備考2022數(shù)學(xué)專題54 探究發(fā)現(xiàn)類創(chuàng)新型綜合素養(yǎng)能力題（原卷版）

1、專題54 探究發(fā)現(xiàn)類創(chuàng)新型綜合素養(yǎng)能力題探究題類型比較煩雜，以問題表現(xiàn)形式來(lái)分，大致可歸類為開放型、新信息型、存在型等.一、開放型探究題 開放型探究題按題型結(jié)構(gòu)分為條件開放型、結(jié)論開放型與策略開放型.此類探究題注重考查學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性和培養(yǎng)發(fā)散思維的能力. 二、新信息型探究題 進(jìn)入新時(shí)代，新信息型探究題逐漸成為考查中的亮點(diǎn)，這類題目通常都會(huì)出現(xiàn)一些新的定義概念、規(guī)則、運(yùn)算等，如何理解和運(yùn)用題中提供的新信息是處理此類問題的關(guān)鍵.比如“等鄰邊四邊形”、“智慧三角形”、“勾股分割點(diǎn)”等都屬于新信息探究題. 三、存在型探究題 存在與否型探索問題歷來(lái)都是考查的重點(diǎn)，幾何與代數(shù)都有涉及.解決此類問題的一般

2、思路為假設(shè)結(jié)論成立或存在.結(jié)合已知條件，建立數(shù)學(xué)模型，仔細(xì)分析，層層推進(jìn)，如果能獲得相應(yīng)的結(jié)論，則假設(shè)成立，如果出現(xiàn)矛盾則說(shuō)明原假設(shè)并不成立. 探索結(jié)論的存在性問題，是綜合探究題之一，是開放型試題的重點(diǎn)題型，是中考的熱點(diǎn)，也是難點(diǎn)，更是亮點(diǎn)。若在選擇題、填空題中出現(xiàn)，一般考查的難度屬于中等難度，若在選擇題或者填空題的最后一道小題出現(xiàn)，就屬于壓軸題。但根據(jù)全國(guó)各地中考試卷看，探索結(jié)論的存在性問題，都以壓軸大題形式出現(xiàn)，這類試題只是覆蓋面廣，綜合性強(qiáng)。解決問題基本思路是：首先假設(shè)研究的數(shù)學(xué)對(duì)象存在，然后從假設(shè)出發(fā)，結(jié)合題目條件進(jìn)行計(jì)算推理論證，若所得結(jié)論正確合理，說(shuō)明結(jié)論存在；若所得結(jié)論不合理，說(shuō)

3、明結(jié)論不存在。解題時(shí)要注意的是：（1）明確這類問題的解題思路，即假設(shè)存在法；（2）要對(duì)各方面知識(shí)理解到位，能靈活應(yīng)用知識(shí)進(jìn)行分析、綜合、概括和推理；（3）心中一定要裝有重要的數(shù)學(xué)思想方法，比如建構(gòu)方程的思想、數(shù)形結(jié)合的思想、轉(zhuǎn)化思想等，在數(shù)學(xué)思想方法引領(lǐng)下，讓解決問題具有方向性，避免盲目性。（4）作圖要科學(xué)規(guī)范，便于解決問題為宜。【例題】（2020河南）小亮在學(xué)習(xí)中遇到這樣一個(gè)問題：如圖，點(diǎn)d是bc上一動(dòng)點(diǎn)，線段bc8cm，點(diǎn)a是線段bc的中點(diǎn)，過點(diǎn)c作cfbd，交da的延長(zhǎng)線于點(diǎn)f當(dāng)dcf為等腰三角形時(shí)，求線段bd的長(zhǎng)度小亮分析發(fā)現(xiàn)，此問題很難通過常規(guī)的推理計(jì)算徹底解決，于是嘗試結(jié)合學(xué)習(xí)函數(shù)

4、的經(jīng)驗(yàn)研究此問題請(qǐng)將下面的探究過程補(bǔ)充完整：（1）根據(jù)點(diǎn)d在bc上的不同位置，畫出相應(yīng)的圖形，測(cè)量線段bd，cd，fd的長(zhǎng)度，得到下表的幾組對(duì)應(yīng)值 bd/cm01.02.03.04.05.06.07.08.0cd/cm8.07.77.26.65.9a3.92.40fd/cm8.07.46.96.56.16.06.26.78.0操作中發(fā)現(xiàn)：“當(dāng)點(diǎn)d為bc的中點(diǎn)時(shí)，bd5.0cm”則上表中a的值是；“線段cf的長(zhǎng)度無(wú)需測(cè)量即可得到”請(qǐng)簡(jiǎn)要說(shuō)明理由（2）將線段bd的長(zhǎng)度作為自變量x，cd和fd的長(zhǎng)度都是x的函數(shù)，分別記為ycd和yfd，并在平面直角坐標(biāo)系xoy中畫出了函數(shù)yfd的圖象，如圖所示請(qǐng)?jiān)谕?/p>

