建筑力學(xué)靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力分析

1、靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力分析第一節(jié)多跨靜定梁、斜梁、多跨靜定梁若干根梁用中間較連接在一起，并以若干支座與基礎(chǔ)相連， 或者擱置于其他構(gòu)件上而組 成的靜定梁，稱(chēng)為多跨靜定梁。在實(shí)際的建筑工程中，多跨靜定梁常用來(lái)跨越幾個(gè)相連的跨 度。圖131a所示為一公路或城市橋梁中，常采用的多跨靜定梁結(jié)構(gòu)形式之一，其計(jì)算簡(jiǎn) 圖如圖131b所示。在房屋建筑結(jié)構(gòu)中的木楝條，也是多跨靜定梁的結(jié)構(gòu)形式，如圖132a所示為木楝條的構(gòu)造圖，其計(jì)算簡(jiǎn)圖如圖132b所示。連接單跨梁的一些中間鍍，在鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)中其主要形式常采用企口結(jié)合(圖13-1a),而在木結(jié)構(gòu)中常采用斜搭接或并用螺栓連接(圖132a)。從幾何組成分析可知，圖 131b

2、中AB梁是直接由鏈桿支座與地基相連，是幾何不變 的。且梁AB本身不依賴(lài)梁BC和CD就可以獨(dú)立承受荷載，所以，稱(chēng)為基本部分。如果僅 受豎向荷載作用，CD梁也能獨(dú)立承受荷載維持平衡，同樣可視為基本部分。短梁BC是依靠基本部分的支承才能承受荷載并保持平衡，所以，稱(chēng)為附屬部分。同樣道理在圖13-2b中梁AB, CD和EF均為基本部分，梁 BC和梁DE為附屬部分。為了更清楚地表示各部分 之間的支承關(guān)系，把基本部分畫(huà)在下層，將附屬部分畫(huà)在上層，分別如圖 131c和圖13 一2c所示，我們稱(chēng)它為關(guān)系圖或?qū)盈B圖。企口ABCD(b)&工工X(c)A。kCDC品八 * 工 人圖 13-1從受力分析來(lái)看，當(dāng)

3、荷載作用于基本部分時(shí)，只有該基本部分受力，而與其相連的附屬 部分不受力；當(dāng)荷載作用于附屬部分時(shí)， 則不僅該附屬部分受力， 且通過(guò)較接部分將力傳至 與其相關(guān)的基本部分上去。因此，計(jì)算多跨靜定梁時(shí)，必須先從附屬部分計(jì)算，再計(jì)算基本部分，按組成順序的逆過(guò)程進(jìn)行。例如圖131c,應(yīng)先從附屬梁BC計(jì)算，再依次考慮CD、AB梁。這樣便把多跨梁化為單跨梁，分別進(jìn)行計(jì)算，從而可避免解算聯(lián)立方程。再將各單 跨梁的內(nèi)力圖連在一起，便得到多跨靜定梁的內(nèi)力圖。斜搭接木橡條圖 13-2例13-1試作圖13-3a所示多跨靜定梁的內(nèi)力圖。解：(1)作層疊圖如圖13-3b所示，AC梁為基本部分，CE梁是通過(guò)錢(qián)C和D支座鏈桿連

4、接在 AC梁上, 要依靠AC梁才能保證其幾何不變性，所以CE梁為附屬部分。(2)計(jì)算支座反力從層疊圖看出，應(yīng)先從附屬部分CE開(kāi)始取隔離體，如圖13-3c所示?！?M"0 80 6 -VD 4=0VD =120kN (T)“ MD =0 80 2 -VC 4 =0VC = 40kN ( J )將Vc反向，作用于梁AC上，計(jì)算基本部分% X =0 HA =0M Ma=0-40X 10+VbX 8+10X8X4-64=0£ MB =040X210X 8X4 64+VaX 8=0VA=58kN (T)VB=18kN(J)校核：由整體平衡條件得匯Y = 80 十 120 18 十 5

5、8-10X 8=0,無(wú)誤。(3)作內(nèi)力圖除分別作出單跨梁的內(nèi)力圖，然后拼合在同一水平基線上這一方法外，多跨靜定梁的內(nèi)力圖也可根據(jù)其整體受力圖 (圖133a)直接繪出。將整個(gè)梁分為 AB、BD、DE三段，由于中間較 C處是外力的連續(xù)點(diǎn)，故不必將它選 為分段點(diǎn)。由內(nèi)力計(jì)算法則，各分段點(diǎn)的剪力為Qa = 58kNQb =5810 X 8=一 22kNQb =58- 10X 8-18=-40 kNQd =80 120=-40 kNc右Qd =80 kNQ： =80 kN據(jù)此繪得剪力圖如圖133d所示。其中AB段剪力為零的截面 F距A點(diǎn)為5. 8m。DM =64KN.m(c)Ha=0q =10kN/mV

6、D=120KN(d)(e)Vc=40KNV=58KNVb=18KN由內(nèi)力計(jì)算法則，各分段點(diǎn)的彎矩為Mab= 64 kN - mMba= 64+58X 8 10X 8X 4=80 kN mMde= 80X 2= 160 kN m M ED=0Mf= 64+58X 5.8 10X 5.8 X 5.8/2=104.2 kN - m據(jù)此作彎矩圖如圖13-3e所示。其中AB段內(nèi)有均布荷載，故需在直線彎矩圖（圖中虛 線）的基礎(chǔ)上疊加相應(yīng)簡(jiǎn)支梁在跨中間（簡(jiǎn)稱(chēng)跨中）荷載作用的彎距圖。多跨靜定梁比相同跨度的簡(jiǎn)支梁的彎矩要小，且彎矩的分布比較均勻，此即多跨靜定梁的受力特征。多跨靜定梁雖然比相應(yīng)的多跨簡(jiǎn)支梁要經(jīng)濟(jì)些

