補(bǔ)課講義：平面向量

1、平面向量一、平面向量的概念及線(xiàn)性運(yùn)算基礎(chǔ)梳理1向量的有關(guān)概念(1)向量：既有的量叫向量；向量的大小叫做向量的(2)零向量：長(zhǎng)度等于的向量，其方向(3)單位向量：長(zhǎng)度等于的向量(4)平行向量：方向的非零向量，又叫共線(xiàn)向量，規(guī)定：0及任一向量共線(xiàn)(5)相等向量：的向量(6)相反向量：向量2向量的線(xiàn)性運(yùn)算向量運(yùn)算定義法則(或幾何意義)運(yùn)算律加法求兩個(gè)向量和的運(yùn)算三角形法則平行四邊形法則(1) 交換律：abba. (2)結(jié)合律：(ab)ca(bc)減法求a及b的相反向量b的和的運(yùn)算叫做a及b的差三角形法則aba(b)3.向量的數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義(1)定義：實(shí)數(shù)及向量a的積是一個(gè)向量，這種運(yùn)算叫向量的

2、數(shù)乘，記作a，它的長(zhǎng)度及方向規(guī)定如下：|a|a|；當(dāng)0時(shí)，a及a的方向相同；當(dāng)0時(shí)，a及a的方向相反；當(dāng)0時(shí)，a0.(2)運(yùn)算律：設(shè)，是兩個(gè)實(shí)數(shù)，則(a)()a；()aaa；(ab)ab.4共線(xiàn)向量定理向量a(a0)及b共線(xiàn)的充要條件是存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)，使得ba.方法及要點(diǎn)1、一條規(guī)律一般地，首尾順次相接的多個(gè)向量的和等于從第一個(gè)向量起點(diǎn)指向最后一個(gè)向量終點(diǎn)的向量2、兩個(gè)防范(1)向量共線(xiàn)的充要條件中要注意“a0”，否則可能不存在，也可能有無(wú)數(shù)個(gè)(2)證明三點(diǎn)共線(xiàn)問(wèn)題，可用向量共線(xiàn)來(lái)解決，但應(yīng)注意向量共線(xiàn)及三點(diǎn)共線(xiàn)的區(qū)別及聯(lián)系，當(dāng)兩向量共線(xiàn)且有公共點(diǎn)時(shí)，才能得出三點(diǎn)共線(xiàn)；另外，利用向量平行證明

3、向量所在直線(xiàn)平行，必須說(shuō)明這兩條直線(xiàn)不重合C.雙基自測(cè)1(人教A版教材習(xí)題改編)D是ABC的邊AB上的中點(diǎn)，則向量等于()A BC.D.2判斷下列四個(gè)命題：若ab，則ab；若|a|b|，則ab；若|a|b|，則ab；若ab，則|a|b|.正確的個(gè)數(shù)是()A1 B2 C3 D43若O，E，F(xiàn)是不共線(xiàn)的任意三點(diǎn)，則以下各式中成立的是()A.B.C.D.4(2019·四川)如圖，正六邊形ABCDEF中，()A0 B.C.D.5設(shè)a及b是兩個(gè)不共線(xiàn)向量，且向量ab及2ab共線(xiàn)，則_.D.考點(diǎn)解析考點(diǎn)一平面向量的概念【例1】下列命題中正確的是()Aa及b共線(xiàn)，b及c共線(xiàn)，則a及c也共線(xiàn)B任意兩

4、個(gè)相等的非零向量的始點(diǎn)及終點(diǎn)是一個(gè)平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)C向量a及b不共線(xiàn)，則a及b都是非零向量D有相同起點(diǎn)的兩個(gè)非零向量不平行【訓(xùn)練1】 給出下列命題：若A，B，C，D是不共線(xiàn)的四點(diǎn)，則是四邊形ABCD為平行四邊形的充要條件；若ab，bc，則ac；ab的充要條件是|a|b|且ab；若a及b均為非零向量，則|ab|及|a|b|一定相等其中正確命題的序號(hào)是_考點(diǎn)二平面向量的線(xiàn)性運(yùn)算【例2】如圖，D，E，F(xiàn)分別是ABC的邊AB，BC，CA的中點(diǎn)，則()A.0B.0【訓(xùn)練2】 在A(yíng)BC中，c，b，若點(diǎn)D滿(mǎn)足2，則 ()A.bc B.cbC.bc D.bc考向三共線(xiàn)向量定理及其應(yīng)用【例3】設(shè)兩個(gè)非零向量

