高中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)完全手冊

1、高中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)系統(tǒng)導(dǎo)記（學(xué)生可根據(jù)自己的實(shí)際，選擇記憶，突出重點(diǎn)和針對性）一、集合與簡易邏輯1元素與集合的關(guān)系：。2集合的元素具有：確定性、無序性、互異性。如若，則。3集合常用的表示方法：列舉法、描述法、圖示法。其中要特別注意用描述法表示的集合，要弄清楚集合元素的屬性，如若A=橢圓，B=直線，則，又若，則可能有0個(gè)或1個(gè)或2個(gè)元素，再如，,表示函數(shù)的定義域，表示函數(shù)的值域，表示函數(shù)圖象上的點(diǎn)集。注意：若，則。4常見數(shù)集：R表示實(shí)數(shù)集；N表示自然數(shù)集；表示正整數(shù)集；Q表示有理數(shù)集；Z表示整數(shù)集。5空集是任何集合的子集，記作：，空集是任何非空集合的真子集；記作：，任何一個(gè)集合是它本身的子集，記作

2、：。6包含關(guān)系：（為全集）。注意：當(dāng)或時(shí)，要注意考慮與的情況。7要證明集合A=B，則須證明：。8集合的子集個(gè)數(shù)共有個(gè)；真子集有個(gè)；非空子集有個(gè)；非空的真子集有個(gè)。9判斷命題的真假要以真值表（與非：真假相對；：一真必真；：一假必假）為依據(jù)。原命題與其逆否命題是等價(jià)命題，逆命題與其否命題是等價(jià)命題，當(dāng)一個(gè)命題的真假不易判斷時(shí)，可考慮判斷其等價(jià)命題的真假。10命題的否定：條件不變，否定結(jié)論。否命題：條件與結(jié)論均否定。其中常見的否定詞有：詞語是一定都是大于小于且任意至多1個(gè)唯一詞語的否定不是不一定不都是小于或等于大于或等于或存在至少兩個(gè)不唯一11.若，那么我們說，是的充分條件，是的必要條件。（或的必要

3、條件是，的充分條件是。）12.判斷命題充要條件的三種方法：（1）定義法：。（2）利用集合間的包含關(guān)系判斷，若，則A是B的充分條件或B是A的必要條件；若A=B，則A是B的充要條件。（3）等價(jià)法：即利用等價(jià)關(guān)系判斷，對于條件或結(jié)論是不等關(guān)系（或否定式）的命題，一般運(yùn)用等價(jià)法。二、函數(shù)1. 以為自變量的函數(shù)是集合A到集合B的一種對應(yīng)，其中A和B都是非空的數(shù)集，對于A中的每一個(gè)，B中都有唯一確定的和它對應(yīng)。自變量取值的集合A就是函數(shù)的定義域，和對應(yīng)的的值就是函數(shù)值，函數(shù)值的集合C就是函數(shù)的值域()。 注：集合中有個(gè)元素，集合B中有個(gè)元素，則到的映射有個(gè)，而到 的映射有個(gè)。2. 求函數(shù)定義域需要考慮:分

4、母、根號(hào)、零次冪的底、對數(shù)的真數(shù)、對數(shù)與指數(shù)的底、正余切及復(fù)合函數(shù)求定義域的兩種類型。求函數(shù)值域的方法要掌握：配方法，觀察法，換元法（整體換元、三角換元），單調(diào)性法，反函數(shù)法，判別式法，三角函數(shù)的有界性，基本不等式法，利用兩點(diǎn)間的距離公式法。定義域及值域都必須寫成集合的形式。3. 若有反函數(shù)，則是的反函數(shù)。反函數(shù)的定義域、值域分別是函數(shù)的值域、定義域。函數(shù)和它的反函數(shù)的圖象關(guān)于對稱。（若,則即若點(diǎn)在的圖象上，則點(diǎn)必在反函數(shù)的圖象上）注意：是的反函數(shù)嗎？（不是，和互為反函數(shù)。）與它的反函數(shù)的交點(diǎn)必在直線上嗎？（若為增函數(shù)則一定，否則無法判斷）如函數(shù)與的交點(diǎn)為，交點(diǎn)不在直線上。4. 設(shè)那么上是增函

5、數(shù)；上是減函數(shù)。設(shè)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果，則為增函數(shù)；如果，則為減函數(shù)。5. 定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱是具有奇偶性的必要不充分條件。（奇偶性的兩個(gè)條件：一是定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱（奇偶都要），二是滿足奇偶性條件，偶函數(shù)：，奇函數(shù)：）。例如：是奇函數(shù)，是非奇非偶。（定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱）。奇函數(shù)特有性質(zhì)：若的定義域，則一定有（不在函數(shù)的定義域內(nèi)，則無此性質(zhì)）。注意：奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對稱，偶函數(shù)關(guān)于軸對稱；奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間單調(diào)性相同，偶函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間單調(diào)性相反，簡稱：奇同偶反。6. 函數(shù)的圖象的對稱性(1)函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱。(2)函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱。(3)函數(shù)滿足，則的圖象關(guān)于直線

6、對稱。(4)若函數(shù)對定義域中任意均有，則函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對稱圖形。7. 兩個(gè)函數(shù)圖象的對稱性（1）函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于直線軸對稱。（2）函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于直線軸對稱。（3）函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱。（4）函數(shù)和的圖象關(guān)于直線對稱。（5）函數(shù)和的圖象關(guān)于直線對稱。（6）函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱。注意對比：函數(shù)滿足，則的圖象關(guān)于直線對稱。（7）函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱。8. 曲線圖象的對稱問題：（1）曲線關(guān)于直線對稱曲線為：。（2）曲線關(guān)于直線對稱曲線為：。（3）曲線關(guān)于直線對稱曲線為：。（4）曲線關(guān)于點(diǎn)對稱曲線為：。9. 若將函數(shù)的圖象右移、上移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象；若將曲

