淺談初中數(shù)學(xué)教學(xué)中概念教學(xué)

1、淺談初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的淺談初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的概念教學(xué)概念教學(xué) 鹽城市教科院 吳彤 概念教學(xué)在數(shù)學(xué)教學(xué)中有概念教學(xué)在數(shù)學(xué)教學(xué)中有著極其重要的著極其重要的地位，它一地位，它一直是數(shù)學(xué)教學(xué)研究的一個主題當(dāng)前的課改實踐中直是數(shù)學(xué)教學(xué)研究的一個主題當(dāng)前的課改實踐中，存在，存在輕輕視數(shù)學(xué)概念視數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，忽視的教學(xué)，忽視數(shù)學(xué)概念的抽象數(shù)學(xué)概念的抽象邏輯建構(gòu)特征，過于強(qiáng)調(diào)情邏輯建構(gòu)特征，過于強(qiáng)調(diào)情景景化、生活化、活動化化、生活化、活動化的傾向的傾向. . 所以，應(yīng)更深入地研究概念教學(xué)，以豐富概所以，應(yīng)更深入地研究概念教學(xué)，以豐富概念教學(xué)法的知識并指導(dǎo)實踐念教學(xué)法的知識并指導(dǎo)實踐. . 下面我們以下面我們以“

2、圓周角圓周角”、“函數(shù)函數(shù)”這兩個概這兩個概念的教學(xué)為例進(jìn)行探討念的教學(xué)為例進(jìn)行探討 一種是以一種是以“圓心角圓心角”為基礎(chǔ)，帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)一步研究與為基礎(chǔ)，帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)一步研究與圓有關(guān)的角圓有關(guān)的角. . 1 1、給出一些圓周角、給出一些圓周角, ,讓學(xué)生歸納出圓周角的定義：讓學(xué)生歸納出圓周角的定義：頂點在圓周上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角頂點在圓周上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角. . ( (學(xué)生利用已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的有關(guān)知識理解新概念，這學(xué)生利用已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的有關(guān)知識理解新概念，這種方式叫種方式叫概念同化概念同化. .) ) 2 2、通過圖形辨析鞏固圓周角的定義，對它進(jìn)行分、通過圖形

3、辨析鞏固圓周角的定義，對它進(jìn)行分類：圓心在圓周角的一邊上；圓心在圓周角的內(nèi)部；類：圓心在圓周角的一邊上；圓心在圓周角的內(nèi)部；圓心在圓周角的外部圓心在圓周角的外部. . 3 3、引導(dǎo)學(xué)生探究圓周角的性質(zhì)：圓周角定理、引導(dǎo)學(xué)生探究圓周角的性質(zhì)：圓周角定理 4 4 、利用圓周角解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題以及生活中的實、利用圓周角解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題以及生活中的實際問題際問題. . “ “圓周角圓周角”是一個幾何概念，對于它的教學(xué)常見的方是一個幾何概念，對于它的教學(xué)常見的方式有兩種：式有兩種： 另一種是以某種生活情景為背景，給出能用另一種是以某種生活情景為背景，給出能用“圓圓周角解決的實際問題，引出周角解決的實際問

4、題，引出“圓周角圓周角”，研究，研究“圓周圓周角角”.”. 與前一種的區(qū)別在于問題源于與前一種的區(qū)別在于問題源于“生活情景生活情景”.”.而前一而前一種是種是“數(shù)學(xué)情境數(shù)學(xué)情境”.”. 情境的英文是情境的英文是ContextContext，它的意思是上下文、前后，它的意思是上下文、前后有關(guān)聯(lián)的東西有關(guān)聯(lián)的東西 . .“情境情境”有別于有別于“情景情景”，情景，情景”的的“景景”是具體、直觀和吸引人的，而是具體、直觀和吸引人的，而“情境情境”的的“境境”是指構(gòu)成和蘊涵在情景中的那些相互交織的因素及其相是指構(gòu)成和蘊涵在情景中的那些相互交織的因素及其相互之間的關(guān)系，是一種以激發(fā)學(xué)生問題意識為價值取向

5、互之間的關(guān)系，是一種以激發(fā)學(xué)生問題意識為價值取向的刺激性的數(shù)據(jù)材料和背景信息的刺激性的數(shù)據(jù)材料和背景信息. . 從本質(zhì)上講，產(chǎn)生學(xué)習(xí)的根本原因是從本質(zhì)上講，產(chǎn)生學(xué)習(xí)的根本原因是“問題問題”沒沒有問題也就難以誘發(fā)和激起求知欲，感覺不到問題的有問題也就難以誘發(fā)和激起求知欲，感覺不到問題的存在，學(xué)生也就不會去深入思考存在，學(xué)生也就不會去深入思考. . 因此，情境創(chuàng)設(shè)應(yīng)強(qiáng)調(diào)其問題導(dǎo)向性和衍生性，因此，情境創(chuàng)設(shè)應(yīng)強(qiáng)調(diào)其問題導(dǎo)向性和衍生性，讓問題成為學(xué)習(xí)的動力、起點和貫穿學(xué)習(xí)過程中的主讓問題成為學(xué)習(xí)的動力、起點和貫穿學(xué)習(xí)過程中的主線，把學(xué)習(xí)過程看作是發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問線，把學(xué)習(xí)過程看作是發(fā)現(xiàn)問題、

6、提出問題、分析問題、解決問題的過程，激發(fā)學(xué)生強(qiáng)烈的學(xué)習(xí)愿望，從題、解決問題的過程，激發(fā)學(xué)生強(qiáng)烈的學(xué)習(xí)愿望，從而注意力高度集中并積極主動地投入學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生而注意力高度集中并積極主動地投入學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生勇于探索、創(chuàng)造和追求真理的勇于探索、創(chuàng)造和追求真理的科學(xué)精神科學(xué)精神. . 我們再來探討函數(shù)概念的教學(xué)我們再來探討函數(shù)概念的教學(xué). . 函數(shù)概念是中學(xué)數(shù)學(xué)中的最重要概念之一，函數(shù)函數(shù)概念是中學(xué)數(shù)學(xué)中的最重要概念之一，函數(shù)的思想和方法貫穿高中數(shù)學(xué)課程的始終理解函數(shù)概的思想和方法貫穿高中數(shù)學(xué)課程的始終理解函數(shù)概念及由其反映的數(shù)學(xué)思想方法，學(xué)會用函數(shù)的觀點和念及由其反映的數(shù)學(xué)思想方法，學(xué)會用函數(shù)的觀點和

7、方法解決數(shù)學(xué)問題和現(xiàn)實問題，是中方法解決數(shù)學(xué)問題和現(xiàn)實問題，是中學(xué)學(xué)階段最重要的階段最重要的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)任務(wù)之一因此，搞好函數(shù)概念的教學(xué)至關(guān)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)任務(wù)之一因此，搞好函數(shù)概念的教學(xué)至關(guān)重要重要 . . 另一方面，函數(shù)概念因其高度的抽象性而成為另一方面，函數(shù)概念因其高度的抽象性而成為最難把握的概念之一，無論是教師的教還是學(xué)生的學(xué)最難把握的概念之一，無論是教師的教還是學(xué)生的學(xué)，都存在很大困難，都存在很大困難 “ “函數(shù)函數(shù)”的教學(xué)一般都是從生活情景中選取實例，的教學(xué)一般都是從生活情景中選取實例，先抽象出常量和變量的概念，進(jìn)而抽象、歸納出函數(shù)先抽象出常量和變量的概念，進(jìn)而抽象、歸納出函數(shù)的概念的概念.