7、，但構(gòu)造要復(fù)雜些。一個(gè)具體工程，是采用單跨靜定梁，還是多跨靜定梁或其它型式的結(jié)構(gòu)， 需要作技術(shù)經(jīng)濟(jì)比較后，從中 選出最佳方案。二、斜梁1、斜梁的荷載梁式結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)是，在豎直荷載作用下只產(chǎn)生豎向支座反力。梁不一定是水平放置的，由樓梯簡(jiǎn)化成的斜梁，也是梁式結(jié)構(gòu)，如圖 134所示。斜梁通常承受兩種 形式的均布荷載：平臺(tái)里圖13 4（1）沿水平方向均布的荷載 q（圖135a）。樓梯斜梁承受的人群荷載就是沿水平方向 均勻分布的荷載。（2）沿斜梁軸線均勻分布的荷載q'（圖13 5b）。等截面斜梁的自重就是沿梁軸均勻分布的荷載。2.由于斜梁按水平均勻分布的荷載計(jì)算起來(lái)更為方便，故可根據(jù)總荷載不變的原

8、則，將q'等效換算成q后再作計(jì)算，即由q1' = ql得l . 1 qq = q- =q-H= （13-dl l /l cos式（13-1）表明：沿斜梁軸線分布的荷載q'除以cos ”就可化為沿水平分布的荷載 q。這樣換算以后，對(duì)斜梁的一切計(jì)算都可按圖13-5c的簡(jiǎn)圖進(jìn)行。例13-2斜梁如圖136a所示。已知其傾角為" 水平后夸度為l ,承受沿水平方向集度為q的均布載荷作用。試作該斜梁的內(nèi)力圖，并與相應(yīng)水平梁的內(nèi)力圖作比較。解：（1）求支座反力；以全梁為分離體，由靜力平衡條件求得支座反力為：Ha=0,qlVa=-2（2）求內(nèi)力.)7 c)dCISe (ca &

9、lt;8 I 4q631 圖列彎矩方程。設(shè)任一截面K距左端為x ,取分離體如圖136b 所示；由 Z MK =0,可得彎矩方程為:xqlq 2M =VAx-qxx x2221故知彎矩圖為一拋物線,如圖136c所小，跨中彎矩為-ql2?？梢?jiàn)斜梁中最大彎矩的8位置（梁跨中）和大?。?q）與直梁是相同的。8求剪力和軸力時(shí)，將反力136b）,由匯 v = 0 ,得VA和荷載qx沿截面方向（v方向）和桿軸方向（u方向）分解（圖Q =VAcos： qxcos-：i - - qx cos-：20,得:N = -VA sin 工二 qxsin ;ql- -qx sin -2根據(jù)以上二式分別作出剪力圖和軸力圖，

10、如圖136d、e所示。圖136f所示，為與上述斜梁的水平跨度相等并承受相同載荷的簡(jiǎn)支梁。由截面法可求得任一截面K的彎矩M0、剪力Q0和軸力N0的方程為.0 qlq 2M x x ,22Q0ql- qx ,2作得內(nèi)力圖如圖136g、h、i所示。將斜梁與水平梁的內(nèi)力加以比較，可知二者有如下關(guān)系:M = M 0, Q = Q0cos豆,三、靜定平面剛架（一）靜定平面剛架的特點(diǎn)PP A A'9 90 一、II! I(a)1 .剛架（亦稱(chēng)框架）是由橫梁和柱共同組成的一個(gè)整體承重結(jié)構(gòu)。剛架的特點(diǎn)是具有剛 結(jié)點(diǎn)，即梁與柱的接頭是剛性連接的，共同組成一個(gè)幾何不變的整體。如圖13 7a所示簡(jiǎn)支剛架，圖1

11、37b所示懸臂剛架，圖137c所示三角胡J架，圖137d所示門(mén)式剛架，其中 的梁與柱均用剛結(jié)點(diǎn)連接。剛架中的所謂剛結(jié)點(diǎn)，就是在任何荷載作用下，梁、柱在該結(jié)點(diǎn)處的夾角保持不變。如圖137a、b、c、d所示剛架在荷載作用下均產(chǎn)生變形，剛結(jié)點(diǎn)因而有線位移和轉(zhuǎn)動(dòng)，但原 來(lái)結(jié)點(diǎn)處梁、柱軸線的夾角大小保持不變。2 .在受力方面，由于剛架具有剛結(jié)點(diǎn)，梁和柱能作為一個(gè)整體共同承擔(dān)荷載的作用， 結(jié)構(gòu)整體性好，剛度大，內(nèi)力分布較均勻。在大跨度、重荷載的情況下，是一種較好的承重 結(jié)構(gòu)，所以剛架結(jié)構(gòu)在工業(yè)與民用建筑中，被廣泛地采用。（二）靜定剛架的內(nèi)力計(jì)算及內(nèi)力圖1、內(nèi)力計(jì)算如同研究梁的內(nèi)力一樣，在計(jì)算剛架內(nèi)力之前，