7、線的圖象右移、上移個(gè)單位，得到曲線的圖象。即：函數(shù)的圖象按平移后的圖象的表達(dá)式是：；曲線按平移后的曲線的關(guān)系式是：。10.分?jǐn)?shù)指數(shù)冪（，且）。（，且）。11.指數(shù)式與對數(shù)式的關(guān)系是：12.對數(shù)的換底公式:。推論，。13.指數(shù)運(yùn)算性質(zhì)：； ；對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)：； ； ，。 。14.指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)圖象XYO11YXO性質(zhì)(1)定義域：R(2)值域：(3)過定點(diǎn)：即當(dāng)時(shí),.(4)當(dāng)時(shí)，在R上是:單調(diào)遞增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，在R上是：單調(diào)遞減函數(shù)。(1)定義域：(2)值域：R(3)過定點(diǎn)：即當(dāng)1時(shí)，0(4)當(dāng)時(shí)，在(0，+)上是：單調(diào)遞增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，在(O，+)上是：單調(diào)遞減函數(shù)。15.二次函

8、數(shù)的解析式的三種形式一般式：頂點(diǎn)式：兩根式（也稱零點(diǎn)式）：16.幾個(gè)函數(shù)的周期(約定)：（1），則的周期。（2）或，或,或,則的周期。（3） ，則的周期。（4）若是偶函數(shù)，其圖像又關(guān)于直線對稱，則是周期為的周期函數(shù)。（5）若)奇函數(shù)，其圖像又關(guān)于直線對稱，則是周期為的周期函數(shù)。（6）若的圖象關(guān)于直線,對稱，則函數(shù)是周期為的周期函數(shù)。（7）若的圖象關(guān)于對稱，同時(shí)關(guān)于點(diǎn)對稱，（），則函數(shù)是周期為。（8）若的圖象關(guān)于對稱，同時(shí)關(guān)于點(diǎn)對稱，（），則函數(shù)是周期為。17.設(shè)函數(shù),記，則有：（1）若的定義域?yàn)?則，且。（2）若的值域?yàn)?則，且。注意：對函數(shù)的定義域或值域?yàn)榈膯栴}，要注意考慮的情況。18.平均

9、增長率的問題：如果原來產(chǎn)值的基礎(chǔ)數(shù)為N，平均增長率為，則對于時(shí)間的總產(chǎn)值，有。19.你知道函數(shù)的單調(diào)區(qū)間嗎？（該函數(shù)在或上單調(diào)遞增；在或上單調(diào)遞減）這可是一個(gè)應(yīng)用廣泛的函數(shù)！20.處理二次函數(shù)的問題勿忘數(shù)形結(jié)合；二次函數(shù)在閉區(qū)間上必有最值，求最值問題用“兩看法”：一看開口方向；二看對稱軸與所給區(qū)間的相對位置關(guān)系。21. 解恒成立問題常用方法：分離參數(shù)法；數(shù)形結(jié)合法；交換主元法。你能清楚何時(shí)用何種方法嗎？常見題型：若在上恒成立，則；若在上恒成立，則。若在上有解，則；若在上無解，則。（注：為常數(shù)。）在上恒成立，是對于任意的，必須大于嗎？應(yīng)該怎樣解？（不是。通常移項(xiàng)，使即可；若的最值無法求出，則考慮

10、數(shù)形結(jié)合，只需在上的圖像始終在的上方即可。）三、數(shù)列1. 通項(xiàng)與前項(xiàng)和的關(guān)系，后檢驗(yàn)?zāi)芊窈铣梢粋€(gè)關(guān)系式。2. 由求最大項(xiàng)；由求最小項(xiàng)。3. 兩個(gè)基本變換：4. 證明數(shù)列是等差數(shù)列的方法：定義法：或中項(xiàng)法：5. 等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：，變形6. 三數(shù)成等差數(shù)列，可設(shè)為：；四數(shù)成等差數(shù)列，可設(shè)為：7. 前n項(xiàng)和公式：8. 在等差數(shù)列中,有關(guān)的最值問題常用鄰項(xiàng)變號(hào)法求解：(1)當(dāng),d<0時(shí)，滿足的項(xiàng)數(shù)m使得取最大值。(2)當(dāng),d>0時(shí)，滿足的項(xiàng)數(shù)m使得取最小值。9. 等差數(shù)列的性質(zhì)：若，則，特別，則。也成等差數(shù)列，且公差為：。設(shè)是數(shù)列的前n項(xiàng)和，為等差數(shù)列的充要條件是（為常數(shù)）其公差是。若

11、都是等差數(shù)列，前項(xiàng)和分別為，且，則，；（注：，其中為非0常數(shù)。）注意：形如的類型，數(shù)列從第二項(xiàng)起成等差數(shù)列。即通項(xiàng)為：。10.證明數(shù)列是等比數(shù)列的方法：定義法：或；中項(xiàng)法：。11.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式：，變形。12.三數(shù)成等比數(shù)列，可設(shè)為：，；四數(shù)成等比數(shù)列，可設(shè)為：，。13.前n項(xiàng)和公式：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，14.等比數(shù)列的性質(zhì)：若，則，特別，則；也成等比數(shù)列，且公比為：。15.若，其中是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，求的前n項(xiàng)的和，用錯(cuò)位相減法求和。16.常用的求和方法有:倒序相加求和；錯(cuò)位相減求和；分組求和；裂項(xiàng)求和。17.常用裂項(xiàng)公式：； ； 18.由數(shù)列的遞推公式求通項(xiàng)的類型： （1） （2） （3）

12、（） （4） （5） （6） （7） （8） （9） （10） （11）前項(xiàng)和與之間的等式關(guān)系求通項(xiàng)類型：如 ；。這種類型通常利用關(guān)系()來進(jìn)行轉(zhuǎn)換，后由已知類型求解通項(xiàng)。 有些類型要注意考慮用數(shù)學(xué)歸納法。如：。19.常用的求和公式：四、三角函數(shù)1. 三角函數(shù)符號(hào)規(guī)律記憶口訣：一全正，二正弦，三是切，四余弦。2. 弧度制:；弧長公式:,其中為圓心角的弧度數(shù)；扇形的面積公式:；1弧度=，弧度。3. 公式:公式組二：公式組三： 公式組四：公式組五： 公式組六：其中誘導(dǎo)公式記憶方法：奇變偶不變，符號(hào)看象限。其中奇是指的系數(shù)為奇數(shù)，偶是指的系數(shù)為偶數(shù)，變是指：正弦與余弦互變，正切與余切互變。看符號(hào)時(shí)是