8、. 這是數(shù)學(xué)概念教學(xué)的另一類常見類型：概念形這是數(shù)學(xué)概念教學(xué)的另一類常見類型：概念形成成. . 概念形成是以學(xué)生的直接經(jīng)驗為基礎(chǔ)，用歸納的概念形成是以學(xué)生的直接經(jīng)驗為基礎(chǔ)，用歸納的方式抽取出一類事物的共同屬性，從而達(dá)到對概念的方式抽取出一類事物的共同屬性，從而達(dá)到對概念的理解理解. . 因此，在教學(xué)方法上的表現(xiàn)與布魯納倡導(dǎo)的因此，在教學(xué)方法上的表現(xiàn)與布魯納倡導(dǎo)的“發(fā)現(xiàn)法發(fā)現(xiàn)法”一致，適合低年級的學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念，一致，適合低年級的學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念，也適合也適合“原始概念原始概念”的學(xué)習(xí)的學(xué)習(xí). . 因為原始概念多是建立因為原始概念多是建立在對具體事物的性質(zhì)的概括上，依賴的是學(xué)生的直接在對具體事

9、物的性質(zhì)的概括上，依賴的是學(xué)生的直接認(rèn)識與直接經(jīng)驗認(rèn)識與直接經(jīng)驗. . 數(shù)學(xué)概念形成的教學(xué)要強(qiáng)調(diào)讓學(xué)生經(jīng)歷概念的概數(shù)學(xué)概念形成的教學(xué)要強(qiáng)調(diào)讓學(xué)生經(jīng)歷概念的概括過程其基本環(huán)節(jié)：括過程其基本環(huán)節(jié)：情境情境引入；具體例證的屬引入；具體例證的屬性分析、比較、綜合；概括共同本質(zhì)特征得到概念性分析、比較、綜合；概括共同本質(zhì)特征得到概念的本質(zhì)屬性；下定義（準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語言描述）；的本質(zhì)屬性；下定義（準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語言描述）；概念的辨析概念的辨析以實例（正例、反例）為載體分析關(guān)以實例（正例、反例）為載體分析關(guān)鍵詞的含義；用概念作判斷鍵詞的含義；用概念作判斷形成用概念作判斷形成用概念作判斷的的“基本規(guī)范基本規(guī)范”；概

10、念的；概念的“精致精致”建立與相關(guān)建立與相關(guān)概念的聯(lián)系概念的聯(lián)系 而而“圓周角圓周角”的概念教學(xué)是：概念同化的概念教學(xué)是：概念同化. . 概念同化則以學(xué)生的間接經(jīng)驗為基礎(chǔ)，以數(shù)學(xué)語概念同化則以學(xué)生的間接經(jīng)驗為基礎(chǔ)，以數(shù)學(xué)語言為工具，依靠新、舊概念的相互作用理解概念，因言為工具，依靠新、舊概念的相互作用理解概念，因而在教學(xué)方法上多是直接呈現(xiàn)定義，與奧蘇貝爾（而在教學(xué)方法上多是直接呈現(xiàn)定義，與奧蘇貝爾（AusubelAusubel）的）的 “ “有意義地接受學(xué)習(xí)有意義地接受學(xué)習(xí)” ” 方法基本一致方法基本一致. . 由于數(shù)學(xué)概念具有多級抽象的特點，學(xué)生學(xué)習(xí)新概念由于數(shù)學(xué)概念具有多級抽象的特點，學(xué)生

11、學(xué)習(xí)新概念在很大程度上依賴舊概念以及原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，因此在很大程度上依賴舊概念以及原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，因此概念同化的學(xué)習(xí)方式在概念學(xué)習(xí)在經(jīng)常使用，特別對概念同化的學(xué)習(xí)方式在概念學(xué)習(xí)在經(jīng)常使用，特別對高年級學(xué)生的學(xué)習(xí)更加適用高年級學(xué)生的學(xué)習(xí)更加適用. .概念是什么？概念是什么？ 概念是人們在社會實踐中形成的思維形式，概念是人們在社會實踐中形成的思維形式，是人們對客觀事物的本質(zhì)、事物的全體、事物的是人們對客觀事物的本質(zhì)、事物的全體、事物的內(nèi)部聯(lián)系的認(rèn)識內(nèi)部聯(lián)系的認(rèn)識. . 每一個概念都包含著兩個方面每一個概念都包含著兩個方面：一個是它反映的事物的本質(zhì)，這叫做概念的內(nèi)一個是它反映的事物的本質(zhì)，這叫做概念

12、的內(nèi)涵涵；一個是它所反映的事物的范圍，也即所反映一個是它所反映的事物的范圍，也即所反映的事物的全體，這叫做概念的外延的事物的全體，這叫做概念的外延. .一一.概念、數(shù)學(xué)概念概念、數(shù)學(xué)概念 概念是人們對事物本質(zhì)的認(rèn)識，邏輯思維的概念是人們對事物本質(zhì)的認(rèn)識，邏輯思維的最基本單元和形式最基本單元和形式. . 概念的辯證法是指概念的形概念的辯證法是指概念的形成、變化和發(fā)展以及概念間的聯(lián)系和轉(zhuǎn)化的辯證成、變化和發(fā)展以及概念間的聯(lián)系和轉(zhuǎn)化的辯證關(guān)系關(guān)系. . 對概念的辯證本性的研究，是辯證邏輯的對概念的辯證本性的研究，是辯證邏輯的主要內(nèi)容主要內(nèi)容. . 從生動的直觀到抽象的思維，形成一從生動的直觀到抽象的

13、思維，形成一系列概念，這些概念的真理性又要返回實踐中接系列概念，這些概念的真理性又要返回實踐中接受檢驗受檢驗. . 如此循環(huán)往復(fù)，是人的認(rèn)識日益接近于如此循環(huán)往復(fù)，是人的認(rèn)識日益接近于客觀現(xiàn)實的一般途徑客觀現(xiàn)實的一般途徑. . 科學(xué)認(rèn)識的主要成果就是科學(xué)認(rèn)識的主要成果就是形成和發(fā)展概念形成和發(fā)展概念. .概念越深刻、越正確、越完全概念越深刻、越正確、越完全地反映客觀現(xiàn)實地反映客觀現(xiàn)實. . 概念的最基本特征是它的抽象概念的最基本特征是它的抽象性和概括性性和概括性. . 人們認(rèn)識周圍事物最初形成的概念是前科學(xué)思人們認(rèn)識周圍事物最初形成的概念是前科學(xué)思維時期的日常生活概念維時期的日常生活概念. .

