、BQP是鄰補(bǔ)角）5.在ABC中，D,E,F分別在AB.BC.CA上，使得DE=BE,EF=CE.求證：ADF的外心O在DEF的角平分線上。21證明：DEF=180O-1-2=180O-(180O-2B)-1=180O-(180O-2B)-(180O-2C)=2(B+C)-180O=180O-2A又DOF=2AD.E.F.O四點(diǎn)共圓O是外心FO=DOFEO=DEOO在DEF的角平分線上。6.在ABC中，A、B的平分線分別交

6、于對邊于D、E，C的外角平分線交于對邊延長線于F，求證：D、E、F共線。證： AD平分ABDDCABAC BE平分BCEEABCBA CF平分C的外角AFBFCACB 由可得：BDDC*CEEA*AFBF-1根據(jù)梅涅勞斯定理得：D、E、F共線7，若三角形的三邊兩兩不等。求證：三外角平分線與對邊的交點(diǎn)共線。 ACFDEB證明：如圖所示： D為C外角平分線與AB延長線的交點(diǎn)，E為B外角平分線與AC延長線的交點(diǎn)，F(xiàn)為A外角平分線與BC延長線的交點(diǎn)。 BE為B外角平分線，CD為C外角平分線，AF為A外角平分線有、由梅涅勞斯定理知，D、E、F 共線。8. 在ABC與ABC中，三雙對應(yīng)頂點(diǎn)的連線AA、BB

7、、CC交于一點(diǎn)S ，設(shè)三雙對應(yīng)邊BC、BC,CA、CA和AB、AB分別交于P、Q和R .求證：PQ和R共線 .SBQACRPA'B'C'證明：如圖 在SBC和截線PC'B'中根據(jù)梅氏定理可得： 在SCA與截線QA'C'中根據(jù)梅氏定理可得： 在SAB與截線RA'B'中根據(jù)梅氏定理可得： 將上式相乘可得： 根據(jù)梅氏定理可得P、Q、R 三點(diǎn)共線。9.EFGH的頂點(diǎn)在ABCD各邊，求證：對角線AC,BD,EG, FH共點(diǎn)證：連接BE,DG在ABCD中，B=D，ADBCBGE=DEG在EFGH中，EH=FG, EHFG,FGE=HE

8、GFGB=HEDFBGHDEBG=DE四邊形BGDE為平行四邊形，BD,EG為對角線同理四邊形AFCH為平行四邊形，AC,FH為其對角線AC,BD,EG, FH共點(diǎn)10.有兩個(gè)正方形ABCD與AB1C1D1，B與B1不重合。求證：直線BB1、CC1和DD1共點(diǎn)。CBAP21·3'B12'C1D11'·3D證明： 設(shè)BB1、CC1交于P，在連結(jié)AC、AC1，則有、共圓ABB'ACC'A、B'、C'、P共圓又A、B、C、PP是兩正方形外接圓的交點(diǎn)P在DD'上直線BB1、CC1和DD1共點(diǎn)。11. I為ABC的內(nèi)心，

9、X、Y分別為內(nèi)切圓與AB、BC的切點(diǎn)，D、E分別為BC、CA的中點(diǎn).求證：AI、XY與ED共點(diǎn).IABCDYXEP思路：利用內(nèi)切特性，證兩線交點(diǎn)在第三線上。證 設(shè)AB=c，AC=b，BC=a，DE與XY交于P，如圖所示?，F(xiàn)應(yīng)證P在A的角平分線上，為此，只需計(jì)算出 即可。而計(jì)算PE，又分步如下：由切線等長性可知 同理又再由即知AP平分12.四邊形ABCD外切于圓O，ACBD并交于E，P、Q、R、S順次為邊AB、BC、CD、DA上的切點(diǎn)，連結(jié)PR、QS，求證：（1）四邊形ABCD以其一條對角線為對稱軸（2）PR與QS都過E.ABCDPQRSEO1432證明：設(shè)lAB、 lBC、 lCD 、lDA分

10、別表示四邊形ABCD各邊之長，則由四邊形ABCD外切于圓?？芍猯AB+ LCD= lBC+ lAB (1)再由四邊形垂直又有LAB*+lCD*=lBC*+lAB* (2)(1)*-(2)再除以2，得lABlCD=lBClAB (3)(1) (3)兩式表明：lAB lCD lBC lDA都是 X*+px+q=0的一對根，故只有如下兩種情況LAB=lBC, lCD=lAB或lAB=lAD,lCD=lBC前者表明BD為對稱軸，如右圖所示，后者斷定AC是對稱軸，由此得證證（2）1=2=3=4QS過點(diǎn)E同理：PR也過點(diǎn)E13.ABC的內(nèi)切圓I分別切三邊BC，CA和AB于A1，B1和C1，線段AI,BI,和CI分別與I交于A2，B2，C2.求證：直線A1A2，B1B2，C1C2共點(diǎn)。 B2 A1 C1B1CAB1 IA2證明：連接A1，B1和C1圓I內(nèi)切于ABC,AI，BI,CI分別平分A,B,C,即AI,BI,CI分別平分弧B1C1，C1A1，B1A1A1A2，B1B2，C1C2是A1B1C1的內(nèi)角平分線A1A2，B1B2，C1C2共點(diǎn)。14、等圓O1與O2交于AB，O為AB的中點(diǎn)，過O引O1的弦CD交O2于P，過O引O2的弦EF交O1于Q