13、指對原三角函數(shù)進(jìn)行判斷，并且要將視為銳角。如：，。4. 兩角和與差的三角函數(shù)：； ； ； (平方正弦公式)；。=(輔助角所在象限由點(diǎn)的象限決定,)，常見：，；。5. 二倍角公式： 變形： 6. 一種類型：正余弦的齊次式轉(zhuǎn)化為正切值求解，如；等。7. 掌握角的演變：，等。8. 三角形中的三角變換(1)角的變換：因?yàn)樵谥?，所以；。；。?）在非直角中，。(3) 在中，熟記并會(huì)證明：成等差數(shù)列的充分必要條件是；是正三角形的充分必要條件是成等差數(shù)列且成等比數(shù)列。9. 常用結(jié)論：(1)若，則 (2) 在上是減函數(shù) 角度01010-10不存在010.三角函數(shù)圖象的五點(diǎn)作圖法：如正弦：；，余弦：；這五點(diǎn)是函

14、數(shù)圖象在一個(gè)周期內(nèi)的最高點(diǎn)、最低點(diǎn)與平衡點(diǎn)。注意：你會(huì)用五點(diǎn)作圖法畫的草圖嗎？哪五點(diǎn)？你會(huì)根據(jù)圖象求參數(shù)、 的值嗎？11.三角函數(shù)圖象及性質(zhì)函數(shù)正弦函數(shù)余弦函數(shù)正切函數(shù)圖象定義域RR值域R周期性奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)對稱中心（）即正弦值為0的點(diǎn)（）即余弦值為0的點(diǎn)（）對稱軸（）（）無單調(diào)性區(qū)間：，（）是增區(qū)間；區(qū)間：，（）是減區(qū)間；區(qū)間：，（）是增區(qū)間；區(qū)間：，（）是減區(qū)間；區(qū)間：（）是增區(qū)間12.三角函數(shù)的周期問題：函數(shù)、，（且A,為常數(shù)，且A、h0）的周期。函數(shù)，（）(A, 為常數(shù)，且A0)的周期。函數(shù)、的周期。不是周期函數(shù)；為周期函數(shù)（）；是周期函數(shù)；為周期函數(shù)（）；的周期為，并非所有

15、周期函數(shù)都有最小正周期，例如：。13.函數(shù)圖象的變換：振幅變換： 橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)伸長（或縮短）為原來的A倍 周期變換： 縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長（或縮短）為原來的倍 相位變換： 向左（或向右）平移個(gè)單位 平移變換： 向上（或向下）平移個(gè)單位 （其中為正數(shù)）14反三角函數(shù)反正弦函數(shù)是奇函數(shù)，故，（一定要注明定義域，若，沒有與一一對應(yīng)，故無反函數(shù)）注：，。反余弦函數(shù)非奇非偶，但有，。注：，；是偶函數(shù)，非奇非偶，而和為奇函數(shù)。反正切函數(shù)：，定義域，值域（），是奇函數(shù)，。注：，五、平面向量1. 基本概念:向量,向量長度,零向量,單位向量(其中),與非零向量方向相同的單位向量為:(若反向,則為)2.

16、平行向量(也稱共線向量):方向相同或相反的非零向量。規(guī)定與任一向量平行。注意：平行向量只與方向有關(guān)，而與起點(diǎn)、終點(diǎn)無關(guān)。3相等向量：方向相同且模相等，如，4向量運(yùn)算(1)加法運(yùn)算：加法法則如圖：三角形法則與平行四邊形法則坐標(biāo)運(yùn)算：，則特別：，等。(2)減法運(yùn)算減法法則(如圖)：三角形法則坐標(biāo)運(yùn)算：，則特別：，又若A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(，)，(，)，則。(3)實(shí)數(shù)與向量的積：定義：，其中，當(dāng)>0時(shí)，與同向，當(dāng)<0時(shí)， 與反向，當(dāng)，坐標(biāo)運(yùn)算：若，則。(4)平面向量的數(shù)量積：定義：(為向量的夾角（有時(shí)也記）且0)，規(guī)定：運(yùn)算律：，不滿足結(jié)合律：（只有特殊的時(shí)候才相等）坐標(biāo)運(yùn)算：若，則變

17、形：（用于求向量的夾角）5重要定理、公式向量與非零向量共線的充要條件是有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)，使得即；坐標(biāo)形式：若，則；平面向量基本定理：若是不共線的非零向量，對任一向量，存在唯一實(shí)數(shù)，使得：；應(yīng)用：若，則且；兩個(gè)非零向量垂直的充要條件：；坐標(biāo)形式：若，則；線段的定比分點(diǎn)公式：設(shè)，是線段的分點(diǎn),是實(shí)數(shù)，且，則中點(diǎn)坐標(biāo)公式：。6如果點(diǎn)，按向量，平移到，則或7在上的投影：（注意：這一結(jié)論常用在立幾中求“點(diǎn)到面的距離；或異面直線間的距離等距離”問題上。）8常見結(jié)論：點(diǎn)共線，且；三角形中“心”向量形式的充要條件設(shè)為所在平面上一點(diǎn)，角所對邊長分別為，則（1）為的外心；（2）為的重心；（3）為的垂心；三角形的重

18、心坐標(biāo)公式ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、,則ABC的重心的坐標(biāo)是；在中，。8三角形的面積公式：（1）（分別表示邊上的高）；（2）。9. 正弦定理，變形，其中為三角形外接圓的半徑。10.余弦定理：;；，變形：；。11已知時(shí)三角形解的個(gè)數(shù)的判定：其中A為銳角時(shí)：時(shí)，無解；時(shí)，一解（直角）；時(shí)，兩解（一銳角，一鈍角）；時(shí)，一解（一銳角）。AbaChA為直角或鈍角時(shí)：時(shí)，無解；時(shí)，一解（銳角）。另附：三角形的五個(gè)“心”；重心：三角形三條中線的交點(diǎn)；外心：三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)；內(nèi)心：三角形三個(gè)內(nèi)角的平分線的交點(diǎn)；垂心：三角形三邊上的高的交點(diǎn)；旁心：三角形一內(nèi)角的平分線與兩條外角平分線的交點(diǎn)。12三角