5、一坐標(biāo)系中畫出函數(shù)ycd的圖象；（3）繼續(xù)在同一坐標(biāo)系中畫出所需的函數(shù)圖象，并結(jié)合圖象直接寫出：當(dāng)dcf為等腰三角形時(shí)，線段bd長(zhǎng)度的近似值（結(jié)果保留一位小數(shù)）【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】在rtabc中，abc=90°，ab=，ac=2，過點(diǎn)b作直線mac，將abc繞點(diǎn)c順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到abc（點(diǎn)a，b的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為a'，b），射線ca，cb分別交直線m于點(diǎn)p，q（1）如圖1，當(dāng)p與a重合時(shí)，求aca的度數(shù)；（2）如圖2，設(shè)ab與bc的交點(diǎn)為m，當(dāng)m為ab的中點(diǎn)時(shí)，求線段pq的長(zhǎng)；（3）在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)點(diǎn)p，q分別在ca，cb的延長(zhǎng)線上時(shí)，試探究四邊形pa'bq的面積是否存在最小值若存

6、在，求出四邊形pabq的最小面積；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由1（2020浙江寧波）問題小明在學(xué)習(xí)時(shí)遇到這樣一個(gè)問題：求不等式x3+3x2x30的解集他經(jīng)歷了如下思考過程：回顧（1）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，直線y1ax+b與雙曲線y2交于a （1，3）和b（3，1），則不等式ax+b的解集是 探究將不等式x3+3x2x30按條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化：當(dāng)x0時(shí)，原不等式不成立；當(dāng)x0時(shí)，不等式兩邊同除以x并移項(xiàng)轉(zhuǎn)化為x2+3x1；當(dāng)x0時(shí)，不等式兩邊同除以x并移項(xiàng)轉(zhuǎn)化為x2+3x1（2）構(gòu)造函數(shù)，畫出圖象：設(shè)y3x2+3x1，y4，在同一坐標(biāo)系中分別畫出這兩個(gè)函數(shù)的圖象；雙曲線y4如圖2所示，請(qǐng)?jiān)诖俗鴺?biāo)系

7、中畫出拋物線yx2+3x1（不用列表）（3）確定兩個(gè)函數(shù)圖象公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)：觀察所畫兩個(gè)函數(shù)的圖象，猜想并通過代入函數(shù)解析式驗(yàn)證可知：滿足y3y4的所有x的值為 解決（4）借助圖象，寫出解集：結(jié)合“探究”中的討論，觀察兩個(gè)函數(shù)的圖象可知：不等式x3+3x2x30的解集為 2（2020湖北隨州）一個(gè)問題解決往往經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)猜想探索歸納問題解決的過程，下面結(jié)合一道幾何題來(lái)體驗(yàn)一下.（發(fā)現(xiàn)猜想）（1）如圖，已知aob70°，aod100°，oc為bod的角平分線，則aoc的度數(shù)為 ；. （探索歸納）（2）如圖，aobm，aodn，oc為bod的角平分線. 猜想aoc的度數(shù)（用含m、n

8、的代數(shù)式表示），并說(shuō)明理由.（問題解決）（3）如圖，若aob20°，aoc90°，aod120°.若射線ob繞點(diǎn)o以每秒20°逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，射線oc繞點(diǎn)o以每秒10°順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，射線od繞點(diǎn)o每秒30°順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，三條射線同時(shí)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)一條射線與直線oa重合時(shí)，三條射線同時(shí)停止運(yùn)動(dòng). 運(yùn)動(dòng)幾秒時(shí)，其中一條射線是另外兩條射線夾角的角平分線？3（2020江西）已知mpn的兩邊分別與o相切于點(diǎn)a，b，o的半徑為r（1）如圖1，點(diǎn)c在點(diǎn)a，b之間的優(yōu)弧上，mpn80°，求acb的度數(shù)；（2）如圖2，點(diǎn)c在圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)pc最大時(shí)，要使四邊

9、形apbc為菱形，apb的度數(shù)應(yīng)為多少？請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）若pc交o于點(diǎn)d，求第（2）問中對(duì)應(yīng)的陰影部分的周長(zhǎng)（用含r的式子表示）4（2020北京）在平面直角坐標(biāo)系xoy中，o的半徑為1，a，b為o外兩點(diǎn)，ab1給出如下定義：平移線段ab，得到o的弦a'b'（a'，b分別為點(diǎn)a，b的對(duì)應(yīng)點(diǎn)），線段aa'長(zhǎng)度的最小值稱為線段ab到o的“平移距離”（1）如圖，平移線段ab得到o的長(zhǎng)度為1的弦p1p2和p3p4，則這兩條弦的位置關(guān)系是；在點(diǎn)p1，p2，p3，p4中，連接點(diǎn)a與點(diǎn)的線段的長(zhǎng)度等于線段ab到o的“平移距離”；（2）若點(diǎn)a，b都在直線y=3x+23上，記線段