12、 首先要明確剛架在荷載作用下，其桿件橫截面將產(chǎn)生什么樣的內(nèi)力?，F(xiàn)以圖138a所示靜定懸臂剛架為例作一般性的討論。剛架是在任意荷載作用下，現(xiàn)研究其中任意一截面假想將岡I架從m-m截面處截?cái)?，取其中一部分隔離體圖m-m產(chǎn)生什么內(nèi)力。先用截面法138b。在這隔離體上，由于作用荷載，所以截面mm上必產(chǎn)生內(nèi)力與之平衡。從£ X = 0,知截面上將會(huì)有一水平力,即截面的剪力 Q,與荷載在x軸上的投影平衡；從 £ Y = 0,知截面將會(huì)有一垂直力，即截面的軸向力N,與荷載在y軸上的投影平衡；再以截面的形心。為矩心，從£ M0 = 0,知截面必有一力偶，即截面的彎矩M,與荷載對(duì)O

13、點(diǎn)之矩平衡。因此可得出結(jié)論：剛架受荷載作用產(chǎn)生三種內(nèi)力：彎矩、剪力和軸力。要求出靜定剛架中任一截面的內(nèi)力 （M、Q、N）也如同計(jì)算梁的內(nèi)力一樣， 用截面法將剛 架從指定截面處截開(kāi)， 考慮其中一部分隔離體的平衡， 建立平衡方程，解方程從而求出它的 內(nèi)力。因此，關(guān)于靜定梁的彎矩和剪力計(jì)算的一般法則， 算法則重復(fù)說(shuō)明如下（注意與前面的提法內(nèi)容是一致的“任一截面的彎矩?cái)?shù)值等于該截面任一側(cè)所有外力 矩的代數(shù)和”?！叭我唤孛娴募袅?shù)值等于該截面任一側(cè)所有外力 或稱(chēng)切向投影的代數(shù)和”。“任一截面的軸力數(shù)值等于該截面任一側(cè)面所有外力對(duì)于剛架來(lái)說(shuō)同樣是適用的?，F(xiàn)將計(jì)）:（包括支座反力）對(duì)該截面形心的力（包括支座

14、反力）沿該截面平面投影（包括支座反力）在該截面法線方向投影（或稱(chēng)法向投影）的代數(shù)和”。3 .內(nèi)力圖的繪制在作內(nèi)力圖時(shí)，先根據(jù)荷載等情況確定各段桿件內(nèi)力圖的形狀，之后再計(jì)算出控制截面對(duì)于彎矩圖通常不標(biāo)明正負(fù)號(hào)，而把它畫(huà)在桿使剛架內(nèi)側(cè)受拉的彎矩為正，反之為負(fù)；軸力的內(nèi)力值，這樣即可作出整個(gè)剛架的內(nèi)力圖。件受拉一側(cè)，而剪力圖和軸力圖則應(yīng)標(biāo)出正負(fù)號(hào)。在運(yùn)算過(guò)程中，內(nèi)力的正負(fù)號(hào)規(guī)定如下： 以拉力為正、壓力為負(fù)；剪力正負(fù)號(hào)的規(guī)定與梁相同。為了明確的表示各桿端的內(nèi)力， 規(guī)定內(nèi)力字母下方用兩個(gè)腳標(biāo)， 第一個(gè)腳標(biāo)表示該內(nèi)力 所屬桿端，第二個(gè)腳標(biāo)表示桿的另一端。如 AB桿A端的彎矩記為 Mab , B端的彎矩記為

15、 Mba； CD桿C端的剪力記為 Qcd、D端的剪力記為 Qdc等等。全部?jī)?nèi)力圖作出后，可截取剛架的任一部分為隔離體，按靜力平衡條件進(jìn)行校核。例133計(jì)算圖139a所示剛架結(jié)點(diǎn)處各桿端截面的內(nèi)力。Mc8KNCiNcaQca6KN(b)圖13-9解：（1）用整體的三個(gè)平衡方程求出支座反力，如圖Mcb QcbNcbC24m(c)8KN 6"48KN24KNi6KN(d)24KNm13 9a所示;B6KN（2）計(jì)算剛結(jié)點(diǎn)C處桿端截面內(nèi)力剛結(jié)點(diǎn)C有Ci、C2兩個(gè)截面，沿Ci和C2切開(kāi)，分別取Ci下邊、C2右邊，即CiA （包Cl 和 C2括A支座）和C2B （包括B支座）兩個(gè)隔離體，分別建立

16、平衡方程，確定桿端截面 的內(nèi)力。對(duì)C1A隔離體（圖139b）,則X =0,Qca8=0,QcA=8kNY =0,Nca -6=0, NcA=6kNMe =0,Mca -8黑3 = 0 , M ca = 24kN m (AC桿內(nèi)側(cè)即右側(cè)受拉)對(duì)C2B隔離體（圖13 9c）,有X X=0, Ncb=0Y Y =0,Qcb +6=0, Qcb=6kN£Mc=0,-Mcb +6x4 = 0, Mcb =24kN *m（CB 桿內(nèi)側(cè)即下側(cè)受拉）（3）取結(jié)點(diǎn)C為隔離體校核（圖139d）。校核時(shí)畫(huà)出分離體的受力圖應(yīng)注意：a）必須包括作用在此分離體上的所有外力，以及計(jì)算所得的內(nèi)力 M、Q和N; b）