14、 這種最初形成的概念，通常這種最初形成的概念，通常是作為對周圍事物的感性經(jīng)驗的直接概括，并不具是作為對周圍事物的感性經(jīng)驗的直接概括，并不具有很高的抽象性有很高的抽象性. . 科學(xué)思維中運用的概念即科學(xué)概念科學(xué)思維中運用的概念即科學(xué)概念，是在相關(guān)理論指導(dǎo)下形成的，而且它總是處于特，是在相關(guān)理論指導(dǎo)下形成的，而且它總是處于特定的理論系統(tǒng)之中，具有較高的抽象性和概括性定的理論系統(tǒng)之中，具有較高的抽象性和概括性. . 人們對于同一事物的認(rèn)識，往往形成不同內(nèi)容的科人們對于同一事物的認(rèn)識，往往形成不同內(nèi)容的科學(xué)概念學(xué)概念. .不同的學(xué)科對于同一事物會形成不同內(nèi)容的不同的學(xué)科對于同一事物會形成不同內(nèi)容的科學(xué)

15、概念，而在同一學(xué)科的不同理論中，對于同一科學(xué)概念，而在同一學(xué)科的不同理論中，對于同一事物也會形成不同內(nèi)容的科學(xué)概念事物也會形成不同內(nèi)容的科學(xué)概念. . 人們對于特定事人們對于特定事物的本質(zhì)的認(rèn)識，即科學(xué)概念的內(nèi)容，并不是單一物的本質(zhì)的認(rèn)識，即科學(xué)概念的內(nèi)容，并不是單一的、無條件的，而是多方面的、有條件的的、無條件的，而是多方面的、有條件的. . 概念總是概念總是隨著人的實踐和認(rèn)識的發(fā)展，處于運動、變化和發(fā)隨著人的實踐和認(rèn)識的發(fā)展，處于運動、變化和發(fā)展的過程中展的過程中. . 這種發(fā)展的過程或是原有概念的內(nèi)容逐這種發(fā)展的過程或是原有概念的內(nèi)容逐步遞加和累進(jìn)，或是新舊概念的更替和變革步遞加和累進(jìn)，

16、或是新舊概念的更替和變革. . 數(shù)學(xué)概念是什么數(shù)學(xué)概念是什么? ? 數(shù)學(xué)概念數(shù)學(xué)概念 是人腦對現(xiàn)實對象的數(shù)量關(guān)系和是人腦對現(xiàn)實對象的數(shù)量關(guān)系和空間形式的本質(zhì)特征的一種反映形式，即一種空間形式的本質(zhì)特征的一種反映形式，即一種數(shù)學(xué)的思維形式數(shù)學(xué)的思維形式. . 在數(shù)學(xué)中，作為一般的思維形式的判斷與在數(shù)學(xué)中，作為一般的思維形式的判斷與推理，以定理、法則、公式的方式表現(xiàn)出來，推理，以定理、法則、公式的方式表現(xiàn)出來，而數(shù)學(xué)概念則是構(gòu)成它們的基礎(chǔ)而數(shù)學(xué)概念則是構(gòu)成它們的基礎(chǔ). .正確理解并靈正確理解并靈活運用數(shù)學(xué)概念，是掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和運算活運用數(shù)學(xué)概念，是掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和運算技能、發(fā)展邏輯論證和空間

17、想象能力的前提技能、發(fā)展邏輯論證和空間想象能力的前提. . 數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)的邏輯起點，是學(xué)生認(rèn)知數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)的邏輯起點，是學(xué)生認(rèn)知的基礎(chǔ)，是學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思維的核心的基礎(chǔ)，是學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思維的核心. . 概念學(xué)習(xí)概念學(xué)習(xí)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心之一是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心之一. . 概念學(xué)習(xí)的研究一直概念學(xué)習(xí)的研究一直是心理學(xué)研究的重要課題，包括對概念的分類、是心理學(xué)研究的重要課題，包括對概念的分類、概念的結(jié)構(gòu)、概念獲得、概念的運用等方面的概念的結(jié)構(gòu)、概念獲得、概念的運用等方面的研究研究. .概念獲得的研究是概念學(xué)習(xí)研究中的一部概念獲得的研究是概念學(xué)習(xí)研究中的一部分重要內(nèi)容分重要內(nèi)容. . 二十世紀(jì)以來，許多

18、學(xué)者從哲學(xué)、二十世紀(jì)以來，許多學(xué)者從哲學(xué)、心理學(xué)、數(shù)學(xué)本身及數(shù)學(xué)教育等不同方面揭示心理學(xué)、數(shù)學(xué)本身及數(shù)學(xué)教育等不同方面揭示了數(shù)學(xué)概念及其獲得的規(guī)律，為數(shù)學(xué)概念獲得了數(shù)學(xué)概念及其獲得的規(guī)律，為數(shù)學(xué)概念獲得的教與學(xué)的系統(tǒng)研究奠定了基礎(chǔ)的教與學(xué)的系統(tǒng)研究奠定了基礎(chǔ). . 從數(shù)學(xué)本身的發(fā)展來看，數(shù)學(xué)概念的來從數(shù)學(xué)本身的發(fā)展來看，數(shù)學(xué)概念的來源一般認(rèn)為有兩方面：一是直接從客觀事物源一般認(rèn)為有兩方面：一是直接從客觀事物的數(shù)量關(guān)系和空間形式反映而得，二是在抽的數(shù)量關(guān)系和空間形式反映而得，二是在抽象的數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)上經(jīng)過多級抽象所獲象的數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)上經(jīng)過多級抽象所獲. . 所所以，數(shù)學(xué)概念既有抽象性，也有它的具