5、a及b不共線(xiàn)(1)若ab，2a8b，3(ab)求證：A，B，D三點(diǎn)共線(xiàn)；【訓(xùn)練3】(2019·蘭州模擬)已知a，b是不共線(xiàn)的向量，ab，ab(，R)，那么A，B，C三點(diǎn)共線(xiàn)的充要條件是()A2 B1C1 D1二、平面向量基本定理及其坐標(biāo)表示A.基礎(chǔ)梳理1平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線(xiàn)向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)1，2，使a1e12e2，其中不共線(xiàn)的向量e1，e2叫表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底2平面向量坐標(biāo)運(yùn)算(1)向量加法、減法、數(shù)乘向量及向量的模設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，則ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，

6、y1y2)，a(x1，y1)，|a|.(2)向量坐標(biāo)的求法若向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則終點(diǎn)坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則(x2x1，y2y1)，|.3平面向量共線(xiàn)的坐標(biāo)表示設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中b0，當(dāng)且僅當(dāng)x1y2x2y10時(shí)，向量a，b共線(xiàn)B.方法及要點(diǎn)1、一個(gè)區(qū)別向量坐標(biāo)及點(diǎn)的坐標(biāo)的區(qū)別：在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量a，點(diǎn)A的位置被向量a唯一確定，此時(shí)點(diǎn)A的坐標(biāo)及a的坐標(biāo)統(tǒng)一為(x，y)，但應(yīng)注意其表示形式的區(qū)別，如點(diǎn)A(x，y)，向量a(x，y)當(dāng)平面向量平行移動(dòng)到時(shí)，向量不變，即(x，y)，但的起點(diǎn)O1和終點(diǎn)A1的坐標(biāo)都發(fā)生了變

7、化2、兩個(gè)防范(1)要區(qū)分點(diǎn)的坐標(biāo)及向量坐標(biāo)的不同，盡管在形式上它們完全一樣，但意義完全不同，向量坐標(biāo)中既有方向也有大小的信息(2)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則ab的充要條件不能表示成，因?yàn)閤2，y2有可能等于0，所以應(yīng)表示為x1y2x2y10.C.雙基自測(cè)1(人教A版教材習(xí)題改編)已知a1a2an0，且an(3,4)，則a1a2an1的坐標(biāo)為()A(4,3) B(4，3)C(3，4) D(3,4)解析a1a2an1an(3，4)答案C2若向量a(1,1)，b(1,1)，c(4,2)，則c()A3abB3abCa3b Da3b解析設(shè)cxayb，則c3ab.答案B3(2019

8、3;鄭州月考)設(shè)向量a(m,1)，b(1，m)，如果a及b共線(xiàn)且方向相反，則m的值為()A1 B1 C2 D2解析設(shè)ab(0)，即m且1m.解得m±1，由于0，m1.答案A4設(shè)向量a(1，3)，b(2,4)，若表示向量4a、3b2a、c的有向線(xiàn)段首尾相接能構(gòu)成三角形，則向量c()A(4,6) B(4，6) C(4，6) D(4,6)解析設(shè)c(x，y)，則4a(3b2a)c0，答案C5已知向量a(2，1)，b(1，m)，c(1,2)，若(ab)c，則m_.解析ab(1，m1)(ab)c，2(1)(m1)0，m1.答案1D.考點(diǎn)解析考點(diǎn)一平面向量基本定理的應(yīng)用【例1】如圖所示，在A(yíng)BC中