17、圖中的M、Q和N都應(yīng)按求得的實(shí)際方向畫(huà)出并不再加注 正負(fù)號(hào)。£ X = 0,88=0E Y = 0,6 6=0g M c = 0 ,24 24=0 無(wú)誤。例13-4計(jì)算圖1310所示剛架剛結(jié)點(diǎn)C, D處桿端截面的內(nèi)力。解：利用平衡求出支座反力，如圖13-10所示;C C2D2 DDim4kN24kN圖13-106m4kN（1）計(jì)算剛結(jié)點(diǎn)C處桿（2）端截面內(nèi)力取ACi（相當(dāng)取ACi段為研究 對(duì)象，包括支座 A）,得£ Y = 0, Nca =4kN£ X = 0, QCA =12-3父4 = 0M Mc =0, Mca =12父43父4M 2 =24kN m （AC

18、桿內(nèi)側(cè)即右側(cè)受拉。）取AC2桿（相當(dāng)取AC2為研究對(duì)象，包括支座 A）,得£ X =0, Ncd =12 -34=0Z Y = 0 ,QCD = M kN£Mc=0, Mcd =12父4 3父4M 2 =24 kN m （CD桿內(nèi)側(cè)即下側(cè)受拉）（3）計(jì)算剛結(jié)點(diǎn)D處桿端截面內(nèi)力。取BDi桿（相當(dāng)取BD1為研究對(duì)象，包括支座 B）,得EY=0, N db = -4 kNX X =0, Qdb =0kN£ Md =0, Mdb =0取BD2桿(相當(dāng)取D2DB為研究對(duì)象，包括剛結(jié)點(diǎn) D和支座B),得X X =0, Ndc =0kN£ Y = 0, Qdc = H

19、 kNM Md =0, Mdc =0(4)取結(jié)點(diǎn)C或D為分離體進(jìn)行校核。例13-5作圖13-11a所示剛架的內(nèi)力圖。(a)A 一4287kN7C4rD 24ITTTB(kN -m )(d)8x，4=2(kN m )(b)(c)(e)4KN . m4kN 圖13-11解：（1）計(jì)算支座反力（圖 1311a）;（2）計(jì)算各桿端內(nèi)力取CD桿：M CD = 0Mdc =4M1=4kN-m （左側(cè)受拉）Qcd 二Qdc =4 kNNcd 二 Ndc =0取DB桿：Mbd =0M DB = 7父4 = 28 kN m （下側(cè)受拉）Qbd = Qdb =-7 kNNbd -Ndb -0取AD桿：Mad =0

20、Mda=8m41m4m2=24 kN m （右側(cè)受拉）Qad =8 kNQda =8-1 4 =4 kNNAD = Nda =7 Kn（3）作M、Q、N內(nèi)力圖彎矩圖畫(huà)在桿的受拉側(cè)。 桿CD和BD上無(wú)荷載，將桿的兩端桿端彎矩的縱坐標(biāo)以直線 相連，即得桿CD和BD的彎矩圖。桿 AD上有均布荷載彳用，將桿 AD兩端桿端彎矩值以 虛直線相連，以此虛直線為基線， 疊加以桿AD的長(zhǎng)度為跨度的簡(jiǎn)支梁受均布荷載作用下的 彎矩圖，即得桿 AD的彎矩圖。疊加后，AD桿中點(diǎn)截面E的彎矩值為一 11 , / 一 M E =-（0 +24）十后父1父4 =14kN - m（右側(cè)文拉）剛架的M圖如圖1311b所示。剪力圖

21、的縱坐標(biāo)可畫(huà)在桿的任一側(cè)，但需標(biāo)注正負(fù)號(hào)。將各桿桿端剪力縱坐標(biāo)用直線相連（各桿跨中均無(wú)集中力作用），即得各桿的剪力圖。剛架的剪力圖如圖1311c所示。軸力圖的作法與剪力圖類(lèi)似，可畫(huà)在任意一側(cè)，需注明正負(fù)號(hào)。剛架的軸力圖如圖1311d所示。（4）校核取結(jié)點(diǎn)D為隔離體（如圖13-11e所示）E X = 0,4 4=0£ Y =0,7-7=0M MD =0,4+24 28=0無(wú)誤例13-6作圖1312a所示剛架的彎矩圖。128解：（1）利用平衡方程計(jì)算支反力;（2）計(jì)算桿端彎矩取AC桿：M AC = M CA = 0求CE桿E端彎矩時(shí)，可取 ECA隔離體（從 C1面截開(kāi)）MEC =2 =

22、T KN - m （左側(cè)受拉）M CE = M CA = 0取EA桿（包括剛結(jié)點(diǎn) E,從C2面截開(kāi)）：MEF = -4x2 = 8KN - m （上側(cè)受拉）取DB桿（從C5面截開(kāi)）：M BD = 0 , M DB = -4父 2 =4 KN m （右側(cè)受拉）取DB桿（從C6面截開(kāi)）：M DF=4M2+4 = YKN - m （右側(cè)受拉）取FB桿（從C3面截開(kāi)）：M FD=Y父4+4 = -12KN m （右側(cè)受拉）取FB桿（從C4面截開(kāi)）：M fe = -4*4+4 = -12 KN m （上側(cè)受拉）（3）作M圖桿EF上作用均布荷載，將桿 EF兩端的彎矩值用虛線相連，以虛直線為基線，疊加簡(jiǎn)支梁