19、體內(nèi)以，數(shù)學(xué)概念既有抽象性，也有它的具體內(nèi)容容. . 也就是說，一方面，數(shù)學(xué)概念是感官對也就是說，一方面，數(shù)學(xué)概念是感官對外在經(jīng)驗的活動或思考，經(jīng)由抽象之后所得外在經(jīng)驗的活動或思考，經(jīng)由抽象之后所得的數(shù)、量、形的性質(zhì)，或者是歷代數(shù)學(xué)家把的數(shù)、量、形的性質(zhì)，或者是歷代數(shù)學(xué)家把前代的概念結(jié)果更加抽象化、一般化而得來前代的概念結(jié)果更加抽象化、一般化而得來的的. .二二.數(shù)學(xué)概念的基本特征數(shù)學(xué)概念的基本特征 但另一方面，從學(xué)生學(xué)習(xí)的角度看，數(shù)但另一方面，從學(xué)生學(xué)習(xí)的角度看，數(shù)學(xué)概念的獲得又不完全是一個邏輯的過程，學(xué)概念的獲得又不完全是一個邏輯的過程，將受到學(xué)生個體的思維發(fā)展水平及教學(xué)方式將受到學(xué)生個體

20、的思維發(fā)展水平及教學(xué)方式、環(huán)境等的影響、環(huán)境等的影響. . 因此，我們可以從兩個不因此，我們可以從兩個不同的角度來分析數(shù)學(xué)概念的特點：一是作為同的角度來分析數(shù)學(xué)概念的特點：一是作為科學(xué)對象，二是作為學(xué)習(xí)對象科學(xué)對象，二是作為學(xué)習(xí)對象. . 當(dāng)然，兩者當(dāng)然，兩者之間有著密切的聯(lián)系之間有著密切的聯(lián)系. . 另外，還需要說明的是，我們這里討論另外，還需要說明的是，我們這里討論的是數(shù)學(xué)概念的一般特征，而不是學(xué)生個體的是數(shù)學(xué)概念的一般特征，而不是學(xué)生個體所掌握的數(shù)學(xué)概念的特點所掌握的數(shù)學(xué)概念的特點. . 個體所掌握的數(shù)個體所掌握的數(shù)學(xué)概念是與他本人的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)水平相適學(xué)概念是與他本人的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)水平

21、相適應(yīng)的，即同一個數(shù)學(xué)概念，由于認(rèn)知水平的應(yīng)的，即同一個數(shù)學(xué)概念，由于認(rèn)知水平的不同，存在著不同水平的理解不同，存在著不同水平的理解. . 數(shù)學(xué)本身的一個基本特點就是抽象性，數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)本身的一個基本特點就是抽象性，數(shù)學(xué)概念的發(fā)展也是一個抽象的結(jié)果概念的發(fā)展也是一個抽象的結(jié)果. . （1 1）數(shù)學(xué)抽象的基本方法）數(shù)學(xué)抽象的基本方法 數(shù)學(xué)抽象主要有兩條途徑：等勢抽象與理想數(shù)學(xué)抽象主要有兩條途徑：等勢抽象與理想化，其中最基本的是等勢抽象化，其中最基本的是等勢抽象. . 等勢抽象的過程涉等勢抽象的過程涉及以下四種本質(zhì)的數(shù)學(xué)活動：構(gòu)造集合及以下四種本質(zhì)的數(shù)學(xué)活動：構(gòu)造集合. . 首先要首先要根據(jù)目標(biāo)明確集

22、合的性質(zhì)，然后根據(jù)性質(zhì)辨別所根據(jù)目標(biāo)明確集合的性質(zhì)，然后根據(jù)性質(zhì)辨別所需對象的屬性，區(qū)分出滿足集合性質(zhì)的元素，從需對象的屬性，區(qū)分出滿足集合性質(zhì)的元素，從而最終確定集合的外延而最終確定集合的外延. . 建立等價關(guān)系建立等價關(guān)系. . 選擇一選擇一定的數(shù)學(xué)等價關(guān)系來劃分集合，檢驗等價關(guān)系應(yīng)定的數(shù)學(xué)等價關(guān)系來劃分集合，檢驗等價關(guān)系應(yīng)滿足的三個條件滿足的三個條件. . 確定等價關(guān)系確定等價關(guān)系. .也即根據(jù)已知也即根據(jù)已知的等價關(guān)系判斷元素之間的等價性，類化集合元的等價關(guān)系判斷元素之間的等價性，類化集合元素，并從每一個等價類中選定一個代表元素組成素，并從每一個等價類中選定一個代表元素組成一個新的集合

23、一個新的集合. . 符號化符號化. . 也即把所構(gòu)造出來的新也即把所構(gòu)造出來的新的數(shù)學(xué)對象用符號表示，并用形式符號代替具體的數(shù)學(xué)對象用符號表示，并用形式符號代替具體的對象參與思維，從而簡化思維過程的對象參與思維，從而簡化思維過程. .1.數(shù)學(xué)概念發(fā)展的抽象性數(shù)學(xué)概念發(fā)展的抽象性 數(shù)學(xué)中的另一種抽象途徑就是理想化數(shù)學(xué)中的另一種抽象途徑就是理想化. .所所謂理想化就是在現(xiàn)實原型的基礎(chǔ)上，抽象出謂理想化就是在現(xiàn)實原型的基礎(chǔ)上，抽象出本質(zhì)的屬性或者推斷出潛在的可行性，然后本質(zhì)的屬性或者推斷出潛在的可行性，然后摒棄所有其他的屬性，從而使原型蛻化為數(shù)摒棄所有其他的屬性，從而使原型蛻化為數(shù)學(xué)模型的過程學(xué)模型

24、的過程. .在理想化的過程中，最重要在理想化的過程中，最重要的一條數(shù)學(xué)能力就是構(gòu)造數(shù)學(xué)模型的能力的一條數(shù)學(xué)能力就是構(gòu)造數(shù)學(xué)模型的能力. . 從心理過程上看，數(shù)學(xué)概念的形成也有從心理過程上看，數(shù)學(xué)概念的形成也有兩種基本的抽象方式：兩種基本的抽象方式：“一般化抽象一般化抽象”，也即減少概念的限制，使其適用于更規(guī)范的也即減少概念的限制，使其適用于更規(guī)范的情境；情境；“分離式抽象分離式抽象”，也即通過將概念，也即通過將概念與背景相分離而達(dá)到抽象的目的與背景相分離而達(dá)到抽象的目的. . 數(shù)學(xué)中的大多數(shù)概念都是一般化抽象的結(jié)數(shù)學(xué)中的大多數(shù)概念都是一般化抽象的結(jié)果，分離式抽象一般只出現(xiàn)在一些由定義給果，分離