19、形四心：重心、內(nèi)心、垂心、外心問題若，則動(dòng)點(diǎn)P過三角形的重心；若，則動(dòng)點(diǎn)P過三角形的內(nèi)心；若，則動(dòng)點(diǎn)P過三角形的垂心；若，則動(dòng)點(diǎn)P過三角形的外心。13判斷三角形的形狀：ABC的內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為，設(shè)最大邊為則有下列結(jié)論：ABC為直角ABC為鈍角ABC為銳角 六、不等式1不等式的性質(zhì)：； ； ； ； (6)。注意一個(gè)等式的性質(zhì):。2比較大?。海?）作差比較的步聚：作差變形（因式分解）定號(hào)。（2）作商比較的步驟：作商變形定值（與1比大?。┐朔ㄒ⒁猓阂容^的兩個(gè)數(shù)都為正數(shù)。3幾個(gè)重要不等式：（1）基本不等式：（當(dāng)時(shí)，）（當(dāng)時(shí)取等號(hào)）使用均值不等式求最值時(shí)要注意：一正二定三相等。（2）基本

20、不等式應(yīng)用的一種類型：若，求的最小值。先把處理成后用均值求最小值即可，注意寫明等號(hào)成立的條件。（3）絕對值不等式：。（注意等號(hào)成立的條件）4證明不等式的常用方法：（1）比較法；（2）綜合法：執(zhí)因索果；（3）分析法：執(zhí)果索因；（4）反證法：當(dāng)命題以否定的形式出現(xiàn)時(shí)，考慮用此法。注：除以上方法外，還有放縮法、構(gòu)造函數(shù)法、數(shù)學(xué)歸納法（與自然數(shù)有關(guān)的不等式）、判別式法。5不等式的解法：（1）一元一次不等式：（2）一元二次不等式：設(shè)是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)根，且根的判別式=的解集的解集注：1.最好把一元二次方程、一元二次函數(shù)的圖象、一元二次不等式結(jié)合起來思考；2.當(dāng)時(shí)，則應(yīng)先把最高次項(xiàng)的系數(shù)化為正，再用以

21、上結(jié)論。（3）簡單的一元高次不等式的解法：一元高次不等式，用數(shù)軸標(biāo)根法（或稱區(qū)間法、穿根法）求解，其步驟是：將的最高次項(xiàng)的系數(shù)化為正數(shù)；將分解為若干個(gè)一次因式或二次不可分因式之積；將每一個(gè)一次因式的根標(biāo)在數(shù)軸上，從右上方一次通過每一點(diǎn)畫曲線（奇次根依次穿過，偶次根穿而不過）。根據(jù)曲線呈現(xiàn)出的值的符號(hào)變化規(guī)律，寫出不等式的解集。（4）分式不等式的解法：思想方法：轉(zhuǎn)化為整式不等式求解。；（5）無理不等式：；（6）指數(shù)不等式與對數(shù)不等式當(dāng)時(shí), 當(dāng)時(shí), （7）絕對值不等式： （注意原不等式的取值范圍）含有兩個(gè)或兩個(gè)以上絕對值符號(hào)的不等式可用劃區(qū)間法（也稱零點(diǎn)討論法）（8）含參不等式需要掌握三種類型：二

22、次項(xiàng)系數(shù)含參；根含參；判別式含參。解決含參不等式的方法：分類討論法步驟：首先確定含參的類型：是一種還是兩種混合；其次找出分界點(diǎn)：如二次項(xiàng)系數(shù)等于0的參數(shù)值、根相等的參數(shù)值、判別式等于0的參數(shù)值；第三將分界點(diǎn)標(biāo)在數(shù)軸上，最后，對參數(shù)進(jìn)行分類，討論原不等式的解。注意每個(gè)分界點(diǎn)都要單獨(dú)作為一類。同時(shí)應(yīng)注意題目條件對參數(shù)有無限制。七、直線和圓的方程1直線的傾斜角范圍是：，斜率的定義式是:其中，當(dāng)傾斜角為時(shí)，斜率不存在。2經(jīng)過兩點(diǎn)的直線的斜率公式為：3直線的方向向量：當(dāng)斜率存在時(shí)，直線的一個(gè)方向向量為：；當(dāng)斜率不存在時(shí)，直線的一個(gè)方向向量為：（0，1）；若知道一條直線的方向向量為，則直線的斜率4. 直線

23、方程的五種形式：點(diǎn)斜式： 斜截式：截距式： 兩點(diǎn)式：一般式：，（A，B不全為0）（直線的方向向量：（，法向量（）注意：各種形式的使用條件。5. 兩直線的位置關(guān)系：設(shè)直線：=+，直線：=+，則/ 若兩直線的位置關(guān)系可由系數(shù)來確定：/ 又若直線，（不重合）的方向向量分別為，則：/；6到角與夾角：直線的斜率存在，分別為、,且則到的角，有關(guān)系式:；與的夾角，有關(guān)系式：。7. 距離：（1）點(diǎn)到直線的距離：；（2）兩條平行線與的距離是注意：在（2）中應(yīng)用公式求距離時(shí)，要求的系數(shù)都相同。8. 對稱問題：關(guān)于點(diǎn)、線的對稱問題利用中點(diǎn)與直線的斜率關(guān)系進(jìn)行解題。9. 直線系：直線方程平行直線系垂直直線系相交直線系

24、（是指過直線與交點(diǎn)的直線系方程，其中，直線系方程中不包含直線） 10簡單的線性規(guī)劃：（1）在平面直角坐標(biāo)系中，二元一次不等式表示在直線的某一側(cè)的平面區(qū)域。常用的判斷方法是將一個(gè)特殊點(diǎn)如（0，0）或（0，1）的坐標(biāo)代入不等式，若成立則表示該點(diǎn)所在一側(cè)的平面區(qū)域；若不成立，則表示該點(diǎn)所在區(qū)域另一側(cè)的平面區(qū)域。（2）求解線性規(guī)劃問題的步驟是：列約束條件；作可行域，寫目標(biāo)函數(shù)；確定目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解。注意：作圖時(shí)，留意直線的橫縱截距與直線間的斜率大小關(guān)系。11圓的方程：（1）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（2）圓的一般方程：(0)（3）圓的參數(shù)方程：（4）圓的直徑式方程：(圓的直徑的端點(diǎn)是、)12.點(diǎn)、直線與圓的位置關(guān)