9、，H為BC上異于B，C的任一點(diǎn)，M為AH的中點(diǎn)，若，則_.審題視點(diǎn) 由B，H，C三點(diǎn)共線(xiàn)可用向量，來(lái)表示.解析由B，H，C三點(diǎn)共線(xiàn)，可令x(1x)，又M是AH的中點(diǎn)，所以x(1x)，又.所以x(1x).答案 應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算，共線(xiàn)向量定理的應(yīng)用起著至關(guān)重要的作用當(dāng)基底確定后，任一向量的表示都是唯一的【訓(xùn)練1】 如圖，兩塊斜邊長(zhǎng)相等的直角三角板拼在一起若xy，則x_，y_.解析以AB所在直線(xiàn)為x軸，以A為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系如圖，令A(yù)B2，則(2,0)，(0,2)，過(guò)D作DFAB交AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于F，由已知得DFBF，則

10、(2， )xy，(2，)(2x,2y)即有解得另解：，所以x1，y.答案1考點(diǎn)二平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算【例2】已知A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)，且3，2.求M，N的坐標(biāo)和.審題視點(diǎn) 求，的坐標(biāo)，根據(jù)已知條件列方程組求M，N.解A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)，(1,8)，(6,3)33(1,8)(3,24)，22(6,3)(12,6)設(shè)M(x，y)，則(x3，y4)得M(0,20)同理可得N(9,2)，(90,220)(9，18) 利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算解題，主要就是根據(jù)相等的向量坐標(biāo)相同這一原則，通過(guò)列方程(組)進(jìn)行求解；在將向量用坐標(biāo)表示時(shí)，要看準(zhǔn)向量的起點(diǎn)和終點(diǎn)坐標(biāo)，也就是要

11、注意向量的方向，不要寫(xiě)錯(cuò)坐標(biāo)【訓(xùn)練2】 在平行四邊形ABCD中，AC為一條對(duì)角線(xiàn)，若(2,4)，(1,3)，則()A(2，4) B(3，5)C(3,5) D(2,4)解析由題意得()2(1,3)2(2,4)(3，5)答案B考點(diǎn)三平面向量共線(xiàn)的坐標(biāo)運(yùn)算【例3】已知a(1,2)，b(3,2)，是否存在實(shí)數(shù)k，使得kab及a3b共線(xiàn)，且方向相反？審題視點(diǎn) 根據(jù)共線(xiàn)條件求k，然后判斷方向解若存在實(shí)數(shù)k，則kabk(1,2)(3,2)(k3，2k2)，a3b(1,2)3(3,2)(10，4)若這兩個(gè)向量共線(xiàn)，則必有(k3)×(4)(2k2)×100.解得k.這時(shí)kab，所以kab(a

12、3b)即兩個(gè)向量恰好方向相反，故題設(shè)的實(shí)數(shù)k存在向量共線(xiàn)問(wèn)題中，一般是根據(jù)其中的一些關(guān)系求解參數(shù)值，如果向量是用坐標(biāo)表示的，就可以使用兩個(gè)向量共線(xiàn)的充要條件的坐標(biāo)表示列出方程，根據(jù)方程求解其中的參數(shù)值【訓(xùn)練3】(2019·西安質(zhì)檢)已知向量a(1,2)，b(2，3)，若向量c滿(mǎn)足(ca)b，c(ab)，則c()A.B.C.D.解析設(shè)c(m，n)，則ac(1m,2n)，ab(3，1)(ca)b，3×(1m)2×(2n)，又c(ab)，3mn0，解得m，n.答案D三、平面向量的數(shù)量積A.基礎(chǔ)梳理1兩個(gè)向量的夾角已知兩個(gè)非零向量a和b(如圖)，作a，b，則AOB(0&#

13、176;180°)叫做向量a及b的夾角，當(dāng)0°時(shí)，a及b同向；當(dāng)180°時(shí)，a及b反向；如果a及b的夾角是90°，我們說(shuō)a及b垂直，記作ab.2兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義已知兩個(gè)非零向量a及b，它們的夾角為，則數(shù)量|a|b|cos 叫做a及b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作a·b，即a·b|a|b|cos ，規(guī)定零向量及任一向量的數(shù)量積為0，即0·a0.3向量數(shù)量積的幾何意義數(shù)量積a·b等于a的長(zhǎng)度|a|及b在a的方向上的投影|b|cos 的數(shù)量積4向量數(shù)量積的性質(zhì)設(shè)a、b都是非零向量，e是單位向量，為a及b(或e)的夾角則(