25、式抽象一般只出現(xiàn)在一些由定義給出的概念中出的概念中. . 數(shù)學(xué)定義并非一開始就是精確的數(shù)學(xué)定義并非一開始就是精確的，其中有一個抽象化和精致化的過程：產(chǎn)，其中有一個抽象化和精致化的過程：產(chǎn)生一個模糊的想法；嘗試對這個想法用語生一個模糊的想法；嘗試對這個想法用語言進(jìn)行描述；通過形式的定義得到初步的言進(jìn)行描述；通過形式的定義得到初步的概念；嘗試由定義給出具體的例子、推出概念；嘗試由定義給出具體的例子、推出某些性質(zhì)、驗證相關(guān)的定理、尋找等價或者某些性質(zhì)、驗證相關(guān)的定理、尋找等價或者相似的對象；對原先的定義進(jìn)行修正以排相似的對象；對原先的定義進(jìn)行修正以排除那些不合理的推論；調(diào)整、變更或者拓除那些不合理的

26、推論；調(diào)整、變更或者拓展對概念的理解，以便適應(yīng)新的可能性展對概念的理解，以便適應(yīng)新的可能性. .(2）數(shù)學(xué)抽象的特點）數(shù)學(xué)抽象的特點 可以說，人類社會中的幾乎所有的概念都是抽象可以說，人類社會中的幾乎所有的概念都是抽象的結(jié)果，但與其他學(xué)科相比，數(shù)學(xué)抽象有其自身的特點的結(jié)果，但與其他學(xué)科相比，數(shù)學(xué)抽象有其自身的特點. . 一是出于新結(jié)構(gòu)的需要；二是構(gòu)造一個新的抽象一是出于新結(jié)構(gòu)的需要；二是構(gòu)造一個新的抽象集合；三是通過確認(rèn)新的結(jié)構(gòu)而不斷重構(gòu)已知的抽象集集合；三是通過確認(rèn)新的結(jié)構(gòu)而不斷重構(gòu)已知的抽象集合，使其更便于使用合，使其更便于使用. . 第一，在數(shù)學(xué)的抽象中只保留量的關(guān)系和空間形第一，在數(shù)學(xué)

27、的抽象中只保留量的關(guān)系和空間形式而舍棄了其他一切；第二，數(shù)學(xué)的抽象是一級一級逐式而舍棄了其他一切；第二，數(shù)學(xué)的抽象是一級一級逐步提高的，它們所達(dá)到的抽象程度大大超出了其他學(xué)科步提高的，它們所達(dá)到的抽象程度大大超出了其他學(xué)科在的一般抽象；第三，數(shù)學(xué)本身幾乎完全周旋與抽象概在的一般抽象；第三，數(shù)學(xué)本身幾乎完全周旋與抽象概念和它們的相互關(guān)系的圈子之中念和它們的相互關(guān)系的圈子之中. .（3）數(shù)學(xué)抽象的水平分析）數(shù)學(xué)抽象的水平分析 其一是依據(jù)思維主體與客體之間的關(guān)系其一是依據(jù)思維主體與客體之間的關(guān)系. . 其二是依據(jù)對過程其二是依據(jù)對過程對象兩重性的反對象兩重性的反思水平思水平. . 其三是依據(jù)數(shù)學(xué)抽象

28、的復(fù)雜度其三是依據(jù)數(shù)學(xué)抽象的復(fù)雜度. . 概念表征是概念學(xué)習(xí)的一個重要研究課概念表征是概念學(xué)習(xí)的一個重要研究課題題. .所謂表征是用某一種形式，將事物或想所謂表征是用某一種形式，將事物或想法重新表現(xiàn)出來，以達(dá)到交流的目的；當(dāng)其法重新表現(xiàn)出來，以達(dá)到交流的目的；當(dāng)其所表現(xiàn)的意義能切實掌握后，表征可進(jìn)一步所表現(xiàn)的意義能切實掌握后，表征可進(jìn)一步地成為思維的材料，從而簡化解題過程地成為思維的材料，從而簡化解題過程. .表表征就是以一物代替另一物征就是以一物代替另一物. . 表征在活動中具備兩種功能：溝通工具表征在活動中具備兩種功能：溝通工具以及思維的材料以及思維的材料. .作為溝通的工具，是用特作為溝

29、通的工具，是用特定的表征形式，來描繪活動經(jīng)驗；作為思維定的表征形式，來描繪活動經(jīng)驗；作為思維的材料，是用表征來代表物化的數(shù)學(xué)概念或的材料，是用表征來代表物化的數(shù)學(xué)概念或內(nèi)蘊化地活動類型，而對表征所代表的意義內(nèi)蘊化地活動類型，而對表征所代表的意義進(jìn)行思維操作進(jìn)行思維操作. .2.數(shù)學(xué)概念表征的多元性數(shù)學(xué)概念表征的多元性 數(shù)學(xué)概念表征的多元性還反映在學(xué)習(xí)者數(shù)學(xué)概念表征的多元性還反映在學(xué)習(xí)者對概念的理解上，從概念的認(rèn)知角度看，學(xué)對概念的理解上，從概念的認(rèn)知角度看，學(xué)習(xí)者對概念的表征可以分為內(nèi)部表征和外部習(xí)者對概念的表征可以分為內(nèi)部表征和外部表征表征. .其中，內(nèi)部表征是指個體對所學(xué)概念其中，內(nèi)部表征

30、是指個體對所學(xué)概念的可能的心理構(gòu)造，而因為是內(nèi)部的，所以的可能的心理構(gòu)造，而因為是內(nèi)部的，所以這種表征一般不能被直接觀察到，需要通過這種表征一般不能被直接觀察到，需要通過合適的評價工具合適的評價工具. .與內(nèi)部表征相反，外部表與內(nèi)部表征相反，外部表征是一種物理的、可觀察的行為或?qū)ο?，如征是一種物理的、可觀察的行為或?qū)ο?，如文字、符號、圖形等，但通過這些可觀察的文字、符號、圖形等，但通過這些可觀察的外部表征并不總是能夠反映個體真實的內(nèi)部外部表征并不總是能夠反映個體真實的內(nèi)部表征表征. . 首先，根據(jù)數(shù)學(xué)概念發(fā)展的抽象性，都有一個按首先，根據(jù)數(shù)學(xué)概念發(fā)展的抽象性，都有一個按層次遞進(jìn)的過程；其次，不