23、受均布荷載作用的彎矩圖（桿中央截面彎矩疊加值為121一父20M42 - - （8 +12） =30kN.m）,由此得桿EF上的彎矩圖，其余各桿將桿端彎矩的縱82坐標(biāo)用直線相連。注意 D截面彎矩有突變。剛架的彎矩圖如圖13-12b所示。（4）校核取結(jié)點(diǎn)E為隔離體。（略）例13-7試作圖1313a所示剛架的彎矩圖。解：（1）利用平衡方程計(jì)算支反力；（2）計(jì)算桿端彎矩取AC桿（桿上荷載不包括力偶）M AC =01 _ _2MCA = 5 *13.75-一父 5父 5 =6.25 KN - m （下側(cè)受拉）2取BC桿（從C左邊截開(kāi)，桿上荷載不包括力偶）：M BC =0Mcb =11.25 父5 =56

24、.25 KN m （下側(cè)受拉）取DE桿：Med =0Mde =10 父3 =30 KN m （右側(cè)受拉）DC桿的D端彎矩與ED桿D端彎矩值相同，即MDC =MDE =30 KN - m （右側(cè)受拉）求DC桿C端彎矩日可取CDE隔離體（桿上荷載不包括力偶）：Mcd =106-103 = 30 KN - m （右側(cè)受拉）。（3）作M圖AC桿中央截面彎矩121M 中=-x 5 x 5 +一父 6.25 = 21.875 KN m 82（4）校核取結(jié)點(diǎn)C為隔離體，如圖13-13c所示。顯然滿足 M M0=0。C通過(guò)以上例題可看出， 作剛架內(nèi)力圖的常規(guī)步驟，一般是先求反力，再逐桿分段、定點(diǎn)、（有時(shí)甚至不

25、求聯(lián)線作出。在作彎矩圖之前，如果先作一番判斷，則常?？梢陨偾笠恍┓戳?反力），而迅速作出彎矩圖。判斷內(nèi)容：1 .熟練掌握MQ q之間的微分關(guān)系；2 .鍍結(jié)點(diǎn)處彎矩為零；3 .剛結(jié)點(diǎn)力矩平衡。如圖13 14a,各桿端彎矩與力偶荷載的代數(shù)和應(yīng)等于零。對(duì)于兩桿剛結(jié)點(diǎn)，如結(jié)點(diǎn)上無(wú)力偶荷載作用時(shí)，則兩桿端彎矩?cái)?shù)值必相等且受拉側(cè)相同（即同為外側(cè)受拉或同為內(nèi)側(cè)受拉），如圖1314b所示。在剛結(jié)點(diǎn)處，除某一桿端彎矩外，其余各 桿端彎矩若均已知，則該桿端彎矩的大小和受拉側(cè)便可根據(jù)剛結(jié)點(diǎn)力矩平衡條件推出。M ABMAD圖 13-14例13-8作圖1315a所示結(jié)構(gòu)的 M圖。mm(a)(b)圖13-15解：由整體水

26、平力平衡可知 XA=10 kN （）,則MEA=30kN - m,右側(cè)受拉；MCE=10X610X3=30kN.m ,右側(cè)受拉；根據(jù)結(jié)點(diǎn) C力矩平衡，Mcd=30KN m,下側(cè)受拉；BD 桿無(wú)剪力，則BF段無(wú)M圖，F(xiàn)D段M保持常數(shù)，為5kN m左側(cè)受拉；根據(jù)剛結(jié)點(diǎn)力矩平 衡，Mdc = 5kN m,下側(cè)受拉。有了各控制截面的彎矩豎標(biāo)，再據(jù)無(wú)荷載區(qū)間 M圖為直線，集中力偶處彎矩有突變。畫(huà)出整個(gè)M圖，如圖1315b所示。上述過(guò)程無(wú)須筆算，僅根據(jù)M圖特點(diǎn)即可作出 M圖。例13-9作圖1316a所示剛架的M圖。4m(a)3mM 圖(kN m )(b)圖13-16解：AB和BD桿段間無(wú)荷載，故 M圖均為

27、直線。因 MDc = 6kN m,下側(cè)受拉，Mcd-4=0,故Mbc =父6=8 kN ,上側(cè)受拉；由剛結(jié)點(diǎn)B力矩平衡，M ba = 8 + 20 = 28 kN , m, 3左側(cè)受拉；MAB = 15kN m,左側(cè)受拉。有了各控制截面彎矩，即可作出整個(gè)結(jié)構(gòu)M圖，如圖1316b所示。四、截面法1 .截面法原理用結(jié)點(diǎn)法計(jì)算桁架的內(nèi)力時(shí)， 是按一定順序逐個(gè)結(jié)點(diǎn)計(jì)算， 這種方法前后計(jì)算相互影響， 即后一結(jié)點(diǎn)的計(jì)算要用到前一結(jié)點(diǎn)計(jì)算的結(jié)果。若前面的計(jì)算錯(cuò)了，就會(huì)影響到后面的計(jì)算結(jié)果。另外，當(dāng)桁架結(jié)點(diǎn)數(shù)目較多時(shí)，而問(wèn)題又只要求桁架中的某幾根桿件的軸力，這時(shí)用 結(jié)點(diǎn)法求解就顯得繁瑣了，這種情況下可采用另一