25、系：（主要掌握幾何法）點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：（表示點(diǎn)到圓心的距離）點(diǎn)在圓上；點(diǎn)在圓內(nèi)；點(diǎn)在圓外。直線與圓的位置關(guān)系：（表示圓心到直線的距離）相切；相交；相離。圓與圓的位置關(guān)系：（表示圓心距，表示兩圓半徑，且）相離；外切；相交；內(nèi)切；內(nèi)含。注意：其中直線與圓的位置關(guān)系也可以用代數(shù)法。聯(lián)立方程得到一個(gè)一元二次方程，利用判別式進(jìn)行確定根的個(gè)數(shù)，也就可以得到直線與圓是相交、相切還是相離了。13.若兩圓的方程為：與，若兩圓相交，則兩圓方程的差得到公共弦所在的直線方程；若兩圓相切，則兩圓方程的差得到一條公切線所在的直線方程。14.求曲線方程的一般步驟簡記:建系、找關(guān)系式、關(guān)系式坐標(biāo)化、化簡、證明，這幾個(gè)步驟中

26、，在具體求解時(shí)常常省略證明，但要注明、的取值范圍。八、圓錐曲線1橢圓方程：（1）橢圓方程的第一定義： ：點(diǎn)P的軌跡為橢圓。 ：不存在這樣的點(diǎn)P。：點(diǎn)P的軌跡是以為端點(diǎn)的線段。（2）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：i.中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上：。ii.中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上：；一般方程：；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：的參數(shù)方程為 （若，則應(yīng)限定為：）。（3）橢圓的性質(zhì)：頂點(diǎn)：、或、；軸： 軸、軸為對稱軸；長軸長，短軸長；焦點(diǎn)：、或、；焦距：；準(zhǔn)線：或；離心率：；焦半徑：i.設(shè)為橢圓上的一點(diǎn)，為左、右焦點(diǎn)，則由橢圓方程的第二定義可以推出；ii.設(shè)為橢圓上的一點(diǎn)，為上、下焦點(diǎn)，則由橢圓方程的第二定義可以推出：。注意：橢圓參數(shù)方程

27、的推導(dǎo)：得方程的軌跡為橢圓。（4）共離心率的橢圓系方程：橢圓的離心率是，方程是大于0的參數(shù)，的離心率也是，我們稱此方程為共離心率的橢圓系方程。（5）若P是橢圓：上的點(diǎn).為焦點(diǎn)，若，則的面積為（用余弦定理與可得）。2雙曲線方程：（1）雙曲線的第一定義：點(diǎn)P的軌跡為雙曲線（若無絕對值，只表示一支）。 ：不存在這樣的點(diǎn)P。：點(diǎn)P的軌跡是以為端點(diǎn)的兩條射線。（2）雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程：。一般方程：。（3）i.焦點(diǎn)在軸上：頂點(diǎn)：、；焦點(diǎn)：、；準(zhǔn)線方程；漸近線方程：或。ii.焦點(diǎn)在軸上：頂點(diǎn)：、；焦點(diǎn)：、；準(zhǔn)線方程：；漸近線方程：或；參數(shù)方程：或。軸：為對稱軸，實(shí)軸長為,虛軸長為，焦距。離心率。準(zhǔn)線距（兩準(zhǔn)線的

28、距離）；通徑長為：。參數(shù)關(guān)系：。焦半徑公式：對于雙曲線方程（分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)或分別為雙曲線的上下焦點(diǎn)）。右支上的點(diǎn)： 構(gòu)成滿足左支上的點(diǎn)： 構(gòu)成滿足焦點(diǎn)在軸上：（4）等軸雙曲線：雙曲線稱為等軸雙曲線，其漸近線方程為，離心率。（5）共軛雙曲線：以已知雙曲線的虛軸為實(shí)軸，實(shí)軸為虛軸的雙曲線，叫做已知雙曲線的共軛雙曲線.與互為共軛雙曲線，它們具有共同的漸近線：即。（6）共漸近線的雙曲線系方程：；漸近線方程為即；如果雙曲線的漸近線為時(shí)，它的雙曲線方程可設(shè)為。例如：若雙曲線一條漸近線為且過，求雙曲線的方程？解：令雙曲線的方程為：，代入得（7）直線與雙曲線的位置關(guān)系：區(qū)域：無切線，2條與漸近線平行

29、的直線，合計(jì)2條；區(qū)域：即定點(diǎn)在雙曲線上，1條切線，2條與漸近線平行的直線，合計(jì)3條；區(qū)域：2條切線，2條與漸近線平行的直線，合計(jì)4條；區(qū)域：即定點(diǎn)在漸近線上且非原點(diǎn)，1條切線，1條與漸近線平行的直線，合計(jì)2條；區(qū)域：即過原點(diǎn)，無切線，無與漸近線平行的直線。小結(jié)：過定點(diǎn)作直線與雙曲線有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，可以作出的直線數(shù)目可能有0、2、3、4條。（8）若P在雙曲線，則點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離分別為、，則P到兩準(zhǔn)線的距離比為，簡證：=。常用結(jié)論：1.雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)到一條漸近線的距離等于；2焦點(diǎn)三角形有結(jié)論：的面積為。3拋物線方程：設(shè)，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、類型及其幾何性質(zhì)：圖形焦點(diǎn)準(zhǔn)線范圍對稱軸軸軸頂點(diǎn)（0，

30、0）離心率焦半徑注：頂點(diǎn)；通徑為，這是過焦點(diǎn)的所有弦中最短的弦；（或）的參數(shù)方程為（或）（為參數(shù)）。4圓錐曲線的統(tǒng)一定義：平面內(nèi)到定點(diǎn)F和定直線的距離之比為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡（定點(diǎn)不能落在定直線上）當(dāng)時(shí)，軌跡為橢圓； 當(dāng)時(shí)，軌跡為拋物線；當(dāng)時(shí)，軌跡為雙曲線； 當(dāng)時(shí)，軌跡為圓（，當(dāng)時(shí)）。5. 一些常用結(jié)論:(1)弦長公式：。(2)（）焦點(diǎn)弦長：橢圓：；拋物線：；（）通徑（最短弦）：橢圓、雙曲線：；拋物線：。過兩點(diǎn)的橢圓、雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程可設(shè)為：（同時(shí)大于0且不相等時(shí)表示橢圓，時(shí)表示雙曲線）。橢圓中的結(jié)論： 內(nèi)接矩形最大面積：； P，Q為橢圓上任意兩點(diǎn)，且OP0Q，則； 橢圓焦點(diǎn)三角形：若點(diǎn)是內(nèi)心，交于