31、同的數(shù)學(xué)概念表征在一層次遞進(jìn)的過程；其次，不同的數(shù)學(xué)概念表征在一定程度上反映個體對概念的不同理解定程度上反映個體對概念的不同理解. . 直接由感知得到的概念稱為初級概念，由初級概直接由感知得到的概念稱為初級概念，由初級概念再抽象之后得到的概念稱為二級概念念再抽象之后得到的概念稱為二級概念. . 具體化的概念；過程性的概念；形式化的概念具體化的概念；過程性的概念；形式化的概念. . 具體期；確認(rèn)期；分類期；產(chǎn)生期；形式期具體期；確認(rèn)期；分類期；產(chǎn)生期；形式期. .數(shù)數(shù)學(xué)概念理解的層次性除了有數(shù)學(xué)本身的特點所決定學(xué)概念理解的層次性除了有數(shù)學(xué)本身的特點所決定外，也與學(xué)習(xí)者個體的心理發(fā)展水平有關(guān)外，也

32、與學(xué)習(xí)者個體的心理發(fā)展水平有關(guān). . 依據(jù)數(shù)學(xué)概念理解層次來探討合適的學(xué)習(xí)序列，依據(jù)數(shù)學(xué)概念理解層次來探討合適的學(xué)習(xí)序列，一直是數(shù)學(xué)教育工作者致力研究的方向一直是數(shù)學(xué)教育工作者致力研究的方向. .3.數(shù)學(xué)概念理解的層次性數(shù)學(xué)概念理解的層次性 數(shù)學(xué)概念的前三個特征直接導(dǎo)致了它的第四個特數(shù)學(xué)概念的前三個特征直接導(dǎo)致了它的第四個特征：數(shù)學(xué)概念具有廣泛的聯(lián)系征：數(shù)學(xué)概念具有廣泛的聯(lián)系. .這里的聯(lián)系既包括概這里的聯(lián)系既包括概念與其背景的聯(lián)系，也包括概念之間的聯(lián)系；既有念與其背景的聯(lián)系，也包括概念之間的聯(lián)系；既有縱向的聯(lián)系，也有橫向的聯(lián)系縱向的聯(lián)系，也有橫向的聯(lián)系. . 概念的系統(tǒng)化程度也是評價學(xué)生概念

33、理解的一條概念的系統(tǒng)化程度也是評價學(xué)生概念理解的一條重要指標(biāo)重要指標(biāo). .學(xué)生要理解一個數(shù)學(xué)概念，就必須圍繞這學(xué)生要理解一個數(shù)學(xué)概念，就必須圍繞這個概念逐步建立一個概念網(wǎng)絡(luò)，這個網(wǎng)絡(luò)越豐富越個概念逐步建立一個概念網(wǎng)絡(luò)，這個網(wǎng)絡(luò)越豐富越復(fù)雜，這個學(xué)生的理解也就越深刻復(fù)雜，這個學(xué)生的理解也就越深刻. .4.數(shù)學(xué)概念聯(lián)結(jié)的系統(tǒng)性數(shù)學(xué)概念聯(lián)結(jié)的系統(tǒng)性三三.數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí) 1.數(shù)學(xué)概念的形成數(shù)學(xué)概念的形成 概念形成的核心是理解，而理解是一種心理結(jié)構(gòu)的概念形成的核心是理解，而理解是一種心理結(jié)構(gòu)的構(gòu)造過程，因此概念就是理解狀態(tài)的某種心理表征，而構(gòu)造過程，因此概念就是理解狀態(tài)的某種心理表征，而這

34、個結(jié)果又影響下一次的概念形成，構(gòu)成了一個所謂的這個結(jié)果又影響下一次的概念形成，構(gòu)成了一個所謂的理解循環(huán)理解循環(huán). . 特征分析理論認(rèn)為概念是一組特征，這些特征的聯(lián)特征分析理論認(rèn)為概念是一組特征，這些特征的聯(lián)結(jié)規(guī)則是從例子中抽象出來的，這些抽象出來的特征就結(jié)規(guī)則是從例子中抽象出來的，這些抽象出來的特征就是決定定義作用的一組特征是決定定義作用的一組特征. . 原型理論認(rèn)為自然概念是原型，而不是一系列的特原型理論認(rèn)為自然概念是原型，而不是一系列的特征征. . 一個類別的原型是該類別實例的核心趨勢，原型具一個類別的原型是該類別實例的核心趨勢，原型具有該類別大多數(shù)成員所共有的大多數(shù)屬性，且有非該類有該類

35、別大多數(shù)成員所共有的大多數(shù)屬性，且有非該類別成員的最少屬性，原型具有最高的提示效果，最能提別成員的最少屬性，原型具有最高的提示效果，最能提示某一實例屬于何種類別示某一實例屬于何種類別. . 實例對比理論是布魯克斯（實例對比理論是布魯克斯（Brooks,1978Brooks,1978）提出的）提出的. . 他認(rèn)為概念形成是隱含的、非分析的，并不是有意識他認(rèn)為概念形成是隱含的、非分析的，并不是有意識地提出假說地提出假說. . 他指出許多自然概念太復(fù)雜，不能通過分他指出許多自然概念太復(fù)雜，不能通過分析學(xué)習(xí)，而為了判斷類別成員而去檢驗關(guān)鍵性特征是析學(xué)習(xí)，而為了判斷類別成員而去檢驗關(guān)鍵性特征是否存在，這

36、又是個麻煩的方法否存在，這又是個麻煩的方法. . 因此，他認(rèn)為人們在學(xué)因此，他認(rèn)為人們在學(xué)會某一類別的一個實例后，鑒別后來的實例是通過已會某一類別的一個實例后，鑒別后來的實例是通過已知實例的總體相似性的比較而進(jìn)行的知實例的總體相似性的比較而進(jìn)行的. . 除此之外，維格諾德（除此之外，維格諾德（Vergnaud,1983Vergnaud,1983）用概念域）用概念域C=(S,I,R)C=(S,I,R)來說明概念的形成，并將一組情境（來說明概念的形成，并將一組情境（S S）視為）視為建立概念（建立概念（C C）的第一個維度，（）的第一個維度，（I I）是從一組情境中）是從一組情境中抽離出其不變性，

37、然后用符號表征（抽離出其不變性，然后用符號表征（R R）其不變性）其不變性. . 上述概念形成的方式雖有不同的理論和觀上述概念形成的方式雖有不同的理論和觀點，但概念形成基本上需要兩個條件：一是點，但概念形成基本上需要兩個條件：一是學(xué)習(xí)者必須從許多事物、事件或情境中認(rèn)識學(xué)習(xí)者必須從許多事物、事件或情境中認(rèn)識或抽象出它們的共有特征，以便進(jìn)行概括；或抽象出它們的共有特征，以便進(jìn)行概括；二是學(xué)習(xí)者必須能夠辨別與概念相關(guān)或不相二是學(xué)習(xí)者必須能夠辨別與概念相關(guān)或不相關(guān)的標(biāo)志，以便進(jìn)行區(qū)別歸類關(guān)的標(biāo)志，以便進(jìn)行區(qū)別歸類. . 換言之，在概換言之，在概念形成的過程中，具有分類和辨別的能力是念形成的過程中，具有