10、ab到o的“平移距離”為d1，求d1的最小值；（3）若點(diǎn)a的坐標(biāo)為（2，32），記線段ab到o的“平移距離”為d2，直接寫出d2的取值范圍5（2020哈爾濱）已知：o是abc的外接圓，ad為o的直徑，adbc，垂足為e，連接bo，延長(zhǎng)bo交ac于點(diǎn)f（1）如圖1，求證：bfc3cad；（2）如圖2，過點(diǎn)d作dgbf交o于點(diǎn)g，點(diǎn)h為dg的中點(diǎn)，連接oh，求證：beoh；（3）如圖3，在（2）的條件下，連接cg，若dgde，aof的面積為925，求線段cg的長(zhǎng)6（2020成都）如圖，在abc的邊bc上取一點(diǎn)o，以o為圓心，oc為半徑畫o，o與邊ab相切于點(diǎn)d，acad，連接oa交o于點(diǎn)e，連接c

11、e，并延長(zhǎng)交線段ab于點(diǎn)f（1）求證：ac是o的切線；（2）若ab10，tanb=43，求o的半徑；（3）若f是ab的中點(diǎn)，試探究bd+ce與af的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由7（2020攀枝花）實(shí)驗(yàn)學(xué)校某班開展數(shù)學(xué)“綜合與實(shí)踐”測(cè)量活動(dòng)有兩座垂直于水平地面且高度不一的圓柱，兩座圓柱后面有一斜坡，且圓柱底部到坡腳水平線mn的距離皆為100cm王詩(shī)嬑觀測(cè)到高度90cm矮圓柱的影子落在地面上，其長(zhǎng)為72cm；而高圓柱的部分影子落在坡上，如圖所示已知落在地面上的影子皆與坡腳水平線mn互相垂直，并視太陽(yáng)光為平行光，測(cè)得斜坡坡度i1：0.75，在不計(jì)圓柱厚度與影子寬度的情況下，請(qǐng)解答下列問題：（1）若王詩(shī)嬑的身高

12、為150cm，且此刻她的影子完全落在地面上，則影子長(zhǎng)為多少cm？（2）猜想：此刻高圓柱和它的影子與斜坡的某個(gè)橫截面一定同在一個(gè)垂直于地面的平面內(nèi)請(qǐng)直接回答這個(gè)猜想是否正確？（3）若同一時(shí)間量得高圓柱落在坡面上的影子長(zhǎng)為100 cm，則高圓柱的高度為多少cm？8（2020陜西）問題提出（1）如圖1，在rtabc中，acb90°，acbc，acb的平分線交ab于點(diǎn)d過點(diǎn)d分別作deac，dfbc垂足分別為e，f，則圖1中與線段ce相等的線段是 問題探究（2）如圖2，ab是半圓o的直徑，ab8p是ab上一點(diǎn)，且pb=2pa，連接ap，bpapb的平分線交ab于點(diǎn)c，過點(diǎn)c分別作ceap，c

13、fbp，垂足分別為e，f，求線段cf的長(zhǎng)問題解決（3）如圖3，是某公園內(nèi)“少兒活動(dòng)中心”的設(shè)計(jì)示意圖已知o的直徑ab70m，點(diǎn)c在o上，且cacbp為ab上一點(diǎn)，連接cp并延長(zhǎng)，交o于點(diǎn)d連接ad，bd過點(diǎn)p分別作pead，pfbd，重足分別為e，f按設(shè)計(jì)要求，四邊形pedf內(nèi)部為室內(nèi)活動(dòng)區(qū)，陰影部分是戶外活動(dòng)區(qū)，圓內(nèi)其余部分為綠化區(qū)設(shè)ap的長(zhǎng)為x（m），陰影部分的面積為y（m2）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；按照“少兒活動(dòng)中心”的設(shè)計(jì)要求，發(fā)現(xiàn)當(dāng)ap的長(zhǎng)度為30m時(shí)，整體布局比較合理試求當(dāng)ap30m時(shí)室內(nèi)活動(dòng)區(qū)（四邊形pedf）的面積9.(2020浙江舟山)比較x2+1與2x的大?。?）嘗試（用“”，“”或“”填空）：當(dāng)x1時(shí)，x2+1 2x；當(dāng)x0時(shí)，x2+1 2x；當(dāng)x2時(shí)，x2+1 2x（2）歸納：若x取任意實(shí)數(shù)，