14、1)e·aa·e|a|cos ；(2)aba·b0；(3)當(dāng)a及b同向時(shí)，a·b|a|·|b|；當(dāng)a及b反向時(shí)，a·b|a|b|，特別的，a·a|a|2或者|a|；(4)cos ；(5)|a·b|a|b|.5向量數(shù)量積的運(yùn)算律(1)a·bb·a；(2)a·b(a·b)a·(b)；(3)(ab)·ca·cb·c.6平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算設(shè)向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，向量a及b的夾角為，則(1)a·bx1x2y1y2

15、；(2)|a|；(3)cosa，b；(4)aba·b0x1x2y1y20.7若A(x1，y1)，B(x2，y2)，a，則|a|(平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式)B.方法及要點(diǎn)1、一個(gè)條件兩個(gè)向量垂直的充要條件：abx1x2y1y20.2、兩個(gè)探究(1)若a·b0，能否說(shuō)明a和b的夾角為銳角？(2)若a·b0，能否說(shuō)明a和b的夾角為鈍角？3、三個(gè)防范(1)若a，b，c是實(shí)數(shù)，則abacbc(a0)；但對(duì)于向量就沒(méi)有這樣的性質(zhì)，即若向量a，b，c若滿(mǎn)足a·ba·c(a0)，則不一定有bc，即等式兩邊不能同時(shí)約去一個(gè)向量，但可以同時(shí)乘以一個(gè)向量(2)數(shù)量積運(yùn)

16、算不適合結(jié)合律，即(a·b)ca(b·c)，這是由于(a·b)c表示一個(gè)及c共線(xiàn)的向量，a(b·c)表示一個(gè)及a共線(xiàn)的向量，而a及c不一定共線(xiàn)，因此(a·b)c及a(b·c)不一定相等(3)向量夾角的概念要領(lǐng)會(huì)，比如正三角形ABC中，及的夾角應(yīng)為120°，而不是60°.C.雙基自測(cè)1(人教A版教材習(xí)題改編)已知|a|3，|b|2，若a·b3，則a及b的夾角為()A. B.C. D.解析設(shè)a及b的夾角為，則cos .又0，.答案C2若a，b，c為任意向量，mR，則下列等式不一定成立的是()A(ab)ca(b

17、c) B(ab)·ca·cb·cCm(ab)mambD(a·b)·ca·(b·c)答案D3(2019·廣東)若向量a，b，c滿(mǎn)足ab，且ac，則c·(a2b)()A4 B3 C2 D0解析由ab及ac，得bc，則c·(a2b)c·a2c·b0.答案D4已知向量a(1,2)，向量b(x，2)，且a(ab)，則實(shí)數(shù)x等于()A9 B4 C0 D4解析ab(1x,4)由a(ab)，得1x80.x9.答案A5(2019·江西)已知|a|b|2，(a2b)·(ab)

18、2，則a及b的夾角為_(kāi)解析由|a|b|2，(a2b)(ab)2，得a·b2，cosa，b，又a，b0，所以a，b.答案D.考點(diǎn)解析考點(diǎn)一求兩平面向量的數(shù)量積【例1】在A(yíng)BC中，M是BC的中點(diǎn)，|1，2，則·()_.審題視點(diǎn) 由M是BC的中點(diǎn)，得2.解析如圖，因?yàn)镸是BC的中點(diǎn)，所以2，又2，|1，所以·()·24|2|2，故填.答案 當(dāng)向量表示平面圖形中的一些有向線(xiàn)段時(shí)，要根據(jù)向量加減法運(yùn)算的幾何法則進(jìn)行轉(zhuǎn)化，把題目中未知的向量用已知的向量表示出來(lái)，在這個(gè)過(guò)程中要充分利用共線(xiàn)向量定理和平面向量基本定理、以及解三角形等知識(shí)【訓(xùn)練1】 如圖，在菱形ABCD中

19、，若AC4，則·_.解析，故··()··.而，.所以·CA28.答案8考點(diǎn)二利用平面向量數(shù)量積求夾角及模【例2】已知|a|4，|b|3，(2a3b)·(2ab)61.(1)求a及b的夾角；(2)求|ab|和|ab|.審題視點(diǎn) 由平面向量數(shù)量積的運(yùn)算法則得a·b的值，再求其夾角的余弦值，從而得其夾角解(1)(2a3b)·(2ab)61，解得a·b6.cos ，又0，.(2)|ab|2a22a·bb213，|ab|.|ab|2a22a·bb237.|ab|. 在數(shù)量積的基本運(yùn)算中