28、種方法就是截面法。截面法是用一個(gè)截面截?cái)嗳舾筛鶙U件將整個(gè)桁架分為兩部分，并任取其中一部分(包括若干結(jié)點(diǎn)在內(nèi))作為隔離體，建立平衡方程求出所截?cái)鄺U件的內(nèi)力。顯然。作用于隔離體上 的力系，通常為平面一般力系。因此，只要此隔離體上的未知力數(shù)目不多于三個(gè)，可利用一般力系的三個(gè)靜力平衡方程，直接把截面上的全部未知力求出。2 .截面法適用范圍：(1)求聯(lián)合桁架的軸力。(2)求簡(jiǎn)單桁架中指定桿截面的軸力。例13-11 求圖13-23a所示桁架1、2、3桿的內(nèi)力N1、N2、N3。解：(1)求支座反力£ X = 0 Xa = 3KN (一) . 一 1M Mb=0 Ya =4乂20 + 8父16 +

29、2父43父3 =8.625 KN 24一 八、，1M Ma=0 Yb =4父4+8父8+2父20+3父3 =5.375KN 24(2)求內(nèi)力利用I I截面以左為隔離體，如圖 13-23b所示。將Ni分解為水平分力Xi和垂直分力丫人則由(b)M Md =08.625X 12 4X 8 8X4+5X1=0故 X1二 7.900 KN ()、，1 .丫 =父 7.900 = 1.975 KN （ J ） 442 12N1= -x 7.900 = -8.143 KN （壓力）4由 £ Y = 08.625-4-8- 1.975-Y2=0故丫2=5.350 KN ，X2=-5.350 KN （

30、）一 1N2 =父 5.350 = -7.567 KN （壓力）0.707求N3仍利用圖13-23b的示力圖。由£ X =0 37.9005.350+N3=0N3=16.25 KN （拉力）校核 用圖1323b中未用過(guò)的力矩方程 £ Mh =0進(jìn)行校核。M MH =3X48.625 X 8+4X4+16.250 X 4=0 無(wú)誤3、結(jié)點(diǎn)法和截面法的聯(lián)合應(yīng)用結(jié)點(diǎn)法和截面法是計(jì)算桁架內(nèi)力的兩種基本方法，對(duì)于簡(jiǎn)單桁架求所有桿軸里力無(wú)論用哪一種方法計(jì)算都比較方便，但對(duì)有些求指定桿內(nèi)力的簡(jiǎn)單桁架用聯(lián)合法更加方便。對(duì)于聯(lián)合桁架來(lái)說(shuō)（圖 1318b）,僅用結(jié)點(diǎn)法或截面法來(lái)分析內(nèi)力就會(huì)遇到

31、困難，這時(shí)，一般先 用截面法求出聯(lián)合處桿件的內(nèi)力，然后可對(duì)組成聯(lián)合桁架的各簡(jiǎn)單桁架內(nèi)力用結(jié)點(diǎn)法進(jìn)行計(jì)算。圖1324a所示的桁架是簡(jiǎn)單桁架，求桁架 1、2、3、4桿的內(nèi)力NrN2> N3、N4時(shí), 聯(lián)合使用截面法和結(jié)點(diǎn)法較為簡(jiǎn)便。作I I截面，取左部分為隔離體（圖13 24b）,由Z MC=0和g M E = 0分別求出N4和N。然后截取結(jié)點(diǎn) D（圖1324c）,由£ X = 0 ,得N2 = 5。最后作H n截面（圖 1324a、d）,由 £ Y =0即可求出 N2 和 N3。P(a)IC N 1(c)(b)(d)圖 13-244、幾種桁架受力性能的比較現(xiàn)取工程中常用

32、的平行弦、三角形和拋物線形三種桁架，以相同跨度、相同高度、相同節(jié)間及相同荷載作用下的內(nèi)力分布（圖1325a、b、c）加以分析比較。從而了解桁架的形式對(duì)內(nèi)力分布和構(gòu)造上的影響， 以及它們的應(yīng)用范圍，以便在結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)或?qū)﹁旒茏鞫ㄐ苑治鰰r(shí)， 可根據(jù)不同的情況和要求，選用適當(dāng)?shù)蔫旒苄问健Ｆ叫邢诣旒埽▓D1325a）的內(nèi)力分布很不均勻。上弦桿和下弦桿內(nèi)力值均是靠支座處小，向跨度中間增大。腹桿則是靠近支座處內(nèi)力大，向跨中逐漸減小。如果按各桿內(nèi)力大小選擇截面，弦桿截面沿跨度方向必須隨之改變，這樣結(jié)點(diǎn)的構(gòu)造處理較為復(fù)雜。如果各桿采用相同截面，則靠近支座處弦桿材料性能不能充分利用，造成浪費(fèi)。其優(yōu)點(diǎn)是結(jié)點(diǎn)構(gòu)造劃一，腹