38、分類和辨別的能力是十分重要的十分重要的. . 斯根普（斯根普（Skemp,1971Skemp,1971）提出兩條教學(xué)原則）提出兩條教學(xué)原則：（：（1 1）超過個人已有概念層次的高價概念不）超過個人已有概念層次的高價概念不能用定義方式來溝通，只能搜集有關(guān)的例子能用定義方式來溝通，只能搜集有關(guān)的例子供其經(jīng)驗，再靠他自已抽象以形成概念供其經(jīng)驗，再靠他自已抽象以形成概念. .（2 2）在數(shù)學(xué)中，由于與所學(xué)概念相關(guān)的例子中常在數(shù)學(xué)中，由于與所學(xué)概念相關(guān)的例子中常常又會含有其他概念，因此在提供例子時必常又會含有其他概念，因此在提供例子時必須確定學(xué)生已經(jīng)形成這些預(yù)先概念須確定學(xué)生已經(jīng)形成這些預(yù)先概念. .2

39、數(shù)學(xué)概念的同化數(shù)學(xué)概念的同化 在教學(xué)中，利用學(xué)生已有的知識經(jīng)驗，以在教學(xué)中，利用學(xué)生已有的知識經(jīng)驗，以定義的方式直接提出概念，并揭露其本質(zhì)屬性定義的方式直接提出概念，并揭露其本質(zhì)屬性，由學(xué)生主動地與原認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的有關(guān)概念聯(lián)，由學(xué)生主動地與原認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的有關(guān)概念聯(lián)系去學(xué)習(xí)和掌握概念的方式，叫概念的同化系去學(xué)習(xí)和掌握概念的方式，叫概念的同化. . 概念同化的心理過程包括以下幾個階段：概念同化的心理過程包括以下幾個階段：（1 1）辨認(rèn)）辨認(rèn). . 辨認(rèn)定義中的新觀念哪些是已有概辨認(rèn)定義中的新觀念哪些是已有概念念? ? 新舊觀念之間存在什么關(guān)系新舊觀念之間存在什么關(guān)系? ? 辨認(rèn)構(gòu)成包含辨認(rèn)構(gòu)成包含了

40、回憶與知識的重現(xiàn)了回憶與知識的重現(xiàn). .（2 2）同化）同化. . 建立新概念與建立新概念與原有概念之間的聯(lián)系，把新概念納入原認(rèn)知結(jié)原有概念之間的聯(lián)系，把新概念納入原認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，使新概念被賦予一定的意義構(gòu)中，使新概念被賦予一定的意義. .（3 3）強(qiáng)化）強(qiáng)化. . 通過將新概念與某些反例相聯(lián)系，使新概念更通過將新概念與某些反例相聯(lián)系，使新概念更加穩(wěn)固和清晰加穩(wěn)固和清晰. . 概念形成是以學(xué)生的直接經(jīng)驗為基礎(chǔ)，用歸納的方概念形成是以學(xué)生的直接經(jīng)驗為基礎(chǔ)，用歸納的方式抽取出一類事物的共同屬性，從而達(dá)到對概念的理式抽取出一類事物的共同屬性，從而達(dá)到對概念的理解解. . 因此，在教學(xué)方法上的表現(xiàn)與布魯

41、納倡導(dǎo)的因此，在教學(xué)方法上的表現(xiàn)與布魯納倡導(dǎo)的“發(fā)現(xiàn)發(fā)現(xiàn)法法”一致，適合低年級的學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念，也適合一致，適合低年級的學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念，也適合“原始概念原始概念”的學(xué)習(xí)的學(xué)習(xí). . 因為原始概念多是建立在對具因為原始概念多是建立在對具體事物的性質(zhì)的概括上，依賴的是學(xué)生的直接認(rèn)識與體事物的性質(zhì)的概括上，依賴的是學(xué)生的直接認(rèn)識與直接經(jīng)驗直接經(jīng)驗. . 概念同化則以學(xué)生的間接經(jīng)驗為基礎(chǔ)，以數(shù)學(xué)語言概念同化則以學(xué)生的間接經(jīng)驗為基礎(chǔ)，以數(shù)學(xué)語言為工具，依靠新、舊概念的相互作用理解概念，因而為工具，依靠新、舊概念的相互作用理解概念，因而在教學(xué)方法上多是直接呈現(xiàn)定義，與奧蘇貝爾（在教學(xué)方法上多是直接呈現(xiàn)

42、定義，與奧蘇貝爾（AusubelAusubel）的）的 “ “有意義地接受學(xué)習(xí)有意義地接受學(xué)習(xí)” ” 方法基本一致方法基本一致. . 由于數(shù)學(xué)概念具有多級抽象的特點，學(xué)生學(xué)習(xí)新概念由于數(shù)學(xué)概念具有多級抽象的特點，學(xué)生學(xué)習(xí)新概念在很大程度上依賴舊概念以及原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，因此在很大程度上依賴舊概念以及原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，因此概念同化的學(xué)習(xí)方式在概念學(xué)習(xí)在經(jīng)常使用，特別對概念同化的學(xué)習(xí)方式在概念學(xué)習(xí)在經(jīng)常使用，特別對高年級學(xué)生的學(xué)習(xí)更加適用高年級學(xué)生的學(xué)習(xí)更加適用. . 應(yīng)當(dāng)指出，概念形成與概念同化不是相互獨立應(yīng)當(dāng)指出，概念形成與概念同化不是相互獨立和互不相關(guān)的和互不相關(guān)的. 概念形成包含著同化的因素，

43、要用概念形成包含著同化的因素，要用具體的、直接的感性材料同化新概念具體的、直接的感性材料同化新概念. 同樣，概念同樣，概念同化也不能脫離分析、抽象和概括，因而含有概念同化也不能脫離分析、抽象和概括，因而含有概念形成因素形成因素.在數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)中，兩種方式不能孤立使在數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)中，兩種方式不能孤立使用，如果僅用概念形成方式學(xué)習(xí)，顯然不符合學(xué)校用，如果僅用概念形成方式學(xué)習(xí)，顯然不符合學(xué)校學(xué)習(xí)的經(jīng)濟(jì)性原則；而僅僅用概念同化方式學(xué)習(xí)，學(xué)習(xí)的經(jīng)濟(jì)性原則；而僅僅用概念同化方式學(xué)習(xí)，由于數(shù)學(xué)概念的高度抽象性，學(xué)生比較難以把握概由于數(shù)學(xué)概念的高度抽象性，學(xué)生比較難以把握概念背后的豐富內(nèi)容，難以理解概念的關(guān)鍵