20、，經(jīng)常用到數(shù)量積的定義、模、夾角等公式，尤其對(duì)|a|要引起足夠重視，是求距離常用的公式【訓(xùn)練2】 已知a及b是兩個(gè)非零向量，且|a|b|ab|，求a及ab的夾角解設(shè)a及ab的夾角為，由|a|b|得|a|2|b|2.又由|b|2|ab|2|a|22a·b|b|2.a·b|a|2，而|ab|2|a|22a·b|b|23|a|2，|ab|a|.cos .0°180°，30°，即a及ab的夾角為30°.考點(diǎn)三平面向量的數(shù)量積及垂直問(wèn)題【例3】已知平面向量a(1，x)，b(2x3，x)(xR)(1)若ab，求x的值；(2)若ab，求|

21、ab|.審題視點(diǎn) 利用abx1x2y1y20及abx1y2x2y10，求解解(1)若ab，則a·b(1，x)·(2x3，x)1×(2x3)x(x)0.整理，得x22x30，解得x1或x3.(2)若ab，則有1×(x)x(2x3)0，即x(2x4)0，解得x0或x2.當(dāng)x0時(shí)，a(1,0)，b(3,0)，ab(2,0)，|ab|2.當(dāng)x2時(shí)，a(1，2)，b(1,2)，ab(2，4)，|ab|2.綜上，可知|ab|2或2. 已知兩向量垂直就是利用其數(shù)量積為零列出方程，通過(guò)解方程求出其中的參數(shù)值在計(jì)算數(shù)量積時(shí)要注意方法的選擇：一種方法是把互相垂直的兩個(gè)向量的

22、坐標(biāo)求出來(lái)，再計(jì)算數(shù)量積；另一種方法是根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算法則進(jìn)行整體計(jì)算，把這個(gè)數(shù)量積的計(jì)算化歸為基本的向量數(shù)量積的計(jì)算【訓(xùn)練3】 已知平面內(nèi)A，B，C三點(diǎn)在同一條直線(xiàn)上，(2，m)，(n,1)，(5，1)，且，求實(shí)數(shù)m，n的值解由于A(yíng)，B，C三點(diǎn)在同一條直線(xiàn)上，則，(7，1m)，(n2,1m)，7(1m)(1m)(n2)0，即mnn5m90，又，2nm0.聯(lián)立，解得或四、平面向量的應(yīng)用A.基礎(chǔ)梳理1向量在平面幾何中的應(yīng)用平面向量在平面幾何中的應(yīng)用主要是用向量的線(xiàn)性運(yùn)算及數(shù)量積解決平面幾何中的平行、垂直、平移、全等、相似、長(zhǎng)度、夾角等問(wèn)題(1)證明線(xiàn)段平行或點(diǎn)共線(xiàn)問(wèn)題，包括相似問(wèn)題，常用共線(xiàn)向量

23、定理：abab(b0)x1y2x2y10.(2)證明垂直問(wèn)題，常用數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)aba·b0x1x2y1y20.(3)求夾角問(wèn)題，利用夾角公式cos (為a及b的夾角)2平面向量在物理中的應(yīng)用(1)由于物理學(xué)中的力、速度、位移都是矢量，它們的分解及合成及向量的加法和減法相似，可以用向量的知識(shí)來(lái)解決(2)物理學(xué)中的功是一個(gè)標(biāo)量，這是力F及位移s的數(shù)量積即WF·s|F|s|cos (為F及s的夾角)B.方法及要點(diǎn)1、一個(gè)手段實(shí)現(xiàn)平面向量及三角函數(shù)、平面向量及解析幾何之間的轉(zhuǎn)化的主要手段是向量的坐標(biāo)運(yùn)算2、兩條主線(xiàn)(1)向量兼具代數(shù)的抽象及嚴(yán)謹(jǐn)和幾何的直觀(guān)及形象，向量本身是一個(gè)