33、桿可標(biāo)準(zhǔn)化，因此，可在輕型桁架中應(yīng)用。三角形桁架（圖1325b）的內(nèi)力分布是不均勻的。 其弦桿的內(nèi)力從中間向支座方向遞增， 近支座處最大。在腹桿中，斜桿受壓，而豎桿則受拉（或?yàn)榱銞U），而且腹桿的內(nèi)力是從支座向中間遞增。這種桁架的端結(jié)點(diǎn)處，上下弦桿之間夾角較小， 構(gòu)造復(fù)雜。但由于其兩面斜坡的外形符合屋頂構(gòu)造的要求，所以，在跨度較小、坡度較大的屋蓋結(jié)構(gòu)中較多采用三角形桁 架。拋物線形桁架上、下弦桿內(nèi)力分布均勻。當(dāng)荷載作用在上弦桿結(jié)點(diǎn)時(shí)，腹桿內(nèi)力為零；當(dāng)荷載作用在下弦桿結(jié)點(diǎn)時(shí)，腹桿中的斜桿內(nèi)力為零， 豎桿內(nèi)力等于結(jié)點(diǎn)荷載。 是一種受力性能較好，較理想的結(jié)構(gòu)形式。但上弦的彎折較多，構(gòu)造復(fù)雜，結(jié)點(diǎn)處理較

34、為困難。因此，工程中多采用的是如圖 1325c所示的外形接近拋物線形的折線形桁架，且只在跨度為18米至30米的大跨度屋蓋中采用。(a)1圖 13-25第四節(jié)三校拱、概述除隧道、橋梁外，在房屋建筑中，屋面承重結(jié)構(gòu)也用到拱結(jié)構(gòu)（圖 13-26）。拱結(jié)構(gòu)的計(jì)算簡(jiǎn)圖通常有三種 （圖1327）,圖13 27a和圖1327b所示無(wú)錢(qián)拱和兩錢(qián) 拱是超靜定的，圖1327c所示三校拱是靜定的。在本節(jié)中，將只討論三錢(qián)拱的計(jì)算。拱結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)是：桿軸為曲線，而且在豎向荷載作用下支座將產(chǎn)生水平反力。這種水平反力又稱(chēng)為水平推力，或簡(jiǎn)稱(chēng)為推力。拱結(jié)構(gòu)與梁結(jié)構(gòu)的區(qū)別，不僅在于外形不同，更重要 的還在于在豎向荷載作用下是否產(chǎn)生

35、水平推力。例如圖1328所示的兩個(gè)結(jié)構(gòu)，雖然它們的桿軸都是曲線，但圖1328a所示結(jié)構(gòu)在豎向荷載作用下不產(chǎn)生水平推力，其彎矩與相應(yīng)簡(jiǎn)支梁（同跨度、同荷載的梁）的彎矩相同，所以這種結(jié)構(gòu)不是拱結(jié)構(gòu)而是一根曲梁。圖 1328b所示結(jié)構(gòu)，由于其兩端都有水平支座鏈桿，在豎向荷載作用下將產(chǎn)生水平推力，所以 屬于拱結(jié)構(gòu)。圖 13-28用作屋面承重結(jié)構(gòu)的三校拱，常在兩支座校之間設(shè)水平拉桿(圖1329b)。這樣，拉桿內(nèi)所產(chǎn)生的拉力代替了支座推力的作用， 在豎向荷載作用下， 使支座只產(chǎn)生豎向反力。 但是 這種結(jié)構(gòu)的內(nèi)部受力情況與三校拱完全相同，故稱(chēng)為具有拉桿的拱，或簡(jiǎn)稱(chēng)拉桿拱。(a)拱結(jié)構(gòu)(圖1329a)最高的一

36、點(diǎn)稱(chēng)為拱頂。三錢(qián)拱的中間校通常是安置在拱頂處。拱的兩端與支座連接處稱(chēng)為拱趾，或稱(chēng)拱腳。兩個(gè)拱趾間的水平距離l稱(chēng)為跨度。拱頂?shù)絻晒爸哼B線的豎向距離f稱(chēng)為拱高。拱高與跨度之比 f/l稱(chēng)為高跨比。由后面可知，拱主要力學(xué) 性能與高跨比有關(guān)。二、三較拱的內(nèi)力計(jì)算1、支反力的計(jì)算三校拱為靜定結(jié)構(gòu)，其全部反力和內(nèi)力可以由平衡方程算出。計(jì)算三校拱支座反力的方法，與三校剛架支座反力的計(jì)算方法相同?，F(xiàn)以圖1330a所示的三校拱為例， 導(dǎo)出支座反力的計(jì)算公式。由 £ M B = 0得Va = (1/1Iph +p2b2 )(a)由 ZMa=0 得Vb =(1/l的冏+p2a2 )(b)由£ X

37、=0得Ha=Hb=H(c)從C較處截開(kāi)，取左半拱為平衡體，利用 M M； =0求出H =(1/ f WJ - PNi )(d)1330b所示。由平為了便于理解和比較，取與三校拱同跨度、同荷載的簡(jiǎn)支梁如圖衡條件可得簡(jiǎn)支梁的支座反力及C截面的彎矩分別為:V0 =(1/l KPibi + p2b2 )(e)Ve° = (1/l Rpiai + p2a2)(f)MC =VAl1 - p1d1(g)比較(a)與(e), (b)與及(d)與(g)式可見(jiàn)：Va =vA(132)Vb Vb( 13-3)H =MC / f(134)由式(132)、(133)可知，拱的豎向反力和相應(yīng)的簡(jiǎn)支梁的支座反力相