31、點(diǎn)，則； 當(dāng)點(diǎn)與橢圓短軸頂點(diǎn)重合時(shí)最大。雙曲線焦點(diǎn)三角形：P是雙曲線 ()的左（右）支上一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2分別為左、右焦點(diǎn)，則的內(nèi)切圓的圓心橫坐標(biāo)為。（6）拋物線中的結(jié)論：拋物線的焦點(diǎn)弦AB性質(zhì)：<>；<>；<>以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切；<>以AF（或BF）為直徑的圓與軸相切；<>。拋物線內(nèi)接直角三角形OAB（）的性質(zhì)：<>；<>恒過定點(diǎn)；<>中點(diǎn)軌跡方程：；<>，則軌跡方程為：；<>。拋物線，對稱軸上一定點(diǎn)，則：<>當(dāng)時(shí)，頂點(diǎn)到點(diǎn)A距離最小，最小值為；<&

32、gt;當(dāng)時(shí)，拋物線上有關(guān)于軸對稱的兩點(diǎn)到點(diǎn)A距離最小，最小值為。6直線與圓錐曲線問題解法：直接法（通法）：聯(lián)立直線與圓錐曲線方程，得到一元二次方程求解。注意以下問題： 聯(lián)立的關(guān)于“”還是關(guān)于“”的一元二次方程？ 直線斜率不存在時(shí)考慮了嗎？ 判別式驗(yàn)證了嗎？設(shè)而不求（代點(diǎn)相減法）：-處理弦中點(diǎn)問題步驟如下：設(shè)點(diǎn)、；作差得；解決問題。7求軌跡的常用方法：（1）定義法：利用各種曲線的定義（如圓錐曲線的定義、圓的定義、線段垂直平分線的定義與角平分線的定義等）； （2）直接法（列等式）； （3）代入法（相關(guān)點(diǎn)法或轉(zhuǎn)移法）；（4）待定系數(shù)法； （5）參數(shù)法；（6）交軌法。8求點(diǎn)的軌跡與求點(diǎn)的軌跡方程的區(qū)別

33、： 求點(diǎn)的軌跡方程：只需求出相應(yīng)的方程，給出、的取值范圍即可。 求點(diǎn)的軌跡：不僅要求出相應(yīng)的方程，給出、的取值范圍，并且要指明方程表示什么樣的曲線。9幾道典型題：（1）雙曲線上的點(diǎn)到一焦點(diǎn)的距離為12，則到另一焦點(diǎn)的距離為 6或18 ；若到一焦點(diǎn)的距離為4，則到另一焦點(diǎn)的距離為10；若到一焦點(diǎn)的距離為7，則到另一焦點(diǎn)的距離為13。（提示：焦半徑要與做比較）（2）過雙曲線的右焦點(diǎn)作直線交雙曲線于兩點(diǎn)，若，則這樣的直線共有_條；若，則共有_條；若，則共有_條；若，則共有_條。（提示：與及通徑比較）（3）已知、，在雙曲線上求一點(diǎn)，使最小。（4）已知橢圓，為右焦點(diǎn)，定點(diǎn)， 為橢圓上一點(diǎn)，求的坐標(biāo)，使最

34、??；求的最大值，最小值。（5）已知、，在拋物線上求一點(diǎn)，使最小。九、立體幾何1. 平面的基本性質(zhì)公理1:如果一條直線的兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上的所有點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)。符號(hào)語言表述為:。公理2:如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們還有其他公共點(diǎn)。這些公共點(diǎn)的集合是一條直線。符號(hào)語言表述為:。公理3:經(jīng)過不在一條直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)平面。推論:一條直線和直線外一點(diǎn)、兩條相交直線、兩條平行直線都可分別確定一個(gè)平面。2平行(1)直線平行關(guān)系的傳遞性:平行于同一條直線的兩條直線平行(公理4)。符號(hào)語言表述為: 圖形語言表述為:；定理:如果一個(gè)角的兩邊分別平行并且方向相同,那么這兩個(gè)角相等。符號(hào)語

35、言表述為: 圖形語言表述為:推論：如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成的銳角（或直角）相等。(2)直線和平面平行的判定定理和性質(zhì)定理判定定理:如果平面外一條直線和這個(gè)平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行。符號(hào)語言表述為: 圖形語言表述為:性質(zhì)定理:如果一條直線和一個(gè)平面平行,經(jīng)過這條直線的平面和這個(gè)平面相交,那么這條直線和交線平行。符號(hào)語言表述為: 圖形語言表述為:(3)平面與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理判定定理:如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線平行于另一平面，那么這兩個(gè)平面平行。符號(hào)語言表述為: 圖形語言表述為:推論:如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行于另一

36、平面內(nèi)的兩條直線,那么這兩個(gè)平面平行。符號(hào)語言表述為: 圖形語言表述為:性質(zhì)定理:如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行。符號(hào)語言表述為: 圖形語言表述為:符號(hào)語言表述為: 圖形語言表述為:3. 夾角、距離與垂直(1)兩條異面直線的夾角:過空間任一點(diǎn)作兩條直線分別和兩條異面直線平行，這兩條直線所成的銳角或直角就是兩條異面直線的夾角。夾角為直角時(shí)，稱兩條直線互相垂直。（其中）兩直線異面的判定：過平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的直線，和平面內(nèi)不經(jīng)過該點(diǎn)的直線是異面直線。符號(hào)語言表述為: 圖形語言表述為:直線與是異面直線(2)直線和平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理判定定理:如果一條直線和一個(gè)平