44、屬性，因念背后的豐富內(nèi)容，難以理解概念的關(guān)鍵屬性，因此應(yīng)該把兩者結(jié)合起來使用此應(yīng)該把兩者結(jié)合起來使用. 教師可以在揭示概念教師可以在揭示概念的定義后，引導(dǎo)學(xué)生在定義的指導(dǎo)下去觀察實際事的定義后，引導(dǎo)學(xué)生在定義的指導(dǎo)下去觀察實際事例，定義的向?qū)Э梢允箤W(xué)生比較容易地揭示事例中例，定義的向?qū)Э梢允箤W(xué)生比較容易地揭示事例中包含的與概念有關(guān)的關(guān)鍵屬性包含的與概念有關(guān)的關(guān)鍵屬性. 同時，通過正例與同時，通過正例與反例的應(yīng)用，通過學(xué)生自己對事例的比較、分析、反例的應(yīng)用，通過學(xué)生自己對事例的比較、分析、概括、分化和類化等，可以使概念的關(guān)鍵屬性變得概括、分化和類化等，可以使概念的關(guān)鍵屬性變得清晰，使事例成為理解

45、概念的一種思維載體，然后清晰，使事例成為理解概念的一種思維載體，然后引導(dǎo)學(xué)生將新概念與已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的有關(guān)概念引導(dǎo)學(xué)生將新概念與已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的有關(guān)概念建立聯(lián)系，形成概念系統(tǒng)建立聯(lián)系，形成概念系統(tǒng).3.數(shù)學(xué)化與尋找意義數(shù)學(xué)化與尋找意義 與形式化過程相關(guān)的是一種稱為與形式化過程相關(guān)的是一種稱為“數(shù)學(xué)化數(shù)學(xué)化”的過程的過程. . 數(shù)學(xué)化是弗賴登塔爾提出的數(shù)學(xué)教學(xué)的數(shù)學(xué)化是弗賴登塔爾提出的數(shù)學(xué)教學(xué)的基本原則之一，其含義是數(shù)學(xué)地組織現(xiàn)實世界的基本原則之一，其含義是數(shù)學(xué)地組織現(xiàn)實世界的過程過程. “. “籠統(tǒng)的說，人們在觀察現(xiàn)實世界時，運籠統(tǒng)的說，人們在觀察現(xiàn)實世界時，運用數(shù)學(xué)方法研究各種具體現(xiàn)象，

46、并加以整理組織用數(shù)學(xué)方法研究各種具體現(xiàn)象，并加以整理組織，對于這一過程，我稱之為數(shù)學(xué)化，對于這一過程，我稱之為數(shù)學(xué)化.” .” 他強(qiáng)調(diào)數(shù)他強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)化的對象分為兩大類：一類是現(xiàn)實客觀事物，學(xué)化的對象分為兩大類：一類是現(xiàn)實客觀事物，另一類是數(shù)學(xué)本身另一類是數(shù)學(xué)本身. . 對客觀世界進(jìn)行數(shù)學(xué)化的結(jié)對客觀世界進(jìn)行數(shù)學(xué)化的結(jié)果是數(shù)學(xué)概念、運算法則、規(guī)律和定理、為解決果是數(shù)學(xué)概念、運算法則、規(guī)律和定理、為解決具體問題而構(gòu)造的數(shù)學(xué)模型等；對數(shù)學(xué)本身進(jìn)行具體問題而構(gòu)造的數(shù)學(xué)模型等；對數(shù)學(xué)本身進(jìn)行數(shù)學(xué)化，既可以是某些數(shù)學(xué)知識的深化，亦可以數(shù)學(xué)化，既可以是某些數(shù)學(xué)知識的深化，亦可以是對已有的數(shù)學(xué)知識進(jìn)行分類、整理

47、、綜合、構(gòu)是對已有的數(shù)學(xué)知識進(jìn)行分類、整理、綜合、構(gòu)造，以形成不同層次的公理體系和形式體系，使造，以形成不同層次的公理體系和形式體系，使數(shù)學(xué)知識體系更系統(tǒng)、更完美數(shù)學(xué)知識體系更系統(tǒng)、更完美. .4.數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的認(rèn)知障礙數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的認(rèn)知障礙 準(zhǔn)確地了解學(xué)生在概念學(xué)習(xí)中遇到的認(rèn)知障準(zhǔn)確地了解學(xué)生在概念學(xué)習(xí)中遇到的認(rèn)知障礙是教學(xué)中做到礙是教學(xué)中做到“對癥下藥對癥下藥”的前提的前提. . 維果茨基認(rèn)為，概念學(xué)習(xí)主要有三個困難：維果茨基認(rèn)為，概念學(xué)習(xí)主要有三個困難：一是遷移，即設(shè)法把特定情境中形成的概念運一是遷移，即設(shè)法把特定情境中形成的概念運用于一組新的物體或環(huán)境；二是給一個概念下用于一組新的物體

48、或環(huán)境；二是給一個概念下定義，即在不涉及任何具體情境或印象的抽象定義，即在不涉及任何具體情境或印象的抽象水平上加以系統(tǒng)的闡述；三是在最終掌握概念水平上加以系統(tǒng)的闡述；三是在最終掌握概念并在抽象水平上系統(tǒng)闡述概念以后，把概念運并在抽象水平上系統(tǒng)闡述概念以后，把概念運用于必須借助于這些抽象的術(shù)語來加以觀察的用于必須借助于這些抽象的術(shù)語來加以觀察的新的具體情境，這是最困難的新的具體情境，這是最困難的. .數(shù)學(xué)概念的教學(xué)主要涉及以下幾個環(huán)節(jié)：數(shù)學(xué)概念的教學(xué)主要涉及以下幾個環(huán)節(jié)： 學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，不僅要學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的思維結(jié)果，更要學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思維的方式方法，發(fā)展數(shù)學(xué)能力。思維方式的習(xí)得及能力的形成是一個緩慢的過程，它不是學(xué)生“懂”了，也不是學(xué)生“會”了，而是學(xué)生自己“悟”出了道理、規(guī)律和思考方法等，這種“悟”只有在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動的過程中才能獲得。 數(shù)學(xué)教學(xué)必須給學(xué)生提供探索交流的空間，組織、引導(dǎo)學(xué)生“經(jīng)歷觀察、實驗、猜想、證明等數(shù)學(xué)活動過程，并把活動經(jīng)驗的積累、數(shù)學(xué)思想的感悟有機(jī)地融合在這樣的“過程”之中。 這里的“過