38、同。由式 (13 4)可知，三錢(qián)拱的推力只與三個(gè)錢(qián)的位置有關(guān)。與三個(gè)校之間拱軸的形狀無(wú)關(guān)。當(dāng)荷載和跨 度不變時(shí)，推力 H與f成反比，所以拱愈扁平，其推力就愈大，當(dāng) f=0時(shí)，H = oo,這時(shí) 三錢(qián)拱的三個(gè)錢(qián)在同一條直線上，拱已成為瞬變體系。圖 13 30圖 13 31對(duì)于圖1331a所示的有拉桿的三錢(qián)拱來(lái)說(shuō)，由整體的平衡條件M M A = 0 ,AM MB =0, £ X =0,可求得Ha=0,va =v： ,VB=V；。取隔離體如圖1331b所示，利用TMc =0求出Nab =1/ f VaL 一 p1d1)=M C / f(13-5)H相同。在用拱作屋頂時(shí)，為式中MC仍為相應(yīng)的

39、簡(jiǎn)支梁截面的彎矩。計(jì)算結(jié)果表明，拉桿的拉力和無(wú)拉桿三校拱的水平推力了減少拱對(duì)墻或柱的水平推力，常采用拉桿拱。2、內(nèi)力計(jì)算三校拱的內(nèi)力符號(hào)規(guī)定如下：彎矩以使拱內(nèi)側(cè)纖維受拉為正；剪力以使隔離體順時(shí)針轉(zhuǎn) 動(dòng)為正；因拱常受壓力，規(guī)定軸力以壓為正。為計(jì)算三校拱任意截面（應(yīng)與拱軸正交）的內(nèi)力，首先在圖1330a中取K截面以左部分 為隔離體，畫(huà)受力圖如圖 1332a所示。其相應(yīng)簡(jiǎn)支梁段的受力圖如圖 1332b。由相應(yīng)簡(jiǎn) 支梁段的受力圖可見(jiàn)， K截面內(nèi)力為00QK = VA - plM k = VAXk - Pi X k -a1剪力Qk應(yīng)沿截面方向，軸力 Nk應(yīng)沿垂直于截面的方向，如受力圖1332c所示。圖中

40、內(nèi)力均按正向假設(shè)。由圖13-32a中£ Mk =0可知，將所有力向 K截面的切線的法線方向分別投影，其代數(shù)和為零。求得Mk與相應(yīng)簡(jiǎn)支梁K截面內(nèi)力關(guān)系式為：MK=MK-HyK（13 6）Qk =qK ,cos中k - H sin 中K（13 7）Nk = qK *sin 中K + H cos般（138）式（136）、（137）、（13 8）是三校拱任意截面內(nèi)力的計(jì)算公式。式中 甲K為擬求 截面的傾角，中k將隨截面不同而改變。 但是，當(dāng)拱軸曲線方程 y=f（x ）為已知時(shí)，可利用tan* = dy/dx確定各截面的（）值；在左半拱，dy/dx > 0 , e取正號(hào)；右半拱，dy/d

41、x<0,4取負(fù)號(hào)。所以它只適用于豎向荷載需要說(shuō)明：拱內(nèi)力計(jì)算公式是在豎向荷載作用下推倒出來(lái)的, 作用下拱的內(nèi)力計(jì)算。錢(qián)拱截面 K和D的內(nèi)力值。拱軸線方程例題13-12試求圖13-33所示4f .y =/x（l -x >解：（1）利用平衡方程求各支座反力VA= 179. 4kN （ T ）Vb= 170. 8kN （ T ）Ha=312. 4kN（一）（2）根據(jù)已給拱軸線方程。分別計(jì)算K、D截面的縱坐標(biāo)及拱軸線的切線傾角:yK4f .1Tx l -xyD4 5x3024 5r3027.5 30 - 7.5 = 3.75m20 30-20 =4.44 m因?yàn)樗詃y dxdy4 M51

42、tg 邛 k =T(30_2M7.5)=dx xa5303甲K =18° 26'故 sin k =0.3162 cosk =0.9487 同理得：d dy 4 M 5,1tg% =r(30 - 220)=0.222dx xv.030中 D = 12。31，故sin d 一 -0.2167 cos d =0.9762由式（136）、（137）、（13 8）及以上數(shù)據(jù)，計(jì)算 K、D截面的內(nèi)力:179.2 父 7.5 -1M0X 7.52 l-312.4><3.75 = 110KN2Qk =qK cos，- H sin，= 179.2 -10 7.5 0.9487 -3

43、12.4 0.3162 = 0.07 KNNk =QK° sin CPK +Hcos（PK= （179.2 10X 7.5） X 0.3162+312.4X 0.9487=329.5KN同樣地得Md =M； - Hyp=170.8 X 10-312.4 X 4.44=319KN m因?yàn)榻孛鍰恰位于集中力作用點(diǎn)，所以計(jì)算該截面的剪力和軸力時(shí)，應(yīng)該分別計(jì)算該 截面稍左和稍右兩個(gè)截面白剪力和軸力值，即qD QD?和ND、Nd oQd = (Qd 0 cos% - H sin 中D=(200 170.8) X 0.9762-312.4X ( 0.2167) =96.3KNQd =(Q： 0cos平d Hsin中d= 170.8X0.9762 312.4X ( 0.2167) = - 99KN左 左。 X2Nd = Qd sin D H cos D=29.2 X ( 0.2167) +3123.4 X 0.9762=302.2KN右一右0個(gè)一Nd = Qd sin D H cos D=37.0+308.5=345.5KN、三較拱的合理拱軸線在上述三較拱內(nèi)力計(jì)算公式中， 可以看出，當(dāng)荷載一定時(shí)確定三較拱內(nèi)力的重要因素為 拱軸線的形式。工程中，為了充分利用磚石等脆性材料的特性（即抗壓