37、面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,那么這條直線和這個(gè)平面垂直。符號(hào)語言表述為: 圖形語言表述為:此外還有：，性質(zhì)定理:垂直于同一平面的兩條直線平行，垂直于同一條直線的的兩個(gè)平面平行。符號(hào)語言表述為: 圖形語言表述為: (3)三垂線定理及其逆定理三垂線定理（先垂射影后垂斜線）:在平面內(nèi)一條直線,如果和平面的一條斜線的射影垂直,那么它也和這條斜線垂直。符號(hào)語言表述為: 圖形語言表述為:三垂線定理的逆定理（先垂斜線后垂射影）:在平面內(nèi)一條直線,如果和平面的一條斜線垂直,那么它也和這條斜線的射影垂直。符號(hào)語言表述為: 圖形語言表述為:(4)直線和平面所成的角是直線和其在平面內(nèi)的射影的夾角。（其中）(5)以二面

38、角的棱上任意一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角（）。其中(6)垂線段和斜線段長定理：從平面外一點(diǎn)向這個(gè)平面所引的垂線段和斜線段中，射影相等的兩條斜線段相等，射影較長的斜線段較長；相等的斜線段的射影相等，較長的斜線段射影較長；垂線段比任何一條斜線段短。(7)最小角原理：斜線和平面所成的角，是這條斜線和這個(gè)平面內(nèi)經(jīng)過斜足的直線所成的一切角中最小的角。(8)平面和平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理兩個(gè)平面垂直的定義：兩個(gè)平面所成的二面角是時(shí),稱兩個(gè)平面互相垂直。兩個(gè)平面垂直的判定定理:如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線,那么兩個(gè)平面互相垂直。符號(hào)語言表述

39、為: 圖形語言表述為:兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)定理:如果兩個(gè)平面互相垂直,那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個(gè)平面。符號(hào)語言表述為: 圖形語言表述為:推論：如果兩個(gè)相交平面都垂直于第三平面，則它們交線垂直于第三平面。符號(hào)語言表述為: 圖形語言表述為:(8)距離:本章主要介紹了點(diǎn)到平面，直線和平面，平面和平面，兩條異面直線的距離。求距離主要運(yùn)用向量的數(shù)量積運(yùn)算、正弦定理和余弦定理(勾股定理)。另附：求角：（步驟-：找或作角；：證；：計(jì)算）異面直線所成角的求法：平移法：平移直線，構(gòu)造三角形；補(bǔ)形法：補(bǔ)成正方體、平行六面體、長方體等，發(fā)現(xiàn)兩條異面直線間的關(guān)系。向量法，轉(zhuǎn)化為兩直線方向向量的夾角

40、。直線與平面所成的角：直接法（利用線面角定義）；先求斜線上的點(diǎn)到平面距離h，與斜線段長度作比，得sin。向量法，轉(zhuǎn)化為直線的方向向量與平面法向量的夾角。二面角的求法：定義法：在二面角的棱上取一點(diǎn)（特殊點(diǎn)），作出平面角，再求解；三垂線法：由一個(gè)半平面內(nèi)一點(diǎn)作（或找）另一個(gè)半平面的垂線，用三垂線定理或逆定理作出二面角的平面角，再求解；面積射影定理 (平面多邊形及其射影的面積分別是、，它們所在平面所成銳二面角的為)；向量法，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)半平面法向量的夾角。注：對于沒有給出棱的二面角，應(yīng)先作出棱，然后再選用上述方法；求距離：（步驟-.找或作垂線段；.求距離）兩異面直線間的距離：一般先作出公垂線段，再進(jìn)行

41、計(jì)算，或轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到面的距離，進(jìn)行求解。點(diǎn)到直線的距離：一般用三垂線定理作出垂線段，再求解。點(diǎn)到平面的距離。垂面法：借助面面垂直的性質(zhì)作垂線段（確定已知面的垂面是關(guān)鍵），再求解；等體積法；向量法：。球面距離：（步驟）（）求線段AB的長；（）求球心角AOB的弧度數(shù)（AB所在大圓的圓心角的弧度數(shù)）；（）求劣弧的長。4. 直觀圖的一種畫法：斜二測畫法在已知圖形中取互相垂直的軸和軸，兩軸交于點(diǎn)，畫直觀圖時(shí)，把它們畫成對應(yīng)的軸和軸，兩軸交于點(diǎn)，使，它們確定的平面表示水平平面；已知圖形中平行于軸或軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于軸或軸的線段；已知圖形中平行于軸的線段，在直觀圖中保持原長度不變；平行于軸的線

42、段，長度為原來的一半。5. 棱柱、棱錐與多面體(1)棱柱:按側(cè)棱和底面分類:斜棱柱(側(cè)棱與底面不垂直)和直棱柱(側(cè)棱與底面垂直) 正棱柱:底面是正多邊形的直棱柱。 特殊的四棱柱分類：四棱柱平行六面體直平行六面體長方體正四棱柱正方體。直四棱柱平行六面體=直平行六面體。 （2）棱錐：兩個(gè)基本性質(zhì)：有一個(gè)面是多邊形，其余各面是有一個(gè)公共點(diǎn)的三角形。正棱錐：底面是正多邊形，且頂點(diǎn)在底面的射影是底面正多邊形的中心。（3）表（側(cè)）面積與體積公式：柱體：表面積： 體積：錐體：表面積： 體積：（4）正多面體：正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體6. 球（1）用一個(gè)平面去截一個(gè)球，截面是圓面，球

43、的截面有以下性質(zhì)：球心和截面圓心的的連線垂直于截面；球心到截面的距離與球的半徑及截面的半徑有下面的關(guān)系：（2）緯度為的緯線圈所在的小圓半徑為：（為地球的半徑）。（3）兩點(diǎn)的球面距離：經(jīng)過兩點(diǎn)的大圓在這兩點(diǎn)間的一段劣弧的長度。（4）球的表面積公式：；球的體積公式：。7. 常用結(jié)論：（1）從一點(diǎn)O出發(fā)的三條射線OA、OB、OC，若AOB=AOC，則點(diǎn)A在平面BOC上的射影在BOC的平分線上；A（2）三余弦公式：（其中為平面內(nèi)一條直線與平面外一條直線所成的角，為直線與平面所成的角，為直線在平面的射影與直線所成的角。）（3）正四面體的性質(zhì)：設(shè)棱長為，則正四面體的：高：；球心把高分成3：1；內(nèi)切球半徑：