24、數(shù)形結(jié)合的產(chǎn)物，在利用向量解決問(wèn)題時(shí)，要注意數(shù)及形的結(jié)合、代數(shù)及幾何的結(jié)合、形象思維及邏輯思維的結(jié)合(2)要注意變換思維方式，能從不同角度看問(wèn)題，要善于應(yīng)用向量的有關(guān)性質(zhì)解題C.雙基自測(cè)1(人教A版教材習(xí)題改編)某人先位移向量a：“向東走3 km”，接著再位移向量b：“向北走3 km”，則ab表示()A向東南走3 km B向東北走3 kmC向東南走3 km D向東北走3 km解析要求ab，可利用向量和的三角形法則來(lái)求解，如圖所示，適當(dāng)選取比例尺作a“向東走3 km”，b“向北走3 km”，則ab.|3(km)，又及的夾角是45°，所以ab表示向東北走3 km.答案B2平面上有四個(gè)互異

25、點(diǎn)A、B、C、D，已知(2)·()0，則ABC的形狀是()A直角三角形 B等腰直角三角形C等腰三角形 D無(wú)法確定解：由(2)·()0，得()(·()0，()·()0.所以|2|20，|，故ABC是等腰三角形答案C3(2019·銀川模擬)已知向量a(cos ，sin )，b(，1)，則|2ab|的最大值，最小值分別是()A4,0 B16,0C2,0 D16,4解析設(shè)a及b夾角為，|2ab|24a24a·bb284|a|b|cos 88cos ，0，cos 1,1，88cos 0,16，即|2ab|20,16，|2ab|0,4答案A4 在

26、ABC中，已知向量及滿(mǎn)足·0且·，則ABC為()A等邊三角形 B直角三角形C等腰非等邊三角形 D三邊均不相等的三角形解析由·0知ABC為等腰三角形，ABAC.由·知，60°，所以ABC為等邊三角形，故選A.答案A5平面直角坐標(biāo)系xOy中，若定點(diǎn)A(1,2)及動(dòng)點(diǎn)P(x，y)滿(mǎn)足·4，則點(diǎn)P的軌跡方程是_解析由·4，得(x，y)·(1,2)4，即x2y4.答案x2y40D.考點(diǎn)解析考點(diǎn)一平面向量在平面幾何中的應(yīng)用【例1】(2019·遼寧)平面上O，A，B三點(diǎn)不共線(xiàn)，設(shè)a，b，則OAB的面積等于()A.B.C

27、.D.審題視點(diǎn) 由數(shù)量積公式求出OA及OB夾角的余弦，進(jìn)而得正弦，再由公式Sabsin ，求面積解析cosBOA，則sinBOA ，SOAB|a|b| .答案C平面向量的數(shù)量積是解決平面幾何中相關(guān)問(wèn)題的有力工具：利用|a|可以求線(xiàn)段的長(zhǎng)度，利用cos (為a及b的夾角)可以求角，利用a·b0可以證明垂直，利用ab(b0)可以判定平行【訓(xùn)練1】 設(shè)a，b，c為同一平面內(nèi)具有相同起點(diǎn)的任意三個(gè)非零向量，且滿(mǎn)足a及b不共線(xiàn)，ac，|a|c|，則|b·c|的值一定等于()A以a，b為鄰邊的平行四邊形的面積B以b，c為鄰邊的平行四邊形的面積C以a，b為兩邊的三角形的面積D以b，c為兩

28、邊的三角形的面積解析|b·c|b|c|cos |，如圖，ac，|b|cos |就是以a，b為鄰邊的平行四邊形的高h(yuǎn)，而|a|c|，|b·c|a|(|b|cos |)，|b·c|表示以a，b為鄰邊的平行四邊形的面積答案A考點(diǎn)二平面向量及三角函數(shù)的交匯【例2】已知A，B，C的坐標(biāo)分別為A(3,0)，B(0,3)，C(cos ，sin )，.(1)若|，求角的值；(2)若·1，求的值審題視點(diǎn) 首先求出向量、的坐標(biāo)，第(1)問(wèn)利用兩個(gè)向量的模相等建立角的三角方程進(jìn)行求解；第(2)問(wèn)利用向量及數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算化簡(jiǎn)已知條件，得到角的三角函數(shù)值，把所求式子化簡(jiǎn)，尋找兩

29、個(gè)式子之間的關(guān)系解(1)(cos 3，sin )，(cos ，sin 3)，2(cos a3)2sin2106cos ，2cos2(sin 3)2106sin ，由|，可得22，即106cos 106sin ，得sin cos .又，.(2)由·1，得(cos 3)cos sin (sin 3)1，sin cos .又2sin cos .由式兩邊分別平方，得12sin cos ，2sin cos .解決平面向量及三角函數(shù)的交匯問(wèn)題的關(guān)鍵，準(zhǔn)確利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算化簡(jiǎn)已知條件，將其轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)中的有關(guān)問(wèn)題解決【訓(xùn)練2】 已知向量a(sin ，cos 2sin )，b(1,2)(1)若a

30、b，求tan 的值；(2)若|a|b|,0，求的值解(1)因?yàn)閍b，所以2sin cos 2sin ，于是4sin cos ，故tan .(2)由|a|b|知，sin2(cos 2sin )25，所以12sin 24sin25.從而2sin 22(1cos 2)4，即sin 2cos 21，于是sin.又由0知，2，所以2或2.因此或.自我檢測(cè)題1、(2019·北京)若a，b是非零向量，且ab，|a|b|，則函數(shù)f(x)(xab)·(xba)是()A一次函數(shù)且是奇函數(shù)B一次函數(shù)但不是奇函數(shù)C二次函數(shù)且是偶函數(shù)D二次函數(shù)但不是偶函數(shù)【解析】：，由，|a|b|，是一次函數(shù)且是奇

31、函數(shù)。 【答案】：A2、(2019年高考浙江卷理科5)設(shè)a，b是兩個(gè)非零向量, 下列命題正確的是( )A若|ab|a|b|，則ab B若ab，則|ab|a|b|C若|ab|a|b|，則存在實(shí)數(shù)，使得ab D若存在實(shí)數(shù)，使得ab，則|ab|a|b|3.(2019年高考遼寧卷理科3)已知兩個(gè)非零向量a，b滿(mǎn)足|a+b|=|ab|，則下面結(jié)論正確的是( ) (A) ab (B) ab(C)0,1,3 (D)a+b=ab4、(2019年高考天津卷理科7)已知ABC為等邊三角形，設(shè)點(diǎn)P，Q滿(mǎn)足，若，則( )（A） （）（）（）5、(2019年高考湖南卷理科7)在A(yíng)BC中，AB=2，AC=3，則BC=(

32、)A. B. C. D.【答案】A【解析】由下圖知.又由余弦定理知，解得.6、(2019年全國(guó)卷理科6)中，邊上的高為，若，則( )A BC D【答案】D【解析】由可得，故，用等面積法求得，所以，故，故選答案D 7、(2019年高考重慶卷理科6)設(shè)R，向量，且，則（A） （B）（C） （D）108、設(shè)向量滿(mǎn)足，則的最大值等于 (A)2 (B) (c) (D)1【思路點(diǎn)撥】本題按照題目要求構(gòu)造出如右圖所示的幾何圖形，然后分析觀(guān)察不難得到當(dāng)線(xiàn)段AC為直徑時(shí)，最大.【解析】【解析】如圖，構(gòu)造,，所以四點(diǎn)共圓，可知當(dāng)線(xiàn)段為直徑時(shí)，最大，最大值為2.DCAB9、如圖，在四邊形ABCD中，則的值為（ ）A.2 B. C.4 D.【答案】：C【解析】：,上式又由知：,10、(2019·山東)設(shè)A1，A2，A3，A4是平面直角坐標(biāo)系中兩兩不同的四點(diǎn)，若(R)，(R)，且2，則稱(chēng)A3，A4調(diào)和分割A(yù)1，A2.已知平面上的點(diǎn)C，D調(diào)和分割點(diǎn)A，B，則下列說(shuō)法正確的是()AC可能是線(xiàn)段AB的中點(diǎn)BD可能是線(xiàn)段AB的中點(diǎn)CC、D可能同時(shí)在線(xiàn)段AB上DC、D不可能同時(shí)在線(xiàn)段AB