44、；外接球半徑：；（4）最小角定理的應(yīng)用已知兩異面直線所成的角為，過定點(diǎn)的直線與所成的角都是，當(dāng)或時(shí)，這樣的直線有1條；當(dāng)時(shí)，這樣的直線有2條；當(dāng)時(shí)，這樣的直線有3條；當(dāng)時(shí)，這樣的直線有4條。（注：如果沒說直線過定點(diǎn)，若存在1條，則存在無數(shù)條。）變形題：已知平面與所成的二面角為，P為、外一定點(diǎn)，過點(diǎn)P的一條直線與、所成的角都是，則這樣的直線有且僅有：4條。（5）三棱錐中，為點(diǎn)在面上的射影：若，則為的外心。若到三邊的距離相等，則為的內(nèi)心。 若與底面所成的線面角相等，則為的外心。若三側(cè)面與底面所成的二面角相等，則為的內(nèi)心。若兩兩垂直，則為的垂心。（6）球的組合體(1)球與長方體的組合體: 長方體的外

45、接球的直徑是長方體的體對角線長；(2)球與正方體的組合體:正方體的內(nèi)切球的直徑是正方體的棱長； 正方體的棱切球的直徑是正方體的面對角線長；正方體的外接球的直徑是正方體的體對角線長。（7）求多面體體積的常規(guī)方法是什么？（割補(bǔ)法、等積變換法）8空間向量相關(guān)知識(shí)點(diǎn)： （1）共線向量定理：對空間任意兩個(gè)向量的充要條件是存在實(shí)數(shù)，使（唯一）。（2）共面向量定理：如果兩個(gè)向量不共線，與向量共面的充要條件是存在實(shí)數(shù)使。（3）空間向量的夾角及其表示：已知兩非零向量，在空間任取一點(diǎn)，作，則叫做向量與的夾角，記作；且規(guī)定，顯然有；若，則稱與互相垂直，記作：；（4）證明平行方面的公式：線線平行、線面平行、面面平行

46、線線平行：或， 線面平行： 或，其中為平面的法向量 面面平行：，其中分別為平面的法向量（5）垂直：線線垂直、線面垂直、面面垂直 線線垂直： 線面垂直： 面面垂直：，其中分別為平面的法向量（6）角：線線角、線面角、面面角（角記為） 線線角：（） 線面角：（為直線AB的方向向量，為平面的法向量）（） 面面角：分別為平面的法向量，二面角的平面角 先計(jì)算，最后依據(jù)題目判斷二面角的平面角為銳角還是鈍角，若為銳角，則，；若為鈍角，則， 距離：點(diǎn)B到面的距離，其中為平面的法向量，則有：此外若，則。其它距離問題均可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)與面的距離進(jìn)行求解。十、排列、組合和二項(xiàng)式定理1分類計(jì)數(shù)原理（加法原理）。2. 分步計(jì)數(shù)

47、原理（乘法原理）。3排列數(shù)公式 = (，N*，且)。 當(dāng)時(shí)：，規(guī)定。4組合數(shù)公式 =(，且)。規(guī)定：5組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)(1) = ;(2) +=6排列與組合的共同點(diǎn)，就是“都要從個(gè)不同元素中，任取個(gè)元素”，而不同點(diǎn)就是排列“按照一定的順序排成一列”，而組合卻是“不論怎樣的順序并成一組?！币虼?，“有序”與“無序”是區(qū)別排列與組合的重要標(biāo)志。7排列數(shù)與組合數(shù)的關(guān)系是： 。8含有可重元素的排列問題：對含有相同元素求排列個(gè)數(shù)的方法是：設(shè)重集S有k個(gè)不同元素，其中限重復(fù)數(shù)為，且, 則S的排列個(gè)數(shù)等于。例如：已知數(shù)字3、2、2，求其排列個(gè)數(shù)又例如：數(shù)字5、5、5、求其排列個(gè)數(shù)？其排列個(gè)數(shù)。9幾個(gè)常用組合數(shù)

48、公式： 10. 常用的證明組合等式的方法:i. 裂項(xiàng)求和法。 如：（利用）ii. 導(dǎo)數(shù)法。 iii. 數(shù)學(xué)歸納法。 iv. 倒序求和法。v. 遞推法（即用遞推）。如：。vi. 構(gòu)造二項(xiàng)式法。 如： 。證明：這里構(gòu)造二項(xiàng)式其中的系數(shù)，左邊為，而右邊。11.排列、組合的綜合問題：I. 排列、組合問題幾大解題方法及題型：直接法。 排除法。捆綁法:相鄰問題。插空法：元素不相鄰問題。占位法：從元素的特殊性上講，對問題中的特殊元素應(yīng)優(yōu)先排列，然后再排其他一般元素；從位置的特殊性上講，對問題中的特殊位置應(yīng)優(yōu)先考慮，然后再排其他剩余位置。即采用“先特殊后一般”的解題原則。調(diào)序法：當(dāng)某些元素次序一定時(shí)，可用此法

49、.解題方法是：先將個(gè)元素進(jìn)行全排列有種，個(gè)元素的全排列有種，由于要求個(gè)元素次序一定，因此只能取其中的某一種排法，可以利用除法起到去調(diào)序的作用，即若個(gè)元素排成一列，其中個(gè)元素次序一定，共有種排列方法。平均法：若把個(gè)不同元素平均分成組，每組個(gè)，共有。隔板法：相同元素分給幾個(gè)不同的人,要求每人至少一個(gè)元素。定位問題：從個(gè)不同元素中每次取出個(gè)不同元素作排列，規(guī)定某個(gè)元素必須包含在內(nèi)，并且都排在某個(gè)指定位置，則有。指定元素排列組合問題。II. 排列組合常見解題策略：特殊元素優(yōu)先安排策略。合理分類與準(zhǔn)確分步策略。排列、組合混合問題先選后排的策略（處理排列組合綜合性問題一般是先選元素，后排列）。正難則反，等價(jià)轉(zhuǎn)化策略。相鄰問題插空處理策略；不相鄰問題插空處理策略。定序問題除法處理策略。分排問題直排處理的策略?！靶〖瘓F(tuán)”排列問題中先整體后局部的策略。構(gòu)造模型的策略。12.二項(xiàng)式定理：二項(xiàng)式定理：。展開式具